Exercices : Sommes de Suites Arithmétiques et Géométriques

Entraînez-vous sur les sommes de suites arithmétiques et géométriques avec ces exercices de niveau Première Spécialité Maths.

Sommes de Suites Arithmétiques et Géométriques

Exercices sur le calcul de sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques en utilisant la notation sigma.

Revoyons ensemble les points essentiels sur les sommes de suites avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !

1. Somme des termes d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. La somme des $n+1$ premiers termes, notée $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$, est donnée par la formule :

$$S_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2} = \dfrac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}$$

On peut aussi l'écrire en fonction de $u_0$ et $r$ en utilisant $u_n = u_0 + nr$ :

$$S_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + (u_0 + nr)}{2} = (n+1) \times \dfrac{2u_0 + nr}{2}$$

Plus généralement, la somme des termes consécutifs de $u_p$ à $u_n$ (avec $p \leqslant n$) est :

$$\sum_{k=p}^{n} u_k = (n-p+1) \times \dfrac{u_p + u_n}{2}$$

2. Somme des termes d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$. La somme des $n+1$ premiers termes, notée $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$, est donnée par la formule (si $q \neq 1$) :

$$S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \text{premier terme} \times \dfrac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$$

Si $q = 1$, alors $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)u_0$ car tous les termes sont égaux à $u_0$.

Plus généralement, la somme des termes consécutifs de $u_p$ à $u_n$ (avec $p \leqslant n$) est (si $q \neq 1$) :

$$\sum_{k=p}^{n} u_k = u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$$

C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !

Exercice 1

Une entreprise décide de verser des primes à ses employés chaque année. La première année, en 2024, chaque employé reçoit une prime de 500€. L'entreprise décide d'augmenter cette prime de 50€ chaque année.

1. Quelle sera la prime versée à chaque employé en 2030 ?

2. Calculer la somme totale des primes qu'un employé aura reçues de 2024 à 2030 inclus.

3. Exprimer la somme totale des primes reçues de 2024 à l'année $(2023+n)$ à l'aide du symbole $\Sigma$.

Exercice 2

Un capital de 10000€ est placé à intérêts composés au taux annuel de 2%.

1. Calculer la valeur du capital au bout de 5 ans.

2. Calculer les intérêts totaux perçus après 5 ans.

3. Exprimer la somme du capital après $n$ années à l'aide d'une suite et donner l'expression des intérêts totaux perçus après $n$ années en utilisant le symbole $\Sigma$.

Exercice 3

Un théâtre a une capacité de 800 places. Pour un spectacle, les prix des places sont de 50€, 40€ et 30€. On sait que :

Il y a deux fois plus de places à 40€ que de places à 50€.

Il y a 100 places de plus à 30€ que de places à 40€.

1. Déterminer le nombre de places pour chaque catégorie de prix.

2. Calculer la recette totale maximale possible pour ce spectacle.

3. Si le théâtre est rempli à 75%, et que la répartition des spectateurs par catégorie de prix est proportionnelle au nombre de places, calculer la recette effective.

4. Exprimer la recette totale maximale si l'on note $x$ le nombre de places à 50€, à l'aide d'une somme avec le symbole $\Sigma$.

Exercice 4

Une population de bactéries augmente de 10% chaque heure. Au début de l'observation, il y a 1000 bactéries.

1. Calculer le nombre de bactéries après 4 heures.

2. Calculer l'augmentation totale du nombre de bactéries pendant les 4 premières heures.

3. Exprimer le nombre total de bactéries après $n$ heures à l'aide d'une suite et l'augmentation totale après $n$ heures avec le symbole $\Sigma$.

4. Au bout de combien d'heures la population aura-t-elle au moins doublé par rapport au nombre initial ? (Utiliser une approche par essais successifs ou un algorithme simple).

Exercice 5

Un jeu consiste à lancer un dé à 6 faces. À chaque lancer, si on obtient un 6, on gagne 10€, sinon on perd 2€. On effectue 30 lancers.

1. Calculer le gain moyen par lancer.

2. Calculer le gain total moyen après 30 lancers.

3. Si on note $G_i$ le gain (ou perte) au $i$-ème lancer, exprimer le gain total après 30 lancers à l'aide du symbole $\Sigma$.

