Exercices : Nombre Dérivé et Tangente

Correction :

Pour lire graphiquement le nombre dérivé $f'(a)$, il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

a. Nombre dérivé en $-2$ : $f'(-2)$

Observons la tangente $\rm T_1$ au point A d'abscisse $-2$. $\rm T_1$ est une droite croissante.

Pour déterminer son coefficient directeur, on prend deux points de $\rm T_1$. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(-2 ; -3)$ (point A)

Point 2: $(-1 ; 1)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur est donc :

$$f'(-2) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-3)}{-1 - (-2)} = \frac{4}{1} = 4$$

Donc, $f'(-2) = 4$.

b. Nombre dérivé en $0$ : $f'(0)$

Observons la tangente $\rm T_2$ au point B d'abscisse $0$. $\rm T_2$ est une droite horizontale.

Le coefficient directeur d'une droite horizontale est nul.

Donc, $f'(0) = 0$.

c. Nombre dérivé en $1$ : $f'(1)$

Observons la tangente $\rm T_3$ au point C d'abscisse $1$. $\rm T_3$ est une droite décroissante.

Pour déterminer son coefficient directeur, on prend deux points de $\rm T_3$. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(1 ; 0)$ (point C)

Point 2: $(2 ; -2)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur est donc :

$$f'(1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 0}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$$

Donc, $f'(1) = -2$.

Récapitulatif des réponses :

a. $f'(-2) = 4$

b. $f'(0) = 0$

c. $f'(1) = -2$

Correction :

1. Coefficient directeur de $\rm T_1$

$\rm T_1$ est la tangente au point A d'abscisse $-3$. C'est une droite croissante.

Pour lire son coefficient directeur, on prend deux points de $\rm T_1$. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(-3 ; -1)$ (point A)

Point 2: $(-2 ; 1)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur de $\rm T_1$ est donc :

$$m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - (-1)}{-2 - (-3)} = \frac{2}{1} = 2$$

Le coefficient directeur de $\rm T_1$ est $2$.

2. Déduction de $f'(-3)$

Le nombre dérivé $f'(-3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $\rm T_1$ au point d'abscisse $-3$.

Donc, $f'(-3) = 2$.

3. Détermination de $f'(1)$ et $f'(3)$

Pour $f'(1)$, on regarde la tangente $\rm T_2$ au point B d'abscisse $1$. $\rm T_2$ est une droite horizontale, donc son coefficient directeur est $0$.

Donc, $f'(1) = 0$.

Pour $f'(3)$, on regarde la tangente $\rm T_3$ au point C d'abscisse $3$. $\rm T_3$ est une droite décroissante.

Pour lire son coefficient directeur, on prend deux points de $\rm T_3$. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(3 ; 2)$ (point C)

Point 2: $(4 ; 1)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur de $\rm T_3$ est donc :

$$m_3 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 2}{4 - 3} = \frac{-1}{1} = -1$$

Donc, $f'(3) = -1$.

Récapitulatif des réponses :

a. Le coefficient directeur de $\rm T_1$ est $2$.

b. $f'(-3) = 2$.

c. $f'(1) = 0$ et $f'(3) = -1$.

Correction :

1. Tracer la tangente $\rm T_1$ au point d'abscisse $1$ avec $f'(1)=4$.

On sait que la tangente $\rm T_1$ passe par le point de la courbe d'abscisse $1$. Graphiquement, on lit que pour $x=1$, $f(1) = 2$. Donc $\rm T_1$ passe par le point $(1 ; 2)$.

On sait aussi que le coefficient directeur de $\rm T_1$ est $f'(1) = 4 = \frac{4}{1}$.

Pour tracer $\rm T_1$, on part du point $(1 ; 2)$ et on se déplace de 1 unité vers la droite et de 4 unités vers le haut. On obtient un deuxième point $(1+1 ; 2+4) = (2 ; 6)$.

On trace la droite passant par $(1 ; 2)$ et $(2 ; 6)$. C'est la tangente $\rm T_1$.

2. Tracer la tangente $\rm T_2$ au point d'abscisse $4$ avec $f'(4)=-2$.

On sait que la tangente $\rm T_2$ passe par le point de la courbe d'abscisse $4$. Graphiquement, on lit que pour $x=4$, $f(4) = 2$. Donc $\rm T_2$ passe par le point $(4 ; 2)$.

On sait aussi que le coefficient directeur de $\rm T_2$ est $f'(4) = -2 = \frac{-2}{1}$.

Pour tracer $\rm T_2$, on part du point $(4 ; 2)$ et on se déplace de 1 unité vers la droite et de 2 unités vers le bas (car $-2$ est négatif). On obtient un deuxième point $(4+1 ; 2-2) = (5 ; 0)$.

On trace la droite passant par $(4 ; 2)$ et $(5 ; 0)$. C'est la tangente $\rm T_2$.

Note : Pour cet exercice, la réponse attendue est un tracé sur le graphique. Il faudrait idéalement pouvoir interagir avec le graphique.

Correction :

1. Tracer la tangente $\rm T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $2$.

Pour tracer approximativement la tangente au point d'abscisse $2$, il faut "épouser" la direction de la courbe au point d'abscisse $2$.

Graphiquement, on repère le point de la courbe d'abscisse $2$. Puis, on trace une droite qui semble le mieux "coller" à la courbe en ce point, en prolongeant la direction locale de la courbe.

Le tracé de la tangente est approximatif, il faut faire au mieux "à l'œil".

2. Valeur approchée de $g'(2)$.

Une fois la tangente $\rm T$ tracée, on peut estimer son coefficient directeur, qui est une valeur approchée de $g'(2)$.

