Exercices : Équations du second degré

Correction :

Soit $x$ la longueur de l'arête du cube initial en centimètres.

Le volume du cube initial est donc $V_{initial} = x^3$ cm³.

Si on augmente l'arête de 2 cm, la nouvelle arête mesure $(x+2)$ cm.

Le volume du nouveau cube est $V_{nouveau} = (x+2)^3$ cm³.

L'augmentation du volume est donnée par $V_{nouveau} - V_{initial} = 2402$ cm³.

On a donc l'équation : $(x+2)^3 - x^3 = 2402$.

Développons $(x+2)^3$ : $(x+2)^3 = x^3 + 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

L'équation devient : $(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - x^3 = 2402$.

Simplifions : $6x^2 + 12x + 8 = 2402$.

Réarrangeons pour obtenir une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ :

$$6x^2 + 12x + 8 - 2402 = 0$$

$$6x^2 + 12x - 2394 = 0$$

On peut simplifier en divisant tous les coefficients par 6 :

$$x^2 + 2x - 399 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=2$, et $c=-399$ :

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-399) = 4 + 1596 = 1600$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{1600}}{2 \times 1} = \frac{-2 - 40}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{1600}}{2 \times 1} = \frac{-2 + 40}{2} = \frac{38}{2} = 19$$

Puisque $x$ représente la longueur d'une arête, elle doit être positive. Donc, la solution $x_1 = -21$ est à rejeter.

La solution acceptable est $x_2 = 19$ cm.

Conclusion : L'arête du cube mesure 19 cm.

Correction :

Soient $L$ et $l$ la longueur et la largeur du rectangle, en cm.

Le périmètre du rectangle est donné par $P = 2(L + l) = 34$ cm.

L'aire du rectangle est donnée par $A = L \times l = 60$ cm².

De l'équation du périmètre, on peut tirer $L + l = \frac{34}{2} = 17$, donc $l = 17 - L$.

Substituons cette expression de $l$ dans l'équation de l'aire : $L \times (17 - L) = 60$.

Développons et réarrangeons pour obtenir une équation du second degré :

$$17L - L^2 = 60$$

$$L^2 - 17L + 60 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=-17$, et $c=60$ :

$$\Delta = (-17)^2 - 4 \times 1 \times 60 = 289 - 240 = 49$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes pour $L$ :

$$L_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-17) - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$L_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

Si $L = 5$, alors $l = 17 - L = 17 - 5 = 12$.

Si $L = 12$, alors $l = 17 - L = 17 - 12 = 5$.

Dans les deux cas, les dimensions sont 5 cm et 12 cm. Par convention, la longueur est la plus grande dimension.

Conclusion : Les dimensions du rectangle sont 12 cm de longueur et 5 cm de largeur.

Correction :

1. Démontrons que si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède au moins une solution réelle.

On sait que le discriminant de l'équation $ax^2+bx+c = 0$ est $\Delta = b^2 - 4ac$.

Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors le produit $ac$ est négatif (car le produit de deux nombres de signes contraires est négatif). Donc, $ac < 0$.

Par conséquent, $-4ac$ est positif (car $-4$ est négatif et $ac$ est négatif, donc leur produit est positif). Donc, $-4ac > 0$.

Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est la somme de deux termes positifs ou nuls (car $b^2 \geqslant 0$ et $-4ac > 0$).

Donc, $\Delta = b^2 - 4ac > 0$.

Si $\Delta > 0$, alors l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes.

Par conséquent, si $a$ et $c$ sont de signes contraires, l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède au moins une solution réelle (en fait, elle en possède deux).

2. La réciproque est-elle vraie ? Justifier.

La réciproque de la proposition est : "Si l'équation $ax^2+bx+c = 0$ possède au moins une solution réelle, alors $a$ et $c$ sont de signes contraires."

Pour vérifier si la réciproque est vraie, cherchons un contre-exemple, c'est-à-dire un cas où l'équation a des solutions réelles mais $a$ et $c$ ne sont pas de signes contraires.

