Exercices : Applications du Produit Scalaire

Correction de l'exercice 1:

1. Définition géométrique du produit scalaire :

Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est donné par la formule :

où $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$ sont les normes (longueurs) des vecteurs, et $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ est l'angle entre eux.

2. Valeur du cosinus de l'angle :

L'angle donné est $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\pi}{3}$ radians. Nous devons trouver la valeur de $\cos(\frac{\pi}{3})$.

On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

3. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ :

Utilisons la définition géométrique avec $||\overrightarrow{u}||=3$, $||\overrightarrow{v}||=5$ et $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{1}{2}$ :

Le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ est égal à 7.5.

4. Signe du produit scalaire avec angle de $\frac{2\pi}{3}$ radians :

Si l'angle était de $\frac{2\pi}{3}$ radians, nous devons considérer le signe de $\cos(\frac{2\pi}{3})$.

L'angle $\frac{2\pi}{3}$ se situe dans le deuxième quadrant où le cosinus est négatif. En fait, $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Donc, le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\frac{2\pi}{3})$ serait négatif car $\cos(\frac{2\pi}{3}) < 0$.

5. Angle pour un produit scalaire nul :

Le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\theta)$ est nul si et seulement si $\cos(\theta) = 0$ (puisque $||\overrightarrow{u}|| \neq 0$ et $||\overrightarrow{v}|| \neq 0$).

$\cos(\theta) = 0$ lorsque $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k$ est un entier relatif.

En particulier, pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ radians (ou $90^\circ$), le produit scalaire est nul. Cela correspond au cas où les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Correction de l'exercice 2:

1. Mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en radians :

Dans un triangle équilatéral, tous les angles internes sont égaux à $60^\circ$. Pour convertir en radians, on utilise la formule : $radians = degrés \times \frac{\pi}{180}$.

Donc, $\widehat{BAC} = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ radians.

2. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

En utilisant la définition géométrique, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos(\widehat{BAC})$.

Dans un triangle équilatéral de côté 4 cm, $AB = AC = 4$ cm et $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}$ radians. Donc,

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ est égal à 8.

3. Mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ en radians :

De même que pour $\widehat{BAC}$, dans un triangle équilatéral, $\widehat{ABC} = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ radians.

4. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ :

En utilisant la définition géométrique, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = ||\overrightarrow{BA}|| \times ||\overrightarrow{BC}|| \times \cos(\widehat{ABC})$.

Ici, $BA = BC = 4$ cm et $\widehat{ABC} = \frac{\pi}{3}$ radians. Donc,

Le produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ est égal à 8.

5. Comparaison de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ :

On observe que $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8$ et $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 8$. Les deux valeurs sont égales.

Explication : Dans un triangle équilatéral, les angles à chaque sommet sont égaux et les longueurs des côtés adjacents à chaque angle considéré sont aussi égales. Pour $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, on utilise l'angle en A ($\widehat{BAC}$) et les côtés AB et AC. Pour $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$, on utilise l'angle en B ($\widehat{ABC}$) et les côtés BA et BC. Comme le triangle est équilatéral, $\widehat{BAC} = \widehat{ABC}$ et $AB = BA$, $AC = BC$. Ainsi, les produits scalaires sont égaux.

Correction de l'exercice 3:

1. Nature et mesure de l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$ :

Dans un carré ABCD, l'angle $\widehat{BAD}$ est un angle droit. Par conséquent, l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$ est un angle droit.

Sa mesure en radians est $\frac{\pi}{2}$ radians.

2. Calcul de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ :

En utilisant la définition géométrique, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AD}|| \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$.

Ici, $AB = AD = 6$ cm et $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \frac{\pi}{2}$ radians. Donc,

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ est égal à 0, ce qui confirme que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux.

3. Nature de l'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ :

La diagonale [AC] d'un carré ABCD divise l'angle droit $\widehat{BAD}$ en deux angles égaux. Donc, $\widehat{BAC} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

L'angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ est donc un angle de $45^\circ$, qui est un angle remarquable.

En radians, $\widehat{BAC} = 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ radians.

