Exercices : Suites Géométriques

Correction :

1. Exprimer $s_n$ en fonction de $n$.

Chaque année, le capital est augmenté de 7%. Cela signifie que pour passer d'une année à l'année suivante, on multiplie le capital par $1 + \dfrac{7}{100} = 1 + 0,07 = 1,07$.

On a donc une suite géométrique de premier terme $s_0 = 250$ (le capital initial) et de raison $q = 1,07$.

L'expression du terme général d'une suite géométrique est $s_n = s_0 \times q^n$.

Ici, on a donc : $$s_n = 250 \times (1,07)^n$$

2. Déterminer le montant dont dispose Sophie au bout de 5 années. Arrondir à l'euro près.

On cherche à calculer $s_5$. En utilisant l'expression trouvée à la question précédente :

$$s_5 = 250 \times (1,07)^5$$

À l'aide de la calculatrice, on trouve : $s_5 \approx 350,1275...$

En arrondissant à l'euro près, on obtient $s_5 \approx 350$ €.

Au bout de 5 années, Sophie disposera d'environ 350 €.

3. Déterminer au bout de combien d'années, le placement aura doublé.

On cherche à trouver la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $s_n \ge 2 \times s_0 = 2 \times 250 = 500$.

On doit donc résoudre l'inéquation : $250 \times (1,07)^n \ge 500$.

Divisons les deux côtés par 250 : $(1,07)^n \ge \dfrac{500}{250} = 2$.

On peut tester des valeurs de $n$ à la calculatrice ou utiliser le logarithme (mais ce n'est pas nécessaire ici en première).

Pour $n = 10$, $(1,07)^{10} \approx 1,967... < 2$.

Pour $n = 11$, $(1,07)^{11} \approx 2,104... > 2$.

Donc, c'est à partir de 11 années que le placement aura doublé.

Au bout de 11 années, le placement de Sophie aura doublé.

Correction :

1. Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Observons les termes de la suite donnés dans le tableau. Ici, la colonne de gauche représente l'indice, commençant à 4, et la colonne de droite les valeurs de $u_n$.

Calculons les rapports entre termes consécutifs pour voir si la suite est géométrique :

$\dfrac{u_5}{u_4} = \dfrac{1.2288}{1.536} = 0,8$

$\dfrac{u_6}{u_5} = \dfrac{0.98304}{1.2288} = 0,8$

$\dfrac{u_7}{u_6} = \dfrac{0.78643}{0.98304} \approx 0,8000$ (arrondi à $10^{-5}$ près)

Le rapport entre deux termes consécutifs semble constant et égal à 0,8. On conjecture donc que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$.

Pour trouver le premier terme, on utilise $u_4 = 1,536$. Si la suite est géométrique de raison $q=0,8$, alors on peut écrire $u_n = u_4 \times q^{n-4}$ pour $n \ge 4$. Donc, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, en prenant comme premier terme $u_4$, est :

$$u_n = 1,536 \times (0,8)^{n-4} \quad \text{pour } n \ge 4$$

On peut aussi exprimer $u_n$ en fonction de $u_0$. Pour cela, on utilise $u_4 = u_0 \times q^4$, donc $u_0 = \dfrac{u_4}{q^4} = \dfrac{1,536}{(0,8)^4} = \dfrac{1,536}{0,4096} = 3,75$.

Ainsi, l'expression de $u_n$ avec le premier terme $u_0 = 3,75$ est :

$$u_n = 3,75 \times (0,8)^n$$

Vérifions pour $n=4$: $u_4 = 3,75 \times (0,8)^4 = 3,75 \times 0,4096 = 1,536$. Cela concorde avec le tableau.

Conjecture : $u_n = 3,75 \times (0,8)^n$ pour $n \ge 0$. Ou $u_n = 1,536 \times (0,8)^{n-4}$ pour $n \ge 4$.

2. Quelle formule a-t-on écrite dans la cellule A2 puis copiée vers le bas ?

Dans le contexte du tableau donné, la première valeur numérique (1,536) est en réalité en colonne B et ligne 2 si on considère les indices de ligne classiques d'un tableur commençant à 1 et la ligne d'entête en ligne 1. Cependant, si on considère que les données commencent à la ligne 1 sans entête, alors 1.536 est en B1 et 1.2288 en B2 et ainsi de suite.

Si on suppose que la colonne A contient les indices (4, 5, 6, ...) et la colonne B contient les termes de la suite ($u_4, u_5, u_6, ...$), et que les données commencent à la ligne 1 (donc 4 est en A1, 1.536 en B1, 5 en A2, 1.2288 en B2, etc.), alors pour calculer le terme suivant à partir du précédent, on multiplie par la raison 0,8.