Considérons l'équation $x^2 - 2x + 1 = 0$. Ici, $a=1$, $b=-2$, $c=1$. On a $a$ et $c$ de même signe (tous les deux positifs).

Calculons le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0$.

Puisque $\Delta = 0$, l'équation $x^2 - 2x + 1 = 0$ possède une solution réelle double (donc au moins une solution réelle).

Cependant, $a=1$ et $c=1$ sont de même signe (positifs), ils ne sont pas de signes contraires.

Donc, la réciproque est fausse, car on a trouvé un contre-exemple.

Conclusion : La réciproque est fausse.

Correction :

Soit $n$ le nombre d'articles achetés et $p$ le prix d'un article en euros.

Le coût total est de $180$ €, donc on a la relation : $n \times p = 180$.

Si chaque article avait coûté $3$ € de moins, le nouveau prix serait $(p-3)$ €.

Dans ce cas, j'aurais pu acheter $3$ articles de plus, soit $(n+3)$ articles.

Le coût total serait toujours de $180$ €, donc on aurait la relation : $(n+3) \times (p-3) = 180$.

Nous avons un système de deux équations à deux inconnues :

$\left\{ \begin{array}{rl} np &= 180 \\ (n+3)(p-3)&= 180 \end{array} \right.$

Développons la deuxième équation : $(n+3)(p-3) = np - 3n + 3p - 9 = 180$.

Comme $np = 180$, on substitue dans l'équation développée : $180 - 3n + 3p - 9 = 180$.

Simplifions : $-3n + 3p - 9 = 0$.

Divisons par 3 : $-n + p - 3 = 0$, donc $p = n + 3$.

Substituons $p = n + 3$ dans la première équation $np = 180$ : $n(n+3) = 180$.

Développons et réarrangeons pour obtenir une équation du second degré :

$$n^2 + 3n = 180$$

$$n^2 + 3n - 180 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=3$, et $c=-180$ :

$$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-180) = 9 + 720 = 729$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes pour $n$ :

$$n_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \times 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$

$$n_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \times 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

Puisque $n$ représente le nombre d'articles, il doit être positif. Donc, la solution $n_1 = -15$ est à rejeter.

La solution acceptable est $n_2 = 12$.

Conclusion : J'ai acheté 12 articles.

Correction :

Pour trouver les points d'intersection de la droite $\mathscr{D}$ et de la parabole $\mathscr{P}$, il faut résoudre le système d'équations formé par leurs équations :

$\left\{ \begin{array}{rl} y &= \dfrac{1}{2} x + 1 \\ y &= x^2 - \frac{3}{2}x - 1 \end{array} \right.$

Puisque les deux expressions sont égales à $y$, on peut les égaler entre elles pour trouver les abscisses des points d'intersection :

$$\dfrac{1}{2} x + 1 = x^2 - \frac{3}{2}x - 1$$

Réarrangeons pour obtenir une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Multiplions tous les termes par 2 pour éliminer les fractions :

$$x + 2 = 2x^2 - 3x - 2$$

$$2x^2 - 3x - 2 - x - 2 = 0$$

$$2x^2 - 4x - 4 = 0$$

On peut simplifier en divisant tous les coefficients par 2 :

$$x^2 - 2x - 2 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=-2$, et $c=-2$ :

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes pour $x$ :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{12}}{2 \times 1} = \frac{2 - \sqrt{12}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{12}}{2 \times 1} = \frac{2 + \sqrt{12}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$$

Pour trouver les ordonnées correspondantes, utilisons l'équation de la droite $\mathscr{D}$: $y = \dfrac{1}{2} x + 1$.

Pour $x_1 = 1 - \sqrt{3}$ : $y_1 = \dfrac{1}{2} (1 - \sqrt{3}) + 1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}$.

