Exercices : Dérivation

Correction :

Pour montrer que la dérivée de la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ en utilisant la définition, nous devons calculer la limite du taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$ lorsque $h$ tend vers 0.

Le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$ est donné par :

$$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}$$

Réduisons l'expression au même dénominateur :

$$\dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - x - h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}$$

Simplifions en divisant par $h$ (pour $h \neq 0$) :

$$\dfrac{-h}{x(x+h)} \times \dfrac{1}{h} = \dfrac{-1}{x(x+h)}$$

Maintenant, calculons la limite lorsque $h$ tend vers 0 :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = \dfrac{-1}{x(x+0)} = \dfrac{-1}{x^2}$$

Ainsi, nous avons montré en utilisant la définition que la dérivée de la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est bien $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

Correction :

Soit $f(x) = |x|$. Nous allons étudier le taux de variation de $f$ autour de $0$.

1. Si $h > 0$, on veut montrer que le taux de variation de $f$ entre $0$ et $0+h$ est égal à $1$.

Le taux de variation est donné par :

$$\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|0+h| - |0|}{h} = \dfrac{|h| - 0}{h} = \dfrac{|h|}{h}$$

Puisque $h > 0$, $|h| = h$. Donc, le taux de variation est :

$$\dfrac{h}{h} = 1$$

Donc, si $h > 0$, le taux de variation est bien égal à $1$.

2. Si $h < 0$, on veut montrer que le taux de variation de $f$ entre $0$ et $0+h$ est égal à $-1$.

Le taux de variation est toujours :

$$\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|0+h| - |0|}{h} = \dfrac{|h|}{h}$$

Puisque $h < 0$, $|h| = -h$. Donc, le taux de variation est :

$$\dfrac{-h}{h} = -1$$

Donc, si $h < 0$, le taux de variation est bien égal à $-1$.

3. La fonction valeur absolue est-elle dérivable en $0$ ?

Pour que $f$ soit dérivable en $0$, il faut que la limite du taux de variation existe lorsque $h$ tend vers $0$. Or, nous avons vu que :

- Si $h$ tend vers $0$ par valeurs positives ($h \to 0^+$), le taux de variation tend vers $1$.

- Si $h$ tend vers $0$ par valeurs négatives ($h \to 0^-$), le taux de variation tend vers $-1$.

Puisque la limite à droite (1) est différente de la limite à gauche (-1), la limite du taux de variation lorsque $h \to 0$ n'existe pas. Par conséquent, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.

Graphiquement, cela correspond au point anguleux de la courbe de la fonction valeur absolue en $x=0$, où il n'y a pas de tangente unique.

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons déterminer l'ensemble de dérivabilité et l'expression de la dérivée en utilisant les règles de dérivation de base.

1. $f(x) = x^4$.

Fonction polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$.

2. $f(x) = x^{12}$.

Fonction polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = 12x^{12-1} = 12x^{11}$.

3. $f(x) = x^3$.

Fonction polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$.

4. $f(x) = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$.

Fonction inverse, dérivable sur $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$.

5. $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Fonction racine carrée, dérivable sur $]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = \dfrac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons identifier $u$ et $v$, leurs ensembles de dérivabilité, et en déduire la dérivée de la somme $f = u+v$ et son ensemble de dérivabilité.

1. $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$.

On a $u(x) = x$ et $v(x) = \dfrac{1}{x}$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 1$.

$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$, $v'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

La somme $f = u+v$ est dérivable sur l'intersection des ensembles de dérivabilité, soit $\mathbb{R} \cap \mathbb{R}^* = \mathbb{R}^*$.

Dérivée : $f'(x) = u'(x) + v'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

2. $f(x) = \sqrt{x} - 5$.

On a $u(x) = \sqrt{x}$ et $v(x) = -5$.

$u$ est dérivable sur $]0; +\infty[$, $u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $v'(x) = 0$.

La somme $f = u+v$ est dérivable sur l'intersection des ensembles de dérivabilité, soit $]0; +\infty[ \cap \mathbb{R} = ]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = u'(x) + v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ensemble de dérivabilité : $]0; +\infty[$.

3. $f(x) = x^4 + x^2$.

On a $u(x) = x^4$ et $v(x) = x^2$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 4x^3$.

$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $v'(x) = 2x$.

