Exercices : Équations se ramenant au second degré

Correction :

a. Résolvons l'équation $-2x^3+3x^2=x$.

On commence par réécrire l'équation afin de pouvoir la factoriser : $$-2x^3+3x^2-x=0$$

On factorise par $x$ : $$x(-2x^2+3x-1)=0$$

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. On a donc deux possibilités :

1. $x=0$

2. $-2x^2+3x-1=0$. Résolvons cette équation du second degré.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4 \times (-2) \times (-1) = 9 - 8 = 1$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-\sqrt{1}}{2 \times (-2)} = \dfrac{-3-1}{-4} = \dfrac{-4}{-4} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3+\sqrt{1}}{2 \times (-2)} = \dfrac{-3+1}{-4} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}$$

Donc les solutions de $-2x^2+3x-1=0$ sont $x=1$ et $x=\dfrac{1}{2}$.

En combinant les deux cas, les solutions de l'équation $-2x^3+3x^2=x$ sont $x=0$, $x=1$ et $x=\dfrac{1}{2}$.

b. Résolvons l'équation $x^4+x^5+x^6=0$.

On factorise par le terme de plus bas degré, ici $x^4$: $$x^4(1+x+x^2)=0$$

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. On a donc deux possibilités :

1. $x^4=0$, ce qui donne $x=0$.

2. $1+x+x^2=0$. Résolvons cette équation du second degré.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$. Comme $\Delta < 0$, l'équation $1+x+x^2=0$ n'a pas de solution réelle.

Donc la seule solution de l'équation $x^4+x^5+x^6=0$ est $x=0$.

Conclusion :

a. Les solutions de l'équation $-2x^3+3x^2=x$ sont $S = \left\{0; \dfrac{1}{2}; 1 \right\}$.

b. La solution de l'équation $x^4+x^5+x^6=0$ est $S = \left\{0 \right\}$.

Correction :

a. Résolvons l'équation $\dfrac {x-1}{2x-4}=0$.

Pour qu'une fraction soit nulle, il faut et il suffit que son numérateur soit nul et son dénominateur non nul.

Numérateur : $x-1$. Il s'annule pour $x=1$.

Dénominateur : $2x-4$. Il s'annule pour $2x-4=0 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x=2$. Donc la valeur interdite est $x=2$.

Pour $x=1$, le numérateur est nul et le dénominateur $2 \times 1 - 4 = -2 \neq 0$. Donc $x=1$ est solution.

La solution de l'équation $\dfrac {x-1}{2x-4}=0$ est $x=1$.

b. Résolvons l'équation $\dfrac 1x =x$.

Valeur interdite : $x=0$.

Pour $x \neq 0$, on peut multiplier les deux membres de l'équation par $x$ pour obtenir : $$1 = x \times x$$ $$1 = x^2$$ $$x^2 = 1$$

Les solutions de $x^2=1$ sont $x=\sqrt{1}=1$ et $x=-\sqrt{1}=-1$. Ces deux valeurs ne sont pas la valeur interdite ($x \neq 0$).

Les solutions de l'équation $\dfrac 1x =x$ sont $x=1$ et $x=-1$.

c. Résolvons l'équation $\dfrac{x^2-9}{3-x}=0$.

Pour qu'une fraction soit nulle, il faut et il suffit que son numérateur soit nul et son dénominateur non nul.

Numérateur : $x^2-9$. On résout $x^2-9=0 \Leftrightarrow x^2=9$. Les solutions sont $x=\sqrt{9}=3$ et $x=-\sqrt{9}=-3$.

Dénominateur : $3-x$. Il s'annule pour $3-x=0 \Leftrightarrow x=3$. Donc la valeur interdite est $x=3$.

Parmi les solutions du numérateur ($x=3$ et $x=-3$), on doit exclure la valeur interdite $x=3$.

Pour $x=-3$, le numérateur est nul et le dénominateur $3 - (-3) = 6 \neq 0$. Donc $x=-3$ est solution.

La solution de l'équation $\dfrac{x^2-9}{3-x}=0$ est $x=-3$.

Conclusion :

a. La solution de l'équation $\dfrac {x-1}{2x-4}=0$ est $S = \left\{1 \right\}$.

b. Les solutions de l'équation $\dfrac 1x =x$ sont $S = \left\{-1; 1 \right\}$.

c. La solution de l'équation $\dfrac{x^2-9}{3-x}=0$ est $S = \left\{-3 \right\}$.