4. Calcul de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

En utilisant la définition géométrique, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

On a $AB = 6$ cm et $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{4}$ radians. Il faut calculer $AC$. Dans le triangle rectangle ABC, d'après le théorème de Pythagore, $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 72$. Donc, $AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm.

Alors,

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ est égal à 36.

5. Vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ :

Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Donc, les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux.

Calculons leur produit scalaire pour vérifier : $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = ||\overrightarrow{AC}|| \times ||\overrightarrow{BD}|| \times \cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD})$.

Puisque $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux, l'angle entre eux est $\frac{\pi}{2}$, et $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Donc,

Le produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ est nul, ce qui confirme que les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux. Ce résultat est cohérent avec la propriété des diagonales d'un carré.

Correction de l'exercice 4:

1. Définition géométrique du produit scalaire :

La définition géométrique du produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est :

2. Expression de $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ :

À partir de la définition, on peut isoler $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ :

3. Calcul de $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ :

Avec $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3$, $||\overrightarrow{u}|| = 2$, et $||\overrightarrow{v}|| = 3$, on a :

4. Détermination de l'angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ en radians :

On cherche l'angle $\theta = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ tel que $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$. La valeur principale de l'angle dont le cosinus est $\frac{1}{2}$ dans l'intervalle $[0, \pi]$ est $\frac{\pi}{3}$ radians.

Donc, $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\pi}{3}$ radians.

5. Unicité de la valeur de l'angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ :

Non, il n'y a pas une unique valeur possible pour l'angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ en général, car la fonction cosinus est périodique et paire.

Cependant, si on considère l'angle non orienté entre deux vecteurs, on se restreint à l'intervalle $[0, \pi]$ où la fonction cosinus est bijective. Dans ce contexte, pour une valeur de cosinus donnée, il existe une unique valeur d'angle dans $[0, \pi]$.

Dans le cadre de cet exercice et en demandant la "valeur principale", on considère généralement l'angle dans $[0, \pi]$, et dans ce cas, $\frac{\pi}{3}$ est l'unique solution.

Correction de l'exercice 5:

1. Définition analytique du produit scalaire :

Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x; y)$ et $\overrightarrow{v}(x'; y')$, alors le produit scalaire est :

2. Coordonnées de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :

Les coordonnées données sont : $\overrightarrow{u}(2; -3)$ et $\overrightarrow{v}(4; 1)$.

Donc, $x = 2$, $y = -3$, $x' = 4$, $y' = 1$.

3. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ (définition analytique) :

En utilisant la définition analytique :

Le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ est égal à 5.

4. Calcul des normes $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$ :

La norme d'un vecteur $\overrightarrow{w}(x_w; y_w)$ est $||\overrightarrow{w}|| = \sqrt{x_w^2 + y_w^2}$.

Pour $\overrightarrow{u}(2; -3)$ : $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Pour $\overrightarrow{v}(4; 1)$ : $||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

Donc, $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{13}$ et $||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{17}$.

5. Calcul de $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (définition géométrique) :

On utilise la formule $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||}$.

Avec $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 5$, $||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{13}$, $||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{17}$ :

Donc, $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{5}{\sqrt{221}}$.

Correction de l'exercice 6:

1. Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Pour $\overrightarrow{AB}$ avec A(1; 2) et B(4; -1) :

Pour $\overrightarrow{AC}$ avec A(1; 2) et C(0; 5) :

Donc, $\overrightarrow{AB}(3; -3)$ et $\overrightarrow{AC}(-1; 3)$.

2. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

En utilisant la définition analytique avec $\overrightarrow{AB}(3; -3)$ et $\overrightarrow{AC}(-1; 3)$ :

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ est égal à -12.

3. Calcul des longueurs AB et AC :

Pour AB : $AB = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Pour AC : $AC = ||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

Donc, $AB = 3\sqrt{2}$ et $AC = \sqrt{10}$.

4. Déduction de la valeur de $\cos(\widehat{BAC})$ :

Utilisons la formule $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC}$ :

Donc, $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{-2\sqrt{5}}{5}$.

5. Valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés :

$\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5}\right) \approx 153.4^\circ$ (arrondi au dixième de degré près).