La somme $f = u+v$ est dérivable sur l'intersection des ensembles de dérivabilité, soit $\mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = u'(x) + v'(x) = 4x^3 + 2x$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

Correction :

Pour chaque fonction de la forme $f(x) = k \cdot u(x)$, nous allons identifier $k$ et $u(x)$, l'ensemble de dérivabilité de $u$, et en déduire la dérivée de $f$ et son ensemble de dérivabilité.

1. $f(x) = -x$.

On a $k = -1$ et $u(x) = x$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 1$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur le même ensemble que $u$, soit $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = -1 \cdot 1 = -1$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

2. $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2$.

On a $k = \dfrac{1}{2}$ et $u(x) = x^2$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 2x$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2x = x$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

3. $f(x) = \dfrac{2}{7}x$.

On a $k = \dfrac{2}{7}$ et $u(x) = x$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 1$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = \dfrac{2}{7} \cdot 1 = \dfrac{2}{7}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

4. $f(x) = 7x^3$.

On a $k = 7$ et $u(x) = x^3$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 3x^2$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = 7 \cdot 3x^2 = 21x^2$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

5. $f(x) = -\dfrac{5}{8}\sqrt{x}$.

On a $k = -\dfrac{5}{8}$ et $u(x) = \sqrt{x}$.

$u$ est dérivable sur $]0; +\infty[$, $u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = -\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{5}{16\sqrt{x}}$.

Ensemble de dérivabilité : $]0; +\infty[$.

Correction :

Pour chaque fonction de la forme $f(x)$ = $k \cdot u(x)$, nous allons identifier $k$ et $u(x)$, l'ensemble de dérivabilité de $u$, et en déduire la dérivée de $f$ et son ensemble de dérivabilité.

1. $f(x) = \dfrac{x}{9} = \dfrac{1}{9}x$.

On a $k = \dfrac{1}{9}$ et $u(x) = x$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 1$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = \dfrac{1}{9} \cdot 1 = \dfrac{1}{9}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

2. $f(x) = \dfrac{3x^2}{8} = \dfrac{3}{8}x^2$.

On a $k = \dfrac{3}{8}$ et $u(x) = x^2$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 2x$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = \dfrac{3}{8} \cdot 2x = \dfrac{3}{4}x$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

3. $f(x) = \dfrac{-x^4}{44} = -\dfrac{1}{44}x^4$.

On a $k = -\dfrac{1}{44}$ et $u(x) = x^4$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 4x^3$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = -\dfrac{1}{44} \cdot 4x^3 = -\dfrac{1}{11}x^3$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

4. $f(x) = \dfrac{11}{3x} = \dfrac{11}{3} \cdot \dfrac{1}{x}$.

On a $k = \dfrac{11}{3}$ et $u(x) = \dfrac{1}{x}$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$, $u'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = \dfrac{11}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{11}{3x^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

5. $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{5} = \dfrac{1}{5}\sqrt{x}$.

On a $k = \dfrac{1}{5}$ et $u(x) = \sqrt{x}$.

$u$ est dérivable sur $]0; +\infty[$, $u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

La fonction $f = ku$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = k \cdot u'(x) = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{10\sqrt{x}}$.

Ensemble de dérivabilité : $]0; +\infty[$.

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons utiliser les règles de dérivation de la somme et du produit par un scalaire, ainsi que les dérivées des fonctions de base.

1. $f(x) = 2x^2 + 3x - 5$.

Dérivée de $2x^2$ est $2 \cdot 2x = 4x$.

Dérivée de $3x$ est $3 \cdot 1 = 3$.

Dérivée de $-5$ est $0$.

Donc, $f'(x) = 4x + 3 + 0 = 4x + 3$.

2. $f(x) = 2x^6 + 3\sqrt{x} - 5$.

Dérivée de $2x^6$ est $2 \cdot 6x^5 = 12x^5$.

Dérivée de $3\sqrt{x}$ est $3 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3}{2\sqrt{x}}$.

Dérivée de $-5$ est $0$.

Donc, $f'(x) = 12x^5 + \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + 0 = 12x^5 + \dfrac{3}{2\sqrt{x}}$.

3. $f(x) = \dfrac{3}{4}x^4 + \dfrac{7}{9}x^3$.

Dérivée de $\dfrac{3}{4}x^4$ est $\dfrac{3}{4} \cdot 4x^3 = 3x^3$.

Dérivée de $\dfrac{7}{9}x^3$ est $\dfrac{7}{9} \cdot 3x^2 = \dfrac{7}{3}x^2$.

Donc, $f'(x) = 3x^3 + \dfrac{7}{3}x^2$.

Correction :

Soit $h(x) = \sqrt{-3x+12}$ définie sur $I=]-\infty ; 4[$.

