Exercices : Variation et encadrement

Correction :

Pour étudier les variations de la fonction $f(x) = -4x + 9$, calculons sa dérivée $f'(x)$.

1. Calcul de la dérivée :

La dérivée de $f(x) = -4x + 9$ est :

2. Signe de la dérivée :

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = -4$. La dérivée est constante et négative.

3. Variations de $f$ :

Comme $f'(x) = -4 < 0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

4. Tableau de variations :

Conclusion : La fonction $f(x) = -4x + 9$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Correction :

Pour étudier les variations de $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calculons sa dérivée et étudions son signe.

1. Calcul de la dérivée :

La dérivée de $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ est :

2. Recherche des points critiques :

Résolvons $f'(x) = 0$ :

3. Signe de la dérivée :

Étudions le signe de $f'(x) = 4x - 5$ autour de $x = \frac{5}{4}$.

• Pour $x < \frac{5}{4}$, prenons $x = 0$, $f'(0) = -5 < 0$. Donc $f'(x) < 0$ sur $]-\infty, \frac{5}{4}[$.

• Pour $x > \frac{5}{4}$, prenons $x = 2$, $f'(2) = 3 > 0$. Donc $f'(x) > 0$ sur $]\frac{5}{4}, +\infty[$.

4. Tableau de variations :

Calculons le minimum $f\left(\frac{5}{4}\right) = 2\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{4}\right) + 1 = -\frac{17}{8}$.

Conclusion : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty, \frac{5}{4}]$ et strictement croissante sur $[\frac{5}{4}, +\infty[$. Elle admet un minimum en $x = \frac{5}{4}$ valant $-\frac{17}{8}$.

Correction :

Étudions les variations de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x$ en analysant sa dérivée.

1. Calcul de la dérivée :

La dérivée de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x$ est :

2. Signe de la dérivée :

Discriminant de $f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$ : $\Delta = (-6)^2 - 4(6)(4) = 36 - 96 = -60 < 0$.

Comme $\Delta < 0$ et le coefficient de $x^2$ (qui est $6$) est positif, $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Variations de $f$ :

Puisque $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

4. Tableau de variations :

Conclusion : La fonction $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Correction :

Pour étudier les variations de $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + 1$, analysons le signe de sa dérivée.

1. Calcul de la dérivée :

La dérivée de $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + 1$ est :

2. Signe de la dérivée :

Discriminant de $f'(x) = x^2 - 4x + 5$ : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$.

Comme $\Delta < 0$ et le coefficient de $x^2$ (qui est $1$) est positif, $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Variations de $f$ :

Puisque $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

4. Tableau de variations :

Conclusion : La fonction $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + 1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Correction :

Pour étudier les variations de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{3x+1}{5x-1}$, calculons et étudions le signe de sa dérivée.

1. Calcul de la dérivée :

Utilisons la formule de dérivation d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x) = 3x+1$ et $v(x) = 5x-1$. Ainsi, $u'(x) = 3$ et $v'(x) = 5$.

2. Signe de la dérivée :

Pour $x \neq \frac{1}{5}$, $(5x-1)^2 > 0$. Le numérateur est $-8 < 0$. Donc $f'(x) = \frac{-8}{(5x-1)^2} < 0$ pour tout $x \neq \frac{1}{5}$.

3. Variations de $f$ :

Puisque $f'(x) < 0$ sur $]-\infty; \frac{1}{5}[$ et sur $]\frac{1}{5}; +\infty[$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur chaque intervalle.

4. Limites aux bornes :

• Limites en $\pm\infty$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x+1}{5x-1} = \frac{3}{5}$.

• Limites en $x = \frac{1}{5}$ : $\lim_{x \to \frac{1}{5}^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to \frac{1}{5}^+} f(x) = +\infty$.

5. Tableau de variations :

Conclusion : La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \frac{1}{5}[$ et sur $]\frac{1}{5}; +\infty[$. Asymptotes horizontales en $y = \frac{3}{5}$ et verticale en $x = \frac{1}{5}$.

Correction :

Déduisons les variations de $f$ à partir du signe de $f'$ donné par le graphique.

