Exercices : Indépendance de deux événements

Correction :

Pour déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants, nous devons vérifier si la condition $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ est satisfaite.

Nous avons les informations suivantes :

$P(A) = \frac{7}{8}$

$P(B) = \frac{2}{7}$

$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$

Calculons $P(A) \times P(B)$ :

$$P(A) \times P(B) = \frac{7}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{7 \times 2}{8 \times 7} = \frac{14}{56} = \frac{1}{4}$$

Nous constatons que $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ et $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$.

Puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Correction :

1. Arbre de probabilité :

Les résultats possibles du lancer de dé sont $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

L'événement $A$ : « le résultat est un nombre supérieur ou égal à 4 » est réalisé si le résultat est dans $\{4, 5, 6\}$. Donc $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

L'événement $B$ : « le résultat est un nombre pair » est réalisé si le résultat est dans $\{2, 4, 6\}$. Donc $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

L'événement $A \cap B$ : « le résultat est un nombre supérieur ou égal à 4 et pair » est réalisé si le résultat est dans $\{4, 6\}$. Donc $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Pour construire l'arbre, on peut considérer d'abord l'événement $A$ et son complémentaire $\overline{A}$, puis pour chacun, les événements $B$ et $\overline{B}$.

Première branche : $A$ ou $\overline{A}$

- Branche $A$ : $P(A) = \frac{1}{2}$

- Branche $\overline{A}$ : $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = \frac{1}{2}$

Deuxième branche (conditionnelle à la première) : $B$ ou $\overline{B}$

- Après $A$, probabilité de $B$ sachant $A$ : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$

- Après $A$, probabilité de $\overline{B}$ sachant $A$ : $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) = \frac{1}{3}$

- Après $\overline{A}$, probabilité de $B$ sachant $\overline{A}$ : Pour $\overline{A}$, les résultats sont $\{1, 2, 3\}$. Parmi ceux-ci, le seul pair est 2. Donc $P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{3}$ (résultats pairs dans $\overline{A}$ / nombre de résultats dans $\overline{A}$).

- Après $\overline{A}$, probabilité de $\overline{B}$ sachant $\overline{A}$ : $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - P_{\overline{A}}(B) = \frac{2}{3}$

2. Indépendance sur l'arbre :

Pour que $A$ et $B$ soient indépendants, il faudrait que la probabilité de $B$ soit la même après $A$ et après $\overline{A}$, et égale à $P(B)$.

Sur l'arbre, on remarque que :

$P(B) = \frac{1}{2}$

$P_A(B) = \frac{2}{3}$

$P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{3}$

Puisque $P_A(B) \neq P(B)$ et $P_{\overline{A}}(B) \neq P(B)$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

On peut aussi vérifier par le calcul : $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Or $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$. Puisque $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ ($\frac{1}{3} \neq \frac{1}{4}$), les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Correction :

1. Calcul de $P(A \cap B)$ :

Puisque les événements $A$ et $B$ sont indépendants, nous utilisons la formule de l'indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Nous avons $P(A) = 0,5$ et $P(B) = 0,7$. Donc,

$$P(A \cap B) = 0,5 \times 0,7 = 0,35$$

2. Calcul de $P(\overline{A} \cap B)$ de deux manières différentes :

Méthode 1 : En utilisant l'indépendance de $\overline{A}$ et $B$

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ sont aussi indépendants. Donc, $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B)$.

Nous savons que $P(A) = 0,5$, donc $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5$.

$$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P(B) = 0,5 \times 0,7 = 0,35$$

Méthode 2 : En utilisant la formule $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$

Nous savons que $B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$ et que $(A \cap B)$ et $(\overline{A} \cap B)$ sont incompatibles.

Donc, $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$.

Nous cherchons $P(\overline{A} \cap B)$, donc nous pouvons réécrire la formule comme :

$$P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$$

Nous avons $P(B) = 0,7$ et nous avons calculé $P(A \cap B) = 0,35$ à la question 1.

$$P(\overline{A} \cap B) = 0,7 - 0,35 = 0,35$$

Les deux méthodes donnent le même résultat : $P(\overline{A} \cap B) = 0,35$.

Correction :

Puisque les événements $A$ et $B$ sont indépendants, nous avons la relation $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Nous connaissons $P(A) = 0,8$ et $P(A \cap B) = 0,45$. Nous devons calculer $P(B)$.

