Exercices : Calcul algébrique et résolution d'équation

Correction : Exercice 1

Cet exercice porte sur la simplification d'expressions algébriques avec la fonction exponentielle. Nous allons utiliser les propriétés fondamentales de l'exponentielle pour simplifier chaque expression.

Rappels de cours :

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ :

• $e^a \times e^b = e^{a+b}$

• $\frac{1}{e^a} = e^{-a}$

• $(e^a)^n = e^{an}$

1. Simplifions $exp(3)exp(5)$ :

En utilisant la propriété $e^a \times e^b = e^{a+b}$, on a :

$exp(3)exp(5) = e^3 \times e^5 = e^{3+5} = e^8$

2. Simplifions $exp(-2)exp(4)$ :

De même, en utilisant $e^a \times e^b = e^{a+b}$ :

$exp(-2)exp(4) = e^{-2} \times e^4 = e^{-2+4} = e^2$

3. Simplifions $1/exp(-5)$ :

En utilisant la propriété $\frac{1}{e^a} = e^{-a}$, avec $a = -5$, on obtient :

$\frac{1}{exp(-5)} = \frac{1}{e^{-5}} = e^{-(-5)} = e^5$

4. Simplifions $(exp(5))^3$ :

En utilisant la propriété $(e^a)^n = e^{an}$, avec $a = 5$ et $n = 3$, on a :

$(exp(5))^3 = (e^5)^3 = e^{5 \times 3} = e^{15}$

Conclusion : Les expressions simplifiées sont respectivement $e^8$, $e^2$, $e^5$ et $e^{15}$. Il est crucial de bien maîtriser les règles de calcul sur les exposants pour manipuler correctement les expressions avec la fonction exponentielle.

Correction : Exercice 2

Dans cet exercice, nous continuons à simplifier diverses expressions impliquant la constante $e$ et les propriétés de l'exponentielle.

Rappels importants :

• $e^a \times e^b = e^{a+b}$

• $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$

• $(e^a)^b = e^{ab}$

• $e = e^1$

1. Simplifions $e^{3} e^{4}$ :

En utilisant $e^a \times e^b = e^{a+b}$, on a :

$e^{3} e^{4} = e^{3+4} = e^{7}$

2. Simplifions $e^{4} e^{-4}$ :

Avec la même propriété :

$e^{4} e^{-4} = e^{4+(-4)} = e^{0} = 1$

3. Simplifions $(e^{5} e^{-3})/e^{-2}$ :

D'abord, simplifions le numérateur : $e^{5} e^{-3} = e^{5+(-3)} = e^{2}$.

Puis, $\frac{e^{2}}{e^{-2}} = e^{2 - (-2)} = e^{2+2} = e^{4}$

4. Simplifions $e^{5} e$ :

Rappelez-vous que $e = e^1$. Donc, $e^{5} e = e^{5} e^{1} = e^{5+1} = e^{6}$

5. Simplifions $(e^{4})^{3} e^{4}$ :

D'abord, $(e^{4})^{3} = e^{4 \times 3} = e^{12}$.

Ensuite, $e^{12} e^{4} = e^{12+4} = e^{16}$

6. Simplifions $e e^{5}+5(e^{2})^{3}$ :

Premièrement, $e e^{5} = e^{6}$.

Deuxièmement, $(e^{2})^{3} = e^{2 \times 3} = e^{6}$.

Donc, $e^{6}+5e^{6} = (1+5)e^{6} = 6e^{6}$

7. Simplifions $(e^{3})^{-2} e^{5}$ :

Premièrement, $(e^{3})^{-2} = e^{3 \times (-2)} = e^{-6}$.

