Exercices : Cercles

Correction :

Pour un cercle de centre $\Omega(x_0; y_0)$ et de rayon $r$, l'équation est $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$.

1. Cercle de centre $\Omega(-1;-2)$ et de rayon 2 :

Ici, $x_0 = -1$, $y_0 = -2$, et $r = 2$. Donc l'équation est :

$$ (x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 2^2 $$ $$ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 $$

2. Cercle de centre $A(3;-2)$ et de rayon 7 :

Ici, $x_0 = 3$, $y_0 = -2$, et $r = 7$. Donc l'équation est :

$$ (x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 7^2 $$ $$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 49 $$

3. Cercle de centre $T(-3/2;1/4)$ et de rayon 5/2 :

Ici, $x_0 = -3/2$, $y_0 = 1/4$, et $r = 5/2$. Donc l'équation est :

$$ (x - (-3/2))^2 + (y - 1/4)^2 = (5/2)^2 $$ $$ (x + \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = \frac{25}{4} $$

On peut aussi multiplier par 16 pour enlever les fractions :

$$ 16(x + \frac{3}{2})^2 + 16(y - \frac{1}{4})^2 = 16 \times \frac{25}{4} $$ $$ 16(x + \frac{3}{2})^2 + 16(y - \frac{1}{4})^2 = 100 $$ $$ (4x + 6)^2 + (4y - 1)^2 = 100 $$

4. Cercle de diamètre [AB] avec $A(-3;1)$ et $B(2;5)$ :

1. Coordonnées du milieu $G$ de $[AB]$ :

Les coordonnées du milieu $G$ sont données par la formule : $G(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2})$.

Donc, $x_G = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$ et $y_G = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Ainsi, $G(-\frac{1}{2}; 3)$.

2. Calcul de la longueur $AG$ :

La longueur $AG$ est la distance entre $A$ et $G$. On utilise la formule de la distance entre deux points : $AG = \sqrt{(x_G - x_A)^2 + (y_G - y_A)^2}$.

$AG = \sqrt{(-\frac{1}{2} - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2} + 3)^2 + (2)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 4} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$.

3. Équation du cercle de diamètre $[AB]$ :

Le centre du cercle est $G(-\frac{1}{2}; 3)$ et le rayon est $AG = \frac{\sqrt{41}}{2}$. L'équation du cercle est :

$$ (x - (-\frac{1}{2}))^2 + (y - 3)^2 = (\frac{\sqrt{41}}{2})^2 $$ $$ (x + \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 = \frac{41}{4} $$

5. Équation du cercle de diamètre $[AB]$ dans chaque cas :

Pour chaque cas, on trouve le milieu $I$ de $[AB]$ et le rayon $r = \frac{AB}{2}$.

1. $A(1;-2)$ et $B(3;0)$ :

Milieu $I_1(\frac{1+3}{2}; \frac{-2+0}{2}) = I_1(2; -1)$.

$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Rayon $r_1 = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Équation : $(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{2})^2 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 2$.

2. $A(3;-1)$ et $B(0;2)$ :

Milieu $I_2(\frac{3+0}{2}; \frac{-1+2}{2}) = I_2(\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Rayon $r_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Équation : $(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 \Rightarrow (x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.

3. $A(-1;-2)$ et $B(1;3)$ :

Milieu $I_3(\frac{-1+1}{2}; \frac{-2+3}{2}) = I_3(0; \frac{1}{2})$.

$AB = \sqrt{(1-(-1))^2 + (3-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$. Rayon $r_3 = \frac{\sqrt{29}}{2}$.

Équation : $(x - 0)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{\sqrt{29}}{2})^2 \Rightarrow x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{29}{4}$.

