Exercices : Suites Numériques

Correction :

1. Cas a. : Formule explicite $u_n = n^2 - n + 2$

Pour calculer les trois premiers termes, nous devons calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ en remplaçant $n$ par 0, 1 et 2 respectivement dans la formule explicite.

Pour $n=0$ : $$u_0 = 0^2 - 0 + 2 = 2$$

Pour $n=1$ : $$u_1 = 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$$

Pour $n=2$ : $$u_2 = 2^2 - 2 + 2 = 4 - 2 + 2 = 4$$

Les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ dans le cas a. sont donc : $u_0 = 2$, $u_1 = 2$, et $u_2 = 4$.

2. Cas b. : Formule par récurrence $\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & 2u_n+3 \end{array} \right.$

Le premier terme est donné : $u_0 = 1$.

Pour calculer $u_1$, on utilise la relation de récurrence avec $n=0$ : $$u_{0+1} = u_1 = 2u_0 + 3 = 2 \times 1 + 3 = 2 + 3 = 5$$

Pour calculer $u_2$, on utilise la relation de récurrence avec $n=1$ : $$u_{1+1} = u_2 = 2u_1 + 3 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13$$

Les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ dans le cas b. sont donc : $u_0 = 1$, $u_1 = 5$, et $u_2 = 13$.

Correction :

1. Calcul de $u_2$ :

Pour calculer $u_2$, nous utilisons la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n - 3$ avec $n=1$. On a : $$u_{1+1} = u_2 = 2u_1 - 3$$ Nous savons que $u_1 = 7$, donc on remplace $u_1$ par sa valeur : $$u_2 = 2 \times 7 - 3 = 14 - 3 = 11$$ Ainsi, $u_2 = 11$.

2. Calcul de $u_0$ :

Pour calculer $u_0$, nous devons utiliser la relation de récurrence à l'envers. Nous avons $u_{n+1} = 2u_n - 3$. Pour trouver une expression de $u_n$ en fonction de $u_{n+1}$, nous réarrangeons l'équation : $$u_{n+1} = 2u_n - 3 \Leftrightarrow u_{n+1} + 3 = 2u_n \Leftrightarrow u_n = \dfrac{u_{n+1} + 3}{2}$$ Maintenant, nous voulons trouver $u_0$, donc nous utilisons cette formule avec $n=0$ : $$u_0 = \dfrac{u_{0+1} + 3}{2} = \dfrac{u_1 + 3}{2}$$ Nous savons que $u_1 = 7$, donc on remplace $u_1$ par sa valeur : $$u_0 = \dfrac{7 + 3}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$ Ainsi, $u_0 = 5$.

Correction :

1. Cas 1. : Formule explicite $u_n=\dfrac{n-2}{n+1}$

Nous devons calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

Pour $n=0$ : $$u_0 = \dfrac{0-2}{0+1} = \dfrac{-2}{1} = -2$$

Pour $n=1$ : $$u_1 = \dfrac{1-2}{1+1} = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$$

Pour $n=2$ : $$u_2 = \dfrac{2-2}{2+1} = \dfrac{0}{3} = 0$$

Pour $n=3$ : $$u_3 = \dfrac{3-2}{3+1} = \dfrac{1}{4}$$

Les quatre premiers termes sont : $u_0 = -2$, $u_1 = -\dfrac{1}{2}$, $u_2 = 0$, et $u_3 = \dfrac{1}{4}$.

2. Cas 2. : Formule par récurrence $\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & {u_n}^2+2 \end{array} \right.$

Le premier terme est $u_0 = 1$.

Pour $u_1$ ($n=0$) : $$u_1 = {u_0}^2 + 2 = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$$

Pour $u_2$ ($n=1$) : $$u_2 = {u_1}^2 + 2 = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$$

Pour $u_3$ ($n=2$) : $$u_3 = {u_2}^2 + 2 = 11^2 + 2 = 121 + 2 = 123$$

Les quatre premiers termes sont : $u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_2 = 11$, et $u_3 = 123$.

3. Cas 3 : Formule par récurrence d'ordre 2 $\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_1 & = & 3\\ u_{n+2} & = & u_{n+1}-u_n \end{array} \right.$

Les deux premiers termes sont donnés : $u_0 = 1$ et $u_1 = 3$.