Pour la cellule B2 (qui doit contenir $u_5 = 1,2288$), elle est obtenue en multipliant la cellule B1 (qui contient $u_4 = 1,536$) par 0,8.

Donc, la formule à écrire dans la cellule B2 et à copier vers le bas est : =B1*0.8 ou =0.8*B1.

Si on avait considéré une autre convention de nommage des cellules, il faudrait adapter la formule en conséquence. L'important est de comprendre la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,8 \times u_n$ et de la traduire en formule de tableur.

Formule à écrire dans la cellule B2 (si les valeurs de la suite commencent en B1) : =B1*0.8

Correction :

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = 3u_n - 8$ et le premier terme $u_0 = 6$.

Pour $n=0$, $u_{1} = 3u_0 - 8 = 3 \times 6 - 8 = 18 - 8 = 10$. Donc $u_1 = 10$.

Pour $n=1$, $u_{2} = 3u_1 - 8 = 3 \times 10 - 8 = 30 - 8 = 22$. Donc $u_2 = 22$.

Pour $n=2$, $u_{3} = 3u_2 - 8 = 3 \times 22 - 8 = 66 - 8 = 58$. Donc $u_3 = 58$.

Ainsi, $u_1 = 10$, $u_2 = 22$, et $u_3 = 58$.

2. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? Géométrique ?

Arithmétique ? Pour qu'elle soit arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs doit être constante.

$u_1 - u_0 = 10 - 6 = 4$

$u_2 - u_1 = 22 - 10 = 12$

La différence n'est pas constante ($4 \neq 12$), donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

Géométrique ? Pour qu'elle soit géométrique, le rapport entre deux termes consécutifs doit être constant.

$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{22}{10} = \dfrac{11}{5}$

Le rapport n'est pas constant ($\dfrac{5}{3} \neq \dfrac{11}{5}$), donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

La suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique. C'est une suite arithmético-géométrique.

3. On pose $v_n = u_n - 4$.

3.a. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

On utilise la définition $v_n = u_n - 4$ et les valeurs de $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ calculées précédemment.

$v_0 = u_0 - 4 = 6 - 4 = 2$. Donc $v_0 = 2$.

$v_1 = u_1 - 4 = 10 - 4 = 6$. Donc $v_1 = 6$.

$v_2 = u_2 - 4 = 22 - 4 = 18$. Donc $v_2 = 18$.

$v_3 = u_3 - 4 = 58 - 4 = 54$. Donc $v_3 = 54$.

Ainsi, $v_0 = 2$, $v_1 = 6$, $v_2 = 18$, et $v_3 = 54$.

3.b. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, on doit vérifier que le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant.

Exprimons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. On sait que $v_{n+1} = u_{n+1} - 4$ et $u_{n+1} = 3u_n - 8$.

Donc, $v_{n+1} = (3u_n - 8) - 4 = 3u_n - 12 = 3(u_n - 4)$.

Or, par définition, $v_n = u_n - 4$. Donc, on a $v_{n+1} = 3v_n$.

La relation $v_{n+1} = 3v_n$ montre que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 3$.

3.c. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$, son terme général est donné par la formule :

$$v_n = v_0 \times q^n = 2 \times 3^n$$

Donc, $v_n = 2 \times 3^n$.

4. En déduire $u_n$ en fonction de $n$.

On sait que $v_n = u_n - 4$. On peut donc exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ : $u_n = v_n + 4$.

En utilisant l'expression de $v_n$ trouvée à la question 3.c, on obtient :

$$u_n = v_n + 4 = 2 \times 3^n + 4$$

Donc, $u_n = 2 \times 3^n + 4$.

Correction :

On sait que $(u_n)$ est une suite géométrique, donc il existe une raison $q$ telle que pour tout $n$, $u_{n+1} = q \times u_n$. On a aussi $u_0 = 4$ et $u_1 + u_2 = 15$. On cherche à déterminer $u_6$.

Exprimons $u_1$ et $u_2$ en fonction de $u_0$ et $q$.

$u_1 = u_0 \times q = 4q$

$u_2 = u_1 \times q = (4q) \times q = 4q^2$

Utilisons l'information $u_1 + u_2 = 15$ :

$4q + 4q^2 = 15$

On obtient une équation du second degré en $q$ : $4q^2 + 4q - 15 = 0$.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 4 \times (-15) = 16 + 240 = 256$.

Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions pour $q$ :

$q_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 - \sqrt{256}}{2 \times 4} = \dfrac{-4 - 16}{8} = \dfrac{-20}{8} = -\dfrac{5}{2} = -2,5$

$q_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4 + \sqrt{256}}{2 \times 4} = \dfrac{-4 + 16}{8} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} = 1,5$

On sait que la suite $(u_n)$ est à termes strictement positifs. Si la raison était négative, les termes alterneraient entre positifs et négatifs (car $u_0 > 0$). Donc la raison doit être positive. On choisit donc $q = q_2 = \dfrac{3}{2} = 1,5$.

On a donc $u_0 = 4$ et $q = \dfrac{3}{2}$. On cherche à calculer $u_6$.

Utilisons la formule du terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.

$$u_6 = u_0 \times q^6 = 4 \times \left(\dfrac{3}{2}\right)^6 = 4 \times \dfrac{3^6}{2^6} = 4 \times \dfrac{729}{64} = \dfrac{4 \times 729}{64} = \dfrac{729}{16}$$

Calculons la valeur décimale pour vérifier : $u_6 = \dfrac{729}{16} = 45,5625$.

Donc, $u_6 = \dfrac{729}{16} = 45,5625$.

Correction :

On sait que $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + r$. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n = 2^{u_n}$. On veut montrer que $(v_n)$ est géométrique.

Pour montrer qu'une suite $(v_n)$ est géométrique, il faut vérifier que le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant.

Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :

$$v_{n+1} = 2^{u_{n+1}}$$

Comme $u_{n+1} = u_n + r$, on remplace dans l'expression de $v_{n+1}$ :

$$v_{n+1} = 2^{u_n + r}$$

En utilisant les propriétés des puissances, $a^{x+y} = a^x \times a^y$, on a :

$$v_{n+1} = 2^{u_n} \times 2^r$$

Or, par définition, $v_n = 2^{u_n}$. Et $2^r$ est une constante (car $r$ est la raison de la suite arithmétique, donc une constante).

Donc, on peut écrire :

$$v_{n+1} = v_n \times 2^r$$

Cette relation montre que pour passer de $v_n$ à $v_{n+1}$, on multiplie toujours par la même constante $2^r$. Donc, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 2^r$.

Premier terme de $(v_n)$ : Pour $n=0$, $v_0 = 2^{u_0}$.

Raison de $(v_n)$ : $q = 2^r$.

Conclusion : La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 2^{u_0}$ et de raison $q = 2^r$.

Correction :

1. Vérifier que $h_2 = 0,96$.

On a $h_0 = 1,5$ mètre. La balle rebondit à 80% de la hauteur précédente, ce qui correspond à multiplier par $\dfrac{80}{100} = 0,8$.

Après le premier rebond, la hauteur $h_1$ est $h_1 = 0,8 \times h_0 = 0,8 \times 1,5 = 1,2$ mètre.

Après le deuxième rebond, la hauteur $h_2$ est $h_2 = 0,8 \times h_1 = 0,8 \times 1,2 = 0,96$ mètre.

Donc, $h_2 = 0,96$ mètre. La vérification est correcte.

2. Exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$. Nature de la suite $(h_n)$.

L'énoncé dit que la balle rebondit toujours à 80% de la hauteur du précédent rebond. Cela signifie que pour passer de la hauteur après $n$ rebonds ($h_n$) à la hauteur après $n+1$ rebonds ($h_{n+1}$), on multiplie par 0,8.

Donc, la relation de récurrence est : $$h_{n+1} = 0,8 \times h_n$$

Cette relation est de la forme $u_{n+1} = q \times u_n$, ce qui définit une suite géométrique de raison $q = 0,8$. Le premier terme est $h_0 = 1,5$.

La suite $(h_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $h_0 = 1,5$.

3. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$.

Pour une suite géométrique de premier terme $h_0$ et de raison $q$, le terme général est $h_n = h_0 \times q^n$.

Ici, $h_0 = 1,5$ et $q = 0,8$. Donc, l'expression de $h_n$ en fonction de $n$ est :

$$h_n = 1,5 \times (0,8)^n$$

Donc, $h_n = 1,5 \times (0,8)^n$.

4. Déterminer le nombre de rebonds effectués par la balle jusqu'à ce que la hauteur ne dépasse pas 0,5 cm.

On doit convertir 0,5 cm en mètres : $0,5 \text{ cm} = 0,005 \text{ m}$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $h_n \le 0,005$. On doit résoudre l'inéquation :

$1,5 \times (0,8)^n \le 0,005$

Divisons par 1,5 : $(0,8)^n \le \dfrac{0,005}{1,5} = \dfrac{5}{1500} = \dfrac{1}{300} \approx 0,00333...$

On peut tester des valeurs de $n$ à la calculatrice.