Ensuite, $e^{-6} e^{5} = e^{-6+5} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

8. Simplifions $(e-\sqrt{e})/(\sqrt{e}-1)$ :

On remarque que $e = (\sqrt{e})^2$. L'expression devient :

$\frac{e-\sqrt{e}}{\sqrt{e}-1} = \frac{(\sqrt{e})^2-\sqrt{e}}{\sqrt{e}-1} = \frac{\sqrt{e}(\sqrt{e}-1)}{\sqrt{e}-1}$

On peut simplifier par $(\sqrt{e}-1)$ (si $\sqrt{e}-1 \neq 0$, ce qui est le cas) :

$\frac{\sqrt{e}(\sqrt{e}-1)}{\sqrt{e}-1} = \sqrt{e} = e^{1/2}$

Conclusion : Cet exercice renforce l'application des règles de calcul avec les exponentielles. Soyez attentif à chaque étape de simplification pour éviter les erreurs.

Correction : Exercice 3

Dans cet exercice, nous allons simplifier des expressions exponentielles où l'exposant contient la variable $x$. Les propriétés de l'exponentielle restent les mêmes et sont essentielles pour ces simplifications.

Rappels :

• $e^a \times e^b = e^{a+b}$

• $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$

• $(e^a)^b = e^{ab}$

• $e = e^1$

• $\sqrt{e^a} = e^{a/2}$

1. Simplifions $e^{x} e^{-x}$ :

$e^{x} e^{-x} = e^{x+(-x)} = e^{0} = 1$

2. Simplifions $e^{x} e^{-x+1}$ :

$e^{x} e^{-x+1} = e^{x+(-x+1)} = e^{1} = e$

3. Simplifions $e e^{-x}$ :

$e e^{-x} = e^{1} e^{-x} = e^{1+(-x)} = e^{1-x}$

4. Simplifions $e^{2x}/e^{2-x}$ :

$\frac{e^{2x}}{e^{2-x}} = e^{2x - (2-x)} = e^{2x - 2 + x} = e^{3x-2}$

5. Simplifions $(e^{-x})^{2}$ :

$(e^{-x})^{2} = e^{-x \times 2} = e^{-2x}$

6. Simplifions $e^{x} (e^{x}+e^{-x})$ :

On distribue $e^x$ : $e^{x} (e^{x}+e^{-x}) = e^{x} \times e^{x} + e^{x} \times e^{-x} = e^{x+x} + e^{x+(-x)} = e^{2x} + e^{0} = e^{2x} + 1$

7. Simplifions $(e^{x})^{5} (e^{-2x})^{2}$ :

$(e^{x})^{5} = e^{5x}$ et $(e^{-2x})^{2} = e^{-4x}$.

Donc, $e^{5x} e^{-4x} = e^{5x+(-4x)} = e^{x}$

8. Simplifions $(e^{x})^{3}/e^{2x}$ :

$(e^{x})^{3} = e^{3x}$.

$\frac{e^{3x}}{e^{2x}} = e^{3x - 2x} = e^{x}$

9. Simplifions $e^{-3x+1}(e^{x})^{3}$ :

$(e^{x})^{3} = e^{3x}$.

$e^{-3x+1} e^{3x} = e^{(-3x+1) + 3x} = e^{1} = e$

10. Simplifions $\sqrt{(e^{-2x})}$ :

$\sqrt{(e^{-2x})} = (e^{-2x})^{1/2} = e^{-2x \times (1/2)} = e^{-x}$

On suppose ici que l'on considère la racine carrée positive, ce qui est standard lorsqu'on utilise le symbole $\sqrt{}$.

11. Simplifions $(x e^{x})^{-2}$ :

$(x e^{x})^{-2} = \frac{1}{(x e^{x})^{2}} = \frac{1}{x^2 (e^{x})^{2}} = \frac{1}{x^2 e^{2x}}$ ou encore $x^{-2} e^{-2x}$

12. Simplifions $(e^{-4x}e)/((e^{-x})^{2})$ :

$(e^{-x})^{2} = e^{-2x}$.

$\frac{e^{-4x}e}{e^{-2x}} = \frac{e^{-4x+1}}{e^{-2x}} = e^{(-4x+1) - (-2x)} = e^{-4x+1+2x} = e^{-2x+1} = e^{1-2x}$

Conclusion : La manipulation des expressions avec des variables en exposant demande une application rigoureuse des règles. Entraînez-vous régulièrement pour devenir à l'aise avec ces simplifications.