Pour $u_2$ ($n=0$) : $$u_{0+2} = u_2 = u_{1} - u_0 = 3 - 1 = 2$$

Pour $u_3$ ($n=1$) : $$u_{1+2} = u_3 = u_{2} - u_1 = 2 - 3 = -1$$

Les quatre premiers termes sont : $u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_2 = 2$, et $u_3 = -1$.

Correction :

1. Suite $(u_n)$ avec $u_n = \dfrac{(-2)^n}{n+1}$. Calcul de $u_5$.

Pour calculer $u_5$, on remplace $n$ par 5 dans la formule explicite : $$u_5 = \dfrac{(-2)^5}{5+1} = \dfrac{-32}{6} = -\dfrac{16}{3}$$ Donc, $u_5 = -\dfrac{16}{3}$.

2. Suite $(v_n)$ avec $v_{n+1}=v_n (v_n - 1) -2$ et $v_0 = 2$. Calcul de $v_3$.

Nous devons calculer les termes successivement en utilisant la relation de récurrence.

Pour $v_1$ ($n=0$) : $$v_1 = v_0 (v_0 - 1) - 2 = 2 (2 - 1) - 2 = 2 \times 1 - 2 = 2 - 2 = 0$$

Pour $v_2$ ($n=1$) : $$v_2 = v_1 (v_1 - 1) - 2 = 0 (0 - 1) - 2 = 0 \times (-1) - 2 = 0 - 2 = -2$$

Pour $v_3$ ($n=2$) : $$v_3 = v_2 (v_2 - 1) - 2 = (-2) (-2 - 1) - 2 = (-2) \times (-3) - 2 = 6 - 2 = 4$$

Donc, $v_3 = 4$.

3. Suite $(w_n)$ avec $w_{n+1}= (n+1)w_n$ et $w_0 = 1$. Calcul de $w_4$.

Nous devons calculer les termes successivement en utilisant la relation de récurrence.

Pour $w_1$ ($n=0$) : $$w_1 = (0+1)w_0 = 1 \times 1 = 1$$

Pour $w_2$ ($n=1$) : $$w_2 = (1+1)w_1 = 2 \times 1 = 2$$

Pour $w_3$ ($n=2$) : $$w_3 = (2+1)w_2 = 3 \times 2 = 6$$

Pour $w_4$ ($n=3$) : $$w_4 = (3+1)w_3 = 4 \times 6 = 24$$

Donc, $w_4 = 24$.

Correction :

1. Suite $(u_n)$ des entiers pairs : $u_0 = 0, \, u_1 = 2, \, u_2 = 4, \, u_3 = 6, \, \ldots$

Formule explicite : $u_n = 2n$

Formule par récurrence : $u_{n+1} = u_n + 2$, avec $u_0 = 0$.

2. Suite $(v_n)$ des entiers impairs : $v_0 = 1, \, v_1 = 3, \, v_2 = 5, \, v_3 = 7, \, \ldots$

Formule explicite : $v_n = 2n + 1$

Formule par récurrence : $v_{n+1} = v_n + 2$, avec $v_0 = 1$.

3. Suite $(w_n)$ des carrés parfaits : $w_0 = 0, \, w_1 = 1, \, w_2 = 4, \, w_3 = 9, \, w_4 = 16, \, \ldots$

Formule explicite : $w_n = n^2$

Formule par récurrence : $w_{n+1} = w_n + 2n + 1$, avec $w_0 = 0$.

Correction :

1. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ :

Nous utilisons la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 4n - 6$ et $u_0 = 1$.

Pour $u_1$ ($n=0$) : $$u_1 = u_0 + 4 \times 0 - 6 = 1 + 0 - 6 = -5$$

Pour $u_2$ ($n=1$) : $$u_2 = u_1 + 4 \times 1 - 6 = -5 + 4 - 6 = -7$$

Pour $u_3$ ($n=2$) : $$u_3 = u_2 + 4 \times 2 - 6 = -7 + 8 - 6 = -5$$

Donc, $u_1 = -5$, $u_2 = -7$, et $u_3 = -5$.

2. Vérification à la calculatrice et nature du nuage de points :

Après avoir calculé les premiers termes à la calculatrice (et vérifié nos calculs manuels), si on affiche le nuage de points des premiers termes (par exemple, pour $n=0, 1, \ldots, 6$), on observera une allure parabolique. Cela suggère que la suite peut être modélisée par une fonction polynomiale du second degré, c'est-à-dire une fonction quadratique de la forme $f(n) = an^2 + bn + c$.