Pour $n = 10$, $(0,8)^{10} \approx 0,107... > 0,00333...$

Pour $n = 20$, $(0,8)^{20} \approx 0,0115... > 0,00333...$

Pour $n = 30$, $(0,8)^{30} \approx 0,00123... < 0,00333...$

Pour $n = 29$, $(0,8)^{29} \approx 0,00154... < 0,00333...$ (erreur dans le précédent)

Pour $n=25$, $(0,8)^{25} \approx 0,00377... > 0,00333...$

Pour $n=26$, $(0,8)^{26} \approx 0,00302... < 0,00333...$

Donc, à partir de $n=26$ rebonds, la hauteur ne dépasse plus 0,005 m = 0,5 cm.

Le nombre de rebonds effectués par la balle est 26.

Correction :

1. Montrer que $u_1 = \sqrt{3}$ et $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}$ et $u_0 = 0$.

Pour $n=0$, $u_1 = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_0^2+12} = \dfrac{1}{2}\sqrt{0^2+12} = \dfrac{1}{2}\sqrt{12} = \dfrac{1}{2}\sqrt{4 \times 3} = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Donc $u_1 = \sqrt{3}$.

Pour $n=1$, $u_2 = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_1^2+12} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{3})^2+12} = \dfrac{1}{2}\sqrt{3+12} = \dfrac{1}{2}\sqrt{15}$.

Donc $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$.

On a bien montré que $u_1 = \sqrt{3}$ et $u_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$.

2. On pose $v_n = u_n^2 - 4$.

2.a. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.

On utilise la définition $v_n = u_n^2 - 4$ et les valeurs de $u_0$, $u_1$, $u_2$ calculées précédemment.

$v_0 = u_0^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4$. Donc $v_0 = -4$.

$v_1 = u_1^2 - 4 = (\sqrt{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1$. Donc $v_1 = -1$.

$v_2 = u_2^2 - 4 = \left(\dfrac{\sqrt{15}}{2}\right)^2 - 4 = \dfrac{15}{4} - 4 = \dfrac{15}{4} - \dfrac{16}{4} = -\dfrac{1}{4}$. Donc $v_2 = -\dfrac{1}{4}$.

Ainsi, $v_0 = -4$, $v_1 = -1$, et $v_2 = -\dfrac{1}{4}$.

2.b. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, on doit vérifier que le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ est constant.

Exprimons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. On sait que $v_{n+1} = u_{n+1}^2 - 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}$.

Donc, $v_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}\right)^2 - 4 = \dfrac{1}{4}(u_n^2+12) - 4 = \dfrac{1}{4}u_n^2 + \dfrac{12}{4} - 4 = \dfrac{1}{4}u_n^2 + 3 - 4 = \dfrac{1}{4}u_n^2 - 1$.

On veut exprimer cela en fonction de $v_n = u_n^2 - 4$, donc $u_n^2 = v_n + 4$. Remplaçons $u_n^2$ par $v_n + 4$ dans l'expression de $v_{n+1}$ :

$v_{n+1} = \dfrac{1}{4}(v_n + 4) - 1 = \dfrac{1}{4}v_n + \dfrac{4}{4} - 1 = \dfrac{1}{4}v_n + 1 - 1 = \dfrac{1}{4}v_n$.

La relation $v_{n+1} = \dfrac{1}{4}v_n$ montre que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{4}$.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \dfrac{1}{4}$.

2.c. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = -4$ et de raison $q = \dfrac{1}{4}$, son terme général est donné par la formule :

$$v_n = v_0 \times q^n = -4 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$$

Donc, $v_n = -4 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$.

2.d. En déduire $u_n^2$ en fonction de $n$.

On sait que $v_n = u_n^2 - 4$. On peut donc exprimer $u_n^2$ en fonction de $v_n$ : $u_n^2 = v_n + 4$.

En utilisant l'expression de $v_n$ trouvée à la question 2.c, on obtient :

$$u_n^2 = v_n + 4 = -4 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n + 4 = 4 - 4 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n = 4 \left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right)$$

Donc, $u_n^2 = 4 \left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right)$.

3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$.

On a $u_n^2 = 4 \left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right)$. Pour trouver $u_n$, on prend la racine carrée. Comme $u_0 = 0$ et par la relation de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{u_n^2+12}$, on peut voir que $u_n \ge 0$ pour tout $n$. Donc on prend la racine carrée positive.

$$u_n = \sqrt{u_n^2} = \sqrt{4 \left(1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right)} = \sqrt{4} \times \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n} = 2 \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n}$$

Donc, $u_n = 2 \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^n}$.