Correction :

a. Résolvons l'équation $\dfrac 1x+\dfrac {2}{1-2x}=0$.

Valeurs interdites : $x=0$ et $1-2x=0 \Leftrightarrow x = \dfrac 12$.

Pour $x \neq 0$ et $x \neq \dfrac 12$, on réduit au même dénominateur : $$\dfrac{1 \times (1-2x)}{x(1-2x)}+\dfrac {2 \times x}{(1-2x)x}=0$$ $$\dfrac{1-2x+2x}{x(1-2x)}=0$$ $$\dfrac{1}{x(1-2x)}=0$$

Pour qu'une fraction soit nulle, il faut et il suffit que son numérateur soit nul. Ici, le numérateur est $1$, qui n'est jamais nul. Donc l'équation $\dfrac 1x+\dfrac {2}{1-2x}=0$ n'a pas de solution.

b. Résolvons l'équation $\dfrac 1{x^2}-\dfrac 2x =3$.

Valeur interdite : $x=0$.

Pour $x \neq 0$, on réécrit l'équation en réduisant au même dénominateur $x^2$: $$\dfrac{1}{x^2}-\dfrac {2 \times x}{x \times x} =3$$ $$\dfrac{1-2x}{x^2} =3$$

On multiplie les deux membres par $x^2$ (qui est non nul car $x \neq 0$): $$1-2x = 3x^2$$ $$3x^2+2x-1=0$$

Résolvons cette équation du second degré. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2-\sqrt{16}}{2 \times 3} = \dfrac{-2-4}{6} = \dfrac{-6}{6} = -1$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2+\sqrt{16}}{2 \times 3} = \dfrac{-2+4}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$

Les solutions sont $x=-1$ et $x=\dfrac{1}{3}$. Ces deux valeurs ne sont pas la valeur interdite ($x \neq 0$).

Les solutions de l'équation $\dfrac 1{x^2}-\dfrac 2x =3$ sont $x=-1$ et $x=\dfrac{1}{3}$.

c. Résolvons l'équation $\dfrac2{x-1}-\dfrac 2x=1$.

Valeurs interdites : $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$ et $x=0$.

Pour $x \neq 1$ et $x \neq 0$, on réduit au même dénominateur $x(x-1)$: $$\dfrac{2 \times x}{(x-1)x}-\dfrac {2 \times (x-1)}{x(x-1)} =1$$ $$\dfrac{2x - 2(x-1)}{x(x-1)} =1$$ $$\dfrac{2x - 2x + 2}{x(x-1)} =1$$ $$\dfrac{2}{x(x-1)} =1$$

On multiplie les deux membres par $x(x-1)$ (qui est non nul car $x \neq 0$ et $x \neq 1$): $$2 = x(x-1)$$ $$2 = x^2-x$$ $$x^2-x-2=0$$

Résolvons cette équation du second degré. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1)-\sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{1-3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1)+\sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{1+3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$$

Les solutions sont $x=-1$ et $x=2$. Ces deux valeurs ne sont pas des valeurs interdites ($x \neq 0$ et $x \neq 1$).

Les solutions de l'équation $\dfrac2{x-1}-\dfrac 2x=1$ sont $x=-1$ et $x=2$.

Conclusion :

a. L'équation $\dfrac 1x+\dfrac {2}{1-2x}=0$ n'a pas de solution. $S = \emptyset$.

b. Les solutions de l'équation $\dfrac 1{x^2}-\dfrac 2x =3$ sont $S = \left\{-1; \dfrac{1}{3} \right\}$.

c. Les solutions de l'équation $\dfrac2{x-1}-\dfrac 2x=1$ sont $S = \left\{-1; 2 \right\}$.

Correction :

1. Conjecture graphique.

En traçant les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sur une calculatrice graphique, on observe qu'il y a deux points d'intersection. Les abscisses de ces points d'intersection semblent être approximativement $x \approx -2$ et $x \approx 4$.

2. Détermination algébrique des abscisses exactes des points d'intersection.

Les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$.