Pour $x_2 = 1 + \sqrt{3}$ : $y_2 = \dfrac{1}{2} (1 + \sqrt{3}) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$.

Conclusion : Les points d'intersection sont $\left(1 - \sqrt{3} ; \dfrac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)$ et $\left(1 + \sqrt{3} ; \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)$.

Correction :

Soit $v_B$ la vitesse moyenne du train B en km/h. Alors la vitesse moyenne du train A est $v_A = v_B + 25$ km/h.

Après $2$ heures, la distance parcourue par le train B vers l'est est $d_B = v_B \times 2 = 2v_B$ km.

Après $2$ heures, la distance parcourue par le train A vers le nord est $d_A = v_A \times 2 = (v_B + 25) \times 2 = 2v_B + 50$ km.

Les directions nord et est sont perpendiculaires. Les trains forment avec la gare un triangle rectangle, où la distance entre les trains est l'hypoténuse.

D'après le théorème de Pythagore, la distance entre les trains $D$ après 2 heures est donnée par :

$$D^2 = d_A^2 + d_B^2$$

On sait que $D = 250$ km, donc $D^2 = 250^2 = 62500$.

Substituons les expressions de $d_A$ et $d_B$ :

$$250^2 = (2v_B + 50)^2 + (2v_B)^2$$

$$62500 = (4v_B^2 + 2 \times 2v_B \times 50 + 50^2) + 4v_B^2$$

$$62500 = 4v_B^2 + 200v_B + 2500 + 4v_B^2$$

$$62500 = 8v_B^2 + 200v_B + 2500$$

Réarrangeons pour obtenir une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $x = v_B$) :

$$8v_B^2 + 200v_B + 2500 - 62500 = 0$$

$$8v_B^2 + 200v_B - 60000 = 0$$

On peut simplifier en divisant tous les coefficients par 8 :

$$v_B^2 + 25v_B - 7500 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=25$, et $c=-7500$ :

$$\Delta = 25^2 - 4 \times 1 \times (-7500) = 625 + 30000 = 30625$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes pour $v_B$ :

$$v_{B1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-25 - \sqrt{30625}}{2 \times 1} = \frac{-25 - 175}{2} = \frac{-200}{2} = -100$$

$$v_{B2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-25 + \sqrt{30625}}{2 \times 1} = \frac{-25 + 175}{2} = \frac{150}{2} = 75$$

Puisque la vitesse doit être positive, la solution $v_{B1} = -100$ est à rejeter.

La solution acceptable est $v_{B2} = 75$ km/h pour le train B.

Alors la vitesse du train A est $v_A = v_B + 25 = 75 + 25 = 100$ km/h.

Conclusion : La vitesse moyenne du train B est 75 km/h et celle du train A est 100 km/h.

Correction :

1. Montrons que si $x$ est solution de $(E)$, alors $X = x^2$ vérifie $X^2 - X - 6 = 0$.

L'équation $(E)$ est $x^4 - x^2 - 6 = 0$.

Posons $X = x^2$. Alors $X^2 = (x^2)^2 = x^4$.

En substituant $X = x^2$ et $X^2 = x^4$ dans l'équation $(E)$, on obtient :

$$X^2 - X - 6 = 0$$

Donc, si $x$ est solution de $(E)$, alors $X = x^2$ est solution de l'équation $X^2 - X - 6 = 0$.

2. Déterminons les valeurs possibles de $X$.

Résolvons l'équation $X^2 - X - 6 = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=-1$, et $c=-6$ :

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes pour $X$ :

$$X_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Les valeurs possibles de $X$ sont $-2$ et $3$.

3. Résolvons l'équation $(E)$.

On a $X = x^2$. On a trouvé deux valeurs possibles pour $X$ : $X_1 = -2$ et $X_2 = 3$.

- Cas 1 : $X = X_1 = -2$. On doit résoudre $x^2 = -2$. Cette équation n'a pas de solution réelle car un carré est toujours positif ou nul.

