Entraînez-vous sur les équations du second degré et les systèmes avec ces exercices de niveau Terminale Spécialité Maths.
Revoyons ensemble les points essentiels sur les équations du second degré et les systèmes avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !
Une équation du second degré s'écrit sous la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des coefficients réels avec $a \neq 0$.
Le discriminant, noté $\Delta$, est donné par la formule : $$\Delta = b^2 - 4ac$$
Le signe du discriminant détermine le nombre de solutions réelles de l'équation :
- Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes.
- Si $\Delta = 0$, l'équation a une unique solution réelle (solution double).
- Si $\Delta < 0$, l'équation n'a pas de solution réelle.
Lorsque le discriminant $\Delta$ est non négatif ($\Delta \ge 0$), les solutions réelles de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont données par les formules : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Dans le cas où $\Delta = 0$, on a une unique solution $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Une racine évidente est une solution simple que l'on peut trouver par inspection, souvent parmi les valeurs entières petites comme $-2, -1, 0, 1, 2$.
Si $r$ est une racine évidente de $ax^2 + bx + c = 0$, alors on peut factoriser le trinôme en utilisant $r$. On sait que $(x-r)$ est un facteur de $ax^2 + bx + c$. On peut alors écrire $ax^2 + bx + c = (x-r)(ax+k)$ et déterminer $k$ par identification ou en utilisant le fait que le produit des racines est $c/a$.
Pour une équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ ayant deux racines (distinctes ou confondues) $x_1$ et $x_2$, on a les relations suivantes entre les coefficients et les racines :
Somme des racines : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
Produit des racines : $$x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$
Inversement, si on connaît la somme $S$ et le produit $P$ de deux nombres $x$ et $y$, alors $x$ et $y$ sont les solutions de l'équation du second degré : $$X^2 - SX + P = 0$$
C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes à l'aide d'une racine évidente SANS utiliser le discriminant:
Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 2 \\ xy&= -3 \end{array} \right.$ où $x$ et $y$ sont des réels.
Soient $x$ et $y$ réels tels que $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= s \\ xy&= p \end{array} \right.$ où $s$ et $p$ sont des réels.
Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 3 \\ \displaystyle \frac 1x+\frac 1y&= \displaystyle -\frac 34 \end{array} \right.$ où $x$ et $y$ sont des réels.