1. Analyse graphique du signe de $f'(x)$ :

• Sur $]-\infty ; 1[$, $f'(x) > 0$ (courbe au-dessus de l'axe des abscisses).

• En $x = 1$, $f'(1) = 0$ (courbe coupe l'axe).

• Sur $]1 ; 3[$, $f'(x) < 0$ (courbe en-dessous de l'axe).

• En $x = 3$, $f'(3) = 0$ (courbe coupe l'axe).

• Sur $]3 ; +\infty[$, $f'(x) > 0$ (courbe au-dessus de l'axe).

2. Variations de $f$ :

• $f'(x) > 0$ sur $]-\infty ; 1[ \Rightarrow f$ strictement croissante sur $]-\infty ; 1]$.

• $f'(x) < 0$ sur $]1 ; 3[ \Rightarrow f$ strictement décroissante sur $[1 ; 3]$.

• $f'(x) > 0$ sur $]3 ; +\infty[ \Rightarrow f$ strictement croissante sur $[3 ; +\infty[$.

4. Extrema locaux :

• En $x = 1$, $f'$ change de signe de $+$ à $-$, donc $f$ a un maximum local en $x = 1$.

• En $x = 3$, $f'$ change de signe de $-$ à $+$, donc $f$ a un minimum local en $x = 3$.

Conclusion : La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; 1]$, décroissante sur $[1 ; 3]$, et croissante sur $[3 ; +\infty[$. Maximum local en $x = 1$ et minimum local en $x = 3$.

Correction :

Déterminons le signe de $g'(x)$ à partir des variations de $g(x)$ visibles sur le graphique.

1. Analyse graphique des variations de $g(x)$ :

• Sur $]-\infty ; -2]$, $g$ est croissante, donc $g'(x) \geq 0$.

• En $x = -2$, $g$ atteint un maximum local, donc $g'(-2) = 0$.

• Sur $[-2 ; 2]$, $g$ est décroissante, donc $g'(x) \leq 0$.

• En $x = 2$, $g$ atteint un minimum local, donc $g'(2) = 0$.

• Sur $[2 ; +\infty[$, $g$ est croissante, donc $g'(x) \geq 0$.

2. Tableau de signes de $g'(x)$ :

• $g'(x) > 0$ sur $]-\infty ; -2[$.

• $g'(x) < 0$ sur $]-2 ; 2[$.

• $g'(x) > 0$ sur $]2 ; +\infty[$.

• $g'(-2) = 0$ et $g'(2) = 0$.

Conclusion : Le tableau de signes de $g'(x)$ montre que $g'(x)$ est positive sur $]-\infty ; -2[$, négative sur $]-2 ; 2[$, et positive sur $]2 ; +\infty[$, et s'annule en $x = -2$ et $x = 2$.

Correction :

Déterminons le signe de $g'(x)$ à partir des variations de $g(x)$ visibles sur le graphique.

1. Analyse graphique des variations de $g(x)$ :

• Sur $]-\infty ; -2]$, $g$ est croissante, donc $g'(x) \geq 0$.

• En $x = -2$, $g$ atteint un maximum local, donc $g'(-2) = 0$.

• Sur $[-2 ; 2]$, $g$ est décroissante, donc $g'(x) \leq 0$.

• En $x = 2$, $g$ atteint un minimum local, donc $g'(2) = 0$.

• Sur $[2 ; +\infty[$, $g$ est croissante, donc $g'(x) \geq 0$.

2. Tableau de signes de $g'(x)$ :

• $g'(x) > 0$ sur $]-\infty ; -2[$.

• $g'(x) < 0$ sur $]-2 ; 2[$.

• $g'(x) > 0$ sur $]2 ; +\infty[$.

• $g'(-2) = 0$ et $g'(2) = 0$.

Conclusion : Le tableau de signes de $g'(x)$ montre que $g'(x)$ est positive sur $]-\infty ; -2[$, négative sur $]-2 ; 2[$, et positive sur $]2 ; +\infty[$, et s'annule en $x = -2$ et $x = 2$.

