Exercices : Équations du second degré

Correction :

Pour résoudre une équation du second degré de la forme $ax^2+bx+c=0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2-4ac$.

a. Équation $3x^2-4x+2=0$

Ici, $a=3$, $b=-4$, et $c=2$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 16 - 24 = -8$.

Comme $\Delta < 0$, l'équation $3x^2-4x+2=0$ n'a pas de solution réelle. Donc, $S = \emptyset$.

b. Équation $2x^2+x-10=0$

Ici, $a=2$, $b=1$, et $c=-10$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (1)^2 - 4 \times 2 \times (-10) = 1 + 80 = 81$.

Comme $\Delta > 0$, l'équation $2x^2+x-10=0$ a deux solutions réelles distinctes:

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt{81}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 - 9}{4} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{81}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 + 9}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$$

Donc, $S = \{-\dfrac{5}{2} ; 2\}$.

c. Équation $4x^2-4x=-1$

On réécrit l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ : $4x^2-4x+1=0$.

Ici, $a=4$, $b=-4$, et $c=1$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$.

Comme $\Delta = 0$, l'équation $4x^2-4x+1=0$ a une solution réelle double:

$$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \times 4} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$$

On peut aussi remarquer que $4x^2-4x+1 = (2x-1)^2 = 0$, donc $2x-1 = 0$, ce qui donne $x = \dfrac{1}{2}$.

Donc, $S = \{\dfrac{1}{2}\}$.

Correction :

a. Équation $-x^2+x+6=0$

Ici, $a=-1$, $b=1$, et $c=6$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (1)^2 - 4 \times (-1) \times 6 = 1 + 24 = 25$.

Comme $\Delta > 0$, l'équation $-x^2+x+6=0$ a deux solutions réelles distinctes:

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt{25}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-1 - 5}{-2} = \dfrac{-6}{-2} = 3$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{25}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-1 + 5}{-2} = \dfrac{4}{-2} = -2$$

Donc, $S = \{-2 ; 3\}$.

b. Équation $2x^2-5x+6=0$

Ici, $a=2$, $b=-5$, et $c=6$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 6 = 25 - 48 = -23$.

Comme $\Delta < 0$, l'équation $2x^2-5x+6=0$ n'a pas de solution réelle. Donc, $S = \emptyset$.

c. Équation $4x^2=12x-9$

On réécrit l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ : $4x^2-12x+9=0$.

Ici, $a=4$, $b=-12$, et $c=9$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0$.

Comme $\Delta = 0$, l'équation $4x^2-12x+9=0$ a une solution réelle double:

$$x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{2 \times 4} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$$

On peut aussi remarquer que $4x^2-12x+9 = (2x-3)^2 = 0$, donc $2x-3 = 0$, ce qui donne $x = \dfrac{3}{2}$.

Donc, $S = \{\dfrac{3}{2}\}$.

Correction :

a. Équation $2x^2-5x-3=0$

Ici, $a=2$, $b=-5$, et $c=-3$. Calculons le discriminant:

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49$.

Comme $\Delta > 0$, l'équation $2x^2-5x-3=0$ a deux solutions réelles distinctes:

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{5 - 7}{4} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{5 + 7}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$$

Donc, $S = \{-\dfrac{1}{2} ; 3\}$.

b. Équation $2x^2-5x=0$

On peut factoriser par $x$ : $x(2x-5)=0$.

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. Donc:

$x=0$ ou $2x-5=0$.

Si $2x-5=0$, alors $2x=5$, donc $x = \dfrac{5}{2}$.

Donc, $S = \{0 ; \dfrac{5}{2}\}$.

Remarque : On aurait pu utiliser le discriminant avec $a=2$, $b=-5$, et $c=0$. $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 0 = 25 > 0$. On retrouve les mêmes solutions.

c. Équation $2x^2-5=0$

On isole $x^2$ : $2x^2 = 5$, donc $x^2 = \dfrac{5}{2}$.

Un nombre au carré est égal à $\dfrac{5}{2}$ si et seulement si ce nombre est $\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ ou $-\sqrt{\dfrac{5}{2}}$.

