Exercices : Position relative de deux courbes

Correction :

Pour étudier la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, nous devons étudier le signe de la différence $f(x) - g(x)$.

Calculons $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = (x^2 - 6x + 1) - (1 - x^2) = x^2 - 6x + 1 - 1 + x^2 = 2x^2 - 6x$$

Nous devons maintenant étudier le signe de $2x^2 - 6x$. Pour cela, nous allons factoriser l'expression : $$2x^2 - 6x = 2x(x - 3)$$

Les racines de $2x(x - 3) = 0$ sont $x = 0$ et $x = 3$. Nous pouvons maintenant construire un tableau de signes pour analyser le signe de $f(x) - g(x)$ en fonction des valeurs de $x$.

Conclusion :

• Sur $]-\infty ; 0[ \cup ]3 ; +\infty[$, $f(x) - g(x) > 0$, donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$.

• Sur $]0 ; 3[$, $f(x) - g(x) < 0$, donc $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$.

• Pour $x = 0$ et $x = 3$, $f(x) - g(x) = 0$, donc $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent aux points d'abscisses $0$ et $3$.

Calculons les ordonnées des points d'intersection :

Pour $x=0$, $f(0) = 0^2 - 6 \times 0 + 1 = 1$ et $g(0) = 1 - 0^2 = 1$. Point d'intersection : $(0 ; 1)$.

Pour $x=3$, $f(3) = 3^2 - 6 \times 3 + 1 = 9 - 18 + 1 = -8$ et $g(3) = 1 - 3^2 = 1 - 9 = -8$. Point d'intersection : $(3 ; -8)$.

Correction :

Pour déterminer la position relative de la parabole $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$, nous devons étudier le signe de la différence $f(x) - (x-1)$.

Calculons $f(x) - (x-1)$ : $$f(x) - (x-1) = (-x^2 + 3x + 1) - (x - 1) = -x^2 + 3x + 1 - x + 1 = -x^2 + 2x + 2$$

Nous devons étudier le signe de $-x^2 + 2x + 2$. C'est un trinôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a = -1$, $b = 2$, et $c = 2$.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times (-1) \times 2 = 4 + 8 = 12$. Puisque $\Delta > 0$, le trinôme a deux racines réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 - \sqrt{12}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-2 - 2\sqrt{3}}{-2} = 1 + \sqrt{3}$$ $$x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 + \sqrt{12}}{2 \times (-1)} = \dfrac{-2 + 2\sqrt{3}}{-2} = 1 - \sqrt{3}$$

Nous avons $x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ et $x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0.732$. Puisque $a = -1 < 0$, la parabole est tournée vers le bas, et le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur des racines.

Conclusion :

• Sur $]-\infty ; 1-\sqrt{3}[ \cup ]1+\sqrt{3} ; +\infty[$, $f(x) - (x-1) < 0$, donc $\mathscr{P}$ est en-dessous de $\mathscr{D}$.

• Sur $]1-\sqrt{3} ; 1+\sqrt{3}[$, $f(x) - (x-1) > 0$, donc $\mathscr{P}$ est au-dessus de $\mathscr{D}$.

• Pour $x = 1-\sqrt{3}$ et $x = 1+\sqrt{3}$, $f(x) - (x-1) = 0$, donc $\mathscr{P}$ et $\mathscr{D}$ se coupent aux points d'abscisses $1-\sqrt{3}$ et $1+\sqrt{3}$.

Correction :

1. Cas où $f(x)=2x^2-3x-2$ et $g(x)=x^2-2x+4$

On étudie le signe de $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = (2x^2 - 3x - 2) - (x^2 - 2x + 4) = 2x^2 - 3x - 2 - x^2 + 2x - 4 = x^2 - x - 6$$

On cherche les racines de $x^2 - x - 6 = 0$. Discriminant $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25$. Racines : $$x_1 = \dfrac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \times 1} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$$ $$x_2 = \dfrac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \times 1} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$$

Conclusion 1 :

• $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty ; -2[ \cup ]3 ; +\infty[$.

• $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-2 ; 3[$.

• $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent aux points d'abscisses $-2$ et $3$.