En utilisant la formule d'indépendance, nous avons :

$$0,45 = 0,8 \times P(B)$$

Pour trouver $P(B)$, nous divisons les deux côtés de l'équation par $0,8$ :

$$P(B) = \frac{0,45}{0,8} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$$

En valeur décimale,

$$P(B) = 0,5625$$

Donc, la probabilité de l'événement $B$ est $0,5625$ ou $\frac{9}{16}$.

Correction :

Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants avec $P(A) = P(B)$. On sait que $P(A \cap B) = 0,25$.

Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, on a $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Comme $P(A) = P(B)$, on peut écrire $P(A \cap B) = P(A) \times P(A) = [P(A)]^2$.

Nous avons $P(A \cap B) = 0,25$, donc :

$$[P(A)]^2 = 0,25$$

Pour trouver $P(A)$, nous prenons la racine carrée de $0,25$. Comme une probabilité est positive, on prend la racine carrée positive :

$$P(A) = \sqrt{0,25} = 0,5$$

Donc, $P(A) = 0,5$. Et puisque $P(B) = P(A)$, alors $P(B) = 0,5$ également.

Vérification : Si $P(A) = 0,5$ et $P(B) = 0,5$ et $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,5 \times 0,5 = 0,25$, ce qui correspond à l'information donnée.

Correction :

Pour déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants, nous devons vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Cas 1 : $P(A)=0,2$, $P(B)=0,8$ et $P(A \cap B)=0,9$.

Calculons $P(A) \times P(B) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$.

On compare avec $P(A \cap B) = 0,9$.

Puisque $0,9 \neq 0,16$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants dans le cas 1.

Cas 2 : $P(A)=0,4$, $P(B)=0,8$ et $P(A \cap B)=0,32$.

Calculons $P(A) \times P(B) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$.

On compare avec $P(A \cap B) = 0,32$.

Puisque $0,32 = 0,32$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants dans le cas 2.

Cas 3 : $P(A)=0,5$, $P(B)=0,3$ et $P(A \cup B)=0,95$.

Nous devons d'abord trouver $P(A \cap B)$. Nous utilisons la formule de l'union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Réarrangeons la formule pour trouver $P(A \cap B)$ : $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.

$$P(A \cap B) = 0,5 + 0,3 - 0,95 = 0,8 - 0,95 = -0,15$$

Une probabilité ne peut pas être négative. Il y a donc une erreur dans les données fournies pour le cas 3. Cependant, si nous continuons en supposant qu'il y a une erreur de frappe et que $P(A \cup B) = 0,55$ (par exemple, pour que $P(A \cap B)$ soit positive), alors :

Si on suppose $P(A \cup B) = 0,55$ :

$$P(A \cap B) = 0,5 + 0,3 - 0,55 = 0,8 - 0,55 = 0,25$$

Calculons $P(A) \times P(B) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$.

On compare avec $P(A \cap B) = 0,25$ (en utilisant $P(A \cup B)=0,55$).

Puisque $0,25 \neq 0,15$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants dans le cas 3 (même en corrigeant $P(A \cup B)$ pour obtenir une intersection positive, ils ne seraient pas indépendants avec les valeurs corrigées).

Avec les données initiales $P(A \cup B)=0,95$ et $P(A \cap B) = -0.15$ impossible, on conclut que les données sont incohérentes et donc on ne peut pas tester l'indépendance avec ces valeurs. Dans un contexte d'exercice standard, avec les données initiales incohérentes, on doit conclure que les événements ne sont pas indépendants car la condition d'indépendance ne peut être vérifiée avec des probabilités invalides.

Cas 4 : $P(A)=0,48$, $P(B)=0,25$ et $P(A \cap B)=0$.

Calculons $P(A) \times P(B) = 0,48 \times 0,25 = \frac{48}{100} \times \frac{25}{100} = \frac{1200}{10000} = \frac{12}{100} = 0,12$.

On compare avec $P(A \cap B) = 0$.

Puisque $0 \neq 0,12$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants dans le cas 4.

Résumé :

Cas 1 : Non indépendants.

Cas 2 : Indépendants.

Cas 3 : Non indépendants (données incohérentes initialement, et même corrigées pour intersection positive, non indépendants).

Cas 4 : Non indépendants.

Correction :

Nous savons que $A$ et $B$ sont indépendants, $P(\overline{A})=0,6$ et $P(A \cap B)=0,3$.