4. $A(-2;4)$ et $B(-1;-3)$ :

Milieu $I_4(\frac{-2+(-1)}{2}; \frac{4+(-3)}{2}) = I_4(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

$AB = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (-3-4)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Rayon $r_4 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Équation : $(x - (-\frac{3}{2}))^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 \Rightarrow (x + \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

Correction :

1. Ensemble des points $M(x;y)$ tels que $CM=2$ avec $C(-2;3)$ :

La condition $CM=2$ signifie que la distance entre $M$ et $C$ est constante et égale à 2. Par définition, l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $C(-2;3)$ et de rayon $r=2$.

L'équation de ce cercle est $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$, soit $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$.

2. Équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(-2;-3)$ et $B(1;5)$ :

Le centre du cercle est le milieu $I$ de $[AB]$. $I(\frac{-2+1}{2}; \frac{-3+5}{2}) = I(-\frac{1}{2}; 1)$.

Le rayon est $r = \frac{AB}{2}$. $AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$. Rayon $r = \frac{\sqrt{73}}{2}$.

L'équation du cercle est $(x - (-\frac{1}{2}))^2 + (y - 1)^2 = (\frac{\sqrt{73}}{2})^2$, soit $(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{73}{4}$.

3. Ensemble des points vérifiant $x²-4x+y²-3y=2$ :

On réécrit l'équation en regroupant les termes en $x$ et $y$ et en complétant les carrés :

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 3y) = 2$

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 3y + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = 2$

$(x - 2)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2 + 4 + \frac{9}{4} = 6 + \frac{9}{4} = \frac{24}{4} + \frac{9}{4} = \frac{33}{4}$.

C'est l'équation d'un cercle de centre $\Omega(2; \frac{3}{2})$ et de rayon $r = \sqrt{\frac{33}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{2}$.

4. L'ensemble des points vérifiant $x²+3x+y²+3=0$ est-il un cercle ?

On réécrit l'équation en complétant les carrés :

$(x^2 + 3x) + y^2 = -3$

$(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + y^2 = -3$

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = -3 + \frac{9}{4} = \frac{-12}{4} + \frac{9}{4} = -\frac{3}{4}$.

On obtient $(x + \frac{3}{2})^2 + (y - 0)^2 = -\frac{3}{4}$. Le rayon au carré $r^2 = -\frac{3}{4}$ est négatif, ce qui est impossible pour un cercle réel. Donc, l'ensemble des points vérifiant cette équation est l'ensemble vide. Ce n'est pas un cercle réel.

5. Centre et rayon des cercles :

1. $x²-4x+y²+2y+1=0$ :

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$. Centre $\Omega_1(2; -1)$, rayon $r_1 = \sqrt{4} = 2$.

2. $x²+6x+y²+4y+7=0$ :

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 7 = 0$

$(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 9 + 4 - 7 = 6$. Centre $\Omega_2(-3; -2)$, rayon $r_2 = \sqrt{6}$.

3. $x²+8x+y²+4y+15=0$ :

$(x^2 + 8x + 16) - 16 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 15 = 0$

$(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 16 + 4 - 15 = 5$. Centre $\Omega_3(-4; -2)$, rayon $r_3 = \sqrt{5}$.

Correction :

1. Montrer que $x²-3x+y²+y-2=0$ est l'équation d'un cercle :

On réécrit l'équation en complétant les carrés :

$(x^2 - 3x) + (y^2 + y) = 2$

$(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + (y^2 + y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = 2$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 2 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = 2 + \frac{10}{4} = 2 + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$.

L'équation est de la forme $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ avec $r^2 = \frac{9}{2} > 0$. Donc, c'est l'équation d'un cercle.

2. Coordonnées du centre et rayon :

Le centre du cercle est $\Omega(x_0; y_0) = (\frac{3}{2}; -\frac{1}{2})$.

