Exercices : Polynôme du second degré

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons vérifier si elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, et si oui, identifier les coefficients $a$, $b$, et $c$.

1. Cas a. $f(x) = -2x^2 + 5$

Cette fonction est bien un polynôme du second degré car elle est de la forme $ax^2 + bx + c$. Ici, on a :

- $a = -2$

- $b = 0$ (car il n'y a pas de terme en $x$)

- $c = 5$

2. Cas b. $f(x) = (1-2x)^2$

Il faut développer cette expression pour voir si c'est un polynôme du second degré :

$$f(x) = (1-2x)^2 = 1^2 - 2 \times 1 \times (2x) + (2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 = 4x^2 - 4x + 1$$

C'est bien un polynôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$. Les coefficients sont :

- $a = 4$

- $b = -4$

- $c = 1$

3. Cas c. $f(x) = \dfrac{x^2+6x-1}{3}$

On peut réécrire cette fonction comme :

$$f(x) = \dfrac{1}{3}(x^2+6x-1) = \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{6}{3}x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}x^2 + 2x - \dfrac{1}{3}$$

C'est un polynôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$. Les coefficients sont :

- $a = \dfrac{1}{3}$

- $b = 2$

- $c = -\dfrac{1}{3}$

4. Cas d. $f(x) = (3x-2)^2 - 9x^2$

Développons et simplifions l'expression :

$$f(x) = (3x-2)^2 - 9x^2 = (9x^2 - 12x + 4) - 9x^2 = 9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 = -12x + 4$$

Ici, le terme en $x^2$ s'annule. La fonction est de la forme $bx + c$, c'est un polynôme du premier degré (fonction affine), et non un polynôme du second degré (car le coefficient de $x^2$ est 0).

Donc, ce n'est pas un polynôme du second degré.

Correction :

Pour cet exercice, nous allons utiliser la forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ car le sommet de la parabole est facilement identifiable sur le graphique.

1. Cas a. Parabole de gauche (canonique2.png)

Le sommet de cette parabole semble être au point $S(1 ; 4)$. Donc, $\alpha = 1$ et $\beta = 4$. La forme canonique est donc pour l'instant :

$$f(x) = a(x-1)^2 + 4$$

Il faut maintenant déterminer le coefficient $a$. On observe que la parabole est tournée vers le haut, donc $a > 0$. Prenons un autre point facile à lire sur le graphique, par exemple le point de coordonnées $(0 ; 6)$ qui semble être sur la parabole. Ce point doit vérifier l'équation de la fonction :

$$f(0) = 6$$

Substituons $x = 0$ dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(0) = a(0-1)^2 + 4 = a(-1)^2 + 4 = a + 4$$

On doit donc avoir $a + 4 = 6$, ce qui donne $a = 6 - 4 = 2$. Ainsi, l'expression de la fonction est :

$$f(x) = 2(x-1)^2 + 4$$

On peut aussi développer pour obtenir la forme développée :

$$f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 4 = 2x^2 - 4x + 2 + 4 = 2x^2 - 4x + 6$$

2. Cas b. Parabole de droite (canonique.png)

Le sommet de cette parabole semble être au point $S(-2 ; 1)$. Donc, $\alpha = -2$ et $\beta = 1$. La forme canonique est donc pour l'instant :

$$f(x) = a(x-(-2))^2 + 1 = a(x+2)^2 + 1$$

La parabole est tournée vers le bas, donc $a < 0$. Prenons un autre point lisible, par exemple $(0 ; -1)$. Ce point doit vérifier l'équation de la fonction :

$$f(0) = -1$$

Substituons $x = 0$ dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(0) = a(0+2)^2 + 1 = a(2)^2 + 1 = 4a + 1$$

On doit donc avoir $4a + 1 = -1$, ce qui donne $4a = -1 - 1 = -2$, puis $a = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$. Ainsi, l'expression de la fonction est :

$$f(x) = -\dfrac{1}{2}(x+2)^2 + 1$$

En développant, on obtient la forme développée :

$$f(x) = -\dfrac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 1 = -\dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 2 + 1 = -\dfrac{1}{2}x^2 - 2x - 1$$

Correction :

Pour associer chaque fonction à sa courbe, nous allons analyser les caractéristiques de chaque fonction (signe de $a$, sommet, etc.) et les comparer aux graphiques.