Correction : Exercice 4

Cet exercice met l'accent sur la simplification d'expressions plus complexes, nécessitant souvent l'utilisation d'identités remarquables en plus des propriétés de l'exponentielle.

Rappels importants :

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

• $e^a \times e^b = e^{a+b}$

• $e^a \times e^{-a} = e^{0} = 1$

1. Simplifions $(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}$ :

On reconnaît ici la forme $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ avec $A = (e^{x}+e^{-x})$ et $B = (e^{x}-e^{-x})$.

Ou bien, développons chaque carré et simplifions :

$(e^{x}+e^{-x})^{2} = (e^{x})^2 + 2e^{x}e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

$(e^{x}-e^{-x})^{2} = (e^{x})^2 - 2e^{x}e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

Donc, $(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2} = (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})$

= $e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x} = 4$

Remarque : On aurait aussi pu utiliser directement l'identité remarquable $A^2 - B^2$ = $(A+B)(A-B)$

= $[(e^{x}+e^{-x})+(e^{x}-e^{-x})] \times [(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})]$

= $[2e^x] \times [2e^{-x}] = 4e^x e^{-x} = 4$.

2. Simplifions $(e^{x}-e^{-x})^{2}-e^{-x}(e^{3x}-e^{-x})$ :

Développons $(e^{x}-e^{-x})^{2} = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$.

Distribuons $e^{-x}(e^{3x}-e^{-x}) = e^{-x}e^{3x} - e^{-x}e^{-x} = e^{2x} - e^{-2x}$.

Donc, $(e^{x}-e^{-x})^{2}-e^{-x}(e^{3x}-e^{-x}) = (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - e^{-2x}) = e^{2x} - 2 + e^{-2x} - e^{2x} + e^{-2x} = 2e^{-2x} - 2$

3. Simplifions $(e^{x}-e^{-x})(e^{2x}+e^{x}+1)$ :

Développons en distribuant chaque terme de la première parenthèse sur la seconde :

$e^{x}(e^{2x}+e^{x}+1) - e^{-x}(e^{2x}+e^{x}+1) = (e^{3x}+e^{2x}+e^{x}) - (e^{x}+e^{0}+e^{-x})$

= $e^{3x}+e^{2x}+e^{x} - e^{x} - 1 - e^{-x} = e^{3x}+e^{2x} - 1 - e^{-x}$

Il n'y a pas de simplification majeure ici, l'expression développée est déjà une forme simplifiée.

4. Simplifions $(e^{3x})^{2}+(e^{-3x})^{2}-(e^{3x}-e^{-3x})^{2}$ :

$(e^{3x})^{2} = e^{6x}$, $(e^{-3x})^{2} = e^{-6x}$, $(e^{3x}-e^{-3x})^{2} = (e^{3x})^2 - 2e^{3x}e^{-3x} + (e^{-3x})^2 = e^{6x} - 2 + e^{-6x}$.

Donc, $(e^{3x})^{2}+(e^{-3x})^{2}-(e^{3x}-e^{-3x})^{2} = e^{6x} + e^{-6x} - (e^{6x} - 2 + e^{-6x}) = e^{6x} + e^{-6x} - e^{6x} + 2 - e^{-6x} = 2$

5. Simplifions $(e^{3x})^{2}-e^{2x}(e^{2x}+e^{-2})^{2}$ :

$(e^{3x})^{2} = e^{6x}$.

$(e^{2x}+e^{-2})^{2} = (e^{2x})^2 + 2e^{2x}e^{-2} + (e^{-2})^2 = e^{4x} + 2e^{2x-2} + e^{-4}$.

$e^{2x}(e^{2x}+e^{-2})^{2} = e^{2x}(e^{4x} + 2e^{2x-2} + e^{-4}) = e^{2x}e^{4x} + 2e^{2x}e^{2x-2} + e^{2x}e^{-4} = e^{6x} + 2e^{4x-2} + e^{2x-4}$.

