Exercices : Suites Arithmétiques

Correction :

1. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=3$, donc on a $u_{n+1} = u_n + 3$.

- $u_1 = u_0 + 3 = 5 + 3 = 8$.

- $u_2 = u_1 + 3 = 8 + 3 = 11$.

- $u_3 = u_2 + 3 = 11 + 3 = 14$.

2. Expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, on a la formule du terme général :

$$u_n = u_0 + n \times r$$

Ici, $u_0 = 5$ et $r = 3$, donc l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est :

$$u_n = 5 + 3n$$

3. Calcul de $u_{10}$ et $u_{100}$.

On utilise l'expression du terme général trouvée à la question précédente :

- $u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 5 + 30 = 35$.

- $u_{100} = 5 + 3 \times 100 = 5 + 300 = 305$.

4. Calcul de la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule :

$$S = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$$

Ici, on somme les termes de $u_0$ à $u_{10}$, il y a donc $10 - 0 + 1 = 11$ termes.

Le premier terme est $u_0 = 5$ et le dernier terme est $u_{10} = 35$ (calculé précédemment).

Donc, la somme $S$ est :

$$S = 11 \times \frac{5 + 35}{2} = 11 \times \frac{40}{2} = 11 \times 20 = 220$$

Ainsi, $S = 220$.

Correction :

1. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+2u_n}$ et $u_0 = 1$.

- $u_1 = \dfrac{u_0}{1+2u_0} = \dfrac{1}{1+2 \times 1} = \dfrac{1}{3}$.

- $u_2 = \dfrac{u_1}{1+2u_1} = \dfrac{\frac{1}{3}}{1+2 \times \frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}} = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \dfrac{1}{5}$.

- $u_3 = \dfrac{u_2}{1+2u_2} = \dfrac{\frac{1}{5}}{1+2 \times \frac{1}{5}} = \dfrac{\frac{1}{5}}{1+\frac{2}{5}} = \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}} = \dfrac{1}{7}$.

2. Étude de la suite $(v_n)$.

a. Calcul de $v_0$, $v_1$ et $v_2$.

On sait que $v_n = \dfrac{1}{u_n}$. Donc :

- $v_0 = \dfrac{1}{u_0} = \dfrac{1}{1} = 1$.

- $v_1 = \dfrac{1}{u_1} = \dfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3$.

- $v_2 = \dfrac{1}{u_2} = \dfrac{1}{\frac{1}{5}} = 5$.

b. Démonstration que $(v_n)$ est arithmétique.

Pour montrer que $(v_n)$ est arithmétique, il faut vérifier que $v_{n+1} - v_n$ est constant.

On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :

$$v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}} = \dfrac{1}{\frac{u_n}{1+2u_n}} = \dfrac{1+2u_n}{u_n} = \dfrac{1}{u_n} + \dfrac{2u_n}{u_n} = \dfrac{1}{u_n} + 2 = v_n + 2$$

Donc, $v_{n+1} - v_n = 2$, qui est une constante. La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $r = 2$ et de premier terme $v_0 = 1$.

c. Expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

Puisque $(v_n)$ est arithmétique de premier terme $v_0 = 1$ et de raison $r = 2$, on a :

$$v_n = v_0 + n \times r = 1 + 2n$$

Or, $v_n = \dfrac{1}{u_n}$, donc $u_n = \dfrac{1}{v_n}$. Par conséquent :

$$u_n = \dfrac{1}{1+2n}$$

Correction :

1. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 2n - 1 $ et $u_0 = 3$.

- $u_1 = u_0 + 2 \times 0 - 1 = 3 - 1 = 2$.

- $u_2 = u_1 + 2 \times 1 - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$.

- $u_3 = u_2 + 2 \times 2 - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$.

2. Étude de la suite $(v_n)$.

a. Calcul de $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

On sait que $v_n = u_n - n^2$. Donc :

- $v_0 = u_0 - 0^2 = 3 - 0 = 3$.

- $v_1 = u_1 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

- $v_2 = u_2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.

- $v_3 = u_3 - 3^2 = 6 - 9 = -3$.

b. Démonstration que $(v_n)_{n \in\mathbb{N}}$ est arithmétique.

Pour montrer que $(v_n)$ est arithmétique, il faut vérifier que $v_{n+1} - v_n$ est constant.