Correction de l'exercice 7:

1. Expression de $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ en fonction de $x$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (x)(-1) + (2)(3) = -x + 6$

2. Équation pour $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 5$ :

On veut $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 5$, donc l'équation est : $-x + 6 = 5$.

3. Résolution de l'équation pour trouver $x$ :

$-x + 6 = 5 \implies -x = 5 - 6 \implies -x = -1 \implies x = 1$

Donc, $x = 1$.

4. Orthogonalité de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ pour $x=1$ ? :

Pour $x = 1$, $\overrightarrow{u}(1; 2)$ et $\overrightarrow{v}(-1; 3)$. Calculons $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (1)(-1) + (2)(3) = -1 + 6 = 5 \neq 0$.

Non, ils ne sont pas orthogonaux car leur produit scalaire n'est pas nul.

5. Valeur de $x$ pour orthogonalité :

Pour que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient orthogonaux, il faut $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$, donc $-x + 6 = 0 \implies x = 6$.

Pour $x = 6$, $\overrightarrow{u}(6; 2)$ et $\overrightarrow{v}(-1; 3)$, et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (6)(-1) + (2)(3) = -6 + 6 = 0$.

Donc, pour $x = 6$, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Correction de l'exercice 8:

1. Coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :

$\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j} = 2\overrightarrow{i} + (-1)\overrightarrow{j} \implies \overrightarrow{u}(2; -1)$

$\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j} = (-1)\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} \implies \overrightarrow{v}(-1; 3)$

2. Calcul de $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ (définition analytique) :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (2)(-1) + (-1)(3) = -2 - 3 = -5$

3. Calcul de $||\overrightarrow{u}||^2$ et $||\overrightarrow{v}||^2$ :

$||\overrightarrow{u}||^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$

$||\overrightarrow{v}||^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$

4. Déduction de $||\overrightarrow{u}||$ et $||\overrightarrow{v}||$ :

$||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{||\overrightarrow{u}||^2} = \sqrt{5}$

$||\overrightarrow{v}|| = \sqrt{||\overrightarrow{v}||^2} = \sqrt{10}$

5. Calcul de $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ et angle en degrés :

$\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}||} = \frac{-5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\widehat{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})} = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$.

Correction de l'exercice 9:

1. Développement avec bilinéarité :

$(\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) + (2\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

2. Simplification avec symétrie et linéarité :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

3. Réduction avec notation de norme :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||^2 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 2||\overrightarrow{v}||^2$

4. Calcul de la valeur numérique :

Avec $||\overrightarrow{u}||=2$, $||\overrightarrow{v}||=3$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$ :

$||\overrightarrow{u}||^2 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 2||\overrightarrow{v}||^2 = 2^2 + (-1) - 2(3)^2 = 4 - 1 - 18 = -15$

5. Interprétation géométrique (réflexion) :

L'expression $(\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ représente un produit scalaire entre deux combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Géométriquement, cela pourrait être lié à des projections ou à des relations angulaires entre les vecteurs résultants $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, mais sans contexte géométrique spécifique, l'interprétation directe est moins évidente qu'un produit scalaire simple $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$. L'expression simplifiée montre une combinaison de carrés de normes et du produit scalaire initial, ce qui pourrait être pertinent dans des calculs de longueurs ou d'angles dans des configurations géométriques plus complexes impliquant ces vecteurs.

Correction de l'exercice 10:

1. Développement avec bilinéarité et distributivité :

$(3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) \cdot (2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}) = (3\overrightarrow{u}) \cdot (2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}) - \overrightarrow{v} \cdot (2\overrightarrow{u}+4\overrightarrow{v}) = (3\overrightarrow{u}) \cdot (2\overrightarrow{u}) + (3\overrightarrow{u}) \cdot (4\overrightarrow{v}) - \overrightarrow{v} \cdot (2\overrightarrow{u}) - \overrightarrow{v} \cdot (4\overrightarrow{v})$