Le rayon au carré est $r^2 = \frac{9}{2}$, donc le rayon est $r = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

3. Points $G(1;-2)$ et $N(0;-1)$ appartiennent-ils au cercle ?

Pour $G(1;-2)$, on remplace $x=1$ et $y=-2$ dans l'équation du cercle sous la forme développée $x²-3x+y²+y-2=0$ :

$1^2 - 3(1) + (-2)^2 + (-2) - 2 = 1 - 3 + 4 - 2 - 2 = -2 \neq 0$. Donc, $G$ n'appartient pas au cercle.

Pour $N(0;-1)$, on remplace $x=0$ et $y=-1$ dans l'équation :

$0^2 - 3(0) + (-1)^2 + (-1) - 2 = 0 - 0 + 1 - 1 - 2 = -2 \neq 0$. Donc, $N$ n'appartient pas au cercle.

Correction :

1. Distance $AB$ et nature des cercles :

Distance $AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Soient $r_1 = 3$ le rayon du cercle de centre $A$ et $r_2 = 4$ le rayon du cercle de centre $B$.

On a $r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7$ et $|r_1 - r_2| = |3 - 4| = 1$.

Puisque $|r_1 - r_2| < AB < r_1 + r_2$ (car $1 < 5 < 7$), les deux cercles sont sécants (ils se coupent en deux points).

2. Équations cartésiennes des cercles :

Cercle de centre $A(-2;1)$ et rayon 3 : $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2 \Rightarrow (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.

Cercle de centre $B(1;-3)$ et rayon 4 : $(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16$.

3. Le point $C(1;1)$ appartient-il aux deux cercles ?

Pour le cercle de centre $A$ : $(1 + 2)^2 + (1 - 1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9$. Donc $C$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon 3.

Pour le cercle de centre $B$ : $(1 - 1)^2 + (1 + 3)^2 = 0^2 + 4^2 = 16$. Donc $C$ appartient au cercle de centre $B$ et de rayon 4.

Le point $C(1;1)$ appartient aux deux cercles.

4. Nature du triangle $ABC$ :

On sait que $C$ est sur le cercle de centre $A$ et de rayon $AC=3$, et sur le cercle de centre $B$ et de rayon $BC=4$. On a aussi $AB=5$.

On a les longueurs des côtés du triangle $ABC$ : $AC = 3$, $BC = 4$, $AB = 5$.

Vérifions si le triangle est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore : $AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $AB^2 = 5^2 = 25$.

Puisque $AC^2 + BC^2 = AB^2$, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Correction :

1. Montrer que les équations sont celles de deux cercles :

Pour la première équation $x²-8x+y²-6y=0$ :

$(x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 - 6y + 9) - 9 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 16 + 9 = 25$. C'est l'équation d'un cercle.

Pour la deuxième équation $x²-6x+y²-8y+16=0$ :

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 16 = 0$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$. C'est l'équation d'un cercle.

2. Centre et rayon de chaque cercle :

Pour le premier cercle $C_1 : (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$, le centre est $\Omega_1(4; 3)$ et le rayon $r_1 = \sqrt{25} = 5$.

Pour le deuxième cercle $C_2 : (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$, le centre est $\Omega_2(3; 4)$ et le rayon $r_2 = \sqrt{9} = 3$.

3. Distance entre les deux centres $\Omega_1$ et $\Omega_2$ :

Distance $\Omega_1\Omega_2 = \sqrt{(3 - 4)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

4. Position relative des deux cercles :

Somme des rayons $r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8$. Différence des rayons $|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2$.

On compare la distance entre les centres $\Omega_1\Omega_2 = \sqrt{2}$ avec $r_1 + r_2$ et $|r_1 - r_2|$.

On a $\sqrt{2} \approx 1.414$, et $|r_1 - r_2| = 2$. Donc $\Omega_1\Omega_2 = \sqrt{2} < 2 = |r_1 - r_2|$.

Puisque la distance entre les centres est inférieure à la différence des rayons, le cercle $C_2$ est intérieure au cercle $C_1$ et ils n'ont pas de point commun. Plus précisément, le cercle $C_2$ est strictement intérieur à $C_1$ car $\Omega_1 \neq \Omega_2$ et $\Omega_1\Omega_2 < |r_1 - r_2|$.