Finalement, $(e^{3x})^{2}-e^{2x}(e^{2x}+e^{-2})^{2} = e^{6x} - (e^{6x} + 2e^{4x-2} + e^{2x-4}) = e^{6x} - e^{6x} - 2e^{4x-2} - e^{2x-4} = -2e^{4x-2} - e^{2x-4}$

Là encore, il n'y a pas de simplification radicale, mais nous avons développé et regroupé les termes.

Conclusion : Ces exercices montrent comment combiner les propriétés de l'exponentielle avec les identités algébriques classiques pour simplifier des expressions plus élaborées. La clé est de développer et de réduire étape par étape.

Correction : Exercice 5

Dans cet exercice, nous allons résoudre diverses équations impliquant la fonction exponentielle. La propriété clé pour résoudre ces équations est l'injectivité de la fonction exponentielle, qui dit que $e^a = e^b$ si et seulement si $a = b$. De plus, $e^x = 1$ équivaut à $x=0$ et $e^x = e$ équivaut à $x=1$.

1. Résolvons $exp(x)=e$ :

L'équation est $e^x = e$. Puisque $e = e^1$, nous avons $e^x = e^1$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $x = 1$.

Solution : $x = 1$

2. Résolvons $exp(-x)=1$ :

L'équation est $e^{-x} = 1$. Puisque $1 = e^0$, nous avons $e^{-x} = e^0$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $-x = 0$, donc $x = 0$.

Solution : $x = 0$

3. Résolvons $exp(2x-1)=e$ :

L'équation est $e^{2x-1} = e$. Puisque $e = e^1$, nous avons $e^{2x-1} = e^1$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $2x-1 = 1$. Résolvons pour $x$: $2x = 1+1 = 2$, donc $x = \frac{2}{2} = 1$.

Solution : $x = 1$

4. Résolvons $e^{x^{2}+x}=1$ :

L'équation est $e^{x^{2}+x} = 1$. Puisque $1 = e^0$, nous avons $e^{x^{2}+x} = e^0$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $x^{2}+x = 0$. Factorisons : $x(x+1) = 0$. Les solutions sont $x = 0$ ou $x+1 = 0$, donc $x = -1$.

Solutions : $x = 0$ et $x = -1$

5. Résolvons $e^{x}-e^{-x}=0$ :

Réécrivons l'équation : $e^{x} = e^{-x}$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $x = -x$. Donc $2x = 0$, ce qui implique $x = 0$.

Solution : $x = 0$

6. Résolvons $e^{x^{2}+5}=(e^{x+2})^{2}$ :

Simplifions le côté droit : $(e^{x+2})^{2} = e^{2(x+2)} = e^{2x+4}$. L'équation devient $e^{x^{2}+5} = e^{2x+4}$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $x^{2}+5 = 2x+4$. Réarrangeons en une équation quadratique : $x^{2} - 2x + 5 - 4 = 0$, soit $x^{2} - 2x + 1 = 0$. Factorisons : $(x-1)^2 = 0$. La seule solution est $x = 1$.

Solution : $x = 1$

7. Résolvons $e^{x}+e^{-x}=0$ :

Réécrivons l'équation : $e^{x} = -e^{-x}$. Or, $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $-e^{-x} < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, une quantité strictement positive ne peut jamais être égale à une quantité strictement négative. Il n'y a donc aucune solution réelle à cette équation.

Solution : Pas de solution réelle (ensemble des solutions vide $\emptyset$)

8. Résolvons $e^{3x+1}=e^{-2x+3}$ :

Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $3x+1 = -2x+3$. Réarrangeons pour résoudre en $x$: $3x + 2x = 3 - 1$, donc $5x = 2$, ce qui donne $x = \frac{2}{5}$.