1. Fonction $f(x) = x^2 - 6x + 8$

- $a = 1 > 0$, parabole tournée vers le haut.

- $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = 3$.

- $\beta = f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Sommet $S(3 ; -1)$.

Cette fonction correspond à la courbe 4 (parabole tournée vers le haut, sommet en $x=3$ et $y=-1$).

2. Fonction $g(x) = -2x^2 + 2x + 1$

- $a = -2 < 0$, parabole tournée vers le bas.

- $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \times (-2)} = -\dfrac{2}{-4} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.

- $\beta = g(0.5) = -2(0.5)^2 + 2(0.5) + 1 = -2(0.25) + 1 + 1 = -0.5 + 2 = 1.5$. Sommet $S(0.5 ; 1.5)$.

Cette fonction correspond à la courbe 1 (parabole tournée vers le bas, sommet en $x=0.5$ et $y=1.5$).

3. Fonction $h(x) = 2x - 1$

C'est une fonction affine (polynôme de degré 1), sa représentation graphique est une droite. Elle correspond à la courbe 5 (seule droite représentée).

4. Fonction $k(x) = (x-1)^2 + 3$

- $a = 1 > 0$ (coefficient devant $(x-1)^2$ est 1), parabole tournée vers le haut.

- Forme canonique : sommet $S(1 ; 3)$.

Cette fonction correspond à la courbe 3 (parabole tournée vers le haut, sommet en $x=1$ et $y=3$).

5. Fonction $m(x) = x^2 + 4x + 4$

- $a = 1 > 0$, parabole tournée vers le haut.

- $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times 1} = -2$.

- $\beta = m(-2) = (-2)^2 + 4 \times (-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$. Sommet $S(-2 ; 0)$.

Cette fonction correspond à la courbe 2 (parabole tournée vers le haut, sommet en $x=-2$ et $y=0$).

Récapitulatif des associations :

- Courbe 1 : $g(x) = -2x^2 + 2x + 1$

- Courbe 2 : $m(x) = x^2 + 4x + 4$

- Courbe 3 : $k(x) = (x-1)^2 + 3$

- Courbe 4 : $f(x) = x^2 - 6x + 8$

- Courbe 5 : $h(x) = 2x - 1$

Correction :

Pour déterminer le tableau de variations, nous allons utiliser la forme canonique de chaque fonction, qui nous donne directement le sommet $(\alpha ; \beta)$ et le sens de variation (dépendant du signe de $a$).

1. Cas a. $f(x) = 4(x-3)^2 + 5$

La fonction est déjà sous forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $a = 4$, $\alpha = 3$, et $\beta = 5$.

- $a = 4 > 0$, donc la parabole est tournée vers le haut, et la fonction est d'abord décroissante puis croissante.

- Sommet $S(\alpha ; \beta) = S(3 ; 5)$.

Tableau de variations :

2. Cas b. $g(x) = 2 - (x+1)^2$

Réécrivons la fonction sous forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ :

$$g(x) = -(x+1)^2 + 2 = -1(x-(-1))^2 + 2$$

Ici, $a = -1$, $\alpha = -1$, et $\beta = 2$.

- $a = -1 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas, et la fonction est d'abord croissante puis décroissante.

- Sommet $S(\alpha ; \beta) = S(-1 ; 2)$.

Tableau de variations :

3. Cas c. $h(x) = 1 - 4x^2$

Réécrivons sous forme canonique :

$$h(x) = -4x^2 + 1 = -4(x-0)^2 + 1$$

Ici, $a = -4$, $\alpha = 0$, et $\beta = 1$.

- $a = -4 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas, et la fonction est d'abord croissante puis décroissante.

- Sommet $S(\alpha ; \beta) = S(0 ; 1)$.