En fait, il y a une erreur dans mon raisonnement précédent. La condition pour que le cercle $C_2$ soit intérieur à $C_1$ est $\Omega_1\Omega_2 < r_1 - r_2$ si $r_1 > r_2$. Ici $r_1 = 5 > r_2 = 3$, donc on doit comparer avec $r_1 - r_2 = 5 - 3 = 2$. Et $\Omega_1\Omega_2 = \sqrt{2} < 2 = r_1 - r_2$. Donc le cercle $C_2$ est intérieur à $C_1$ et ils sont disjoints intérieurement.

Correction :

Pour montrer que l'ensemble des points $M(x;y)$ vérifiant l'équation $3x²-6x+3y²+2y-1=0$ est un cercle, nous devons réécrire l'équation sous la forme canonique $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$.

Premièrement, divisons toute l'équation par 3 pour simplifier les coefficients de $x^2$ et $y^2$ :

$$ x^2 - 2x + y^2 + \frac{2}{3}y - \frac{1}{3} = 0 $$

Ensuite, regroupons les termes en $x$ et les termes en $y$ et complétons les carrés pour chaque variable :

$(x^2 - 2x) + (y^2 + \frac{2}{3}y) = \frac{1}{3}$

Pour les termes en $x$ : $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.

Pour les termes en $y$ : $y^2 + \frac{2}{3}y = (y + \frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2 = (y + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}$.

Substituons ces expressions dans l'équation :

$((x - 1)^2 - 1) + ((y + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{3}$

$(x - 1)^2 + (y + \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{13}{9}$.

L'équation est maintenant sous la forme $(x - 1)^2 + (y - (-\frac{1}{3}))^2 = (\sqrt{\frac{13}{9}})^2 = (\frac{\sqrt{13}}{3})^2$.

C'est l'équation d'un cercle de centre $\Omega(1; -\frac{1}{3})$ et de rayon $r = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

Correction :

1. Cercle $x²-3x+y²+y-16=0$ et droite $y=-4$ :

Substituons $y=-4$ dans l'équation du cercle :

$x^2 - 3x + (-4)^2 + (-4) - 16 = 0$

$x^2 - 3x + 16 - 4 - 16 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Résolvons cette équation du second degré. Discriminant $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 > 0$. Deux solutions réelles :

$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Les points d'intersection sont $(-1; -4)$ et $(4; -4)$.

2. Cercle de centre $\Omega(2;3)$ et rayon $3\sqrt{2}$ et droite $x=-1$ :

L'équation du cercle est $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.

Substituons $x=-1$ dans l'équation du cercle :

$(-1 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 18$

$(-3)^2 + (y - 3)^2 = 18$

$9 + (y - 3)^2 = 18$

$(y - 3)^2 = 18 - 9 = 9$

$y - 3 = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

$y_1 = 3 - 3 = 0$. $y_2 = 3 + 3 = 6$.

Les points d'intersection sont $(-1; 0)$ et $(-1; 6)$.

3. Cercle de centre l'origine et rayon 2 et droite $y=3$ :

L'équation du cercle est $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$.

Substituons $y=3$ dans l'équation du cercle :

$x^2 + (3)^2 = 4$

$x^2 + 9 = 4$

$x^2 = 4 - 9 = -5$.

Puisque $x^2 = -5$ n'a pas de solution réelle, il n'y a pas de points d'intersection. La droite est extérieure au cercle.

Correction :

1. Introduction du milieu $I$ et transformation du produit scalaire :

Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On utilise la relation de Chasles pour écrire $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$.

Alors, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}$.

Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$. Donc, $\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} = \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{MI} = 0$.

Et $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} \cdot (-\overrightarrow{IA}) = -IA^2$. De plus, $IA = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Donc $IA^2 = 36$.