2. Regroupement et simplification des termes :

$(3\overrightarrow{u}) \cdot (2\overrightarrow{u}) + (3\overrightarrow{u}) \cdot (4\overrightarrow{v}) - \overrightarrow{v} \cdot (2\overrightarrow{u}) - \overrightarrow{v} \cdot (4\overrightarrow{v}) = 6 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}) + 12 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 2 (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}) - 4 (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}) = 6 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}) + 12 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 4 (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}) = 6 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}) + 10 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 4 (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v})$

3. Expression en fonction de $||\overrightarrow{u}||^2$, $||\overrightarrow{v}||^2$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ :

$6 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}) + 10 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 4 (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}) = 6 ||\overrightarrow{u}||^2 + 10 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 4 ||\overrightarrow{v}||^2$

4. Expression simplifiée si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux :

Si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$, alors $6 ||\overrightarrow{u}||^2 + 10 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 4 ||\overrightarrow{v}||^2 = 6 ||\overrightarrow{u}||^2 - 4 ||\overrightarrow{v}||^2$

5. Calcul de la valeur numérique :

Avec $||\overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{v}||=1$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}$ :

$6 ||\overrightarrow{u}||^2 + 10 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - 4 ||\overrightarrow{v}||^2 = 6(1)^2 + 10(\frac{1}{2}) - 4(1)^2 = 6 + 5 - 4 = 7$

Correction de l'exercice 11:

1. Développement de $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2$ :

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 = (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

2. Simplification de l'expression :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2$

3. Énoncé en français :

Le carré de la norme de la somme de deux vecteurs est égal à la somme des carrés des normes de chaque vecteur plus deux fois leur produit scalaire.

4. Analogie algébrique (identité remarquable) :

Cette formule est analogue à l'identité remarquable algébrique $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

5. Cas où $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux :

Si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$, alors $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2$.

Cette formule est une généralisation du théorème de Pythagore. Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ représentent deux côtés adjacents d'un rectangle partant d'un même sommet, alors $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ représente la diagonale, et la formule exprime le théorème de Pythagore.

Correction de l'exercice 12:

1. Développement de $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2$ :

$(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 = (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) - \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

2. Simplification de l'expression :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2$

3. Comparaison avec la formule de l'exercice 11 :

Ressemblances : Les deux formules sont similaires aux identités remarquables algébriques et impliquent les normes de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et leur produit scalaire.

Différences : La formule pour $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2$ a un terme $+2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$, tandis que celle pour $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2$ a $-2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$. Le signe change selon qu'on considère la somme ou la différence.

4. Calcul de $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$ et $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||$ :

Si $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$, alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.

$||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|| = \sqrt{25} = 5$

5. Interprétation géométrique de $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ :

Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$, alors $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$. Géométriquement, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ représente le vecteur allant de l'extrémité de $\overrightarrow{v}$ à l'extrémité de $\overrightarrow{u}$ lorsqu'ils partagent la même origine.

Correction de l'exercice 13:

1. Développement de $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ :

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

2. Simplification de l'expression :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2$

3. Énoncé en français :

Le produit scalaire de la somme de deux vecteurs par leur différence est égal à la différence des carrés de leurs normes.

4. Analogie algébrique (identité remarquable) :

Cette formule correspond à l'identité remarquable algébrique $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

5. Cas où $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|| = ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||$ :

Si $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|| = ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||$, alors $||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2$. En utilisant les formules des exercices précédents, on obtient :

$||\overrightarrow{u}||^2 + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 - 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2 \implies 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \implies \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.

Donc, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. De plus, $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 = 0 \implies ||\overrightarrow{u}||^2 = ||\overrightarrow{v}||^2 \implies ||\overrightarrow{u}|| = ||\overrightarrow{v}||$.

Interprétation géométrique : Si les diagonales d'un parallélogramme construit sur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont la même longueur, alors le parallélogramme est un rectangle (car les diagonales de même longueur impliquent que l'angle entre les côtés est droit) et si en plus les côtés ont la même longueur, c'est un carré.

Correction de l'exercice 14:

1. Condition d'orthogonalité en termes de produit scalaire :

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.

2. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (2)(1) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0$

3. Conclusion sur l'orthogonalité :

Puisque $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$, les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

4. Représentation graphique et vérification visuelle :

[Description de la représentation graphique et confirmation visuelle de l'orthogonalité]. Visuellement, les vecteurs apparaissent perpendiculaires.