Tableau de variations :

Correction :

Analysons le tableau de variations donné :

- La fonction est croissante puis décroissante, ce qui signifie que le coefficient $a$ du terme $x^2$ doit être négatif ($a < 0$). Cela élimine les deux premières propositions : $x \mapsto (x-3)^2+5$ et $x \mapsto (x+3)^2+5$ (pour lesquelles $a=1 > 0$).

- Le sommet de la parabole a pour abscisse $x = 3$ et pour ordonnée $y = 5$. En forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$, le sommet est $(\alpha ; \beta)$. Donc ici, on doit avoir $\alpha = 3$ et $\beta = 5$.

Regardons les fonctions restantes :

- $x \mapsto -(x-3)^2+5$. Forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $a = -1$, $\alpha = 3$, $\beta = 5$. Ceci correspond au tableau de variations ( $a < 0$ et sommet en $x = 3$, $y = 5$).

- $x \mapsto -(x-5)^2+3$. Forme canonique avec $a = -1$, $\alpha = 5$, $\beta = 3$. Le sommet est en $x = 5$, ce qui ne correspond pas au tableau de variations (sommet en $x = 3$).

Conclusion : La fonction qui correspond au tableau de variations est $f(x) = -(x-3)^2 + 5$.

Justification :

- Le coefficient de $x^2$ est négatif ($a = -1 < 0$), donc la fonction est d'abord croissante puis décroissante, ce qui correspond au tableau.

- La forme canonique est $-(x-3)^2 + 5$, donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(3 ; 5)$, ce qui correspond à l'abscisse du sommet dans le tableau de variations.

Correction :

On veut écrire la fonction $f(x) = 3x^2 + 12x + 8$ sous forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$. On a $a = 3$, $b = 12$, et $c = 8$.

1. En utilisant la formule du cours pour $\alpha$

On utilise la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ :

$$\alpha = -\dfrac{12}{2 \times 3} = -\dfrac{12}{6} = -2$$

Ensuite, on calcule $\beta = f(\alpha) = f(-2)$ :

$$\beta = f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 8 = 3(4) - 24 + 8 = 12 - 24 + 8 = -4$$

Donc, $\alpha = -2$ et $\beta = -4$. La forme canonique est :

$$f(x) = 3(x-(-2))^2 - 4 = 3(x+2)^2 - 4$$

2. En utilisant la calculatrice pour les coordonnées du sommet

Sur la calculatrice, on peut trouver le sommet de la parabole en traçant la courbe de la fonction $f(x) = 3x^2 + 12x + 8$. En utilisant la fonction "G-Solve" ou "Analyse Graphique" puis "Maximum" ou "Minimum" (ici, minimum car $a=3>0$), on trouve les coordonnées du sommet qui sont approximativement $(-2 ; -4)$.

Donc, $\alpha = -2$ et $\beta = -4$. La forme canonique est :

$$f(x) = 3(x-(-2))^2 - 4 = 3(x+2)^2 - 4$$

3. En utilisant la méthode de complétion du carré

On part de la forme développée $f(x) = 3x^2 + 12x + 8$. On factorise par $a=3$ les termes en $x^2$ et $x$ :

$$f(x) = 3\left(x^2 + \dfrac{12}{3}x\right) + 8 = 3(x^2 + 4x) + 8$$

On reconnaît le début du développement de $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. On écrit $x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$. On remplace dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(x) = 3\left((x+2)^2 - 4\right) + 8 = 3(x+2)^2 - 3 \times 4 + 8 = 3(x+2)^2 - 12 + 8 = 3(x+2)^2 - 4$$

On retrouve la forme canonique : $f(x) = 3(x+2)^2 - 4$.

Dans les trois méthodes, on obtient la même forme canonique.

Correction :

On veut écrire la fonction $f(x) = 2x^2 + 16x + 27$ sous forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$. On a $a = 2$, $b = 16$, et $c = 27$.