On doit donc résoudre l'équation : $$\dfrac{1}{2}x - 1 = \dfrac{2}{x}$$

Valeur interdite : $x=0$.

Pour $x \neq 0$, on multiplie les deux membres par $x$ pour éliminer le dénominateur : $$x \left( \dfrac{1}{2}x - 1 \right) = x \times \dfrac{2}{x}$$ $$\dfrac{1}{2}x^2 - x = 2$$

Pour éliminer la fraction, on multiplie tous les termes par 2 : $$2 \left( \dfrac{1}{2}x^2 - x \right) = 2 \times 2$$ $$x^2 - 2x = 4$$ $$x^2 - 2x - 4 = 0$$

Résolvons cette équation du second degré. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 4 + 16 = 20$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-2)-\sqrt{20}}{2 \times 1} = \dfrac{2-\sqrt{20}}{2} = \dfrac{2-\sqrt{4 \times 5}}{2} = \dfrac{2-2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(1-\sqrt{5})}{2} = 1-\sqrt{5}$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-2)+\sqrt{20}}{2 \times 1} = \dfrac{2+\sqrt{20}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{4 \times 5}}{2} = \dfrac{2+2\sqrt{5}}{2} = \dfrac{2(1+\sqrt{5})}{2} = 1+\sqrt{5}$$

Les solutions sont $x = 1-\sqrt{5}$ et $x = 1+\sqrt{5}$. Ces deux valeurs ne sont pas la valeur interdite ($x \neq 0$).

$1-\sqrt{5} \approx 1 - 2,236 = -1,236$ et $1+\sqrt{5} \approx 1 + 2,236 = 3,236$. Ces valeurs sont cohérentes avec la conjecture graphique.

Conclusion :

1. Conjecture graphique : Il y a 2 points d'intersection dont les abscisses semblent être approximativement $x \approx -2$ et $x \approx 4$.

2. Les abscisses exactes des points d'intersection sont $x = 1-\sqrt{5}$ et $x = 1+\sqrt{5}$.

Correction :

Résolvons l'équation $x=\sqrt x +2$.

Pour que $\sqrt x$ soit défini, il faut $x \ge 0$. De plus, $\sqrt x \ge 0$, donc $\sqrt x + 2 \ge 2$. Ainsi, si $x = \sqrt x + 2$, alors nécessairement $x \ge 2$. Donc les solutions éventuelles sont positives ou nulles, et même supérieures ou égales à 2.

On isole le terme avec la racine carrée : $$x - 2 = \sqrt x$$

On élève au carré les deux membres. Comme $x \ge 2$, alors $x-2 \ge 0$, donc $x-2 = \sqrt x$ équivaut à $(x-2)^2 = (\sqrt x)^2$. $$(x-2)^2 = x$$ $$x^2 - 4x + 4 = x$$ $$x^2 - 4x - x + 4 = 0$$ $$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Résolvons cette équation du second degré. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5)-\sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{5-3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5)+\sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$$

On doit vérifier si ces solutions sont valides en les remplaçant dans l'équation de départ $x = \sqrt x + 2$.

Pour $x=1$, $\sqrt x + 2 = \sqrt 1 + 2 = 1 + 2 = 3$. Or $x=1$. Donc $1 \neq 3$. $x=1$ n'est pas solution.

Pour $x=4$, $\sqrt x + 2 = \sqrt 4 + 2 = 2 + 2 = 4$. Or $x=4$. Donc $4 = 4$. $x=4$ est solution.

La seule solution de l'équation $x=\sqrt x +2$ est $x=4$.

Conclusion :

La solution de l'équation $x=\sqrt x +2$ est $S = \left\{4 \right\}$.

Correction :

Résolvons l'équation $x+3\sqrt x -10=0$.

Pour que $\sqrt x$ soit défini, il faut $x \ge 0$.

On pose un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré. Posons $X = \sqrt x$. Alors $X^2 = (\sqrt x)^2 = x$. Comme $x \ge 0$, on a $X = \sqrt x \ge 0$.