5. Vecteur $\overrightarrow{w}$ orthogonal à $\overrightarrow{u}$ :

Un vecteur orthogonal à $\overrightarrow{u}(2; -1)$ peut être obtenu en échangeant les coordonnées et en changeant le signe de l'une d'elles, par exemple $\overrightarrow{w}(1; 2)$ ou $\overrightarrow{w}(-1; -2)$. Choisissons $\overrightarrow{w}(1; 2)$.

Vérification : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (2)(1) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0$. Donc, $\overrightarrow{w}(1; 2)$ est orthogonal à $\overrightarrow{u}(2; -1)$. En fait, $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{v}$ dans cet exemple.

Correction de l'exercice 15:

1. Condition d'orthogonalité en produit scalaire :

$\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$.

2. Expression de $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ en fonction de $k$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (k)(2) + (3)(-4) = 2k - 12$

3. Équation pour l'orthogonalité $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ :

$2k - 12 = 0$

4. Résolution de l'équation pour trouver $k$ :

$2k - 12 = 0 \implies 2k = 12 \implies k = 6$

5. Vérification de l'orthogonalité pour $k=6$ :

Pour $k=6$, $\overrightarrow{u}(6; 3)$. Calculons $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (6)(2) + (3)(-4) = 12 - 12 = 0$.

Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs sont bien orthogonaux pour $k=6$.

Correction de l'exercice 16:

1. Vecteurs directeurs des droites (AB) et (CD) :

On peut prendre $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur de (AB) et $\overrightarrow{CD}$ comme vecteur directeur de (CD).

2. Coordonnées des vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ :

$\overrightarrow{AB}(5-3; 4-1) = \overrightarrow{AB}(2; 3)$

$\overrightarrow{CD}(0-2; 3-6) = \overrightarrow{CD}(-2; -3)$

3. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(-2) + (3)(-3) = -4 - 9 = -13$

4. Conclusion sur l'orthogonalité des vecteurs directeurs :

Puisque $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -13 \neq 0$, les vecteurs directeurs ne sont pas orthogonaux.

5. Conclusion sur la perpendicularité des droites (AB) et (CD) :

Comme les vecteurs directeurs ne sont pas orthogonaux, les droites (AB) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.

Correction de l'exercice 17:

1. Signification de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ en orthogonalité :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.

2. Interprétation géométrique dans le triangle ABC :

Dans le triangle ABC, l'orthogonalité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ signifie que les côtés [AB] et [AC] sont perpendiculaires.

3. Type d'angle en A :

Si [AB] et [AC] sont perpendiculaires, l'angle $\widehat{BAC}$ est un angle droit (90°).

4. Nature du triangle ABC :

Un triangle ayant un angle droit est un triangle rectangle. Donc ABC est rectangle en A.

5. Théorème de Pythagore pour un triangle rectangle en A :

Dans un triangle rectangle en A, le théorème de Pythagore est : $BC^2 = AB^2 + AC^2$, où [BC] est l'hypoténuse.

Correction de l'exercice 18:

1. Expression des vecteurs diagonales $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ :

Dans un parallélogramme ABCD :

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (car $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ dans un parallélogramme)

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

2. Condition d'orthogonalité des diagonales en produit scalaire :

$\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BD} \iff \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$.

3. Développement de $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ :

$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$

4. Simplification et obtention de $||\overrightarrow{AB}||^2 = ||\overrightarrow{AD}||^2$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} - ||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{AD}||^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$

$- ||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{AD}||^2 = 0 \implies ||\overrightarrow{AD}||^2 = ||\overrightarrow{AB}||^2$

5. Conclusion sur la nature de ABCD :

$||\overrightarrow{AD}||^2 = ||\overrightarrow{AB}||^2 \implies ||\overrightarrow{AD}|| = ||\overrightarrow{AB}|| \implies AD = AB$.

Un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Donc, ABCD est un losange.

Correction de l'exercice 19:

1. Condition d'orthogonalité en produit scalaire :

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \perp (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) \iff (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = 0$.