Solution : $x = \frac{2}{5}$

9. Résolvons $e^{2x}-1=0$ :

Réécrivons l'équation : $e^{2x} = 1$. Puisque $1 = e^0$, nous avons $e^{2x} = e^0$. Par injectivité de l'exponentielle, on obtient $2x = 0$, donc $x = 0$.

Solution : $x = 0$

10. Résolvons $x e^{2x}-2e^{2x}=0$ :

Factorisons $e^{2x}$ : $e^{2x}(x-2) = 0$. Puisque $e^{2x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, pour que le produit soit nul, il faut que $x-2 = 0$. Donc $x = 2$.

Solution : $x = 2$

Conclusion : Pour résoudre ces équations, nous avons utilisé la propriété d'injectivité de la fonction exponentielle et les règles de base de l'algèbre. Il est important de reconnaître les formes $e^a = e^b$ pour simplifier les équations.

Correction : Exercice 6

Dans cet exercice, nous allons résoudre des inéquations avec la fonction exponentielle. La propriété cruciale ici est la croissance stricte de la fonction exponentielle : si $a < b$, alors $e^a < e^b$, et réciproquement. De même pour $\leq, >, \geq$. On utilise aussi que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^0 = 1$ et $e^1 = e$.

1. Résolvons $e^x < e$ :

L'inéquation est $e^x < e$. Puisque $e = e^1$, nous avons $e^x < e^1$. Par croissance stricte de l'exponentielle, on obtient $x < 1$.

Solution : $x \in ]-\infty, 1[$

2. Résolvons $exp(-x)\geq 1$ :

L'inéquation est $e^{-x} \geq 1$. Puisque $1 = e^0$, nous avons $e^{-x} \geq e^0$. Par croissance stricte de l'exponentielle, si $e^{-x} \geq e^0$, alors $-x \geq 0$, ce qui implique $x \leq 0$.

Solution : $x \in ]-\infty, 0]$

3. Résolvons $e^{2x-1}>e^{x}$ :

Par croissance stricte de l'exponentielle, $e^{2x-1} > e^{x}$ implique $2x-1 > x$. Résolvons pour $x$: $2x - x > 1$, donc $x > 1$.

Solution : $x \in ]1, +\infty[$

4. Résolvons $e^{x}+e^{-x}<2$ :

Réécrivons l'inéquation : $e^{x} + e^{-x} - 2 < 0$. Multiplions par $e^x > 0$ (pour éliminer $e^{-x}$ et ne pas changer le sens de l'inégalité) : $e^x(e^{x} + e^{-x} - 2) < 0 \times e^x$, ce qui donne $(e^x)^2 + 1 - 2e^x < 0$, soit $(e^x)^2 - 2e^x + 1 < 0$. Reconnaissons une identité remarquable : $(e^x - 1)^2 < 0$. Un carré est toujours positif ou nul. Donc $(e^x - 1)^2 \geq 0$ pour tout $x$. Par conséquent, il n'y a aucune valeur de $x$ pour laquelle $(e^x - 1)^2 < 0$.

Solution : Pas de solution réelle (ensemble des solutions vide $\emptyset$)

5. Résolvons $e^{x}<1$ :

Puisque $1 = e^0$, l'inéquation est $e^x < e^0$. Par croissance stricte de l'exponentielle, on obtient $x < 0$.

Solution : $x \in ]-\infty, 0[$

6. Résolvons $e^{-x}>0$ :

On sait que pour tout réel $y$, $e^y > 0$. Ici, $y = -x$. Donc $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Solution : $x \in \mathbb{R}$

7. Résolvons $e^{-x}>1$ :

Puisque $1 = e^0$, l'inéquation est $e^{-x} > e^0$. Par croissance stricte de l'exponentielle, on obtient $-x > 0$, ce qui implique $x < 0$.

Solution : $x \in ]-\infty, 0[$

8. Résolvons $e^{x}-e^{-x}>0$ :

Réécrivons l'inéquation : $e^{x} > e^{-x}$. Par croissance stricte de l'exponentielle, on obtient $x > -x$. Donc $2x > 0$, ce qui implique $x > 0$.