Ainsi, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2 = MI^2 - 36$.

2. Détermination de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 4$ :

On cherche l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 4$. D'après la transformation précédente, on a $MI^2 - 36 = 4$.

Donc, $MI^2 = 4 + 36 = 40$. $MI = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$.

L'ensemble des points $M$ tels que $MI = 2\sqrt{10}$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $2\sqrt{10}$.

Correction :

1. Calcul de la longueur $AB$ :

Utilisons la formule de la distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

$AB = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(-1 + 2)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{(1)^2 + (7)^2} = \sqrt{1 + 49} $

=$ \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

2. Coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ :

Les coordonnées du milieu $I$ sont données par $I(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2})$.

$x_I = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2}$. $y_I = \frac{-3 + 4}{2} = \frac{1}{2}$. Donc, $I(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

3. Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ :

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux. Cette condition est vérifiée si et seulement si le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.

Donc, l'ensemble des points $M$ vérifiant $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

Le centre de ce cercle est le milieu $I(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$ de $[AB]$. Le rayon est $r = \frac{AB}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

L'équation du cercle est $(x - (-\frac{3}{2}))^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2$.

$(x + \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$.

Correction :

1. Introduction du milieu $I$ de $[DK]$ et transformation du produit scalaire :

Soit $I$ le milieu de $[DK]$. On sait que $\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{MK} = MI^2 - (\frac{DK}{2})^2 = MI^2 - (\frac{5}{2})^2 = MI^2 - \frac{25}{4}$.

2. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{MK} = \frac{11}{4}$ :

On cherche l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{MK} = \frac{11}{4}$.

Donc, $MI^2 - \frac{25}{4} = \frac{11}{4}$.

$MI^2 = \frac{11}{4} + \frac{25}{4} = \frac{36}{4} = 9$.

$MI = \sqrt{9} = 3$.

L'ensemble des points $M$ tels que $MI = 3$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[DK]$) et de rayon $3$.

Correction :

1. Introduction du milieu $I$ de $[GN]$ et transformation du produit scalaire :

Soit $I$ le milieu de $[GN]$. On sait que $\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MN} = MI^2 - (\frac{GN}{2})^2 = MI^2 - (\frac{7}{2})^2 = MI^2 - \frac{49}{4}$.

2. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MN} = -\frac{11}{2}$ :

On cherche l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MN} = -\frac{11}{2}$.

Donc, $MI^2 - \frac{49}{4} = -\frac{11}{2}$.

$MI^2 = -\frac{11}{2} + \frac{49}{4} = -\frac{22}{4} + \frac{49}{4} = \frac{27}{4}$.

$MI = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{27}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

L'ensemble des points $M$ tels que $MI = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[GN]$) et de rayon $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Correction :

1. Introduction du milieu $I$ de $[CV]$ et transformation du produit scalaire :

Soit $I$ le milieu de $[CV]$. On sait que $\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{CV} = MI^2 - (\frac{CV}{2})^2 = MI^2 - (\frac{8}{2})^2 = MI^2 - 16$.

2. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{CV} = -4$ :

On cherche l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{CV} = -4$.

Donc, $MI^2 - 16 = -4$.

$MI^2 = -4 + 16 = 12$.

$MI = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.

L'ensemble des points $M$ tels que $MI = 2\sqrt{3}$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[CV]$) et de rayon $2\sqrt{3}$.

Correction :

1. Simplification de $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ :

Puisque $A'$ est le milieu de $[BC]$, on sait que $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MA'}$. C'est la propriété du milieu.

2. Transformation de l'équation $\overrightarrow{MA} \cdot (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = 0$ :

En utilisant la simplification précédente, l'équation devient $\overrightarrow{MA} \cdot (2\overrightarrow{MA'}) = 0$.