Correction :

Pour que $f(x) = x^3 - 3x^2 + mx$ soit strictement croissante sur $\mathbb{R}$, il faut que $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

1. Calcul de la dérivée :

La dérivée de $f(x) = x^3 - 3x^2 + mx$ est :

2. Condition sur le discriminant :

Pour que $f'(x) = 3x^2 - 6x + m > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le trinôme doit être toujours positif. Ceci est vrai si son discriminant $\Delta < 0$ (et si le coefficient de $x^2$ est positif, ce qui est le cas ici avec $3 > 0$).

3. Calcul et résolution de $\Delta < 0$ :

Le discriminant de $f'(x) = 3x^2 - 6x + m$ est :

On veut $\Delta < 0$ :

Conclusion : La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $m > 3$.

Correction :

Pour vérifier si $f(x) = \frac{x^4}{100} - \frac{49x^2}{100} + 6$ est toujours positive sur $\mathbb{R}$, cherchons son minimum.

1. Calcul de la dérivée :

La dérivée de $f(x) = \frac{x^4}{100} - \frac{49x^2}{100} + 6$ est :

2. Points critiques :

Résolvons $f'(x) = 0$ : $x(2x^2 - 49) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ou $2x^2 - 49 = 0 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{\frac{49}{2}} = \pm\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Points critiques : $x = -\frac{7\sqrt{2}}{2}$, $x = 0$, $x = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

3. Tableau de signes et variations :

4. Minimum local :

Calculons $f\left(\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\left(\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^4}{100} - \frac{49\left(\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)^2}{100} + 6 = -\frac{1}{400}$.

Conclusion : Le minimum de $f$ est $-\frac{1}{400} < 0$. Donc, $f(x)$ n'est pas toujours positive sur $\mathbb{R}$. La conjecture est infirmée.

Correction :

Analysons le tableau de signes de $f'$ pour déterminer la nature de l'extremum potentiel en $x = 5>.

1. Signe de $f'(x)$ autour de $x = 5$ :

• Pour $x < 5$, $f'(x) > 0$.

• En $x = 5$, $f'(x) = 0$.

• Pour $x > 5$, $f'(x) < 0$.

2. Nature de l'extremum :

Puisque $f'$ change de signe de positif à négatif en $x = 5$, $f$ admet un maximum local en $x = 5$.

Conclusion : Oui, la fonction $f$ admet un maximum local en $x = 5$.

Correction :

Examinons le tableau de signes de $g'$ autour de $x = 5$ pour déterminer s'il y a un extremum local.

1. Signe de $g'(x)$ autour de $x = 5$ :

• Pour $x < 5$, $g'(x) < 0$.

• En $x = 5$, $g'(x) = 0$.

• Pour $x > 5$, $g'(x) < 0$.

2. Nature de l'extremum :

Puisque $g'$ ne change pas de signe en $x = 5$ (reste négatif), $g$ n'admet pas d'extremum local en $x = 5$. Il y a un point d'inflexion en $x=5$ avec tangente horizontale.

Conclusion : Non, la fonction $g$ n'admet pas d'extremum local en $x = 5$.

Correction :

Analysons les changements de signe de $h'$ pour déterminer les extrema locaux de $h>.

1. Minimum local :

En $x = -8$ : $h'$ passe de négatif à positif. Donc $h$ admet un minimum local en $x = -8$.

2. Maximum local :

En $x = 1$ : $h'$ passe de positif à négatif. Donc $h$ admet un maximum local en $x = 1$.

Conclusion :

1. Minimum local : Oui, en $x = -8$.

2. Maximum local : Oui, en $x = 1$.

Correction :

Étudions la fonction $g(x) = -4x^3 + 9x$ pour trouver ses extrema locaux.

1. Dérivabilité et calcul de $g'(x)$ :

$g(x) = -4x^3 + 9x$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est :

2. Tableau de signes de $g'(x)$ :

Recherchons les racines de $g'(x) = 9 - 12x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Extrema locaux :

• En $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $g'$ passe de $-$ à $+$, donc $g$ a un minimum local en $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• En $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $g'$ passe de $+$ à $-$, donc $g$ a un maximum local en $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Conclusion : $g$ admet un minimum local en $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et un maximum local en $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Correction :

Optimisons le coût moyen de fabrication des montres.

1. Intervalle $I$ :

La production est entre 2 et 24 montres, donc $x \in I = [2 ; 24]$.