Solution : $x \in ]0, +\infty[$

9. Résolvons $e^{2x}-1\geq 0$ :

Réécrivons l'inéquation : $e^{2x} \geq 1$. Puisque $1 = e^0$, nous avons $e^{2x} \geq e^0$. Par croissance stricte de l'exponentielle, on obtient $2x \geq 0$, ce qui implique $x \geq 0$.

Solution : $x \in [0, +\infty[$

10. Résolvons $x e^{-x}-3e^{-x}<0$ :

Factorisons $e^{-x}$: $e^{-x}(x-3) < 0$. On sait que $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Pour que le produit $e^{-x}(x-3)$ soit négatif, il faut que $x-3 < 0$. Donc $x < 3$.

Solution : $x \in ]-\infty, 3[$

Conclusion : La résolution d'inéquations exponentielles repose sur la propriété de croissance de la fonction exponentielle et sur la manipulation algébrique pour isoler et comparer les termes exponentiels.

Correction : Exercice 7

Cet exercice porte sur la résolution d'équations exponentielles en utilisant un changement de variable pour se ramener à une équation polynomiale. Cette technique est très utile pour les équations qui ne sont pas directement résolubles par comparaison des exposants.

1. Déterminons les racines du polynôme $P(X)=X^{2}+4X-5$.

Pour trouver les racines, nous devons résoudre $X^{2}+4X-5 = 0$. On peut utiliser le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes données par $X_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.

Donc, $X_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$ et $X_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Les racines du polynôme $P(X)$ sont $1$ et $-5$.

2. Déduisons les solutions de l'équation $e^{2x}+4e^{x}=5$.

Réécrivons l'équation sous la forme $e^{2x}+4e^{x}-5 = 0$. Posons $X = e^x$. Alors $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$. L'équation devient $X^2 + 4X - 5 = 0$, qui est précisément $P(X) = 0$. Nous avons trouvé les racines de $P(X)$ à la question précédente : $X = 1$ ou $X = -5$.

Maintenant, revenons à $x$. Si $X = 1$, alors $e^x = 1$, ce qui donne $x = ln(1) = 0$. Si $X = -5$, alors $e^x = -5$. Or, $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $e^x = -5$ n'a pas de solution réelle.

La seule solution de l'équation $e^{2x}+4e^{x}=5$ est $x = 0$.

3. Résolvons les équations suivantes :

a. Résolvons $e^{2x}+e^{x}-2=0$.

Posons $X$ = $e^x$. L'équation devient $X^2 + X - 2 = 0$. Discriminant $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. Racines $X_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.

$X_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ et $X_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Si $X = 1$, $e^x = 1$, donc $x = ln(1) = 0$. Si $X = -2$, $e^x = -2$, pas de solution réelle car $e^x > 0$.

Solution de $e^{2x}+e^{x}-2=0$ est $x = 0$.

b. Résolvons $e^{2x+1}+e^{x+1}-2e=0$.

Réécrivons : $e^{2x}e^1 + e^x e^1 - 2e = 0$. Divisons par $e \neq 0$: $e^{2x} + e^x - 2 = 0$. C'est la même équation qu'en 3a. Donc, la solution est la même : $x = 0$.

Solution de $e^{2x+1}+e^{x+1}-2e=0$ est $x = 0$.

c. Résolvons $e^{x}-2e^{-x}+1=0$.

Multiplions par $e^x > 0$ : $e^x(e^{x}-2e^{-x}+1) = 0$, ce qui donne $(e^x)^2 - 2 + e^x = 0$, soit $(e^x)^2 + e^x - 2 = 0$. Posons $X = e^x$. On obtient $X^2 + X - 2 = 0$. C'est encore la même équation qu'en 3a et 3b. La solution est $x = 0$.

Solution de $e^{x}-2e^{-x}+1=0$ est $x = 0$.