1. Calcul de $P(A)$ :

Nous utilisons la propriété $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

$$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,6 = 0,4$$

Donc, $P(A) = 0,4$.

2. Calcul de $P(B)$ :

Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, nous avons $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Nous connaissons $P(A \cap B) = 0,3$ et nous venons de calculer $P(A) = 0,4$. Nous pouvons donc trouver $P(B)$ :

$$0,3 = 0,4 \times P(B)$$

$$P(B) = \frac{0,3}{0,4} = \frac{3}{4} = 0,75$$

Donc, $P(B) = 0,75$.

Réponses :

$P(A) = 0,4$

$P(B) = 0,75$

Correction :

Deux événements $A$ et $B$ sont dits incompatibles (ou disjoints) si leur intersection est vide, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$. Dans ce cas, la probabilité de leur intersection est nulle : $P(A \cap B) = 0$.

Pour que $A$ et $B$ soient indépendants, il faudrait que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$.

Si $A$ et $B$ ont des probabilités non nulles, alors $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$.

Par conséquent, $P(A) \times P(B) > 0 \times 0 = 0$.

Nous avons donc $P(A \cap B) = 0$ et $P(A) \times P(B) > 0$.

Puisque $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Conclusion : Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Correction :

Soient $P_1$ et $P_2$ les deux personnes.

Soit $R_1$ l'événement « la personne $P_1$ tire un roi ».

Soit $R_2$ l'événement « la personne $P_2$ tire un roi ».

Nous voulons calculer la probabilité d'obtenir deux rois, c'est-à-dire $P(R_1 \cap R_2)$.

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 rois.

La probabilité que la personne $P_1$ tire un roi est $P(R_1) = \frac{\text{nombre de rois}}{\text{nombre total de cartes}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

De même, la probabilité que la personne $P_2$ tire un roi est $P(R_2) = \frac{\text{nombre de rois}}{\text{nombre total de cartes}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

Les tirages des deux personnes sont indépendants car ils sont effectués simultanément et sans interaction. Donc, les événements $R_1$ et $R_2$ sont indépendants.

Par conséquent, la probabilité d'obtenir deux rois est donnée par le produit des probabilités individuelles :

$$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{64}$$

La probabilité d'obtenir deux rois est $\frac{1}{64}$.

Correction :

1. Montrer que $-p^2+0,8p-0,15=(0,3-p)(p-0,5)$ :

Développons l'expression $(0,3-p)(p-0,5)$ :

$(0,3-p)(p-0,5) = 0,3 \times p + 0,3 \times (-0,5) - p \times p - p \times (-0,5)$

$= 0,3p - 0,15 - p^2 + 0,5p$

$= -p^2 + (0,3p + 0,5p) - 0,15$

$= -p^2 + 0,8p - 0,15$

Nous avons bien montré que $-p^2+0,8p-0,15=(0,3-p)(p-0,5)$.

2. Trouver la probabilité $p$ telle que $A$ et $B$ soient indépendants :

Pour que $A$ et $B$ soient indépendants, il faut que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Nous avons $P(A) = p$, $P(B) = P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - p$, et $P(A \cap B) = 0,2p + 0,15$.

L'équation d'indépendance devient :

$0,2p + 0,15 = p \times (1 - p)$

$0,2p + 0,15 = p - p^2$

Réarrangeons l'équation pour obtenir une équation du second degré :

$p^2 + 0,2p - p + 0,15 = 0$

$p^2 - 0,8p + 0,15 = 0$

Multiplions par $-1$ pour avoir le format de la question 1 (ou multiplions par $-1$ l'expression de la question 1 pour égaler à 0) :

$-p^2 + 0,8p - 0,15 = 0$

D'après la question 1, on sait que $-p^2 + 0,8p - 0,15 = (0,3 - p)(p - 0,5)$. Donc, l'équation devient :

$(0,3 - p)(p - 0,5) = 0$

Cette équation produit deux solutions possibles pour $p$ :

1. $0,3 - p = 0 \Rightarrow p = 0,3$

2. $p - 0,5 = 0 \Rightarrow p = 0,5$

Vérifions si ces valeurs de $p$ sont valides pour des probabilités (doivent être entre 0 et 1).

Pour $p = 0,3$ : $P(A) = 0,3$, $P(B) = 1 - 0,3 = 0,7$, $P(A \cap B) = 0,2 \times 0,3 + 0,15 = 0,06 + 0,15 = 0,21$.