- Cas 2 : $X = X_2 = 3$. On doit résoudre $x^2 = 3$. Cette équation a deux solutions réelles : $x = \sqrt{3}$ et $x = -\sqrt{3}$.

Conclusion : Les solutions de l'équation $(E)$ sont $x = \sqrt{3}$ et $x = -\sqrt{3}$.

Correction :

1. Montrons que $ax^2+bx+c = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$.

Partons de l'expression donnée : $ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c$.

Mettons les deux derniers termes au même dénominateur $4a$ : $-\frac{b^2}{4a}+c = -\frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$.

Donc, $ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$.

Pour factoriser le terme $-\frac{b^2 - 4ac}{4a}$, on doit mettre $a$ en facteur. En fait, il faut mettre $a$ en facteur de toute l'expression, donc on factorise $-\frac{b^2 - 4ac}{4a}$ par $a$ : $-\frac{b^2 - 4ac}{4a} = a \times \left(-\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = -a \times \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$.

Il y a une erreur dans mon raisonnement précédent. Reprenons à partir de : $ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a}+c$.

Mettons les deux derniers termes au même dénominateur $4a$. Non, le dénominateur commun devrait être $4a^2$ si on veut factoriser $a$ en dehors de la parenthèse carrée.

Repartons de l'expression à démontrer : $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$. Développons cette expression :

$$a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\right) - a \times \frac{b^2-4ac}{4a^2} = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$$

$$= a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$

On retrouve bien l'expression de départ. Donc, l'égalité est démontrée.

2. a) Montrons que si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2+bx+c =0$ n'a pas de solutions réelles.

On a $ax^2+bx+c = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

Si $\Delta < 0$, alors $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$ (car $4a^2 > 0$).

Donc, $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2} = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$. Puisque $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, posons $K = -\frac{\Delta}{4a^2} > 0$.

Alors, $ax^2+bx+c = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + K\right)$.

Pour tout réel $x$, $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 \geqslant 0$ et $K > 0$, donc $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + K > 0$.

Si $a > 0$, alors $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + K\right) > 0$, donc $ax^2+bx+c > 0$, et $ax^2+bx+c = 0$ n'a pas de solution.

Si $a < 0$, alors $a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + K\right) < 0$, donc $ax^2+bx+c < 0$, et $ax^2+bx+c = 0$ n'a pas de solution.

Dans les deux cas, si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2+bx+c = 0$ n'a pas de solutions réelles.

2. b) Montrons que si $\Delta \geqslant 0$, on a $ax^2+bx+c = a\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.

On a $ax^2+bx+c = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta}{4a^2}\right) = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right)$.

On reconnaît une différence de carrés de la forme $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ avec $A = x+\frac{b}{2a}$ et $B = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Donc, $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right) - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = \Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.

Par conséquent, $ax^2+bx+c = a\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.

3. Montrons que si $\Delta \geqslant 0$, l'équation $ax^2+bx+c =0$ a des solutions réelles et exprimons les solutions en fonction de $a$, $b$ et $\Delta$.

D'après la question 2.b), si $\Delta \geqslant 0$, on a $ax^2+bx+c = a\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)$.

L'équation $ax^2+bx+c = 0$ devient $a\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) = 0$.

Puisque $a \neq 0$, cette équation est équivalente à $\Big(x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big)\Big(x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Big) = 0$.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Donc, on a deux possibilités :

- $x+\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = x_2$.

- $x+\frac{b}{2a} +\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{b}{2a} -\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = x_1$.

Donc, si $\Delta \geqslant 0$, l'équation $ax^2+bx+c = 0$ a des solutions réelles, qui sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta = 0$, $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$.