2. Cas où $f(x)=-\dfrac 12x^2+3x-1$ et $g(x)=x+1$

On étudie le signe de $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = \left(-\dfrac 12x^2 + 3x - 1\right) - (x + 1) = -\dfrac 12x^2 + 3x - 1 - x - 1 = -\dfrac 12x^2 + 2x - 2$$

On cherche les racines de $-\dfrac 12x^2 + 2x - 2 = 0$. On peut multiplier par $-2$ pour simplifier : $x^2 - 4x + 4 = 0$. Discriminant $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$. Il y a une racine double : $$x_0 = \dfrac{-(-4)}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2$$

Conclusion 2 :

• $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty ; 2[ \cup ]2 ; +\infty[$.

• $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se touchent (sont tangentes) au point d'abscisse $2$.

Calculons l'ordonnée du point de tangence : pour $x=2$, $f(2) = -\dfrac 12(2)^2 + 3(2) - 1 = -2 + 6 - 1 = 3$ et $g(2) = 2 + 1 = 3$. Point de tangence : $(2 ; 3)$.

Correction :

Pour étudier la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, nous étudions le signe de $f(x) - g(x)$.

Calculons $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = (x^2 + 4x + 5) - (-x + 1) = x^2 + 4x + 5 + x - 1 = x^2 + 5x + 4$$

Cherchons les racines de $x^2 + 5x + 4 = 0$. Discriminant $\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$. Racines : $$x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{-5 - 3}{2} = -4$$ $$x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{-5 + 3}{2} = -1$$

Conclusion :

• $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty ; -4[ \cup ]-1 ; +\infty[$.

• $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-4 ; -1[$.

• $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent aux points d'abscisses $-4$ et $-1$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - g(x)$.

Calculons $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = (-2x^2 + 8x - 5) - (x^2 - 4x + 3) = -2x^2 + 8x - 5 - x^2 + 4x - 3 = -3x^2 + 12x - 8$$

Cherchons les racines de $-3x^2 + 12x - 8 = 0$. Discriminant $\Delta = 12^2 - 4 \times (-3) \times (-8) = 144 - 96 = 48$. Racines : $$x_1 = \dfrac{-12 - \sqrt{48}}{2 \times (-3)} = \dfrac{-12 - 4\sqrt{3}}{-6} = \dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3} = 2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$ $$x_2 = \dfrac{-12 + \sqrt{48}}{2 \times (-3)} = \dfrac{-12 + 4\sqrt{3}}{-6} = \dfrac{6 - 2\sqrt{3}}{3} = 2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$

Conclusion :

• $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty ; 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}[ \cup ]2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} ; +\infty[$.

• $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $]2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} ; 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}[$.

• $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent aux points d'abscisses $2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$ et $2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - (2x - 1)$.

Calculons $f(x) - (2x - 1)$ : $$f(x) - (2x - 1) = (x^2 - 2x + 3) - (2x - 1) = x^2 - 2x + 3 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4$$

On remarque que $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Ainsi, $f(x) - (2x - 1) = (x - 2)^2$.

Puisque $(x - 2)^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a toujours $f(x) - (2x - 1) \geq 0$. De plus, $(x - 2)^2 = 0$ si et seulement si $x = 2$.

Conclusion :

• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) - (2x - 1) \geq 0$, donc $\mathscr{C}_f$ est toujours au-dessus de la droite $\mathscr{D}$.

• Pour $x = 2$, $f(x) - (2x - 1) = 0$, donc $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{D}$ se touchent au point d'abscisse $2$.

Calculons l'ordonnée du point de tangence : pour $x=2$, $f(2) = 2^2 - 2 \times 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$ et $y = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Point de tangence : $(2 ; 3)$.

Correction :

On étudie le signe de $f(x) - g(x)$.

Calculons $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = (-x^2 + 5x - 7) - (-x^2 - x + 5) = -x^2 + 5x - 7 + x^2 + x - 5 = 6x - 12$$

On étudie le signe de $6x - 12$. On résout $6x - 12 = 0$, ce qui donne $6x = 12$, donc $x = 2$.

Conclusion :

• Sur $]-\infty ; 2[$, $f(x) - g(x) < 0$, donc $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de $\mathscr{C}_g$.

• Sur $]2 ; +\infty[$, $f(x) - g(x) > 0$, donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$.

• Pour $x = 2$, $f(x) - g(x) = 0$, donc $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent au point d'abscisse $2$.

Calculons l'ordonnée du point d'intersection : pour $x=2$, $f(2) = -(2)^2 + 5 \times 2 - 7 = -4 + 10 - 7 = -1$ et $g(2) = -(2)^2 - 2 + 5 = -4 - 2 + 5 = -1$. Point d'intersection : $(2 ; -1)$.