Vérifions l'indépendance : $P(A) \times P(B) = 0,3 \times 0,7 = 0,21$. Donc $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ils sont indépendants.

Pour $p = 0,5$ : $P(A) = 0,5$, $P(B) = 1 - 0,5 = 0,5$, $P(A \cap B) = 0,2 \times 0,5 + 0,15 = 0,10 + 0,15 = 0,25$.

Vérifions l'indépendance : $P(A) \times P(B) = 0,5 \times 0,5 = 0,25$. Donc $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ils sont indépendants.

Les deux valeurs $p = 0,3$ et $p = 0,5$ sont des probabilités valides qui rendent $A$ et $B$ indépendants.

Réponses : Les probabilités $p$ pour lesquelles $A$ et $B$ sont indépendants sont $p = 0,3$ et $p = 0,5$.

Correction :

1. Montrer que $x^2-1,7x+0,8=(x-0,85)^2+0,0775$ :

Développons l'expression $(x-0,85)^2+0,0775$ :

$(x-0,85)^2+0,0775 = x^2 - 2 \times 0,85 \times x + (0,85)^2 + 0,0775$

$= x^2 - 1,7x + 0,7225 + 0,0775$

$= x^2 - 1,7x + 0,8$

Nous avons bien montré que $x^2-1,7x+0,8=(x-0,85)^2+0,0775$.

2. Montrer que $A$ et $B$ ne peuvent pas être indépendants :

Supposons que $A$ et $B$ soient indépendants. Alors $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Nous utilisons aussi la formule de l'union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Nous avons $P(A \cap B) = 0,8$ et $P(A \cup B) = 0,9$.

Substituons $P(A \cap B) = 0,8$ dans la formule de l'union :

$0,9 = P(A) + P(B) - 0,8$

Donc, $P(A) + P(B) = 0,9 + 0,8 = 1,7$.

Si $A$ et $B$ étaient indépendants, alors $P(A) \times P(B) = P(A \cap B) = 0,8$.

Soit $x = P(A)$ et $y = P(B)$. Nous avons le système d'équations :

1. $x + y = 1,7$

2. $x \times y = 0,8$

De l'équation 1, on a $y = 1,7 - x$. Substituons dans l'équation 2 :

$x \times (1,7 - x) = 0,8$

$1,7x - x^2 = 0,8$

$-x^2 + 1,7x - 0,8 = 0$

Multiplions par $-1$ :

$x^2 - 1,7x + 0,8 = 0$

D'après la question 1, nous savons que $x^2 - 1,7x + 0,8 = (x-0,85)^2 + 0,0775$. Donc, l'équation devient :

$(x-0,85)^2 + 0,0775 = 0$

$(x-0,85)^2 = -0,0775$

Un carré ne peut pas être négatif pour un nombre réel $x$. Donc, il n'existe pas de solution réelle $x$ pour cette équation. Cela signifie qu'il n'existe pas de valeurs possibles pour $P(A)$ et $P(B)$ qui satisfont à la fois les conditions d'indépendance et les probabilités données de l'intersection et de l'union.

Conclusion : Les événements $A$ et $B$ ne peuvent pas être indépendants avec les probabilités données $P(A \cap B)=0,8$ et $P(A \cup B)=0,9$.

Correction :

Nombre total d'élèves : $320$.

Soit $L$ l'événement « faire du latin » et $T$ l'événement « faire du théâtre ».

Soit $I$ l'événement « faire de l'italien » et $A$ l'événement « faire de l'allemand ».

À partir du tableau, nous avons les effectifs :

$n(L \cap I) = 30$, $n(L \cap A) = 120$, $n(L) = 150$

$n(T \cap I) = 90$, $n(T \cap A) = 80$, $n(T) = 170$

$n(I) = 120$, $n(A) = 200$, $n(\text{Total}) = 320$

Calculons les probabilités :

$P(L) = \frac{150}{320} = \frac{15}{32}$, $P(T) = \frac{170}{320} = \frac{17}{32}$, $P(I) = \frac{120}{320} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$, $P(A) = \frac{200}{320} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$

$P(L \cap I) = \frac{30}{320} = \frac{3}{32}$, $P(L \cap A) = \frac{120}{320} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$, $P(T \cap I) = \frac{90}{320} = \frac{9}{32}$, $P(T \cap A) = \frac{80}{320} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

1. Indépendance de « faire du théâtre et de l'italien » et « faire du théâtre » :

On demande si $(T \cap I)$ et $T$ sont indépendants. Un événement et une de ses intersections ne sont jamais indépendants sauf cas particuliers. Ici, $(T \cap I) \subset T$, donc ils ne peuvent pas être indépendants, sauf si $P(T \cap I) = 0$ ou $P(T) = 1$. Ce n'est pas le cas ici car $P(T \cap I) = \frac{9}{32} \neq 0$ et $P(T) = \frac{17}{32} \neq 1$.