Conclusion : L'utilisation du changement de variable $X = e^x$ transforme les équations exponentielles en équations polynomiales que nous savons résoudre. Il est crucial de revenir à la variable $x$ et de vérifier si les solutions pour $X$ donnent des solutions réelles pour $x$. Dans ce cas, on rejette les solutions $X \leq 0$ car $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Correction : Exercice 8

Dans cet exercice, nous allons résoudre des inéquations qui impliquent des quotients ou des expressions polynomiales en $e^x$. Nous utiliserons des tableaux de signes après avoir fait un changement de variable lorsque nécessaire, et nous nous appuierons sur la propriété $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

1. Résolvons $\frac{e^{x}+3}{e^{x}-1}>0$.

Nous allons étudier le signe du quotient. Le numérateur $e^x + 3$ est toujours strictement positif car $e^x > 0$ donc $e^x + 3 > 3 > 0$. Le signe du quotient dépend donc uniquement du signe du dénominateur $e^x - 1$.

• $e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow e^x > 1 \Leftrightarrow e^x > e^0 \Leftrightarrow x > 0$.

• $e^x - 1 < 0 \Leftrightarrow e^x < 1 \Leftrightarrow e^x < e^0 \Leftrightarrow x < 0$.

• $e^x - 1 = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

Tableau de signes :

On veut $\frac{e^{x}+3}{e^{x}-1}>0$, donc on prend l'intervalle où le quotient est positif : $x \in ]0, +\infty[$.

Solution : $x \in ]0, +\infty[$

2. Résolvons $-e^{2x}-e^{x}+2>0$.

Multiplions par $-1$ et changeons le sens de l'inégalité : $e^{2x}+e^{x}-2<0$. Posons $X = e^x$. On a $X^2 + X - 2 < 0$. Nous avons déjà factorisé $X^2 + X - 2 = (X-1)(X+2)$. Donc $(X-1)(X+2) < 0$.

Tableau de signes pour $(X-1)(X+2)$ :

On veut $(X-1)(X+2) < 0$, donc $X \in ]-2, 1[$. Or $X = e^x$, donc on doit résoudre $-2 < e^x < 1$. Puisque $e^x > 0$ pour tout $x$, la condition $-2 < e^x$ est toujours vraie. Il reste $e^x < 1 \Leftrightarrow e^x < e^0 \Leftrightarrow x < 0$.

Solution : $x \in ]-\infty, 0[$

3. Résolvons $e^{2x}+2e^{x}-3\geq 0$.

Posons $X = e^x$. On a $X^2 + 2X - 3 \geq 0$. Factorisons $X^2 + 2X - 3 = (X-1)(X+3)$. Donc $(X-1)(X+3) \geq 0$.

Tableau de signes pour $(X-1)(X+3)$ :

On veut $(X-1)(X+3) \geq 0$, donc $X \in ]-\infty, -3] \cup [1, +\infty[$. Or $X = e^x > 0$. Donc $X \in [1, +\infty[$. On doit résoudre $e^x \geq 1 \Leftrightarrow e^x \geq e^0 \Leftrightarrow x \geq 0$.

Solution : $x \in [0, +\infty[$

4. Résolvons $e^{2x}+e^{x}-2<0$.

Posons $X = e^x$. On a $X^2 + X - 2 < 0$. Nous avons déjà vu en question 2 que les solutions pour $X$ sont $X \in ]-2, 1[$. Comme $X = e^x > 0$, on a $X \in ]0, 1[$. On doit résoudre $0 < e^x < 1 \Leftrightarrow e^x < 1 \Leftrightarrow e^x < e^0 \Leftrightarrow x < 0$.

Solution : $x \in ]-\infty, 0[$

Conclusion : Pour résoudre ces inéquations, le changement de variable $X = e^x$ est essentiel. Il faut ensuite résoudre l'inéquation polynomiale en $X$, puis revenir à $x$ en tenant compte du fait que $e^x > 0$. L'utilisation de tableaux de signes est une méthode efficace pour résoudre les inéquations polynomiales et rationnelles.