1. Décomposition de $h$ en composition de fonctions.

Pour calculer $h(x)$, on effectue d'abord l'opération $-3x+12$, puis on prend la racine carrée du résultat. Donc, on peut poser :

$g(x) = -3x+12$ et $f(u) = \sqrt{u}$.

Alors, $h(x) = f(g(x)) = f(-3x+12) = \sqrt{-3x+12}$.

Donc, $g: x \mapsto -3x+12$ et $f: u \mapsto \sqrt{u}$.

2. Dérivabilité de $h$ sur $I$ en utilisant la dérivée de fonction composée.

La fonction $g(x) = -3x+12$ est une fonction affine, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $I=]-\infty ; 4[$.

La fonction $f(u)$= $\sqrt{u}$ est dérivable pour $u > 0$. Pour que $f(g(x))$ soit définie et dérivable, il faut que $g(x) > 0$ et que $g$ soit dérivable en $x$ et $f$ soit dérivable en $g(x)$.

Pour $x \in I=]-\infty ; 4[$, on a $-3x > -3 \times 4 = -12$, donc $-3x+12 > -12+12 = 0$. Ainsi, $g(x) = -3x+12 > 0$ sur $I$.

Puisque $g$ est dérivable sur $I$ et $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et $g(x) > 0$ pour $x \in I$, alors par le théorème de dérivation des fonctions composées, $h = f \circ g$ est dérivable sur $I$.

3. Dérivées de $f$ et $g$.

Dérivée de $g(x) = -3x+12$ : $g'(x) = -3$.

Dérivée de $f(u) = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ : $f'(u) = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}$.

4. Dérivée de $h = f \circ g$.

En utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, on a :

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = f'(-3x+12) \cdot (-3) = \dfrac{1}{2\sqrt{-3x+12}} \cdot (-3) = -\dfrac{3}{2\sqrt{-3x+12}}$.

Donc, $h'(x) = -\dfrac{3}{2\sqrt{-3x+12}}$.

Correction :

Pour chaque fonction de la forme $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, nous allons identifier $u(x)$ et $v(x)$, leurs ensembles de dérivabilité, et en déduire la dérivée de $f$ et son ensemble de dérivabilité en utilisant la formule $(uv)' = u'v + uv'$.

1. $f(x) = \dfrac{1}{x}(9-6x)$.

On pose $u(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = 9-6x$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$, $u'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $v'(x) = -6$.

La fonction $f = uv$ est dérivable sur l'intersection des ensembles de dérivabilité, soit $\mathbb{R}^* \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}^*$.

Dérivée : $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -\dfrac{1}{x^2}(9-6x) + \dfrac{1}{x}(-6) = -\dfrac{9}{x^2} + \dfrac{6x}{x^2} - \dfrac{6}{x} = -\dfrac{9}{x^2} + \dfrac{6}{x} - \dfrac{6}{x} = -\dfrac{9}{x^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

2. $f(x) = x^2\sqrt{x}$.

On pose $u(x) = x^2$ et $v(x) = \sqrt{x}$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 2x$.

$v$ est dérivable sur $]0; +\infty[$, $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

La fonction $f = uv$ est dérivable sur l'intersection des ensembles de dérivabilité, soit $\mathbb{R} \cap ]0; +\infty[ = ]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x\sqrt{x} + x^2 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \dfrac{x^2}{2\sqrt{x}} $

=$ \dfrac{2x\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + x^2}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x \cdot x + x^2}{2\sqrt{x}} = \dfrac{4x^2 + x^2}{2\sqrt{x}}$

=$ \dfrac{5x^2}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5}{2}x^{2-\frac{1}{2}} = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$.

Ensemble de dérivabilité : $]0; +\infty[$.

3. $f(x) = (x^6+x^4)(x^2-4)$.

On pose $u(x) = x^6+x^4$ et $v(x) = x^2-4$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x) = 6x^5+4x^3$.

$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $v'(x) = 2x$.

La fonction $f = uv$ est dérivable sur l'intersection des ensembles de dérivabilité, soit $\mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (6x^5+4x^3)(x^2-4) + (x^6+x^4)(2x)$.

Après simplification, $f'(x) = 8x^7 - 18x^5 - 16x^3$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

Correction :

Soit $f(x) = \dfrac{1}{2x+8}$ définie sur $I=]-4;+\infty[$.

1. Expression de $u$ et résolution de $u(x) = 0$ sur $I$.

La fonction $f$ est de la forme $\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x) = 2x+8$.