4. Supposons que sur 30 lancers, on obtienne exactement 5 fois le chiffre 6. Quel sera le gain total effectif ?

Exercice 6

Calculer les sommes suivantes en reconnaissant des suites arithmétiques ou géométriques:

1. $S_4 = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} (2k)$

2. $S_5 = \displaystyle\sum_{k=0}^{7} 5 \times 3^k$

3. $S_6 = \displaystyle\sum_{k=2}^{10} (k+1) - \displaystyle\sum_{k=2}^{10} k$

4. $S_7 = \displaystyle\sum_{k=0}^{5} (2^k + k)$

Exercice 7

Calculer les sommes suivantes :

1. $V_1 = \displaystyle\sum_{k=0}^{10} 3 \times (-1)^k$

2. $V_2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{8} \dfrac{2}{3^k}$

3. $V_3 = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a \times r^k$, où $a$ et $r$ sont des constantes ($r \neq 1$).

4. $V_4 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k+1) - 3$

Exercice 8

Calculer les sommes suivantes :

1. $W_1 = \displaystyle\sum_{k=0}^{5} (2^k - 3k + 1)$

2. $W_2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{4} \dfrac{k}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{4} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k$

3. $W_3 = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (k+2)^2 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2$

4. $W_4 = \displaystyle\sum_{k=1}^{10} (3 + 0.5k)$

Exercice 9

Calculer les sommes suivantes :

1. $X_1 = \displaystyle\sum_{i=3}^{7} (i^2 - (i-1)^2)$

2. $X_2 = \displaystyle\sum_{j=0}^{4} (-2)^{j+1}$

3. $X_3 = \displaystyle\sum_{m=1}^{20} (5m - 3) + 2$

4. $X_4 = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} (3^k + 2k - 1)$

Exercice 10

Calculer les sommes suivantes :

1. $Y_1 = \displaystyle\sum_{n=5}^{12} (n-5)$

2. $Y_2 = \displaystyle\sum_{p=2}^{6} 4^p - 4^{p-1}$

3. $Y_3 = \displaystyle\sum_{q=0}^{10} (2q - 5) + \displaystyle\sum_{q=0}^{10} 5$

4. $Y_4 = \displaystyle\sum_{r=1}^{5} (r+1)^3 - (r)^3$

Exercice 11

Calculer les sommes suivantes :

1. $Z_1 = \displaystyle\sum_{k=0}^{9} (2 + 3k)$

2. $Z_2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{6} 4 \times (0.5)^k$

3. $Z_3 = \displaystyle\sum_{k=2}^{8} (-1)^{k+1}$

4. $Z_4 = \displaystyle\sum_{k=0}^{4} (k^2 + 2k + 1)$

Exercice 12

Calculer les sommes suivantes :

1. $A_1 = \displaystyle\sum_{k=0}^{20} 5$

2. $A_2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{10} (4k-3)$

3. $A_3 = \displaystyle\sum_{k=0}^{5} 2 \times 3^k$

4. $A_4 = \displaystyle\sum_{k=2}^{7} (-1)^k \times 3$

Exercice 13

Calculer les sommes suivantes :

1. $B_1 = \displaystyle\sum_{k=1}^{15} (5k)$

2. $B_2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{6} 7 \times (2)^k$

3. $B_3 = \displaystyle\sum_{k=3}^{9} (-1)^{k+1} \times 2$

4. $B_4 = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} (k-1)^2$

Exercice 14

Calculer les sommes suivantes :

1. $C_1 = \displaystyle\sum_{k=2}^{12} (2k-4)$

2. $C_2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{4} 6 \times (1.5)^k$

3. $C_3 = \displaystyle\sum_{k=1}^{5} (-1)^{k} \times 4$

4. $C_4 = \displaystyle\sum_{k=0}^{2} (k+2)^3$

Exercice 15

Calculer les sommes suivantes :

1. $D_1 = \displaystyle\sum_{k=3}^{14} (3k+2)$

2. $D_2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{5} 8 \times (2.5)^k$

3. $D_3 = \displaystyle\sum_{k=2}^{6} (-1)^{k-1} \times 5$

4. $D_4 = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} (2k-1)^3$