On choisit deux points sur la tangente $\rm T$. Par exemple, on peut lire graphiquement (cela reste approximatif) :

Point 1: $(2 ; 1)$ (point de tangence)

Point 2: $(3 ; 4)$ (lecture graphique approximative)

Le coefficient directeur approximatif est donc :

$$g'(2) \approx \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{3 - 2} = \frac{3}{1} = 3$$

Donc, une valeur approchée de $g'(2)$ est $3$. Selon votre tracé de tangente et votre lecture graphique, vous pouvez trouver une valeur légèrement différente, par exemple entre 2.5 et 3.5, ce qui resterait acceptable.

Note : Cet exercice repose sur une estimation graphique, donc la précision est limitée.

Correction :

1. Déterminer le coefficient directeur de $\rm T$.

$\rm T$ est la tangente au point A d'abscisse $2$. C'est une droite décroissante.

Pour lire son coefficient directeur, on prend deux points de $\rm T$. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(2 ; 1)$ (point A)

Point 2: $(3 ; -2)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur de $\rm T$ est donc :

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 1}{3 - 2} = \frac{-3}{1} = -3$$

Le coefficient directeur de $\rm T$ est $-3$.

2. Déterminer l'équation réduite de $\rm T$.

On sait que l'équation d'une droite est de la forme $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.

On a trouvé $m = -3$. Donc l'équation de $\rm T$ est de la forme $y = -3x + p$.

Pour trouver $p$, on utilise le fait que le point A $(2 ; 1)$ appartient à la tangente $\rm T$. Ses coordonnées vérifient l'équation de $\rm T$.

On remplace $x$ par $2$ et $y$ par $1$ dans l'équation $y = -3x + p$ :

$1 = -3 \times 2 + p$

$1 = -6 + p$

$p = 1 + 6 = 7$

Donc, l'équation réduite de la tangente $\rm T$ est $y = -3x + 7$.

Récapitulatif des réponses :

a. Le coefficient directeur de $\rm T$ est $-3$.

b. L'équation réduite de $\rm T$ est $y = -3x + 7$.

Correction :

1. Lecture de $f(-5)$ et $f'(-5)$.

Pour lire $f(-5)$, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-5$. Graphiquement, on lit $f(-5) = 2$.

Pour lire $f'(-5)$, on regarde la tangente au point d'abscisse $-5$. C'est la droite la plus à gauche. C'est une droite croissante.

Pour lire son coefficient directeur, on prend deux points de cette tangente. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(-5 ; 2)$ (point de tangence)

Point 2: $(-4 ; 5)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur est donc :

$$f'(-5) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 2}{-4 - (-5)} = \frac{3}{1} = 3$$

Donc, $f'(-5) = 3$.

2. Lecture de $f(-1)$, $f(3)$, $f'(-1)$ et $f'(3)$.

Pour $f(-1)$, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-1$. Graphiquement, on lit $f(-1) = -1$.

Pour $f(3)$, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $3$. Graphiquement, on lit $f(3) = 2$.

Pour $f'(-1)$, on regarde la tangente au point d'abscisse $-1$. C'est la droite horizontale au milieu. Le coefficient directeur d'une droite horizontale est $0$. Donc $f'(-1) = 0$.

Pour $f'(3)$, on regarde la tangente au point d'abscisse $3$. C'est la droite la plus à droite. C'est une droite décroissante.

Pour lire son coefficient directeur, on prend deux points de cette tangente. On peut lire graphiquement les points :

Point 1: $(3 ; 2)$ (point de tangence)

Point 2: $(4 ; 0)$ (lecture graphique)

Le coefficient directeur est donc :

$$f'(3) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{4 - 3} = \frac{-2}{1} = -2$$

Donc, $f'(3) = -2$.

Récapitulatif des réponses :

a. $f(-5) = 2$ et $f'(-5) = 3$.

b. $f(-1) = -1$, $f(3) = 2$, $f'(-1) = 0$ et $f'(3) = -2$.

Correction :

On nous donne l'équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $-1$: $y = -2x + 1$.

On sait que l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y = g'(a)(x - a) + g(a)$, ou encore $y = g'(a)x + (g(a) + a \cdot g'(a))$.

Par identification avec l'équation donnée $y = -2x + 1$, on peut directement lire le coefficient directeur de la tangente, qui est $g'(-1)$, et l'ordonnée à l'origine.

Le coefficient directeur de la tangente est $-2$. Donc, $g'(-1) = -2$.

L'équation de la tangente est $y = -2x + 1$. Comme le point de tangence est sur la tangente (par définition), ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente.

Le point de tangence a pour abscisse $-1$. Son ordonnée est donc obtenue en remplaçant $x$ par $-1$ dans l'équation de la tangente :

$$y = -2 \times (-1) + 1 = 2 + 1 = 3$$

Donc, le point de tangence est $(-1 ; 3)$. L'ordonnée de ce point est $g(-1)$. Donc, $g(-1) = 3$.

Autre méthode : On peut aussi utiliser la forme $y = g'(a)(x - a) + g(a)$ avec $a = -1$ et $g'(a) = -2$ (déjà trouvé). L'équation devient $y = -2(x - (-1)) + g(-1) = -2(x + 1) + g(-1) = -2x - 2 + g(-1)$.

Par identification avec $y = -2x + 1$, on doit avoir $-2 + g(-1) = 1$, ce qui donne $g(-1) = 1 + 2 = 3$. On retrouve $g(-1) = 3$.

Récapitulatif des réponses :

$g'(-1) = -2$.

$g(-1) = 3$.