Donc, $S = \{-\sqrt{\dfrac{5}{2}} ; \sqrt{\dfrac{5}{2}}\}$, ou encore $S = \{-\dfrac{\sqrt{10}}{2} ; \dfrac{\sqrt{10}}{2}\}$.

Remarque : On aurait pu utiliser le discriminant avec $a=2$, $b=0$, et $c=-5$. $\Delta = (0)^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 40 > 0$. On retrouve les mêmes solutions.

Correction :

Pour factoriser un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$, on cherche ses racines en calculant le discriminant $\Delta = b^2-4ac$.

a. Polynôme $2x^2+5x-3$

On a résolu l'équation $2x^2-5x-3=0$ dans l'exercice 3a (attention aux signes, ici c'est $2x^2+5x-3$).

Calculons le discriminant de $2x^2+5x-3=0$ : $\Delta = (5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 > 0$.

Les racines sont:

$$x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{-5 - 7}{4} = \dfrac{-12}{4} = -3$$

$$x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Donc la factorisation est $a(x-x_1)(x-x_2) = 2(x - (-3))(x - \dfrac{1}{2}) = 2(x+3)(x - \dfrac{1}{2})$, ou encore $(x+3)(2x - 1)$.

On peut vérifier en développant : $(x+3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

b. Polynôme $x^2+2x+2$

Calculons le discriminant de $x^2+2x+2=0$ : $\Delta = (2)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0$.

Comme $\Delta < 0$, le polynôme $x^2+2x+2$ n'a pas de racine réelle, donc il n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$.

c. Polynôme $-4x^2+12x-9$

Calculons le discriminant de $-4x^2+12x-9=0$ : $\Delta = (12)^2 - 4 \times (-4) \times (-9) = 144 - 144 = 0$.

Comme $\Delta = 0$, il y a une racine double : $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \times (-4)} = -\dfrac{12}{-8} = \dfrac{3}{2}$.

Donc la factorisation est $a(x-x_0)^2 = -4(x - \dfrac{3}{2})^2$.

On peut aussi remarquer que $-4x^2+12x-9 = -(4x^2-12x+9) = -(2x-3)^2 = - (2x-3)^2 = - (2(x-\dfrac{3}{2}))^2 = -4(x-\dfrac{3}{2})^2$.

On peut aussi écrire $-4x^2+12x-9 = -(2x-3)^2 = (-(2x-3))(2x-3) = (3-2x)(2x-3)$.

Correction :

Pour factoriser sans utiliser le discriminant, on cherche des factorisations directes, identités remarquables, ou mise en facteur commun.

a. Polynôme $2x^2-6x$

On peut mettre $2x$ en facteur commun : $2x^2-6x = 2x(x-3)$.

Donc la factorisation est $2x(x-3)$.

b. Polynôme $4x^2-25$

On reconnaît une différence de deux carrés : $4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$. On utilise l'identité remarquable $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a=2x$ et $b=5$.

Donc $4x^2-25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x-5)(2x+5)$.

La factorisation est $(2x-5)(2x+5)$.

c. Polynôme $x^2+6x+9$

On reconnaît un carré parfait : $x^2+6x+9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2$. On utilise l'identité remarquable $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ avec $a=x$ et $b=3$.

Donc $x^2+6x+9 = (x+3)^2 = (x+3)(x+3)$.

La factorisation est $(x+3)^2$.

Correction :

1. Résolution graphique de $-x^2+x+4=0$.

Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (l'axe des x).

Sur le graphique, on observe que la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points dont les abscisses semblent être $x \approx -1,5$ et $x \approx 2,5$.

Graphiquement, les solutions sont approximativement $S \approx \{-1,5 ; 2,5\}$.

2. Résolution algébrique de $-x^2+x+4=0$.

On calcule le discriminant de l'équation $-x^2+x+4=0$. Ici $a=-1$, $b=1$, $c=4$.

$\Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 \times (-1) \times 4 = 1 + 16 = 17$.