L'équation $x+3\sqrt x -10=0$ devient, en remplaçant $x$ par $X^2$ et $\sqrt x$ par $X$ : $$X^2 + 3X - 10 = 0$$

Résolvons cette équation du second degré en $X$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 9 + 40 = 49$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$X_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3-\sqrt{49}}{2 \times 1} = \dfrac{-3-7}{2} = \dfrac{-10}{2} = -5$$ $$X_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-3+\sqrt{49}}{2 \times 1} = \dfrac{-3+7}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$$

On a trouvé deux solutions pour $X$: $X_1 = -5$ et $X_2 = 2$. Or, on a posé $X = \sqrt x$, donc on doit avoir $X \ge 0$. La solution $X_1 = -5$ est donc à rejeter car $-5 < 0$. On ne garde que la solution $X_2 = 2$ car $2 \ge 0$.

Pour $X_2 = 2$, on a $X = \sqrt x = 2$. On élève au carré pour trouver $x$: $$(\sqrt x)^2 = 2^2$$ $$x = 4$$

On vérifie si $x=4$ est solution de l'équation de départ $x+3\sqrt x -10=0$. Pour $x=4$, $x+3\sqrt x -10 = 4 + 3\sqrt 4 - 10 = 4 + 3 \times 2 - 10 = 4 + 6 - 10 = 10 - 10 = 0$. Donc $x=4$ est solution.

La seule solution de l'équation $x+3\sqrt x -10=0$ est $x=4$.

Conclusion :

La solution de l'équation $x+3\sqrt x -10=0$ est $S = \left\{4 \right\}$.

Correction :

1. Montrons qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ : $x^3 -2x - 1 = (x + 1)(ax^2 + bx + c)$.

Développons l'expression $(x + 1)(ax^2 + bx + c)$ : $$(x + 1)(ax^2 + bx + c) = x(ax^2 + bx + c) + 1(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx + ax^2 + bx + c$$ $$(x + 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (a+b)x^2 + (b+c)x + c$$

On veut que cette expression soit égale à $x^3 -2x - 1 = 1x^3 + 0x^2 -2x - 1$. Pour que deux polynômes soient égaux, les coefficients des termes de même degré doivent être égaux. On obtient le système d'équations suivant par identification des coefficients :

$$\begin{cases} a = 1 \\ a+b = 0 \\ b+c = -2 \\ c = -1 \end{cases}$$

De la première équation, on a $a=1$.

En remplaçant $a=1$ dans la deuxième équation $a+b=0$, on obtient $1+b=0 \Leftrightarrow b = -1$.

En remplaçant $b=-1$ dans la troisième équation $b+c=-2$, on obtient $-1+c=-2 \Leftrightarrow c = -2+1 = -1$.

La quatrième équation $c=-1$ est bien vérifiée avec $c=-1$.

On a donc trouvé $a=1$, $b=-1$ et $c=-1$. Ainsi, pour tout réel $x$, on a bien : $$x^3 -2x - 1 = (x + 1)(1x^2 + (-1)x + (-1)) = (x + 1)(x^2 - x - 1)$$

2. Résolvons l'équation $x^3 -2x-1 = 0$.

Grâce à la factorisation trouvée à la question 1, l'équation $x^3 -2x-1 = 0$ est équivalente à : $$(x + 1)(x^2 - x - 1) = 0$$

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul. On a donc deux possibilités :

1. $x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$.

2. $x^2 - x - 1 = 0$. Résolvons cette équation du second degré. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1)-\sqrt{5}}{2 \times 1} = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1)+\sqrt{5}}{2 \times 1} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Les solutions de l'équation $x^3 -2x-1 = 0$ sont $x=-1$, $x = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $x = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Conclusion :

1. On a montré que $x^3 -2x - 1 = (x + 1)(x^2 - x - 1)$.

2. Les solutions de l'équation $x^3 -2x-1 = 0$ sont $S = \left\{-1; \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}; \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}$.

Correction :

Résolvons l'équation bicarrée $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

On pose le changement de variable $X = x^2$. Alors $X^2 = (x^2)^2 = x^4$. L'équation devient : $$X^2 - 5X + 4 = 0$$

C'est une équation du second degré en $X$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes pour $X$ :

$$X_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5)-\sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{5-3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$$ $$X_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-5)+\sqrt{9}}{2 \times 1} = \dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$$

On a trouvé deux solutions pour $X$: $X_1 = 1$ et $X_2 = 4$. On doit maintenant revenir à la variable $x$ en utilisant $X = x^2$, donc $x = \pm \sqrt{X}$.