1. Méthode 1 : Utilisation de la formule pour $\alpha$

On calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ :

$$\alpha = -\dfrac{16}{2 \times 2} = -\dfrac{16}{4} = -4$$

Puis, on calcule $\beta = f(\alpha) = f(-4)$ :

$$\beta = f(-4) = 2(-4)^2 + 16(-4) + 27 = 2(16) - 64 + 27 = 32 - 64 + 27 = -5$$

Donc, $\alpha = -4$ et $\beta = -5$. La forme canonique est :

$$f(x) = 2(x-(-4))^2 - 5 = 2(x+4)^2 - 5$$

2. Méthode 2 : Complétion du carré

On factorise par $a=2$ les termes en $x^2$ et $x$ :

$$f(x) = 2\left(x^2 + \dfrac{16}{2}x\right) + 27 = 2(x^2 + 8x) + 27$$

On reconnaît le début du développement de $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$. On écrit $x^2 + 8x = (x+4)^2 - 16$. On remplace dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(x) = 2\left((x+4)^2 - 16\right) + 27 = 2(x+4)^2 - 2 \times 16 + 27 = 2(x+4)^2 - 32 + 27 = 2(x+4)^2 - 5$$

Les deux méthodes donnent le même résultat : la forme canonique de $f(x) = 2x^2 + 16x + 27$ est $f(x) = 2(x+4)^2 - 5$.

Correction :

Pour déterminer le tableau de variations de $f(x) = -5x^2 + 10x + 2$, nous devons d'abord trouver la forme canonique et identifier le sommet et le sens de variation.

1. Forme canonique :

Utilisons la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Ici, $a = -5$, $b = 10$, $c = 2$.

$$\alpha = -\dfrac{10}{2 \times (-5)} = -\dfrac{10}{-10} = 1$$

$$\beta = f(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 2 = -5 + 10 + 2 = 7$$

La forme canonique est donc $f(x) = -5(x-1)^2 + 7$.

2. Tableau de variations :

- Le coefficient $a = -5$ est négatif ($a < 0$), donc la parabole est tournée vers le bas. La fonction est d'abord croissante, puis décroissante.

- Le sommet est $S(\alpha ; \beta) = S(1 ; 7)$.

Tableau de variations :

Correction :

1. Déterminer la forme canonique de $f(x) = -2x^2 + 12x - 17$.

Utilisons la méthode de complétion du carré. On factorise par $a = -2$ les termes en $x^2$ et $x$ :

$$f(x) = -2\left(x^2 - \dfrac{12}{2}x\right) - 17 = -2(x^2 - 6x) - 17$$

On reconnaît le début du développement de $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$. On écrit $x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$. On remplace dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(x) = -2\left((x-3)^2 - 9\right) - 17 = -2(x-3)^2 -2 \times (-9) - 17 = -2(x-3)^2 + 18 - 17 = -2(x-3)^2 + 1$$

La forme canonique est $f(x) = -2(x-3)^2 + 1$.

2. En déduire le tableau de variations de $f$.

- Le coefficient $a = -2$ est négatif ($a < 0$), donc la parabole est tournée vers le bas. La fonction est d'abord croissante, puis décroissante.

- Le sommet est $S(\alpha ; \beta) = S(3 ; 1)$ (d'après la forme canonique $f(x) = -2(x-3)^2 + 1$).

Tableau de variations :

Correction :

Nous allons déterminer la forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ pour chaque trinôme.

1. Cas a. $f(x) = x^2 + 6x + 1$

Ici, $a = 1$. On utilise la méthode de complétion du carré :

$$f(x) = (x^2 + 6x) + 1$$

On reconnaît le début de $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Donc $x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$.

$$f(x) = (x+3)^2 - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$$

Forme canonique : $f(x) = (x+3)^2 - 8$.

2. Cas b. $f(x) = -2x^2 + 5$

Ici, $a = -2$, $b = 0$, $c = 5$. On peut directement écrire la forme canonique car il n'y a pas de terme en $x$. On factorise par $a = -2$ :

$$f(x) = -2x^2 + 5 = -2(x^2) + 5 = -2(x-0)^2 + 5$$

Forme canonique : $f(x) = -2(x-0)^2 + 5 = -2x^2 + 5$. (Elle était déjà presque sous forme canonique).