2. Expression de $C_m(x)$ :

Pour $x \in I$, $C_m(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{x^2 - 4x + 169}{x} = x - 4 + \frac{169}{x}$.

3. Dérivabilité et $C'_m(x)$ :

$C_m(x) = x - 4 + \frac{169}{x}$ est dérivable sur $I = [2 ; 24]$ car c'est une somme de fonctions dérivables sur $I$. Sa dérivée est :

4. Tableau de signes de $C'_m(x)$ sur $I$ :

Sur $I = [2 ; 24]$, $x^2 > 0$. Le signe de $C'_m(x)$ dépend de $x^2 - 169 = (x - 13)(x + 13)$.

5. Coût moyen minimal :

D'après le tableau, $C_m$ est décroissante sur $[2 ; 13]$ et croissante sur $[13 ; 24]$. Le minimum de $C_m$ est atteint en $x = 13$.

Conclusion : L'entreprise doit fabriquer 13 montres pour minimiser le coût moyen.

Correction :

Minimisons l'aire totale des deux carrés.

1. Intervalle $I$ :

Si $M \in [AB]$ et $AM = x$, alors $x$ varie de 0 à 10. Donc $I = [0 ; 10]$.

2. Schéma :

(Schéma mental : segment $AB$, point $M$ sur $AB$, carrés $AMNP$ et $MBCD$ construits du même côté de $AB$).

3. Aire totale $f(x)$ :

Aire de $AMNP = AM^2 = x^2$. Longueur $MB = AB - AM = 10 - x$. Aire de $MBCD = MB^2 = (10 - x)^2$.

Aire totale $f(x) = x^2 + (10 - x)^2 = x^2 + 100 - 20x + x^2 = 2x^2 - 20x + 100$.

4. Dérivabilité et $f'(x)$ :

$f(x) = 2x^2 - 20x + 100$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et sur $I = [0 ; 10]$. Sa dérivée est :

5. Variations de $f$ et minimum :

Résolvons $f'(x) = 4x - 20 = 0 \Leftrightarrow x = 5$. Étudions le signe de $f'(x)$ :

Le minimum de $f$ est atteint en $x = 5$.

Conclusion : L'aire est minimale lorsque $AM = x = 5$.

Correction :

Maximisons le bénéfice de la coopérative.

1. Domaine de définition de $C$ :

Production entre 0 et 200 litres, soit entre 0 et 20 dizaines de litres. Domaine : $[0 ; 20]$.

2. Recette $R(x)$ :

Vente à 19€ la dizaine de litres. Pour $x$ dizaines de litres, $R(x) = 19x$.

3. Bénéfice $B(x)$ :

$B(x) = R(x) - C(x) = 19x - (x^2 - x + 10) = -x^2 + 20x - 10$. Définie sur $[0;20]$.

4. Variations de $B$ sur $[0;20]$ :

Dérivée $B'(x) = (-x^2 + 20x - 10)' = -2x + 20 = 20 - 2x$. Points critiques : $B'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$.

5. Production pour bénéfice maximal :

Bénéfice maximal atteint en $x = 10$ dizaines de litres, soit $10 \times 10 = 100$ litres.

Conclusion : Pour un bénéfice maximal, la coopérative doit produire 100 litres de jus de pomme.

Correction :

Partie A : Coût de production unitaire

1. Étude de $U(x) = x - 10 + \frac{900}{x}$ sur $I = [10; 100]$ :

a. Variations de $U(x)$ :

Dérivée $U'(x) = (x - 10 + \frac{900}{x})' = 1 - \frac{900}{x^2} = \frac{x^2 - 900}{x^2} = \frac{(x - 30)(x + 30)}{x^2}$.

b. Coût minimal et bénéfice :

Coût unitaire minimal pour $x = 30$ objets, $U(30) = 50 $€. Bénéfice unitaire = $100 - 50 = 50 $€. Bénéfice total = $30 \times 50 = 1500 $€.

2. Graphiquement, $U(x) \leq 80 $€ :

Solution approximative : $x \in [environ 12 ; environ 75]$.

Partie B: Étude du bénéfice

1. Bénéfice global $B(x)$ :

Coût total $C(x) = x \times U(x) = x^2 - 10x + 900$. Recette $R(x) = 100x$. Bénéfice $B(x) = R(x) - C(x) = -x^2 + 110x - 900$.