Résolvons l'équation $u(x) = 0$ sur $I$ :

$2x+8 = 0 \Leftrightarrow 2x = -8 \Leftrightarrow x = -4$.

La solution est $x = -4$. Or, $x = -4$ n'est pas dans l'intervalle $I=]-4;+\infty[$. Donc, $u(x) \neq 0$ sur $I$.

2. Dérivabilité de $f$ sur $I$ et expression de $f'$.

La fonction $u(x) = 2x+8$ est une fonction affine, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $I$. Sa dérivée est $u'(x) = 2$.

Comme $u(x) \neq 0$ sur $I$ et $u$ est dérivable sur $I$, la fonction $f = \dfrac{1}{u}$ est dérivable sur $I$.

La dérivée de $\dfrac{1}{u}$ est $-\dfrac{u'}{u^2}$. Donc, la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{2x+8}$ est :

$f'(x) = -\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2} = -\dfrac{2}{(2x+8)^2}$.

Ainsi, $f'(x) = -\dfrac{2}{(2x+8)^2}$.

Correction :

Soit $g(x) = \dfrac{1-2x}{3x+3}$ définie sur $I=]-1;+\infty[$.

1. Expression de $u$ et $v$ et résolution de $v(x) = 0$ sur $I$.

La fonction $g$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = 1-2x$ et $v(x) = 3x+3$.

Résolvons l'équation $v(x) = 0$ sur $I$ :

$3x+3 = 0 \Leftrightarrow 3x = -3 \Leftrightarrow x = -1$.

La solution est $x = -1$. Or, $x = -1$ n'est pas dans l'intervalle $I=]-1;+\infty[$. Donc, $v(x) \neq 0$ sur $I$.

2. Dérivabilité de $g$ sur $I$ et expression de $u'$ et $v'$.

Les fonctions $u(x) = 1-2x$ et $v(x) = 3x+3$ sont des fonctions affines, donc elles sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $I$. Leurs dérivées sont :

$u'(x) = -2$ et $v'(x) = 3$.

Comme $v(x) \neq 0$ sur $I$ et $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, la fonction $g = \dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$.

3. Expression de la dérivée $g'$.

En utilisant la formule de la dérivée d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, on a :

$g'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{(-2)(3x+3) - (1-2x)(3)}{(3x+3)^2}$.

Développons et simplifions le numérateur :

$-2(3x+3) - (1-2x)(3) = -6x - 6 - (3 - 6x) = -6x - 6 - 3 + 6x = -9$.

Donc, $g'(x) = \dfrac{-9}{(3x+3)^2}$. On peut simplifier le dénominateur en factorisant $3$ : $(3x+3)^2 = (3(x+1))^2 = 3^2(x+1)^2 = 9(x+1)^2$.

Finalement, $g'(x) = \dfrac{-9}{9(x+1)^2} = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$.

Ainsi, $g'(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$.

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons identifier sa forme, déterminer son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée.

1. $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x$.

Forme : Somme de fonctions polynomiales (ou produit par un scalaire et somme).

Dérivabilité : Fonction polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2x - 3 \cdot 1 = x - 3$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

2. $f(x) = (8-9x)\sqrt{x}$.

Forme : Produit de deux fonctions $u(x) = 8-9x$ et $v(x) = \sqrt{x}$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $]0; +\infty[$. Le produit $uv$ est dérivable sur l'intersection, soit $]0; +\infty[$.

Dérivée : $u'(x) = -9$, $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -9\sqrt{x} + (8-9x)\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -9\sqrt{x} + \dfrac{8-9x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{-9\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 8-9x}{2\sqrt{x}} $

=$ \dfrac{-18x + 8 - 9x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{-27x + 8}{2\sqrt{x}}$.

Ensemble de dérivabilité : $]0; +\infty[$.

3. $f(x) = \dfrac{3x-11}{x+1}$.

Forme : Quotient de deux fonctions $u(x) = 3x-11$ et $v(x) = x+1$.

$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Il faut que $v(x) \neq 0$, soit $x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$.

Dérivabilité : Dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\} = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; +\infty[$.

Dérivées : $u'(x) = 3$, $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \dfrac{3(x+1) - (3x-11)(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{3x+3 - 3x + 11}{(x+1)^2} = \dfrac{14}{(x+1)^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{-1\} = ]-\infty; -1[ \cup ]-1; +\infty[$.

4. $f(x) = \dfrac{1}{x^2-7}$.