Conclusion : Si $\Delta \geqslant 0$, l'équation $ax^2+bx+c = 0$ a des solutions réelles données par $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Correction :

Si $x=-2$ est une solution de l'équation $5x^2-2mx+m=0$, alors en substituant $x$ par $-2$ dans l'équation, elle doit être vérifiée.

$$5(-2)^2 - 2m(-2) + m = 0$$

$$5(4) + 4m + m = 0$$

$$20 + 5m = 0$$

$$5m = -20$$

$$m = \frac{-20}{5} = -4$$

Donc, pour que $-2$ soit une solution, il faut que $m = -4$.

Avec $m = -4$, l'équation devient $5x^2 - 2(-4)x + (-4) = 0$, soit $5x^2 + 8x - 4 = 0$.

On sait déjà que $x_1 = -2$ est une solution. On cherche l'autre solution $x_2$.

On peut utiliser la somme des racines $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{5}$.

Donc, $-2 + x_2 = -\frac{8}{5}$.

$$x_2 = -\frac{8}{5} - (-2) = -\frac{8}{5} + 2 = -\frac{8}{5} + \frac{10}{5} = \frac{2}{5}$$

On peut aussi utiliser le produit des racines $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{5}$.

Donc, $(-2) \times x_2 = -\frac{4}{5}$.

$$x_2 = \frac{-\frac{4}{5}}{-2} = \frac{4}{5 \times 2} = \frac{2}{5}$$

Les deux méthodes donnent la même autre solution $x_2 = \frac{2}{5}$.

Conclusion : $m = -4$ et l'autre solution est $\frac{2}{5}$.

Correction :

Pour qu'une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ admette une racine double, il faut et il suffit que son discriminant $\Delta$ soit nul.

Dans l'équation $ax^2-12x+9=0$, on a $b = -12$ et $c = 9$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times a \times 9 = 144 - 36a$.

On veut $\Delta = 0$, donc $144 - 36a = 0$.

$$36a = 144$$

$$a = \frac{144}{36} = 4$$

Donc, pour que l'équation admette une racine double, il faut que $a = 4$.

Avec $a = 4$, l'équation devient $4x^2 - 12x + 9 = 0$.

La racine double est donnée par $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \times 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

On peut vérifier en factorisant l'équation $4x^2 - 12x + 9 = 0$. On reconnaît une identité remarquable : $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \times (2x) \times 3 + 3^2 = (2x - 3)^2 = 0$.

Donc, $2x - 3 = 0$, ce qui donne $x = \frac{3}{2}$ comme racine double.

Conclusion : $a = 4$ et la racine double est $\frac{3}{2}$.

Correction :

Pour que l'équation $2x^2+4x+m=0$ n'admette pas de solution réelle, il faut et il suffit que son discriminant $\Delta$ soit strictement négatif, c'est-à-dire $\Delta < 0$.

Dans l'équation $2x^2+4x+m=0$, on a $a = 2$, $b = 4$, et $c = m$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 2 \times m = 16 - 8m$.

On veut $\Delta < 0$, donc $16 - 8m < 0$.

$$16 < 8m$$

$$8m > 16$$

$$m > \frac{16}{8}$$

$$m > 2$$

Conclusion : L'équation $2x^2+4x+m=0$ n'admet pas de solution réelle si et seulement si $m > 2$.

Correction :

Pour que l'équation $2x^2+mx+2=0$ n'admette pas de solution réelle, il faut et il suffit que son discriminant $\Delta$ soit strictement négatif, c'est-à-dire $\Delta < 0$.

Dans l'équation $2x^2+mx+2=0$, on a $a = 2$, $b = m$, et $c = 2$. Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \times 2 \times 2 = m^2 - 16$.

On veut $\Delta < 0$, donc $m^2 - 16 < 0$.

On peut factoriser $m^2 - 16$ comme une différence de carrés : $m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4)$.

On veut résoudre l'inéquation $(m - 4)(m + 4) < 0$. Étudions le signe du produit $(m - 4)(m + 4)$ en fonction de $m$.