Pour $X_1 = 1$, on a $x^2 = 1$, donc $x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$. On obtient deux solutions pour $x$: $x=-1$ et $x=1$.

Pour $X_2 = 4$, on a $x^2 = 4$, donc $x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$. On obtient deux autres solutions pour $x$: $x=-2$ et $x=2$.

Les solutions de l'équation $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ sont $x=-2$, $x=-1$, $x=1$ et $x=2$.

On peut vérifier ces solutions en les remplaçant dans l'équation de départ. Par exemple, pour $x=1$, $x^4 - 5x^2 + 4 = 1^4 - 5 \times 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$. Pour $x=2$, $x^4 - 5x^2 + 4 = 2^4 - 5 \times 2^2 + 4 = 16 - 5 \times 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$. Et de même pour $x=-1$ et $x=-2$.

Conclusion :

Les solutions de l'équation $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ sont $S = \left\{-2; -1; 1; 2 \right\}$.

Correction :

Résolvons l'équation bicarrée $2x^4 + 7x^2 + 5 = 0$.

On pose le changement de variable $X = x^2$. Alors $X^2 = (x^2)^2 = x^4$. L'équation devient : $$2X^2 + 7X + 5 = 0$$

C'est une équation du second degré en $X$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = 7^2 - 4 \times 2 \times 5 = 49 - 40 = 9$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes pour $X$ :

$$X_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7-\sqrt{9}}{2 \times 2} = \dfrac{-7-3}{4} = \dfrac{-10}{4} = -\dfrac{5}{2}$$ $$X_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7+\sqrt{9}}{2 \times 2} = \dfrac{-7+3}{4} = \dfrac{-4}{4} = -1$$

On a trouvé deux solutions pour $X$: $X_1 = -\dfrac{5}{2}$ et $X_2 = -1$. On doit maintenant revenir à la variable $x$ en utilisant $X = x^2$, donc $x = \pm \sqrt{X}$.

Pour $X_1 = -\dfrac{5}{2}$, on doit résoudre $x^2 = -\dfrac{5}{2}$. Or, un carré ne peut pas être négatif dans $\mathbb{R}$. Donc l'équation $x^2 = -\dfrac{5}{2}$ n'a pas de solution réelle.

Pour $X_2 = -1$, on doit résoudre $x^2 = -1$. De même, un carré ne peut pas être négatif dans $\mathbb{R}$. Donc l'équation $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle.

Comme on n'a pas trouvé de solution réelle pour $x$ dans les deux cas, l'équation $2x^4 + 7x^2 + 5 = 0$ n'a pas de solution réelle.

Conclusion :

L'équation $2x^4 + 7x^2 + 5 = 0$ n'a pas de solution réelle. $S = \emptyset$.

Correction :

Résolvons l'équation bicarrée $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$.

On pose le changement de variable $X = x^2$. Alors $X^2 = (x^2)^2 = x^4$. L'équation devient : $$X^2 - 3X - 10 = 0$$

C'est une équation du second degré en $X$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 9 + 40 = 49$. Comme $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes pour $X$ :

$$X_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-3)-\sqrt{49}}{2 \times 1} = \dfrac{3-7}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2$$ $$X_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-3)+\sqrt{49}}{2 \times 1} = \dfrac{3+7}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$

On a trouvé deux solutions pour $X$: $X_1 = -2$ et $X_2 = 5$. On doit maintenant revenir à la variable $x$ en utilisant $X = x^2$, donc $x = \pm \sqrt{X}$.

Pour $X_1 = -2$, on doit résoudre $x^2 = -2$. Or, un carré ne peut pas être négatif dans $\mathbb{R}$. Donc l'équation $x^2 = -2$ n'a pas de solution réelle.

Pour $X_2 = 5$, on doit résoudre $x^2 = 5$, donc $x = \pm \sqrt{5}$. On obtient deux solutions réelles pour $x$: $x = -\sqrt{5}$ et $x = \sqrt{5}$.

Les solutions de l'équation $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$ sont $x = -\sqrt{5}$ et $x = \sqrt{5}$.

Conclusion :

Les solutions de l'équation $x^4 - 3x^2 - 10 = 0$ sont $S = \left\{-\sqrt{5}; \sqrt{5} \right\}$.