Comme $\Delta = 17 > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{-2} = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{-2} = \dfrac{1 - \sqrt{17}}{2}$$

Donc $S = \{\dfrac{1 - \sqrt{17}}{2} ; \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}\}$.

Vérifions les valeurs approchées :

$\dfrac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx \dfrac{1 - 4,12}{2} \approx \dfrac{-3,12}{2} \approx -1,56$

$\dfrac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx \dfrac{1 + 4,12}{2} \approx \dfrac{5,12}{2} \approx 2,56$

Ces valeurs sont cohérentes avec la lecture graphique.

Correction :

Pour une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$, le signe de $a$ détermine la concavité de la parabole, $c = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine, et le discriminant $\Delta$ détermine le nombre de racines réelles (points d'intersection avec l'axe des abscisses).

Graphique 1 (le plus à gauche) :

Signe de $a$ : La parabole est tournée vers le haut, donc $a > 0$.

Signe de $c$ : L'ordonnée à l'origine est négative, donc $c < 0$.

Signe du discriminant $\Delta$ : La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, donc $\Delta > 0$.

Graphique 2 (deuxième à partir de la gauche) :

Signe de $a$ : La parabole est tournée vers le bas, donc $a < 0$.

Signe de $c$ : L'ordonnée à l'origine est positive, donc $c > 0$.

Signe du discriminant $\Delta$ : La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, donc $\Delta > 0$.

Graphique 3 (troisième à partir de la gauche) :

Signe de $a$ : La parabole est tournée vers le haut, donc $a > 0$.

Signe de $c$ : L'ordonnée à l'origine est positive, donc $c > 0$.

Signe du discriminant $\Delta$ : La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, donc $\Delta < 0$.

Graphique 4 (le plus à droite) :

Signe de $a$ : La parabole est tournée vers le haut, donc $a > 0$.

Signe de $c$ : L'ordonnée à l'origine est nulle, donc $c = 0$.

Signe du discriminant $\Delta$ : La parabole touche l'axe des abscisses en un point, donc $\Delta = 0$.

Correction :

Pour déterminer l'expression d'une fonction polynôme du second degré à partir de sa parabole, on peut utiliser différentes informations graphiques comme les racines, le sommet, ou un point supplémentaire.

Graphique de gauche (Courbe 1) :

La parabole coupe l'axe des abscisses en $x=-2$ et $x=1$. Ce sont les racines du polynôme. Donc on peut écrire $f(x) = a(x - (-2))(x - 1) = a(x+2)(x-1)$.

La parabole passe par le point $(0 ; -1)$. On utilise ce point pour déterminer $a$.

$f(0) = a(0+2)(0-1) = -2a$. Or avec vos valeurs $f(0) = -1$. Donc $-2a = -1$, ce qui donne $a = \dfrac{1}{2}$.

Donc $f(x) = \dfrac{1}{2}(x+2)(x-1) = \dfrac{1}{2}(x^2 - x + 2x - 2) = \dfrac{1}{2}(x^2 + x - 2) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1$.

Vérification : Les racines de $\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1=0$ sont bien $x=-2$ et $x=1$. L'ordonnée à l'origine est $f(0) = -1$. La parabole est tournée vers le haut ($a=\dfrac{1}{2}>0$), ce qui correspond au graphique.

Donc pour la courbe 1, $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 1$.

Graphique de droite (Courbe 2) :

La parabole a pour sommet $S(-1 ; -1)$. L'abscisse du sommet est $\alpha = -1$ et l'ordonnée du sommet est $\beta = -1$. On peut utiliser la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta = a(x - (-1))^2 + (-1) = a(x + 1)^2 - 1$.

La parabole passe par le point $(0 ; -1.2)$. On utilise ce point pour déterminer $a$.

$f(0) = a(0 + 1)^2 - 1 = a(1)^2 - 1 = a - 1$. Or avec vos valeurs $f(0) = -1.2$. Donc $a - 1 = -1.2$, ce qui donne $a = -0.2 = -\dfrac{1}{5}$.

