Exercices : Trigonométrie

Correction :

1. Calcul des angles :

$$a. π - π/5 = \frac{5π}{5} - \frac{π}{5} = \frac{4π}{5}$$

$$b. π + π/5 = \frac{5π}{5} + \frac{π}{5} = \frac{6π}{5}$$

$$c. π/2 - π/5 = \frac{5π}{10} - \frac{2π}{10} = \frac{3π}{10}$$

$$d. π/2 + π/5 = \frac{5π}{10} + \frac{2π}{10} = \frac{7π}{10}$$

2. Déduction des valeurs exactes :

Pour $\cos(4π/5)$ et $\sin(4π/5)$ :

On utilise les formules des angles supplémentaires : $\cos(π - x) = -\cos(x)$ et $\sin(π - x) = \sin(x)$.

$$\cos(4π/5) = \cos(π - π/5) = -\cos(π/5) = - \sqrt{ \frac{3+\sqrt{5}}{8} }$$

$$\sin(4π/5) = \sin(π - π/5) = \sin(π/5) = \sqrt{ \frac{5-\sqrt{5}}{8} }$$

Pour $\cos(6π/5)$ et $\sin(6π/5)$ :

On utilise les formules des angles supplémentaires décalés de π : $\cos(π + x) = -\cos(x)$ et $\sin(π + x) = -\sin(x)$.

$$\cos(6π/5) = \cos(π + π/5) = -\cos(π/5) = - \sqrt{ \frac{3+\sqrt{5}}{8} }$$

$$\sin(6π/5) = \sin(π + π/5) = -\sin(π/5) = - \sqrt{ \frac{5-\sqrt{5}}{8} }$$

Pour $\cos(3π/10)$ et $\sin(3π/10)$ :

On utilise les formules des angles complémentaires : $\cos(π/2 - x) = \sin(x)$ et $\sin(π/2 - x) = \cos(x)$.

$$\cos(3π/10) = \cos(π/2 - π/5) = \sin(π/5) = \sqrt{ \frac{5-\sqrt{5}}{8} }$$

$$\sin(3π/10) = \sin(π/2 - π/5) = \cos(π/5) = \sqrt{ \frac{3+\sqrt{5}}{8} }$$

Pour $\cos(7π/10)$ et $\sin(7π/10)$ :

On utilise les formules des angles π/2 + x : $\cos(π/2 + x) = -\sin(x)$ et $\sin(π/2 + x) = \cos(x)$.

$$\cos(7π/10) = \cos(π/2 + π/5) = -\sin(π/5) = - \sqrt{ \frac{5-\sqrt{5}}{8} }$$

$$\sin(7π/10) = \sin(π/2 + π/5) = \cos(π/5) = \sqrt{ \frac{3+\sqrt{5}}{8} }$$

Correction :

Pour $\sin(11π/12)$ :

On remarque que $11π/12 = π - π/12$. On utilise la formule $\sin(π - x) = \sin(x)$.

$$\sin(11π/12) = \sin(π - π/12) = \sin(π/12) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

Pour $\cos(13π/12)$ :

On remarque que $13π/12 = π + π/12$. On utilise la formule $\cos(π + x) = -\cos(x)$.

$$\cos(13π/12) = \cos(π + π/12) = -\cos(π/12) = - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Pour $\cos(5π/12)$ :

On remarque que $5π/12 = π/2 - π/12$. On utilise la formule $\cos(π/2 - x) = \sin(x)$.

$$\cos(5π/12) = \cos(π/2 - π/12) = \sin(π/12) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

Pour $\sin(7π/12)$ :

On remarque que $7π/12 = π/2 + π/12$. On utilise la formule $\sin(π/2 + x) = \cos(x)$.

$$\sin(7π/12) = \sin(π/2 + π/12) = \cos(π/12) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Correction :

Pour $\sin(3π/5)$ et $\cos(3π/5)$ :

On remarque que $3π/5 = π - 2π/5$. On utilise les formules $\sin(π - x) = \sin(x)$ et $\cos(π - x) = -\cos(x)$.

$$\sin(3π/5) = \sin(π - 2π/5) = \sin(2π/5) = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$$

$$\cos(3π/5) = \cos(π - 2π/5) = -\cos(2π/5) = - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$$

Pour $\sin(π/10)$ et $\cos(π/10)$ :

On remarque que $π/10 = π/2 - 2π/5$. On utilise les formules $\sin(π/2 - x) = \cos(x)$ et $\cos(π/2 - x) = \sin(x)$.

$$\sin(π/10) = \sin(π/2 - 2π/5) = \cos(2π/5) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$

$$\cos(π/10) = \cos(π/2 - 2π/5) = \sin(2π/5) = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$$

Pour $\sin(9π/10)$ et $\cos(9π/10)$ :

On remarque que $9π/10 = π - π/10$. On utilise les formules $\sin(π - x) = \sin(x)$ et $\cos(π - x) = -\cos(x)$.