Forme : Inverse d'une fonction $u(x) = x^2-7$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Il faut que $u(x) \neq 0$, soit $x^2-7 \neq 0 \Leftrightarrow x^2 \neq 7 \Leftrightarrow x \neq \pm\sqrt{7}$.

Dérivabilité : Dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{7}, \sqrt{7}\} = ]-\infty; -\sqrt{7}[ \cup ]-\sqrt{7}; \sqrt{7}[ \cup ]\sqrt{7}; +\infty[$.

Dérivée : $u'(x) = 2x$.

$f'(x) = -\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2} = -\dfrac{2x}{(x^2-7)^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{7}, \sqrt{7}\} = ]-\infty; -\sqrt{7}[ \cup ]-\sqrt{7}; \sqrt{7}[ \cup ]\sqrt{7}; +\infty[$.

Correction :

Pour chaque fonction polynomiale, nous allons déterminer sa dérivée sur $\mathbb{R}$ en utilisant les règles de dérivation de la somme et du produit par un scalaire.

1. $f(x) = \dfrac{3x^4}{8} - \dfrac{5x^3}{3} + 2x - \dfrac{11}{2}$.

Dérivée de $\dfrac{3x^4}{8}$ est $\dfrac{3}{8} \cdot 4x^3 = \dfrac{3}{2}x^3$.

Dérivée de $-\dfrac{5x^3}{3}$ est $-\dfrac{5}{3} \cdot 3x^2 = -5x^2$.

Dérivée de $2x$ est $2$.

Dérivée de $-\dfrac{11}{2}$ est $0$.

Donc, $f'(x) = \dfrac{3}{2}x^3 - 5x^2 + 2$.

2. $g(x) = \dfrac{x^2+x+1}{6} = \dfrac{1}{6}x^2 + \dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{6}$.

Dérivée de $\dfrac{1}{6}x^2$ est $\dfrac{1}{6} \cdot 2x = \dfrac{1}{3}x$.

Dérivée de $\dfrac{1}{6}x$ est $\dfrac{1}{6}$.

Dérivée de $\dfrac{1}{6}$ est $0$.

Donc, $g'(x) = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{6}$.

3. $h(x) = \dfrac{x-3}{2} = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}$.

Dérivée de $\dfrac{1}{2}x$ est $\dfrac{1}{2}$.

Dérivée de $-\dfrac{3}{2}$ est $0$.

Donc, $h'(x) = \dfrac{1}{2}$.

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons déterminer l'ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée.

1. $f(x) = \dfrac{5}{2x} - \dfrac{3}{4} + 2x - \dfrac{7x^2}{4} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{4} + 2x - \dfrac{7}{4}x^2$.

Dérivabilité : $\dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$, les autres termes sont des polynômes dérivables sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = \dfrac{5}{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) - 0 + 2 - \dfrac{7}{4} \cdot 2x = -\dfrac{5}{2x^2} + 2 - \dfrac{7}{2}x$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

2. $f(x) = \dfrac{-4}{5x}(x-11) = \dfrac{-4(x-11)}{5x} = \dfrac{-4x+44}{5x} = \dfrac{-4x}{5x} + \dfrac{44}{5x} = -\dfrac{4}{5} + \dfrac{44}{5} \cdot \dfrac{1}{x}$.

Dérivabilité : $\dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$, constante dérivable sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = 0 + \dfrac{44}{5} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{44}{5x^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[$.

3. $f(x) = \dfrac{5x^2-8x+1}{21-7x}$.

Forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = 5x^2-8x+1$ et $v(x) = 21-7x$.

$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$. Il faut $v(x) \neq 0$, $21-7x \neq 0 \Leftrightarrow 7x \neq 21 \Leftrightarrow x \neq 3$.

Dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[$.

Dérivées : $u'(x) = 10x-8$, $v'(x) = -7$.

Après simplification, $f'(x) = \dfrac{-35x^2 + 210x - 161}{49(3-x)^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{3\} = ]-\infty; 3[ \cup ]3; +\infty[$.

4. $f(x) = \dfrac{-5}{3x^2+2}$.

Forme $\dfrac{k}{u}$ avec $k = -5$ et $u(x) = 3x^2+2$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. $3x^2 \ge 0$, donc $3x^2+2 \ge 2 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $u(x) \neq 0$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivabilité : $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = \dfrac{30x}{(3x^2+2)^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R}$.

5. $f(x) = \dfrac{9x}{x^2-6x+5}$.

Forme $\dfrac{u}{v}$ with $u(x) = 9x$ and $v(x) = x^2-6x+5$.