Donc $f(x) = -\dfrac{1}{5}(x + 1)^2 - 1 = -\dfrac{1}{5}(x^2 + 2x + 1) - 1 = -\dfrac{1}{5}x^2 - \dfrac{2}{5}x - \dfrac{1}{5} - 1 = -\dfrac{1}{5}x^2 - \dfrac{2}{5}x - \dfrac{6}{5}$.

Vérification : Le sommet de $y = -\dfrac{1}{5}x^2 - \dfrac{2}{5}x - \dfrac{6}{5}$ a pour abscisse $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-\frac{2}{5}}{2 \times -\frac{1}{5}} = -\dfrac{-\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}} = -1$ et pour ordonnée $f(-1) = -\dfrac{1}{5}(-1)^2 - \dfrac{2}{5} \times (-1) - \dfrac{6}{5} = -\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{6}{5} = \dfrac{-1 + 2 - 6}{5} = \dfrac{-5}{5} = -1$. Le sommet est bien $S(-1 ; -1)$. L'ordonnée à l'origine est $f(0) = -\dfrac{6}{5} = -1.2$. La parabole est tournée vers le bas ($a=-\dfrac{1}{5}<0$), ce qui correspond au graphique.

Donc pour la courbe 2, $f(x) = -\dfrac{1}{5}x^2 - \dfrac{2}{5}x - \dfrac{6}{5}$.

Correction :

1. Déterminer une expression de $f(x)$.

La trajectoire est une parabole, donc $f(x)$ est un polynôme du second degré de la forme $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ où $S(\alpha ; \beta)$ est le sommet de la parabole.

On sait que le sommet a pour abscisse $35$, donc $\alpha = 35$. L'ordonnée du sommet $\beta$ est la hauteur maximale, que l'on cherche à déterminer à la question 2.

Donc $f(x) = a(x-35)^2 + \beta$.

On sait que le javelot est lancé à une hauteur de $2$ m, donc $f(0) = 2$.

$f(0) = a(0-35)^2 + \beta = a(-35)^2 + \beta = 1225a + \beta = 2$.

On sait que le javelot touche le sol $75$ m plus loin, donc $f(75) = 0$.

$f(75) = a(75-35)^2 + \beta = a(40)^2 + \beta = 1600a + \beta = 0$.

On a un système de deux équations à deux inconnues $a$ et $\beta$ :

$$\begin{cases} 1225a + \beta = 2 \\ 1600a + \beta = 0 \end{cases}$$

On soustrait la première équation à la deuxième : $(1600a + \beta) - (1225a + \beta) = 0 - 2$, ce qui donne $375a = -2$, donc $a = -\dfrac{2}{375}$.

On remplace $a$ dans la deuxième équation : $1600 \times (-\dfrac{2}{375}) + \beta = 0$, donc $\beta = 1600 \times \dfrac{2}{375} = \dfrac{3200}{375} = \dfrac{128}{15}$.

Donc $f(x) = -\dfrac{2}{375}(x-35)^2 + \dfrac{128}{15}$.

2. Déterminer la hauteur maximale atteinte par le javelot.

La hauteur maximale est l'ordonnée du sommet, qui est $\beta = \dfrac{128}{15}$.

$\dfrac{128}{15} \approx 8,53$ m.

Donc la hauteur maximale atteinte par le javelot est $\dfrac{128}{15}$ m, soit environ $8,53$ mètres.

Correction :

1. P admet pour racine les nombres $-1$ et $3$.

Si $P$ admet $-1$ et $3$ comme racines, alors $P(x)$ peut s'écrire sous la forme factorisée $P(x) = a(x - (-1))(x - 3) = a(x+1)(x-3)$, où $a$ est un réel non nul. Il y a une infinité de polynômes qui vérifient cette condition. On peut choisir par exemple $a=1$.

Alors $P(x) = (x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$.

Réponse possible : $P(x) = x^2 - 2x - 3$.

2. P admet pour racine les nombres $0$ et $-3$ et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.

Si $P$ admet $0$ et $-3$ comme racines, alors $P(x) = a(x - 0)(x - (-3)) = ax(x+3)$, où $a$ est un réel non nul.