Les racines de $(m - 4)(m + 4) = 0$ sont $m = -4$ et $m = 4$. On construit un tableau de signes :

$m$	$-\infty$	$-4$		$4$		$+\infty$
$m-4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$m+4$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$
$(m-4)(m+4)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$+$

On cherche les valeurs de $m$ pour lesquelles $(m-4)(m+4) < 0$. D'après le tableau de signes, c'est le cas lorsque $-4 < m < 4$.

Conclusion : L'équation $2x^2+mx+2=0$ n'admet pas de solution réelle si et seulement si $m \in ]-4 ; 4[$.

Correction :

Pour qu'une équation du second degré admette une seule solution, son discriminant $\Delta$ doit être nul. Cependant, il faut d'abord vérifier que l'équation est bien du second degré, c'est-à-dire que le coefficient de $x^2$ est non nul. Ici, le coefficient de $x^2$ est $m$.

Cas 1 : $m = 0$. L'équation devient $0x^2 + (0-2)x - 2 = 0$, soit $-2x - 2 = 0$, ce qui est une équation du premier degré qui a une unique solution $x = -1$. Donc, pour $m = 0$, l'équation admet une seule solution.

Cas 2 : $m \neq 0$. L'équation $mx^2+(m-2)x-2=0$ est une équation du second degré. Pour qu'elle admette une seule solution, il faut que son discriminant $\Delta$ soit nul.

$\Delta = b^2 - 4ac = (m-2)^2 - 4 \times m \times (-2) = (m-2)^2 + 8m = m^2 - 4m + 4 + 8m = m^2 + 4m + 4 = (m+2)^2$.

On veut $\Delta = 0$, donc $(m+2)^2 = 0$, ce qui implique $m+2 = 0$, soit $m = -2$.

Pour $m = -2$, l'équation devient $-2x^2 + (-2-2)x - 2 = 0$, soit $-2x^2 - 4x - 2 = 0$. On peut diviser par $-2$ pour simplifier : $x^2 + 2x + 1 = 0$, soit $(x+1)^2 = 0$, qui a une seule solution $x = -1$ (racine double).

En résumé, l'équation admet une seule solution si $m=0$ ou $m=-2$.

Conclusion : Les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation admet une seule solution sont $m = 0$ et $m = -2$.

Correction :

On cherche deux nombres réels $x$ et $y$ dont la somme est $2$ et le produit est $-3$.

On sait que si $x$ et $y$ sont les racines d'une équation du second degré, alors cette équation peut s'écrire sous la forme $X^2 - (x+y)X + xy = 0$.

Dans notre cas, $x+y = 2$ et $xy = -3$. Donc, $x$ et $y$ sont les racines de l'équation $X^2 - 2X + (-3) = 0$, soit $X^2 - 2X - 3 = 0$.

Résolvons l'équation $X^2 - 2X - 3 = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=-2$, et $c=-3$ :

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :

$$X_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Donc, les racines de l'équation $X^2 - 2X - 3 = 0$ sont $-1$ et $3$. Par conséquent, les solutions du système sont les couples $(x, y) = (-1, 3)$ et $(x, y) = (3, -1)$.

Vérification :

- Pour $(x, y) = (-1, 3)$ : $x+y = -1 + 3 = 2$ et $xy = (-1) \times 3 = -3$. Le système est vérifié.

- Pour $(x, y) = (3, -1)$ : $x+y = 3 + (-1) = 2$ et $xy = 3 \times (-1) = -3$. Le système est vérifié.

Conclusion : Les solutions du système sont les couples $(-1, 3)$ et $(3, -1)$.

Correction :

1. Montrons que $x$ et $y$ sont racines de $X^2-sX+p = 0$.

Considérons l'équation $X^2 - sX + p = 0$. Remplaçons $s$ par $x+y$ et $p$ par $xy$ (d'après le système donné) :

$$X^2 - (x+y)X + xy = 0$$

$$X^2 - xX - yX + xy = 0$$

Factorisons par groupe : $X(X - x) - y(X - x) = 0$.

$$(X - x)(X - y) = 0$$

Les solutions de cette équation sont $X - x = 0$ ou $X - y = 0$, soit $X = x$ ou $X = y$.