3. Détermination de $a$, $b$ et $c$ tels que $u_n = an^2 + bn + c$ :

Nous savons que $u_0 = 1$, $u_1 = -5$, $u_2 = -7$. Utilisons ces valeurs pour former un système d'équations :

Pour $n=0$ : $u_0 = a(0)^2 + b(0) + c = c = 1$. Donc, $c = 1$.

Pour $n=1$ : $u_1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = -5$. Comme $c=1$, on a $a + b + 1 = -5$, donc $a + b = -6$.

Pour $n=2$ : $u_2 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = -7$. Comme $c=1$, on a $4a + 2b + 1 = -7$, donc $4a + 2b = -8$, ou $2a + b = -4$.

Nous avons le système : $$\left \{ \begin{array}{l} a + b = -6 \\ 2a + b = -4 \end{array} \right.$$ Soustrayons la première équation de la seconde : $(2a + b) - (a + b) = -4 - (-6) \Leftrightarrow a = 2$.

Substituons $a=2$ dans la première équation : $2 + b = -6 \Leftrightarrow b = -8$.

Donc, $a = 2$, $b = -8$, et $c = 1$. Ainsi, on conjecture que $u_n = 2n^2 - 8n + 1$.

4. Vérification de la relation de récurrence :

Nous devons vérifier si $u_{n+1} = u_n + 4n - 6$ pour $u_n = 2n^2 - 8n + 1$.

Calculons $u_{n+1}$ en utilisant la formule trouvée : $$u_{n+1} = 2(n+1)^2 - 8(n+1) + 1 = 2(n^2 + 2n + 1) - 8n - 8 + 1 = 2n^2 + 4n + 2 - 8n - 8 + 1 = 2n^2 - 4n - 5$$

Calculons maintenant $u_n + 4n - 6$ en utilisant $u_n = 2n^2 - 8n + 1$ : $$u_n + 4n - 6 = (2n^2 - 8n + 1) + 4n - 6 = 2n^2 - 4n - 5$$

Nous constatons que $u_{n+1} = u_n + 4n - 6$. De plus, pour $n=0$, $u_0 = 2(0)^2 - 8(0) + 1 = 1$, qui est la condition initiale. Donc, la formule explicite $u_n = 2n^2 - 8n + 1$ vérifie bien la relation de récurrence donnée.

Correction :

1. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ :

Nous utilisons la relation de récurrence $u_{n+1} = 3 - u_n$ et $u_0 = -1$.

Pour $u_1$ ($n=0$) : $$u_1 = 3 - u_0 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$$

Pour $u_2$ ($n=1$) : $$u_2 = 3 - u_1 = 3 - 4 = -1$$

Pour $u_3$ ($n=2$) : $$u_3 = 3 - u_2 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$$

Donc, $u_1 = 4$, $u_2 = -1$, et $u_3 = 4$.

2. Conjecture des valeurs de $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ :

Observons les premiers termes : $u_0 = -1$, $u_1 = 4$, $u_2 = -1$, $u_3 = 4$, $\ldots$

Il semble que les termes d'indice pair soient égaux à $-1$ et les termes d'indice impair soient égaux à $4$. Donc, nous pouvons conjecturer :

Pour tout entier naturel $n$, $u_{2n} = -1$ et $u_{2n+1} = 4$.

3. Démonstration que $u_{n+2} = u_n$ :

Nous voulons montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2} = u_n$. Partons de la relation de récurrence $u_{n+1} = 3 - u_n$. Exprimons $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$ : $$u_{n+2} = 3 - u_{n+1}$$ Maintenant, remplaçons $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ : $$u_{n+2} = 3 - (3 - u_n) = 3 - 3 + u_n = u_n$$ Donc, $u_{n+2} = u_n$ pour tout entier naturel $n$. Cela signifie que la suite est périodique de période 2.

Cette propriété $u_{n+2} = u_n$ confirme notre conjecture :

Pour $n=0$, $u_0 = -1$. Alors $u_2 = u_0 = -1$, $u_4 = u_2 = -1$, et ainsi de suite. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{2n} = -1$.