On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :

$$v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1)^2 = (u_n + 2n - 1) - (n^2 + 2n + 1) = u_n + 2n - 1 - n^2 - 2n - 1 = (u_n - n^2) - 2 = v_n - 2$$

Donc, $v_{n+1} - v_n = -2$, qui est une constante. La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $r = -2$ et de premier terme $v_0 = 3$.

c. Expression de $v_n$ en fonction de $n$.

Puisque $(v_n)$ est arithmétique de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $r = -2$, on a :

$$v_n = v_0 + n \times r = 3 - 2n$$

d. Déduction de $u_n$ en fonction de $n$.

On sait que $v_n = u_n - n^2$, donc $u_n = v_n + n^2$. Par conséquent :

$$u_n = (3 - 2n) + n^2 = n^2 - 2n + 3$$

Correction :

Soit $u_0$ le premier terme et $r$ la raison de la suite arithmétique $(u_n)$. On sait que la raison est négative, donc $r < 0$.

Les deux premiers termes sont $u_0$ et $u_1$. On a $u_1 = u_0 + r$.

On nous donne deux informations :

1. La somme des deux premiers termes vaut $\dfrac{5}{6}$: $u_0 + u_1 = \dfrac{5}{6}$

2. Le produit des deux premiers termes vaut $\dfrac{1}{16}$: $u_0 \times u_1 = \dfrac{1}{16}$

On a un système de deux équations à deux inconnues ($u_0$ et $u_1$) :

$$\begin{cases} u_0 + u_1 = \dfrac{5}{6} \\ u_0 \times u_1 = \dfrac{1}{16} \end{cases}$$

De la première équation, on peut exprimer $u_1$ en fonction de $u_0$: $u_1 = \dfrac{5}{6} - u_0$.

On substitue cette expression dans la deuxième équation : $u_0 \times (\dfrac{5}{6} - u_0) = \dfrac{1}{16}$.

On développe et on obtient une équation du second degré en $u_0$ :

$\dfrac{5}{6}u_0 - u_0^2 = \dfrac{1}{16} \Leftrightarrow u_0^2 - \dfrac{5}{6}u_0 + \dfrac{1}{16} = 0$

Pour simplifier les coefficients, on peut multiplier toute l'équation par $48$ (PPCM de $6$ et $16$) :

$48u_0^2 - 48 \times \dfrac{5}{6}u_0 + 48 \times \dfrac{1}{16} = 0 \Leftrightarrow 48u_0^2 - 40u_0 + 3 = 0$

On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \times 48 \times 3 = 1600 - 576 = 1024 = 32^2 > 0$.

Il y a donc deux solutions pour $u_0$ :

$$u_{0}^{(1)} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{40 + 32}{2 \times 48} = \dfrac{72}{96} = \dfrac{3}{4}$$

$$u_{0}^{(2)} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{40 - 32}{2 \times 48} = \dfrac{8}{96} = \dfrac{1}{12}$$

Cas 1 : $u_0 = \dfrac{3}{4}$. Alors $u_1 = \dfrac{5}{6} - u_0 = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{1}{12}$.

La raison est $r = u_1 - u_0 = \dfrac{1}{12} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{8}{12} = -\dfrac{2}{3}$.

Dans ce cas, $u_n = u_0 + nr = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}n$. La raison est négative, donc cette solution convient.

Cas 2 : $u_0 = \dfrac{1}{12}$. Alors $u_1 = \dfrac{5}{6} - u_0 = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$.

La raison est $r = u_1 - u_0 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.

Dans ce cas, la raison est positive, ce qui contredit l'énoncé (raison négative). On rejette cette solution.

Conclusion : La seule solution possible est $u_0 = \dfrac{3}{4}$ et $r = -\dfrac{2}{3}$.

L'expression de $u_n$ en fonction de $n$ est :

$$u_n = u_0 + nr = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}n$$

Correction :

1. Expression de $u_0$ et $u_2$ en fonction de $u_1$ et $r$.

Dans une suite arithmétique de raison $r$, on a :

$$u_1 = u_0 + r \Leftrightarrow u_0 = u_1 - r$$

$$u_2 = u_1 + r$$

Donc, $u_0 = u_1 - r$ et $u_2 = u_1 + r$.

2. Démonstration du système d'équations.

On sait que la somme des trois premiers termes vaut $81$ : $u_0 + u_1 + u_2 = 81$.

En remplaçant $u_0$ et $u_2$ par leurs expressions en fonction de $u_1$ et $r$, on obtient :

$(u_1 - r) + u_1 + (u_1 + r) = 81 \Leftrightarrow 3u_1 = 81$.