$$\sin(9π/10) = \sin(π - π/10) = \sin(π/10) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$

$$\cos(9π/10) = \cos(π - π/10) = -\cos(π/10) = - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$$

Pour $\sin(7π/5)$ et $\cos(7π/5)$ :

On remarque que $7π/5 = π + 2π/5$. On utilise les formules $\sin(π + x) = -\sin(x)$ et $\cos(π + x) = -\cos(x)$.

$$\sin(7π/5) = \sin(π + 2π/5) = -\sin(2π/5) = - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$$

$$\cos(7π/5) = \cos(π + 2π/5) = -\cos(2π/5) = - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$$

Correction :

1. Montrons que $h$ est périodique de période $π$.

Pour montrer qu'une fonction $h$ est périodique de période $T$, il faut vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x + T) = h(x)$. Ici, $T = π$ et $h(x) = \sin(2x)$.

Calculons $h(x + π)$ :

$$h(x + π) = \sin(2(x + π)) = \sin(2x + 2π)$$

Or, la fonction sinus est périodique de période $2π$, donc $\sin(α + 2π) = \sin(α)$ pour tout réel $α$. Ici, $α = 2x$.

$$h(x + π) = \sin(2x + 2π) = \sin(2x) = h(x)$$

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x + π) = h(x)$. Donc, la fonction $h$ est périodique de période $π$.

2. Conséquence sur la courbe représentative de $h$ :

La périodicité de période $π$ de la fonction $h$ signifie que la courbe représentative de $h$ se répète à l'identique tous les $π$ unités sur l'axe des abscisses. En d'autres termes, si on connaît la courbe sur un intervalle de longueur $π$, on connaît la courbe sur $\mathbb{R}$ entier par translations horizontales de vecteur $kπ \vec{i}$, où $k$ est un entier relatif.

Correction :

1. Pour $f(x) = \sin(10πx)$ avec $T = 0,2$ :

Il faut montrer que $f(x + 0,2) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$$f(x + 0,2) = \sin(10π(x + 0,2)) = \sin(10πx + 10π \times 0,2) = \sin(10πx + 2π)$$

Comme la fonction sinus est périodique de période $2π$, on a $\sin(α + 2π) = \sin(α)$.

$$f(x + 0,2) = \sin(10πx + 2π) = \sin(10πx) = f(x)$$

Donc, $f$ est périodique de période $T = 0,2$.

2. Pour $f(x) = \cos(4x + π/3)$ avec $T = π/2$ :

Il faut montrer que $f(x + π/2) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$$f(x + π/2) = \cos(4(x + π/2) + π/3) = \cos(4x + 4 \times π/2 + π/3) = \cos(4x + 2π + π/3)$$

Comme la fonction cosinus est périodique de période $2π$, on a $\cos(α + 2π) = \cos(α)$.

$$f(x + π/2) = \cos(4x + 2π + π/3) = \cos(4x + π/3) = f(x)$$

Donc, $f$ est périodique de période $T = π/2$.

Correction :

1. Pour le Graphique 1 :

Observons le graphique 1. On peut voir un motif qui se répète. Partons d'un point, par exemple un maximum. Le maximum suivant se trouve à une distance horizontale qui correspond à la période.

Sur l'axe des abscisses, les graduations sont de $5 \times 10^{-2} = 0,05$. On observe que le motif se répète tous les $0,1$. En effet, entre $-0,1$ et $0$, puis entre $0$ et $0,1$, puis entre $0,1$ et $0,2$, on a un cycle complet.

Donc, graphiquement, la période de la fonction représentée sur le Graphique 1 est $T = 0,1$.

2. Pour le Graphique 2 :

Observons le graphique 2. De même, on cherche la distance horizontale après laquelle le motif se répète.

Sur l'axe des abscisses, les graduations sont de $0,5$. On observe que le motif se répète tous les $1,5$ unités.

Donc, graphiquement, la période de la fonction représentée sur le Graphique 2 est $T = 1,5$.

Correction :

1. Montrons que $f$ est une fonction paire.

Pour montrer qu'une fonction $f$ est paire, il faut vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = f(x)$. Ici, $f(x) = \cos(x) + x^2$.

Calculons $f(-x)$ :

$$f(-x) = \cos(-x) + (-x)^2$$

On sait que la fonction cosinus est paire, donc $\cos(-x) = \cos(x)$. Et $(-x)^2 = x^2$.

$$f(-x) = \cos(-x) + (-x)^2 = \cos(x) + x^2 = f(x)$$

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = f(x)$. Donc, la fonction $f$ est paire.

2. Déduction sur la courbe représentative de $f$ :

Le fait que $f$ soit une fonction paire signifie que sa courbe représentative admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Si un point de coordonnées $(x, y)$ est sur la courbe, alors le point de coordonnées $(-x, y)$ est également sur la courbe.