Correction : Exercice 9

Dans cet ultime exercice, nous allons résoudre un ensemble varié d'équations et d'inéquations exponentielles, combinant les techniques vues précédemment.

1. Résolvons $e^{x^{2}+2}=e^{2x}/e$.

Réécrivons le côté droit : $e^{2x}/e = e^{2x} \times e^{-1} = e^{2x-1}$. L'équation devient $e^{x^{2}+2} = e^{2x-1}$. Par injectivité de l'exponentielle, on a $x^{2}+2 = 2x-1$. Réarrangeons en une équation quadratique : $x^{2} - 2x + 2 + 1 = 0$, soit $x^{2} - 2x + 3 = 0$.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$. Puisque $\Delta < 0$, l'équation $x^{2} - 2x + 3 = 0$ n'a pas de solution réelle.

Solution : Pas de solution réelle (ensemble des solutions vide $\emptyset$)

2. Résolvons $2e^{2x}+5e^{x}+3=0$.

Posons $X = e^x$. L'équation devient $2X^2 + 5X + 3 = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$. Racines $X_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-5 \pm 1}{4}$.

Donc, $X_1 = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ et $X_2 = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

On a donc deux valeurs possibles pour $X$, $X = -1$ et $X = -3/2$. Or, $X = e^x$ et $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Ainsi, ni $X = -1$ ni $X = -3/2$ ne peuvent être égaux à $e^x$ pour $x \in \mathbb{R}$. Par conséquent, cette équation n'a pas de solution réelle.

Solution : Pas de solution réelle (ensemble des solutions vide $\emptyset$)

3. Résolvons $e^{x}+e^{-x}>\sqrt{e}+1/\sqrt{e}$.

Considérons la fonction $f(x) = e^x + e^{-x}$. Nous voulons résoudre $f(x) > \sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}}$.

Calculons la dérivée de $f(x)$: $f'(x) = e^x - e^{-x}$. Pour trouver les extrema, posons $f'(x) = 0$, ce qui donne $e^x - e^{-x} = 0 \Leftrightarrow e^x = e^{-x} \Leftrightarrow x = -x \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Calculons la seconde dérivée : $f''(x) = e^x + e^{-x}$. En $x=0$, $f''(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2 > 0$, donc $x=0$ est un minimum local. La valeur minimale de $f(x)$ est $f(0) = e^0 + e^{-0} = 1 + 1 = 2$.

Réécrivons le côté droit de l'inéquation : $\sqrt{e} + \frac{1}{\sqrt{e}} = e^{1/2} + e^{-1/2} = f(1/2)$.

Donc, l'inéquation est $f(x) > f(1/2)$. Puisque $f(x)$ a un minimum en $x=0$ et est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car $f(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^x = f(x)$), $f(x)$ est croissante pour $x > 0$ et décroissante pour $x < 0$. Donc $f(x) > f(1/2)$ si $x > 1/2$ ou si $x < -1/2$.

Solution : $x \in ]-\infty, -1/2[ \cup ]1/2, +\infty[$

4. Résolvons $e^{x^{2}}+1\leq2$.

Soustraire 1 de chaque côté donne $e^{x^{2}} \leq 1$. Puisque $1 = e^0$, on a $e^{x^{2}} \leq e^0$. Par croissance de la fonction exponentielle, on obtient $x^{2} \leq 0$. Or, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geq 0$. La seule possibilité pour que $x^2 \leq 0$ est que $x^2 = 0$, ce qui implique $x = 0$.

Vérifions pour $x=0$: $e^{0^2} + 1 = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2 \leq 2$. C'est vrai. Donc $x = 0$ est la seule solution.

Solution : $x = 0$

Conclusion : Cet exercice final illustre la diversité des techniques pour résoudre des équations et inéquations exponentielles, allant du changement de variable à l'étude de fonctions et à l'utilisation des propriétés de croissance. La maîtrise de ces outils vous permettra d'aborder une large gamme de problèmes impliquant la fonction exponentielle.