Donc, $x$ et $y$ sont bien les racines de l'équation $X^2 - sX + p = 0$, c'est-à-dire $X^2 - (x+y)X + xy = 0$.

2. Déduisons les solutions du système $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 2 \\ xy&= -3 \end{array} \right.$

Dans ce système, on a $s = 2$ et $p = -3$. D'après la question 1, $x$ et $y$ sont les racines de l'équation $X^2 - sX + p = 0$, soit $X^2 - 2X - 3 = 0$.

Résolvons l'équation $X^2 - 2X - 3 = 0$. On a déjà résolu cette équation dans l'exercice 14. Les racines sont $X_1 = -1$ et $X_2 = 3$.

Donc, les solutions du système sont les couples $(x, y) = (-1, 3)$ et $(x, y) = (3, -1)$.

Conclusion : Les solutions du système sont les couples $(-1, 3)$ et $(3, -1)$.

Correction :

De la deuxième équation, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{3}{4}$, réduisons au même dénominateur : $\frac{y+x}{xy} = -\frac{3}{4}$.

On sait de la première équation que $x+y = 3$. Substituons dans l'équation précédente : $\frac{3}{xy} = -\frac{3}{4}$.

On peut simplifier par 3 : $\frac{1}{xy} = -\frac{1}{4}$.

Donc, $xy = -4$.

On a donc le système équivalent : $\left\{ \begin{array}{rl} x + y &= 3 \\ xy&= -4 \end{array} \right.$

On cherche deux nombres réels dont la somme est $3$ et le produit est $-4$. D'après l'exercice 15, $x$ et $y$ sont les racines de l'équation $X^2 - (x+y)X + xy = 0$, soit $X^2 - 3X - 4 = 0$.

Résolvons l'équation $X^2 - 3X - 4 = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=1$, $b=-3$, et $c=-4$ :

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :

$$X_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Donc, les racines de l'équation $X^2 - 3X - 4 = 0$ sont $-1$ et $4$. Par conséquent, les solutions du système sont les couples $(x, y) = (-1, 4)$ et $(x, y) = (4, -1)$.

Vérification :

- Pour $(x, y) = (-1, 4)$ : $x+y = -1 + 4 = 3$ et $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{-1} + \frac{1}{4} = -1 + \frac{1}{4} = \frac{-4+1}{4} = -\frac{3}{4}$. Le système est vérifié.

- Pour $(x, y) = (4, -1)$ : $x+y = 4 + (-1) = 3$ et $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-1} = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1-4}{4} = -\frac{3}{4}$. Le système est vérifié.

Conclusion : Les solutions du système sont les couples $(-1, 4)$ et $(4, -1)$.

Correction :

La fonction $f(x) = \frac{1}{-2x^2-3x+2}$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur est non nul, c'est-à-dire $-2x^2-3x+2 \neq 0$.

Il faut donc trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x^2-3x+2 = 0$ et les exclure du domaine de définition.

Résolvons l'équation $-2x^2-3x+2 = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a=-2$, $b=-3$, et $c=2$ :

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \times (-2) \times 2 = 9 + 16 = 25$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \times (-2)} = \frac{3 - 5}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \times (-2)} = \frac{3 + 5}{-4} = \frac{8}{-4} = -2$$

Donc, le dénominateur s'annule pour $x = \frac{1}{2}$ et $x = -2$. La fonction $f(x)$ est définie pour tous les réels sauf ces deux valeurs.

Conclusion : Le domaine de définition de la fonction $f$ est $\mathbb{R} \setminus \left\{-2 ; \frac{1}{2}\right\}$, que l'on peut écrire aussi $]-\infty ; -2[ \cup ]-2 ; \frac{1}{2}[ \cup ]\frac{1}{2} ; +\infty[$.