2. Développement de $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ :

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

3. Simplification et équivalence à $||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 = 0$ :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||^2 - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - ||\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2$.

Donc, $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) = 0 \iff ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 = 0$.

4. Équivalence entre $||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 = 0$ et $||\overrightarrow{u}|| = ||\overrightarrow{v}||$ :

$||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 = 0 \iff ||\overrightarrow{u}||^2 = ||\overrightarrow{v}||^2 \iff ||\overrightarrow{u}|| = ||\overrightarrow{v}||$ (car les normes sont positives).

5. Interprétation géométrique du quadrilatère OACB :

Si $||\overrightarrow{u}|| = ||\overrightarrow{v}||$ et $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, alors avec $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$, le parallélogramme OACB construit sur $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ a des diagonales perpendiculaires ($\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{v}-\overrightarrow{u} \implies \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$) et des côtés adjacents de même longueur ($OA = OB$). Un tel quadrilatère est un carré (un losange avec un angle droit, ou un rectangle avec des côtés adjacents égaux).

Correction de l'exercice 20:

1. Formule d'Al-Kashi :

Dans un triangle ABC, la formule d'Al-Kashi est : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.

2. Identification des côtés et angle :

Pour calculer BC, on utilise AB, AC et l'angle $\widehat{BAC}$.

3. Calcul de $\cos(\frac{\pi}{3})$ :

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

4. Application de la formule d'Al-Kashi pour $BC^2$ :

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos(\frac{\pi}{3}) = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 25 + 64 - 40 = 49$.

5. Déduction de la longueur BC :

$BC = \sqrt{49} = 7$ cm. La valeur exacte est 7 cm, et la valeur approchée à 0.1 cm près est 7.0 cm.

Correction de l'exercice 21:

1. Formule d'Al-Kashi pour $DF^2$ :

$DF^2 = DE^2 + EF^2 - 2 \times DE \times EF \times \cos(\widehat{DEF})$

2. Expression de $\cos(\widehat{DEF})$ :

$\cos(\widehat{DEF}) = \frac{DE^2 + EF^2 - DF^2}{2 \times DE \times EF}$

3. Calcul de $\cos(\widehat{DEF})$ avec les longueurs données :

$\cos(\widehat{DEF}) = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \times 7 \times 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$

4. Mesure de l'angle $\widehat{DEF}$ en degrés :

$\widehat{DEF} = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.557^\circ \approx 34^\circ$ (arrondi au degré près).

5. Vérification de cohérence :

Dans un triangle, le plus grand angle est opposé au plus grand côté. Ici, EF = 9 est le plus grand côté, opposé à $\widehat{EDF}$. DF = 5 est le plus petit côté, opposé à $\widehat{DEF}$. L'angle $\widehat{DEF} \approx 34^\circ$ est donc attendu comme étant le plus petit angle, ce qui est cohérent avec les longueurs des côtés.

Correction de l'exercice 22:

1. Plus grand côté et angle potentiellement obtus/droit :

Le plus grand côté est 7. L'angle opposé à ce côté est potentiellement obtus ou droit.

2. Calcul du cosinus de l'angle opposé au plus grand côté :

Soient a=4, b=5, c=7. Angle opposé à c est C.

$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{16 + 25 - 49}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$

3. Signe du cosinus et nature de l'angle :

$\cos(C) = -\frac{1}{5} < 0$. Si le cosinus est négatif, l'angle est obtus.

Signe de $\cos(\theta)$ et nature de $\theta$ :

- $\cos(\theta) > 0 \implies \theta$ aigu

- $\cos(\theta) = 0 \implies \theta$ droit

- $\cos(\theta) < 0 \implies \theta$ obtus

4. Conclusion sur la nature du triangle :

Puisque $\cos(C) < 0$, l'angle C est obtus. Le triangle est obtusangle.

5. Utilisation du théorème de Pythagore vs Al-Kashi :

Théorème de Pythagore ne permet que de vérifier si un triangle est rectangle ($a^2+b^2=c^2$). Al-Kashi est plus général car il permet de déterminer la nature de l'angle (aigu, droit, obtus) en fonction du signe du cosinus, et s'applique à tous les triangles.