Pour que $P$ admette un maximum sur $\mathbb{R}$, il faut que la parabole soit tournée vers le bas, donc $a < 0$. On peut choisir par exemple $a=-1$.

Alors $P(x) = -1x(x+3) = -x(x+3) = -(x^2 + 3x) = -x^2 - 3x$.

Réponse possible : $P(x) = -x^2 - 3x$.

3. P admet une racine double égale à $2$ et admet un minimum sur $\mathbb{R}$.

Si $P$ admet une racine double égale à $2$, alors $P(x) = a(x - 2)^2$, où $a$ est un réel non nul.

Pour que $P$ admette un minimum sur $\mathbb{R}$, il faut que la parabole soit tournée vers le haut, donc $a > 0$. On peut choisir par exemple $a=1$.

Alors $P(x) = 1(x - 2)^2 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$.

Réponse possible : $P(x) = x^2 - 4x + 4$.

4. P n'admet aucune racine et admet un maximum sur $\mathbb{R}$.

Pour que $P$ n'admette aucune racine réelle, il faut que le discriminant $\Delta < 0$. Pour que $P$ admette un maximum sur $\mathbb{R}$, il faut que la parabole soit tournée vers le bas, donc $a < 0$.

On peut choisir par exemple $a = -1$. Pour que $\Delta < 0$, on peut prendre $b=0$ et $c=-1$. Alors $P(x) = -x^2 - 1$.

Dans ce cas, $\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \times (-1) \times (-1) = -4 < 0$, donc $P$ n'a pas de racine réelle. Et $a = -1 < 0$, donc $P$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$.

Réponse possible : $P(x) = -x^2 - 1$.

5. P admet un maximum en $3$ qui vaut $4$.

Si $P$ admet un maximum en $3$ qui vaut $4$, alors le sommet de la parabole est $S(3 ; 4)$. On peut utiliser la forme canonique $P(x) = a(x - 3)^2 + 4$.

Pour que ce soit un maximum, il faut que la parabole soit tournée vers le bas, donc $a < 0$. On peut choisir par exemple $a = -1$.

Alors $P(x) = -1(x - 3)^2 + 4 = -(x - 3)^2 + 4 = -(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 9 + 4 = -x^2 + 6x - 5$.

Réponse possible : $P(x) = -x^2 + 6x - 5$.

Correction :

a. Équation $-\dfrac 12 x^2+\dfrac 32x-\dfrac{9}{8}=0$

Pour simplifier les calculs, on peut multiplier l'équation par $-8$ (le PPCM des dénominateurs et en changeant les signes pour avoir $a>0$) : $(-8) \times (-\dfrac 12 x^2+\dfrac 32x-\dfrac{9}{8}) = (-8) \times 0$, ce qui donne $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

On reconnaît $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 = 0$, donc $2x-3 = 0$, ce qui donne $x = \dfrac{3}{2}$.

Ou bien, on calcule le discriminant de $4x^2 - 12x + 9 = 0$. $\Delta = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0$. Racine double $x_0 = -\dfrac{-12}{2 \times 4} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.

Donc $S = \{\dfrac{3}{2}\}$.

b. Équation $-\dfrac 1{10}x^2+\dfrac 15=-\dfrac 1{10}x$

On réécrit l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ : $-\dfrac 1{10}x^2 + \dfrac 1{10}x + \dfrac 15 = 0$.

On multiplie par $10$ pour supprimer les fractions : $-x^2 + x + 2 = 0$, ou encore $x^2 - x - 2 = 0$ (en multipliant par $-1$).

Calculons le discriminant de $x^2 - x - 2 = 0$. $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 > 0$.

Les solutions sont :

$$x_1 = \dfrac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{1 - 3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = \dfrac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$$

Donc $S = \{-1 ; 2\}$.

c. Équation $1,3x^2+0,2x+2,6=0$

On peut multiplier par $10$ pour supprimer les décimales : $13x^2 + 2x + 26 = 0$.

Calculons le discriminant de $13x^2 + 2x + 26 = 0$. $\Delta = (2)^2 - 4 \times 13 \times 26 = 4 - 1352 = -1348 < 0$.