Correction :

1. Montrons que $g$ est une fonction impaire.

Pour montrer qu'une fonction $g$ est impaire, il faut vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(-x) = -g(x)$. Ici, $g(x) = x + \sin x$.

Calculons $g(-x)$ :

$$g(-x) = (-x) + \sin(-x)$$

On sait que la fonction sinus est impaire, donc $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$$g(-x) = -x - \sin(x) = -(x + \sin x) = -g(x)$$

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(-x) = -g(x)$. Donc, la fonction $g$ est impaire.

2. Déduction sur la courbe représentative de $g$ :

Le fait que $g$ soit une fonction impaire signifie que sa courbe représentative admet l'origine du repère comme centre de symétrie. Si un point de coordonnées $(x, y)$ est sur la courbe, alors le point de coordonnées $(-x, -y)$ est également sur la courbe.

Correction :

1. $f(x) = x \sin(x)$ :

$$f(-x) = (-x) \sin(-x) = (-x) (-\sin(x)) = x \sin(x) = f(x)$$

Donc, $f$ est paire.

2. $f(x) = x \cos(x)$ :

$$f(-x) = (-x) \cos(-x) = (-x) \cos(x) = -x \cos(x) = -f(x)$$

Donc, $f$ est impaire.

3. $f(x) = (\sin(x))^2$ :

$$f(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin(x))^2 = (\sin(x))^2 = f(x)$$

Donc, $f$ est paire.

4. $f(x) = x^2 / (2 + \cos(x))$ :

$$f(-x) = \frac{(-x)^2}{2 + \cos(-x)} = \frac{x^2}{2 + \cos(x)} = f(x)$$

Donc, $f$ est paire.

Correction :

1. $f(x) = \sin(3x)$ :

$$f(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -f(x)$$

Donc, $f$ est impaire.

2. $f(x) = 2\cos(5πx)$ :

$$f(-x) = 2\cos(5π(-x)) = 2\cos(-5πx) = 2\cos(5πx) = f(x)$$

Donc, $f$ est paire.

3. $f(x) = 1,5\cos(x+1)$ :

$$f(-x) = 1,5\cos((-x)+1) = 1,5\cos(1-x)$$

En général, $\cos(1-x) \neq \cos(x)$ et $\cos(1-x) \neq -\cos(x)$. Par exemple, si $x=0$, $f(0) = 1,5\cos(1)$ et $f(-0) = f(0) = 1,5\cos(1)$. Si $x=π$, $f(π) = 1,5\cos(π+1) = -1,5\cos(1)$ et $f(-π) = 1,5\cos(1-π) = 1,5\cos(π-1) = -1,5\cos(-1) = -1,5\cos(1)$.

Cependant, si nous prenons $x=π/2 - 1$, $f(π/2 - 1) = 1,5\cos(π/2) = 0$. $f(-(π/2 - 1)) = f(1 - π/2) = 1,5\cos(1 - π/2 + 1) = 1,5\cos(2 - π/2) \neq 0$.

Donc, $f$ n'est ni paire ni impaire.

Correction :

Pour compléter le graphe d'une fonction paire sur l'intervalle [-5;5] sachant qu'on a la partie sur [0;5], on utilise la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour chaque point $(x, y)$ sur la courbe pour $x \ge 0$, le point $(-x, y)$ doit également être sur la courbe. En d'autres termes, on prend la partie du graphe déjà dessinée pour $x \ge 0$ et on la reflète par rapport à l'axe des ordonnées pour obtenir la partie pour $x \le 0$.

Le graphe complété, tracé à main levée, serait une réflexion de la partie droite par rapport à l'axe vertical, assurant une symétrie visuelle par rapport à cet axe.

Correction :

Pour répondre à cette question, rappelons la définition d'une fonction impaire : une fonction $f$ est impaire si pour tout $x$ dans son domaine de définition, $f(-x) = -f(x)$.

Considérons le cas particulier où $x = 0$. Si $0$ est dans le domaine de définition de $f$, alors la condition d'imparité doit être vraie pour $x = 0$.

Donc, $f(-0) = -f(0)$, ce qui donne $f(0) = -f(0)$.

La seule valeur qui est égale à son opposé est $0$. Par conséquent, $f(0) = 0$.

Ainsi, si $0$ appartient au domaine de définition d'une fonction impaire, alors la fonction s'annule forcément en $0$.

Cependant, si $0$ n'appartient pas au domaine de définition de la fonction, alors une fonction impaire ne s'annule pas forcément. Mais dans le contexte des fonctions trigonométriques et des fonctions étudiées en terminale, le domaine de définition est généralement $\mathbb{R}$ ou un intervalle contenant $0$.

Dans la plupart des cas rencontrés au lycée (fonctions définies sur $\mathbb{R}$ ou un intervalle centré en 0), une fonction impaire s'annulera effectivement en 0.

Réponse : Oui, si 0 est dans le domaine de définition, une fonction impaire s'annule forcément en 0.