Pour $n=0$, $u_1 = 4$. Alors $u_3 = u_1 = 4$, $u_5 = u_3 = 4$, et ainsi de suite. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{2n+1} = 4$.

La démonstration que $u_{n+2} = u_n$ est valable quelle que soit la valeur de $u_0$. Si on avait pris une autre valeur de $u_0$, par exemple $u_0 = 5$, alors $u_1 = 3 - 5 = -2$, $u_2 = 3 - (-2) = 5$, $u_3 = 3 - 5 = -2$, $\ldots$. Dans ce cas, $u_{2n} = 5$ et $u_{2n+1} = -2$. La suite reste périodique de période 2, mais avec d'autres valeurs.

Correction :

1. Algorithme Python :

def termes_suite_p(n):
    # Fonction pour calculer les n premiers termes de la suite p_n
    if n <= 0:
        return [] # Retourne une liste vide si n est non positif
    liste_p = [0] * n # Initialise une liste pour stocker les termes
    liste_p[0] = 0.3 # Initialise le premier terme p_0
    for i in range(1, n):
        liste_p[i] = 0.3 + 0.7 * (liste_p[i-1]**2) # Calcule le terme suivant avec la formule de récurrence
    return liste_p

# Exemple d'utilisation pour afficher les 5 premiers termes
premiers_termes = termes_suite_p(5)
print(premiers_termes)

Explication de l'algorithme :

Cet algorithme utilise une boucle `for` pour calculer les termes de la suite $(p_n)$ jusqu'au rang $n-1$. Il initialise une liste, définit le premier terme $p_0$, puis utilise la relation de récurrence pour calculer les termes suivants et les ajoute à la liste. Enfin, il retourne la liste des $n$ premiers termes.

Correction :

1. Arbre qui pousse de 30 cm par an :

Terme initial : $u_0$ = hauteur initiale de l'arbre.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n + 30$.

2. Livre à 12€ avec augmentation de 7% par an :

Terme initial : $u_0 = 12$.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = 1.07 \times u_n$.

3. Livre à 12€ avec baisse de 7% par an :

Terme initial : $u_0 = 12$.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = 0.93 \times u_n$.

4. Ville de 100 000 habitants, +4% et -3000 habitants :

Terme initial : $u_0 = 100000$.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = 1.04 \times u_n - 3000$.

5. Placement de 350€ à 4% d'intérêts composés :

Terme initial : $u_0 = 350$.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = 1.04 \times u_n$.

Correction :

1. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ :

$u_1 = 2u_0 - 0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3$.

$u_2 = 2u_1 - 1 + 1 = 2 \times 3 = 6$.

$u_3 = 2u_2 - 2 + 1 = 2 \times 6 - 1 = 11$.

2. Relation entre $u_n$ et $u_{n-1}$ pour $n \ge 1$ :

En remplaçant $n$ par $n-1$ dans $u_{n+1}=2u_n-n+1$, on obtient : $u_n = 2u_{n-1} - (n-1) + 1 = 2u_{n-1} - n + 2$.

3. Suite $(v_n)$ définie par $v_n = 2^n + n$ :

a. Calcul de $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$ :

$v_0 = 2^0 + 0 = 1$.

$v_1 = 2^1 + 1 = 3$.

$v_2 = 2^2 + 2 = 6$.

$v_3 = 2^3 + 3 = 11$.

b. Conjecture et démonstration :

Conjecture : $u_n = v_n$ pour tout $n \ge 0$.

Démonstration par récurrence (hors programme terminale) :

Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1$ et $v_0 = 1$, donc $u_0 = v_0$.

Hérédité : Supposons $u_k = v_k$ pour un certain $k \ge 0$. Alors,

$u_{k+1} = 2u_k - k + 1 = 2v_k - k + 1 = 2(2^k + k) - k + 1 = 2^{k+1} + 2k - k + 1 = 2^{k+1} + k + 1 = v_{k+1}$.

Conclusion : Par récurrence, $u_n = v_n$ pour tout $n \ge 0$.

Correction :

1. Calcul des 9 premiers termes pour $u_0=10$ :

10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2. On observe un cycle 4, 2, 1 à la fin.

2. Observation pour $u_0=13$ :

13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. On observe aussi un cycle 4, 2, 1 à la fin, après être passé par 1.