$u$ and $v$ are dérivables on $\mathbb{R}$. Need $v(x) \neq 0$. $x^2-6x+5 = 0$ for $x=1$ or $x=5$.

Dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{1, 5\} = ]-\infty; 1[ \cup ]1; 5[ \cup ]5; +\infty[$.

Dérivée : $f'(x) = \dfrac{9(5-x^2)}{(x^2-6x+5)^2}$.

Ensemble de dérivabilité : $\mathbb{R} \setminus \{1, 5\} = ]-\infty; 1[ \cup ]1; 5[ \cup ]5; +\infty[$.

6. $f(x) = \sqrt{10-x}$.

Forme $\sqrt{u}$ with $u(x) = 10-x$.

$u$ est derivable on $\mathbb{R}$. Need $u(x) > 0$, $10-x > 0 \Leftrightarrow x < 10$.

Dérivabilité : $]-\infty; 10[$.

Dérivée : $f'(x) = -\dfrac{1}{2\sqrt{10-x}}$.

Ensemble de dérivabilité : $]-\infty; 10[$.

Correction :

Pour chaque fonction, nous allons calculer la dérivée première $f'$ et ensuite la dérivée seconde $f'' = (f')'$.

1. $f(x) = 2x^3 - 7x^2 + 15x - 50$.

Dérivée première : $f'(x) = 6x^2 - 14x + 15$.

Dérivée seconde : $f''(x) = 12x - 14$.

Donc, $f''(x) = 12x - 14$.

2. $f(x) = \dfrac{3x-4}{-5x+7}$.

Dérivée première : $f'(x) = \dfrac{1}{(-5x+7)^2} = (-5x+7)^{-2}$.

Dérivée seconde : $f''(x) = \dfrac{-10}{(-5x+7)^3}$.

Donc, $f''(x) = \dfrac{-10}{(-5x+7)^3}$.

Correction :

Soit $f(x) = ax^2+bx+c$ et $f'(x) = 6x+7$.

1. Détermination de l'expression de $f(x)$, et des réels $a$ et $b$.

Calculons la dérivée de $f(x) = ax^2+bx+c$ :

$f'(x) = 2ax + b$.

On sait que $f'(x) = 6x+7$. Par identification, $2a = 6$ et $b = 7$. Donc $a = 3$ et $b = 7$. Une expression possible de $f(x)$ est $f(x) = 3x^2 + 7x + c$.

2. Détermination du réel $c$ sachant que la courbe de $f$ passe par $(1;6)$.

Si la courbe de $f$ passe par $(1;6)$, alors $f(1) = 6$.

Calculons $f(1) = 3(1)^2 + 7(1) + c = 10 + c$.

On doit avoir $f(1) = 6$, donc $10 + c = 6$.

On en déduit $c = -4$.

Finalement, $f(x) = 3x^2 + 7x - 4$, avec $a = 3$, $b = 7$, et $c = -4$.

Correction :

Soit la fonction de coût $C(x) = 0,05x^2 - 0,1x + 2,45$ sur $[1;20]$. Le coût marginal est $C_m(x) = C(x+1) - C(x)$.

1. Calcul du coût marginal $C_m(10)$ et $C_m(11)$.

Pour $x = 10$ tonnes : $C_m(10) = C(11) - C(10) = 7,4 - 6,45 = 0,95$.

Pour $x = 11$ tonnes : $C_m(11) = C(12) - C(11) = 8,45 - 7,4 = 1,05$.

Donc, $C_m(10) = 0,95$ et $C_m(11) = 1,05$ (en milliers d'euros).

2. Approximation du coût marginal par la dérivée $C'(x)$.

a. Dérivabilité de $C$ et détermination de $C'$.

La fonction $C(x) = 0,05x^2 - 0,1x + 2,45$ est polynomiale, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et sur $[1;20]$. Dérivée $C'(x) = 0,1x - 0,1$.

b. Calcul de $C'(10)$ et $C'(11)$.

$C'(10) = 0,9$.

$C'(11) = 1,0$.

Donc, $C'(10) = 0,9$ et $C'(11) = 1,0$ (en milliers d'euros).

c. Comparaison des résultats.

Comparaison $C_m(10) = 0,95$ avec $C'(10) = 0,9$ (différence : $0,05$).

Comparaison $C_m(11) = 1,05$ avec $C'(11) = 1,0$ (différence : $0,05$).

L'approximation du coût marginal par la dérivée est raisonnablement bonne.