Correction de l'exercice 23:

1. Formule d'Al-Kashi reliant $BC^2$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

2. Expression de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (AB^2 + AC^2 - BC^2)$

3. Calcul de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} (6^2 + 4^2 - 7^2) = \frac{1}{2} (36 + 16 - 49) = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2} = 1.5$

4. Déduction de la valeur de $\cos(\widehat{BAC})$ :

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \frac{3/2}{6 \times 4} = \frac{3}{2 \times 24} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

5. Nature de l'angle $\widehat{BAC}$ (aigu ou obtus) :

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{16} > 0$. Puisque le cosinus est positif, l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu.

Correction de l'exercice 24:

1. Expression de $\overrightarrow{AB}$ en fonction de $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$ :

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$

2. Calcul de $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = c^2$ :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \cdot (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CA}$

3. Simplification de l'expression :

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CA}$

=$ ||\overrightarrow{CB}||^2 - 2(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}) + ||\overrightarrow{CA}||^2 = BC^2 + AC^2 - 2(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}) = a^2 + b^2 - 2(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB})$

Donc $c^2 = a^2 + b^2 - 2(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB})$.

4. Expression de $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$ en fonction de $a$, $b$ et $\cos(C)$ :

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = ||\overrightarrow{CA}|| \times ||\overrightarrow{CB}|| \times \cos(\widehat{ACB}) = AC \times BC \times \cos(C) = b \times a \times \cos(C) = ab\cos(C)$

5. Substitution pour retrouver la formule d'Al-Kashi :

Substituant $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = ab\cos(C)$ dans $c^2 = a^2 + b^2 - 2(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB})$, on obtient :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$.

Correction de l'exercice 25:

1. Signification géométrique de $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux, donc les droites (MA) et (MB) sont perpendiculaires.

2. Théorème reliant orthogonalité et cercle de diamètre [AB] :

Théorème : Un point M vérifie $\overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB}$ si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AB] (ou M=A ou M=B).

3. Nature de l'ensemble des points M :

L'ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB].

4. Déterminer le centre et le rayon de cet ensemble :

Centre : milieu de [AB]. $I = (\frac{1+5}{2}, \frac{1+3}{2}) = (3, 2)$.

Rayon : $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{16+4}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

5. Vérifier que les points A et B appartiennent bien à l'ensemble trouvé :

Pour M=A, $\overrightarrow{AA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Pour M=B, $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{0} = 0$. Donc A et B appartiennent à l'ensemble.

Correction de l'exercice 26:

1. Coordonnées de $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ :

$\overrightarrow{MA}(2-x; -y)$, $\overrightarrow{MB}(-2-x; -y)$.

2. Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ :

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (2-x)(-2-x) + (-y)(-y) = -4 - 2x + 2x + x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 4$

3. Équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ et développement :

$x^2 + y^2 - 4 = 0$

4. Simplification et forme standard de l'équation de cercle :

$x^2 + y^2 = 4 = 2^2 \implies (x-0)^2 + (y-0)^2 = 2^2$.

5. Centre et rayon du cercle :

Centre O(0; 0), rayon R=2.

Correction de l'exercice 27:

1. Propriété caractéristique d'un cercle de diamètre [AB] :

M appartient au cercle de diamètre [AB] $\iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.

2. Coordonnées de $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ :

$\overrightarrow{MA}(-1-x; 2-y)$, $\overrightarrow{MB}(3-x; -2-y)$.

3. Équation $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ et développement :

$(-1-x)(3-x) + (2-y)(-2-y) = 0 \implies -3 + x - 3x + x^2 - 4 - 2y + 2y + y^2=0$

$ \implies x^2 - 2x + y^2 - 7 = 0$

4. Simplification de l'équation cartésienne du cercle :

$x^2 - 2x + y^2 - 7 = 0 \implies (x^2 - 2x + 1) + y^2 - 7 - 1 = 0$

$\implies (x-1)^2 + y^2 - 8 = 0 \implies (x-1)^2 + y^2 = 8$

5. Centre et rayon du cercle :

Centre (1; 0), rayon $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.