On sait que le produit des trois premiers termes vaut $18360$ : $u_0 \times u_1 \times u_2 = 18360$.

En remplaçant $u_0$ et $u_2$ par leurs expressions en fonction de $u_1$ et $r$, on obtient :

$(u_1 - r) \times u_1 \times (u_1 + r) = 18360 \Leftrightarrow u_1 \times (u_1 - r)(u_1 + r) = 18360 \Leftrightarrow u_1 \times (u_1^2 - r^2) = 18360 \Leftrightarrow u_1^3 - r^2u_1 = 18360$.

On a bien démontré le système :

$$\begin{cases} 3u_1 & = 81\\ u_1^3 - r^2u_1 &= 18360 \end{cases}$$

3. Valeurs de $u_1$ et $r$.

De la première équation, $3u_1 = 81$, on déduit $u_1 = \dfrac{81}{3} = 27$.

On substitue $u_1 = 27$ dans la deuxième équation : $27^3 - r^2 \times 27 = 18360$.

$27^3 = 19683$. Donc, $19683 - 27r^2 = 18360 \Leftrightarrow 27r^2 = 19683 - 18360 = 1323$.

$r^2 = \dfrac{1323}{27} = 49$. Donc $r = \sqrt{49} = 7$ ou $r = -\sqrt{49} = -7$.

Comme la raison est négative, on a $r = -7$.

Donc, $u_1 = 27$ et $r = -7$.

4. Calcul de $u_{40}$.

On a $u_1 = 27$ et $r = -7$. On cherche $u_{40}$. On utilise la formule : $u_n = u_p + (n-p)r$. Ici avec $p=1$ et $n=40$ :

$$u_{40} = u_1 + (40-1)r = 27 + 39 \times (-7) = 27 - 273 = -246$$

Donc, $u_{40} = -246$.

Correction :

Soient $u_0$ le premier terme et $r$ la raison de la suite arithmétique $(u_n)$.

On sait que $u_4 = 1$. On exprime $u_4$ en fonction de $u_0$ et $r$ : $u_4 = u_0 + 4r = 1$.

On a aussi l'équation $\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$. On met au même dénominateur :

$\dfrac{u_3 + u_1}{u_1u_2u_3} = 2 \Leftrightarrow u_3 + u_1 = 2u_1u_2u_3$.

On exprime $u_1$, $u_2$ et $u_3$ en fonction de $u_0$ et $r$ :

- $u_1 = u_0 + r$

- $u_2 = u_0 + 2r$

- $u_3 = u_0 + 3r$

L'équation $u_3 + u_1 = 2u_1u_2u_3$ devient :

$(u_0 + 3r) + (u_0 + r) = 2(u_0 + r)(u_0 + 2r)(u_0 + 3r)$.

$2u_0 + 4r = 2(u_0 + r)(u_0 + 2r)(u_0 + 3r) \Leftrightarrow u_0 + 2r = (u_0 + r)(u_0 + 2r)(u_0 + 3r)$.

On sait aussi que $u_0 + 4r = 1 \Leftrightarrow u_0 = 1 - 4r$. On substitue $u_0 = 1 - 4r$ dans l'équation précédente :

$(1 - 4r) + 2r = ((1 - 4r) + r)((1 - 4r) + 2r)((1 - 4r) + 3r)$.

$1 - 2r = (1 - 3r)(1 - 2r)(1 - r)$.

Si $1 - 2r = 0$, alors $r = \dfrac{1}{2}$. Dans ce cas, $u_0 = 1 - 4r = 1 - 4 \times \dfrac{1}{2} = 1 - 2 = -1$.

Vérifions si $r = \dfrac{1}{2}$ est solution. Si $1 - 2r \neq 0$, on peut diviser par $1 - 2r$ :

$1 = (1 - 3r)(1 - r) \Leftrightarrow 1 = 1 - r - 3r + 3r^2 \Leftrightarrow 3r^2 - 4r = 0 \Leftrightarrow r(3r - 4) = 0$.

Donc $r = 0$ ou $3r - 4 = 0 \Leftrightarrow r = \dfrac{4}{3}$.

Cas 1 : $r = \dfrac{1}{2}$. Alors $u_0 = -1$. Vérification de $u_4 = 1$: $u_4 = u_0 + 4r = -1 + 4 \times \dfrac{1}{2} = -1 + 2 = 1$. OK.

Vérification de $\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$.