2. Variations de $B(x)$ :

Dérivée $B'(x) = (-x^2 + 110x - 900)' = -2x + 110 = 110 - 2x$.

3. Bénéfice maximal :

Bénéfice maximal pour $x = 55$ objets. Bénéfice maximal $B(55) = 2125 $€.

Conclusion : Pour maximiser le bénéfice, produire 55 objets pour un bénéfice de 2125€.

Correction :

Minimisons l'aire d'une boîte de volume donné.

1. Justification de $y = 1/x²$ :

Volume $V = x^2 y = 1 \text{dm}^3 \Rightarrow y = \frac{1}{x^2}$.

2. Aire totale $S(x)$ :

Aire des 2 bases $2x^2$. Aire des 4 faces latérales $4xy = 4x \times \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x}$. Aire totale $S(x) = 2x^2 + \frac{4}{x}$.

3. Dérivée $S'(x)$ :

4. Variations de $S$ et dimensions minimales :

a. Variations de $S$ sur $\mathbb{R}^*_+$ :

b. Dimensions minimales :

Aire minimale atteinte pour $x = 1$ dm. Hauteur $y = \frac{1}{x^2} = 1$ dm.

Conclusion : Boîte d'aire minimale est un cube de côté 1 dm.

Correction :

Étudions le mouvement du mobile.

1. Variations de $f$ sur $[0; 6]$ :

Dérivée $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x)' = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \geq 0$.

2. Mouvement du mobile :

Fonction $f$ croissante, donc le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe $[Ox)$.

3. Vitesse instantanée :

a. Vitesse initiale : $v(0) = f'(0) = (0 - 3)^2 = 9$ cm.s⁻¹.

b. Vitesse $< 1cm.s⁻¹$ : $f'(x) < 1 \Leftrightarrow (x - 3)^2 < 1 \Leftrightarrow 2 < x < 4$. Instants : $x \in ]2 ; 4[$.

Conclusion : Mobile se déplace positivement. Vitesse initiale 9 cm.s⁻¹. Vitesse $< 1cm.s⁻¹$ pour $x \in ]2 ; 4[$.

Correction :

Justifions la véracité de chaque inégalité pour $x < y < 0$.

1. $x² > y²$ : VRAI

Fonction carré décroissante sur $]-\infty, 0]$. Pour $x < y < 0$, l'ordre est inversé par la fonction carré : $x^2 > y^2$.

2. $1/x > 1/y$ : VRAI

Fonction inverse décroissante sur $]-\infty, 0[$. Pour $x < y < 0$, l'ordre est inversé : $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$.

3. $x/3 > y/3$ : FAUX

Multiplier par $\frac{1}{3} > 0$ conserve l'ordre : $x < y \Rightarrow \frac{x}{3} < \frac{y}{3}$.

4. $x³ < y³$ : VRAI

Fonction cube croissante sur $\mathbb{R}$. Pour $x < y$, l'ordre est conservé : $x^3 < y^3$.

5. $-y < -x$ : VRAI

Multiplier par $-1 < 0$ inverse l'ordre : $x < y \Rightarrow -x > -y \Leftrightarrow -y < -x$.

Conclusion : Inégalités 1, 2, 4, 5 sont VRAIES. Inégalité 3 est FAUSSE.

Correction :

Démontrons l'encadrement $0 \leq (3 −x)² \leq 4$ pour $3 < x < 5$.

1. Inégalité de départ : $3 < x < 5$.

2. Soustraction de 3 : $3 - 3 < x - 3 < 5 - 3 \Leftrightarrow 0 < x - 3 < 2$.

3. Multiplication par -1 : $0 > -(x - 3) > -2 \Leftrightarrow -2 < 3 - x < 0$.

4. Fonction carré : Fonction carré décroissante sur $[-2, 0]$. En élevant au carré, l'ordre est inversé : $(-2)^2 > (3 - x)^2 > 0^2 \Leftrightarrow 4 > (3 - x)^2 > 0$.

5. Conclusion : $0 < (3 - x)^2 < 4 \Rightarrow 0 \leq (3 −x)² \leq 4$.