Comme $\Delta < 0$, l'équation $1,3x^2+0,2x+2,6=0$ n'a pas de solution réelle. Donc $S = \emptyset$.

d. Équation $2x^2-3x=0$

On factorise par $x$ : $x(2x-3) = 0$. Donc $x=0$ ou $2x-3=0$. Si $2x-3=0$, alors $x = \dfrac{3}{2}$.

Donc $S = \{0 ; \dfrac{3}{2}\}$.

Correction :

1. Résolution graphique de $x^2+2x-1=x+2$.

Graphiquement, résoudre $x^2+2x-1=x+2$ revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la parabole $y = x^2+2x-1$ et de la droite $y = x+2$.

Sur le graphique, on observe que la parabole et la droite se coupent en deux points dont les abscisses semblent être $x \approx -2,3$ et $x \approx 1,3$.

Graphiquement, les solutions sont approximativement $S \approx \{-2,3 ; 1,3\}$.

2. Résolution algébrique de $x^2+2x-1= x+2$.

On réécrit l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ : $x^2+2x-1 = x+2$, donc $x^2+2x-1 - x - 2 = 0$, ce qui donne $x^2 + x - 3 = 0$.

Calculons le discriminant de $x^2 + x - 3 = 0$. $\Delta = (1)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 1 + 12 = 13 > 0$.

Les solutions sont :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2 \times 1} = \dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2}$$

$$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2 \times 1} = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$

Donc $S = \{\dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} ; \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2}\}$.

Vérifions les valeurs approchées :

$\dfrac{-1 - \sqrt{13}}{2} \approx \dfrac{-1 - 3,61}{2} \approx \dfrac{-4,61}{2} \approx -2,305$

$\dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} \approx \dfrac{-1 + 3,61}{2} \approx \dfrac{2,61}{2} \approx 1,305$

Les valeurs graphiques sont des approximations, mais la méthode algébrique donne les valeurs exactes.

Correction :

a. Équation $2x^2 - 6 = 0$

On isole $x^2$ : $2x^2 = 6$, donc $x^2 = \dfrac{6}{2} = 3$.

Un nombre au carré est égal à $3$ si et seulement si ce nombre est $\sqrt{3}$ ou $-\sqrt{3}$.

Donc $S = \{-\sqrt{3} ; \sqrt{3}\}$.

b. Équation $4x^2 - 6x = 0$

On factorise par $2x$ : $2x(2x - 3) = 0$.

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. Donc $2x=0$ ou $2x-3=0$.

$2x=0$ donne $x=0$. $2x-3=0$ donne $2x=3$, donc $x = \dfrac{3}{2}$.

Donc $S = \{0 ; \dfrac{3}{2}\}$.

c. Équation $x^2 + 2 = 0$

On isole $x^2$ : $x^2 = -2$.

Un carré est toujours positif ou nul, donc un carré ne peut pas être égal à $-2$. Il n'y a pas de solution réelle.

Donc $S = \emptyset$.

d. Équation $(2x - 1)^2= 25$

On utilise la propriété : $A^2 = B^2$ équivaut à $A = B$ ou $A = -B$. Ici $A = 2x-1$ et $B = 5$.

Donc $(2x - 1)^2= 25$ équivaut à $2x - 1 = 5$ ou $2x - 1 = -5$.

Si $2x - 1 = 5$, alors $2x = 6$, donc $x = 3$.

Si $2x - 1 = -5$, alors $2x = -4$, donc $x = -2$.

Donc $S = \{-2 ; 3\}$.

Autre méthode : On peut développer $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 = 25$, donc $4x^2 - 4x + 1 - 25 = 0$, ce qui donne $4x^2 - 4x - 24 = 0$. On peut diviser par $4$ : $x^2 - x - 6 = 0$. Calcul du discriminant $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$. Solutions $x_{1,2} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \times 1} = \dfrac{1 \pm 5}{2}$. $x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3$. On retrouve bien $S = \{-2 ; 3\}$. Mais l'énoncé demandait de résoudre sans discriminant.