- $u_1 = u_0 + r = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}$

- $u_2 = u_0 + 2r = -1 + 2 \times \dfrac{1}{2} = 0$

Si $u_2 = 0$, alors $\dfrac{1}{u_1u_2}$ et $\dfrac{1}{u_2u_3}$ ne sont pas définis. Donc $r = \dfrac{1}{2}$ n'est pas solution.

Cas 2 : $r = 0$. Alors $u_0 = 1 - 4r = 1 - 4 \times 0 = 1$. Dans ce cas, $u_n = 1$ pour tout $n$.

$\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = \dfrac{1}{1 \times 1} + \dfrac{1}{1 \times 1} = 1 + 1 = 2$. OK.

Donc $r = 0$ et $u_0 = 1$ est solution.

Cas 3 : $r = \dfrac{4}{3}$. Alors $u_0 = 1 - 4r = 1 - 4 \times \dfrac{4}{3} = 1 - \dfrac{16}{3} = -\dfrac{13}{3}$.

Vérification de $u_4 = 1$: $u_4 = u_0 + 4r = -\dfrac{13}{3} + 4 \times \dfrac{4}{3} = -\dfrac{13}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$. OK.

Vérification de $\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = 2$.

- $u_1 = u_0 + r = -\dfrac{13}{3} + \dfrac{4}{3} = -\dfrac{9}{3} = -3$

- $u_2 = u_0 + 2r = -\dfrac{13}{3} + 2 \times \dfrac{4}{3} = -\dfrac{13}{3} + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{5}{3}$

- $u_3 = u_0 + 3r = -\dfrac{13}{3} + 3 \times \dfrac{4}{3} = -\dfrac{13}{3} + \dfrac{12}{3} = -\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{u_1u_2} + \dfrac{1}{u_2u_3} = \dfrac{1}{(-3) \times (-\dfrac{5}{3})} + \dfrac{1}{(-\dfrac{5}{3}) \times (-\dfrac{1}{3})} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{9}{5} = \dfrac{10}{5} = 2$. OK.

On a deux solutions possibles :

Solution 1 : $u_0 = 1$ et $r = 0$.

Solution 2 : $u_0 = -\dfrac{13}{3}$ et $r = \dfrac{4}{3}$.

Correction :

Les entiers naturels impairs forment une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 1$ et de raison $r = 2$. Les $n$ premiers entiers naturels impairs sont : $1, 3, 5, \dots, u_n$.

Le $n$-ième terme de cette suite est $u_n = u_1 + (n-1)r = 1 + (n-1) \times 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.

On veut calculer la somme des $n$ premiers entiers naturels impairs : $S_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$.

C'est la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique. On utilise la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique :

$$S_n = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$$

Ici, le nombre de termes est $n$, le premier terme est $1$ et le dernier terme est $2n - 1$. Donc :

$$S_n = n \times \frac{1 + (2n - 1)}{2} = n \times \frac{2n}{2} = n \times n = n^2$$

La somme des $n$ premiers entiers naturels impairs est $n^2$, qui est bien un carré parfait.

Exemples :

- Pour $n = 1$, la somme est $1 = 1^2$.

- Pour $n = 2$, la somme est $1 + 3 = 4 = 2^2$.

- Pour $n = 3$, la somme est $1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$.

- Pour $n = 4$, la somme est $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$.

Correction :

1. Nombre de poignées de mains avec $25$ personnes.

Chaque personne serre la main à toutes les autres personnes. Si on compte que chaque personne serre la main à $24$ autres personnes, on pourrait penser qu'il y a $25 \times 24$ poignées de mains. Mais dans ce cas, on compte chaque poignée de main deux fois (une fois pour chaque personne impliquée dans la poignée de main).

Donc, le nombre de poignées de mains est $\dfrac{25 \times 24}{2} = 25 \times 12 = 300$.

On peut aussi raisonner avec les suites arithmétiques.

La première personne serre la main à $24$ autres personnes.

La deuxième personne serre la main à $23$ autres personnes (car on a déjà compté la poignée de main avec la première personne).

La troisième personne serre la main à $22$ autres personnes, et ainsi de suite.

La dernière personne ne serre plus la main à personne (car elle a déjà serré la main à tout le monde).

Le nombre total de poignées de mains est la somme : $24 + 23 + 22 + \dots + 1 + 0$.

C'est la somme des $24$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 24$, de raison $r = -1$ et allant jusqu'à $u_{24} = 1$ (en réalité on va jusqu'à $u_{25} = 0$ si on inclut le zéro).