3. Cas c. $f(x) = 2x^2 + x$

Ici, $a = 2$. On factorise par $a = 2$ les termes en $x^2$ et $x$ :

$$f(x) = 2\left(x^2 + \dfrac{1}{2}x\right)$$

On reconnaît le début de $\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 = x^2 + 2 \times x \times \dfrac{1}{4} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{16}$. Donc $x^2 + \dfrac{1}{2}x = \left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{16}$.

$$f(x) = 2\left(\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{16}\right) = 2\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 - 2 \times \dfrac{1}{16} = 2\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}$$

Forme canonique : $f(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}$.

4. Cas d. $f(x) = (1-2x)^2$

On développe d'abord : $f(x) = (1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 = 4x^2 - 4x + 1$. Ici, $a = 4$. On factorise par $a = 4$ les termes en $x^2$ et $x$ :

$$f(x) = 4\left(x^2 - x\right) + 1$$

On reconnaît le début de $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 - 2 \times x \times \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 - x + \dfrac{1}{4}$. Donc $x^2 - x = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$.

$$f(x) = 4\left(\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}\right) + 1 = 4\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - 4 \times \dfrac{1}{4} + 1 = 4\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - 1 + 1 = 4\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$$

Forme canonique : $f(x) = 4\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$. On remarque que $\beta = 0$, donc le sommet de la parabole est sur l'axe des abscisses.

Correction :

Pour trouver les coordonnées du sommet de la parabole, nous allons utiliser soit la forme canonique (si elle est donnée), soit la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = $f(\alpha)$.

1. Cas a. $f(x) = -x^2 + 4x + 1$

Forme développée $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a = -1$, $b = 4$, $c = 1$.

$$\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times (-1)} = -\dfrac{4}{-2} = 2$$

$$\beta = f(\alpha) = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$$

Les coordonnées du sommet sont $(\alpha ; \beta) = (2 ; 5)$.

2. Cas b. $f(x) = 2(x+3)^2 - 7$

La fonction est donnée sous forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $a = 2$, $\alpha = -3$, $\beta = -7$ (attention, dans la formule canonique, c'est $(x-\alpha)^2$, et ici on a $(x+3)^2 = (x-(-3))^2$).

Les coordonnées du sommet sont directement lisibles : $(\alpha ; \beta) = (-3 ; -7)$.

3. Cas c. $f(x) = (1-x)(x+3)$

Il faut d'abord développer pour obtenir la forme développée :

$$f(x) = (1-x)(x+3) = 1(x+3) - x(x+3) = x + 3 - x^2 - 3x = -x^2 - 2x + 3$$

Forme développée $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a = -1$, $b = -2$, $c = 3$.

$$\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \times (-1)} = -\dfrac{-2}{-2} = -1$$

$$\beta = f(\alpha) = f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -(1) + 2 + 3 = 4$$

Les coordonnées du sommet sont $(\alpha ; \beta) = (-1 ; 4)$.

Correction :

On sait que la parabole représentant un polynôme du second degré est symétrique par rapport à son axe de symétrie, qui est la droite verticale passant par le sommet. Si deux points de la parabole ont la même ordonnée, alors l'axe de symétrie se trouve au milieu de leurs abscisses.

Ici, on a $f(2) = 3$ et $f(10) = 3$. Les points de coordonnées $(2 ; 3)$ et $(10 ; 3)$ sont sur la parabole et ont la même ordonnée 3.

L'abscisse du sommet $\alpha$ est donc la moyenne des abscisses de ces deux points :

$$\alpha = \dfrac{2 + 10}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$

Donc, l'abscisse du sommet de la parabole est $x = 6$. On n'a pas besoin de connaître l'ordonnée du sommet pour répondre à cette question.

Justification : Par symétrie de la parabole, les points ayant la même ordonnée sont symétriques par rapport à l'axe de symétrie. L'abscisse du sommet est l'abscisse de l'axe de symétrie, donc elle est au milieu des abscisses de ces deux points.