3. Conjecture :

Pour n'importe quel entier de départ strictement positif, la suite de Syracuse atteint toujours 1, puis entre dans le cycle 4, 2, 1.

4. Algorithme pour tester la conjecture :

def syracuse(u0):
    # Algorithme pour tester la conjecture de Syracuse
    terme = u0
    print("Suite pour u0 =", u0, ":")
    print(terme) # Afficher le terme initial
    while terme != 1:
        if terme % 2 == 0: # Si terme est pair
            terme = terme / 2
        else: # Si terme est impair
            terme = 3 * terme + 1
        print(int(terme)) # Afficher le terme suivant
    print("La suite a atteint 1.")

# Tester avec u0 = 7 (par exemple)
syracuse(7)

Explication de l'algorithme :

Cet algorithme prend un entier initial $u_0$ et calcule les termes de la suite de Syracuse jusqu'à ce que le terme atteigne 1. Il utilise une boucle `while` qui continue tant que le terme n'est pas égal à 1. À chaque étape, il vérifie si le terme est pair ou impair et applique la règle correspondante pour calculer le terme suivant. Les termes de la suite sont affichés à chaque étape.

Correction :

1. Algorithme Python :

u = 1 # u_0
v = 0 # v_0
n = 0 # Indice

while u <= 1000 or v <= 1000: # Boucle tant que u ou v n'est pas supérieur à 1000
    u_suivant = 3*u + 4*v # Calcul de u_{n+1}
    v_suivant = 2*u + 3*v # Calcul de v_{n+1}
    u = u_suivant # Mise à jour de u
    v = v_suivant # Mise à jour de v
    n = n + 1 # Incrémenter n

print("Premier couple (u_n, v_n) > 1000 est (u_", n, ", v_", n, ") = (", u, ", ", v, ")")

Explication de l'algorithme :

Cet algorithme utilise une boucle `while` pour itérer jusqu'à ce que les deux conditions ($u_n > 1000$ et $v_n > 1000$) soient satisfaites. Il initialise $u$, $v$ et $n$ avec les valeurs initiales. Dans chaque itération, il calcule les termes suivants de $u_n$ et $v_n$ en utilisant les relations de récurrence, puis met à jour $u$, $v$, et incrémente $n$. Une fois la boucle terminée, il affiche le premier couple $(u_n, v_n)$ qui satisfait la condition.

Correction :

1. Calcul pour $u_0=0$ :

$u_0 = 0, u_1 = -1, u_2 = 0, u_3 = -1$. On observe une périodicité.

2. Calcul pour $u_0=2$ :

$u_0 = 2, u_1 = 3, u_2 = 2, u_3 = 3$. On observe aussi une périodicité.

3. Conjecture :

La suite $(u_n)$ est périodique de période 2, c'est-à-dire $u_{n+2} = u_n$ pour tout $n$.

4. Démonstration :

Calculons $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$ :

$u_{n+2} = \dfrac{u_{n+1} + 1}{u_{n+1} - 1} = \dfrac{\frac{u_n + 1}{u_n - 1} + 1}{\frac{u_n + 1}{u_n - 1} - 1} = \dfrac{(u_n + 1) + (u_n - 1)}{(u_n + 1) - (u_n - 1)} = \dfrac{2u_n}{2} = u_n$.

Donc $u_{n+2} = u_n$, ce qui démontre la conjecture.

Correction :

1. Formule pour tableur en cellule A3 pour suite $(u_n)$ :

La formule à écrire dans la cellule B3 (et à étirer vers le bas) pour obtenir les termes successifs de la suite $(u_n)$ est : `=2*B2+5`.

2. Premiers termes de la suite $(v_n)$ avec tableur :

Pour la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et $v_{n+1}=2n v_n+5$, en utilisant un tableur, on trouve les premiers termes suivants :

$v_0 = 3$

$v_1 = 2 \times 0 \times v_0 + 5 = 5$

$v_2 = 2 \times 1 \times v_1 + 5 = 2 \times 5 + 5 = 15$

$v_3 = 2 \times 2 \times v_2 + 5 = 4 \times 15 + 5 = 65$

$v_4 = 2 \times 3 \times v_3 + 5 = 6 \times 65 + 5 = 395$

Les premiers termes de $(v_n)$ sont : 3, 5, 15, 65, 395, ...