On utilise la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique :

$$S_{24} = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2} = 24 \times \frac{24 + 1}{2} = 24 \times \frac{25}{2} $$

$$= 12 \times 25 = 300$$

Il y a eu 300 poignées de mains échangées.

2. Nombre de personnes avec $496$ poignées de mains.

Soit $n$ le nombre de personnes présentes. Le nombre de poignées de mains échangées est $\dfrac{n(n-1)}{2}$. On sait que ce nombre est égal à $496$.

$\dfrac{n(n-1)}{2} = 496 \Leftrightarrow n(n-1) = 2 \times 496 = 992 \Leftrightarrow n^2 - n - 992 = 0$.

On résout cette équation du second degré en $n$. Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-992) = 1 + 3968 = 3969 = 63^2$.

Solutions :

$$n_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 + 63}{2} = \dfrac{64}{2} = 32$$

$$n_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 - 63}{2} = \dfrac{-62}{2} = -31$$

Le nombre de personnes doit être positif, donc on retient $n = 32$. Il y avait 32 personnes présentes à cette réunion.

Vérification : Pour $n = 32$, le nombre de poignées de mains est $\dfrac{32 \times (32 - 1)}{2} = \dfrac{32 \times 31}{2} = 16 \times 31 = 496$. OK.

Correction :

1. Calcul de $u_{20}$.

On utilise la formule du terme général $u_n = u_1 + (n-1)r$ avec $u_1 = 7$ et $r = -2$.

$$u_{20} = u_1 + (20-1)r = 7 + 19 \times (-2) = 7 - 38 = -31$$

Donc, $u_{20} = -31$.

2. Rang $n$ à partir duquel $u_n < 0$.

On cherche $n$ tel que $u_n < 0$.

$u_n = u_1 + (n-1)r = 7 + (n-1)(-2) = 7 - 2n + 2 = 9 - 2n$.

On veut $u_n < 0 \Leftrightarrow 9 - 2n < 0 \Leftrightarrow 9 < 2n \Leftrightarrow n > \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow n > 4.5$.

Comme $n$ doit être un entier, le rang à partir duquel tous les termes sont négatifs est $n = 5$. (On vérifie $u_5 = 9 - 2 \times 5 = -1 < 0$ et $u_4 = 9 - 2 \times 4 = 1 > 0$).

3. Calcul de la somme des termes de $u_{10}$ à $u_{30}$.

On utilise la formule de la somme des termes consécutifs : $S = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$.

Nombre de termes de $u_{10}$ à $u_{30}$ est $30 - 10 + 1 = 21$.

Premier terme : $u_{10} = 9 - 2 \times 10 = 9 - 20 = -11$.

Dernier terme : $u_{30} = 9 - 2 \times 30 = 9 - 60 = -51$.

$$S = 21 \times \frac{-11 + (-51)}{2} = 21 \times \frac{-62}{2} = 21 \times (-31) = -651$$

Donc, la somme est $S = -651$.

Correction :

1. Détermination de la raison $r$ et du premier terme $u_0$.

On sait que $u_3 = 12$ et $u_7 = 28$. Dans une suite arithmétique, $u_n = u_p + (n-p)r$.

On peut écrire $u_7 = u_3 + (7-3)r \Leftrightarrow u_7 = u_3 + 4r$.

On substitue les valeurs connues : $28 = 12 + 4r \Leftrightarrow 4r = 28 - 12 = 16 \Leftrightarrow r = \dfrac{16}{4} = 4$.

La raison est $r = 4$.

Pour trouver le premier terme $u_0$, on utilise $u_3 = u_0 + 3r$.

$12 = u_0 + 3 \times 4 \Leftrightarrow 12 = u_0 + 12 \Leftrightarrow u_0 = 12 - 12 = 0$.

Le premier terme est $u_0 = 0$ et la raison est $r = 4$.

2. Calcul de la somme des 20 premiers termes.

On veut calculer $S_{20} = u_0 + u_1 + \dots + u_{19}$. C'est la somme des 20 premiers termes à partir de $u_0$.

On utilise la formule $S_k = \frac{k \times (u_0 + u_{k-1})}{2}$ avec $k = 20$.

On a $u_0 = 0$. Il faut calculer $u_{19} = u_0 + 19r = 0 + 19 \times 4 = 76$.

$$S_{20} = \frac{20 \times (u_0 + u_{19})}{2} = \frac{20 \times (0 + 76)}{2} = \frac{20 \times 76}{2} = 10 \times 76 = 760$$

La somme des 20 premiers termes est $S_{20} = 760$.