Vérifions formellement : $P((T \cap I) \cap T) = P(T \cap I) = \frac{9}{32}$.

$P(T \cap I) \times P(T) = \frac{9}{32} \times \frac{17}{32} = \frac{153}{1024}$.

Puisque $\frac{9}{32} \neq \frac{153}{1024}$, les événements $(T \cap I)$ et $T$ ne sont pas indépendants.

2. Indépendance de « faire du latin » et « faire de l'allemand » :

On vérifie si $L$ et $A$ sont indépendants. On doit comparer $P(L \cap A)$ et $P(L) \times P(A)$.

$P(L \cap A) = \frac{120}{320} = \frac{3}{8}$.

$P(L) \times P(A) = \frac{15}{32} \times \frac{5}{8} = \frac{75}{256}$.

Comparons $\frac{3}{8}$ et $\frac{75}{256}$. $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 32}{8 \times 32} = \frac{96}{256}$.

Puisque $\frac{96}{256} \neq \frac{75}{256}$, $P(L \cap A) \neq P(L) \times P(A)$. Donc, les événements « faire du latin » et « faire de l'allemand » ne sont pas indépendants.

3. Indépendance de « faire du latin » et « faire du théâtre » :

On vérifie si $L$ et $T$ sont indépendants. Les événements « faire du latin » et « faire du théâtre » sont incompatibles car un élève doit choisir une option parmi latin et théâtre. Donc $L \cap T = \emptyset$, et $P(L \cap T) = 0$.

Cependant, $P(L) = \frac{15}{32} > 0$ et $P(T) = \frac{17}{32} > 0$. Donc $P(L) \times P(T) = \frac{15}{32} \times \frac{17}{32} = \frac{255}{1024} \neq 0$.

Puisque $P(L \cap T) = 0 \neq P(L) \times P(T)$, les événements « faire du latin » et « faire du théâtre » ne sont pas indépendants.

Résumé :

1. Non indépendants.

2. Non indépendants.

3. Non indépendants.

Correction :

Si un événement $A$ est indépendant de lui-même, cela signifie que $A$ est indépendant de $A$.

Par définition de l'indépendance, on doit avoir $P(A \cap A) = P(A) \times P(A)$.

Nous savons que $A \cap A = A$, donc $P(A \cap A) = P(A)$.

L'équation d'indépendance devient donc $P(A) = [P(A)]^2$.

Réarrangeons l'équation : $[P(A)]^2 - P(A) = 0$.

Factorisons $P(A)$ : $P(A) \times (P(A) - 1) = 0$.

Cette équation a deux solutions possibles pour $P(A)$ :

1. $P(A) = 0$

2. $P(A) - 1 = 0 \Rightarrow P(A) = 1$

Si $P(A) = 0$, alors $A$ est l'événement impossible $\emptyset$. Dans ce cas, $\overline{A}$ est l'événement certain $\Omega$. Et $A \cup \overline{A} = \emptyset \cup \Omega = \Omega$, qui est l'événement certain.

Si $P(A) = 1$, alors $A$ est l'événement certain $\Omega$. Dans ce cas, $\overline{A}$ est l'événement impossible $\emptyset$. Et $A \cup \overline{A} = \Omega \cup \emptyset = \Omega$, qui est l'événement certain.

Dans les deux cas, $P(A) = 0$ ou $P(A) = 1$, l'événement $A \cup \overline{A}$ est l'événement certain.

Conclusion : Si $A$ est indépendant de lui-même, alors l'événement certain est $A$ ou $\overline{A}$ (ce qui est toujours vrai par définition, $A \cup \overline{A} = \Omega$, mais la question vise à montrer que sous cette condition d'indépendance, $A$ doit être soit impossible, soit certain).