On peut diviser par 2 (car 2 $\neq$ 0), donc l'équation est équivalente à $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MA'} = 0$.

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MA'} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MA'}$ sont orthogonaux.

L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MA'} = 0$ est le cercle de diamètre $[AA']$.

L'ensemble des points $M$ est le cercle de diamètre $[AA']$, où $A'$ est le milieu de $[BC]$.

Correction :

1. Ensemble $\Gamma_1$ des points vérifiant $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ :

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux. L'ensemble des points $M$ vérifiant cette condition est le cercle de diamètre $[AB]$. Donc, $\Gamma_1$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

2. Ensemble $\Gamma_2$ des points vérifiant $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MD} = 0$ :

De même, l'équation $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MD} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MD}$ sont orthogonaux. L'ensemble des points $M$ vérifiant cette condition est le cercle de diamètre $[BD]$. Donc, $\Gamma_2$ est le cercle de diamètre $[BD]$.

3. Analyse de l'affirmation « $ABCD$ rectangle équivaut à $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ confondus » :

L'affirmation est fausse. Nous avons vu que $\Gamma_1 = \Gamma_2$ si et seulement si les cercles de diamètre $[AB]$ et $[BD]$ sont identiques. Cela se produit si et seulement si $[AB] = [BD]$, ce qui signifie que les segments $[AB]$ et $[BD]$ sont les mêmes. Pour que $[AB] = [BD]$ en tant que segments, il faut que $A=D$. Si $A=D$, alors $ABCD$ dégénère en un triangle $BBCD$ (ou $ABC$ si $D=A$). Un quadrilatère rectangle $ABCD$ non dégénéré n'a jamais $A=D$, donc pour un rectangle $ABCD$, on n'a jamais $\Gamma_1 = \Gamma_2$.

Condition pour que $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ soient confondus :

$\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont confondus si et seulement si $A=D$. Dans ce cas, les deux ensembles sont le cercle de diamètre $[AB] = [DB]$. Dans le contexte de l'exercice avec un quadrilatère $ABCD$, la condition pour que $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ soient confondus n'est jamais réalisée pour un quadrilatère non dégénéré car un quadrilatère nécessite que $A, B, C, D$ soient distincts (ou au moins $A \neq D$ pour avoir un quadrilatère ABCD).

Correction :

1. Calcul de la longueur $AB$ :

$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

2. Coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ :

$I(\frac{1 + (-1)}{2}; \frac{2 + 4}{2}) = I(\frac{0}{2}; \frac{6}{2}) = I(0; 3)$.

3. Montrer que, pour tout point $M$, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI²-2$ :

On sait que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2$. Il faut calculer $IA^2$. $IA = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. $IA^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Donc, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 2$. Ce qu'il fallait démontrer.

4. Caractérisation de l'ensemble des points $M(x ; y)$ vérifiant :

1. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ :

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ équivaut à $MI^2 - 2 = 0$, donc $MI^2 = 2$, $MI = \sqrt{2}$. L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I(0; 3)$ et de rayon $\sqrt{2}$.

2. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 98$ :

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 98$ équivaut à $MI^2 - 2 = 98$, donc $MI^2 = 100$, $MI = \sqrt{100} = 10$. L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $I(0; 3)$ et de rayon $10$.

3. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -2$ :

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -2$ équivaut à $MI^2 - 2 = -2$, donc $MI^2 = 0$, $MI = 0$. L'ensemble des points $M$ est réduit au point $I(0; 3)$.

4. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -18$ :

L'équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -18$ équivaut à $MI^2 - 2 = -18$, donc $MI^2 = -16$. Comme $MI^2$ doit être positif ou nul, il n'y a pas de solution réelle pour $MI$. L'ensemble des points $M$ est l'ensemble vide.

5. $MA^2 = 8$ :

L'équation $MA^2 = 8$ équivaut à $MA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A(1; 2)$ et de rayon $2\sqrt{2}$.