Nombres Complexes : Point de vue algébrique

Correction :

a. $z_1 = 2 - 5i + 6 = 8 - 5i$.

Donc, $\text{Re}(z_1) = 8$ et $\text{Im}(z_1) = -5$.

b. $z_2 = 5 + 2i - 1 - 8i = 4 - 6i$.

Donc, $\text{Re}(z_2) = 4$ et $\text{Im}(z_2) = -6$.

c. $z_3 = \frac{i}{5} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5}i$.

Donc, $\text{Re}(z_3) = \frac{2}{3}$ et $\text{Im}(z_3) = \frac{1}{5}$.

d. $z_4 = 3i = 0 + 3i$.

Donc, $\text{Re}(z_4) = 0$ et $\text{Im}(z_4) = 3$.

e. $z_5 = -2 = -2 + 0i$.

Donc, $\text{Re}(z_5) = -2$ et $\text{Im}(z_5) = 0$.

Correction :

a. $z_1 = 2(1+2i) - 4(2-2i) = 2 + 4i - 8 + 8i = -6 + 12i$.

b. $z_2 = (2+i)(3-4i) = 6 - 8i + 3i - 4i^2 = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i$.

c. $z_3 = (2-3i)(2-6i) = 4 - 12i - 6i + 18i^2 = 4 - 18i - 18 = -14 - 18i$.

d. $z_4 = (3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i) = 9 - 6i - 6i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.

e. $z_5 = (5+3i)^2 = (5+3i)(5+3i) = 25 + 15i + 15i + 9i^2 = 25 + 30i - 9 = 16 + 30i$.

f. $z_6 = (3-2i)(1-i) + 2(4-3i) = (3 - 3i - 2i + 2i^2) + (8 - 6i) = (3 - 5i - 2) + (8 - 6i) = 1 - 5i + 8 - 6i = 9 - 11i$.

Correction :

a. $z_1 - 2z_2 = (1+i) - 2(-2+3i) = 1 + i + 4 - 6i = 5 - 5i$.

b. $z_1 z_2 = (1+i)(-2+3i) = -2 + 3i - 2i + 3i^2 = -2 + i - 3 = -5 + i$.

c. $z_1^2 = (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.
$z_2^2 = (-2+3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i$.
$z_1^2 + 2z_2^2 = 2i + 2(-5 - 12i) = 2i - 10 - 24i = -10 - 22i$.

Correction :

1. $z$ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
$\text{Re}(z) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
On résout $x^2 + 2x + 1 = 0$, ce qui donne $(x+1)^2 = 0$, d'où $x = -1$.
Pour $x=-1$, $z = 3i(-1) = -3i$.

2. $z'$ est un réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
$\text{Im}(z') = x^2 + 3x = x(x+3)$.
On résout $x(x+3) = 0$, ce qui donne $x = 0$ ou $x = -3$.
Pour $x=0$, $z' = 0^2 = 0$.
Pour $x=-3$, $z' = (-3)^2 = 9$.

3. $z = z'$ si et seulement si $\text{Re}(z) = \text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z) = \text{Im}(z')$.
On a $\text{Re}(z) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ et $\text{Re}(z') = x^2$.
On a $\text{Im}(z) = 3x$ et $\text{Im}(z') = x^2 + 3x$.
On doit donc résoudre le système :
$\begin{cases} x^2 + 2x + 1 = x^2 \\ 3x = x^2 + 3x \end{cases}$
La première équation donne $2x + 1 = 0$, soit $x = -\frac{1}{2}$.
La seconde équation donne $x^2 = 0$, soit $x = 0$.
Il n'y a donc pas de solution pour que $z = z'$.

Correction :

1. Vrai. Par définition, la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel.

2. Faux. Le nombre complexe $i$ s'écrit sous forme algébrique $0 + 1i$. Sa partie imaginaire est 1, et non $i$. Un contre-exemple est $i$ lui-même : $\text{Im}(i) = 1 \neq i$.

3. Vrai. Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$, avec $a, b, a', b'$ des réels.
Alors $z + z' = (a + a') + i(b + b')$.
Donc, $\text{Re}(z + z') = a + a' = \text{Re}(z) + \text{Re}(z')$.

4. Faux. Contre-exemple : $z = i$ et $z' = i$.
On a $\text{Re}(z) = 0$ et $\text{Re}(z') = 0$, donc $\text{Re}(z) \times \text{Re}(z') = 0$.
Mais $z \times z' = i \times i = -1$, donc $\text{Re}(z \times z') = -1$.
On a donc $\text{Re}(z \times z') \neq \text{Re}(z) \times \text{Re}(z')$.

Correction :

1. On a $f(z) = (a+ib)^2 + 2(a+ib) + 9 = a^2 + 2abi - b^2 + 2a + 2ib + 9$.
Donc, $\text{Re}(f(z)) = a^2 - b^2 + 2a + 9$ et $\text{Im}(f(z)) = 2ab + 2b = 2b(a+1)$.

2. $f(z)$ est un réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
On a $\text{Im}(f(z)) = 2b(a+1) = 0$.
Donc, soit $b = 0$, soit $a = -1$.
Si $b=0$, alors $z=a$ est un réel.
Si $a=-1$, alors $z=-1+ib$ avec $b$ un réel quelconque non nul.
Les nombres complexes dont l'image par $f$ est un réel sont les nombres réels et les nombres de la forme $-1 + ib$, où $b$ est un réel non nul.

Correction :

1. Supposons par l'absurde que $f(z) = i$.
Alors, $\frac{2-iz}{1-z} = i$, ce qui donne $2 - iz = i(1-z) = i - iz$.
On obtient alors $2 = i$, ce qui est impossible. Donc, $f(z)$ ne peut pas être égal à $i$.

2. On cherche $z$ tel que $f(z) = Z$, avec $Z \neq i$.
$\frac{2-iz}{1-z} = Z$ équivaut à $2 - iz = Z(1-z)$.
Donc, $2 - iz = Z - Zz$, soit $Zz - iz = Z - 2$.
En factorisant par $z$, on obtient $z(Z - i) = Z - 2$.
Comme $Z \neq i$, on peut diviser par $Z-i$ pour obtenir $z = \frac{Z-2}{Z-i}$.
Pour tout complexe $Z$ différent de $i$, il existe un unique antécédent de $Z$ par $f$, qui est $z = \frac{Z-2}{Z-i}$.

Correction :

1. On a $f(1+2i) = \frac{1+2i-i}{1+2i+i} = \frac{1+i}{1+3i}$.
En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient :
$f(1+2i) = \frac{(1+i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1 - 3i + i - 3i^2}{1 - 9i^2} = \frac{1 - 2i + 3}{1 + 9} = \frac{4 - 2i}{10} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$.

2. Supposons par l'absurde que $f(z) = 1$ pour un certain complexe $z \neq -i$.
Alors, $\frac{z-i}{z+i} = 1$, ce qui donne $z - i = z + i$, soit $-i = i$, ce qui est impossible.
Donc, pour tout $z \neq -i$, $f(z) \neq 1$.

3. On cherche $z$ tel que $f(z) = Z$, avec $Z \neq 1$.
$\frac{z-i}{z+i} = Z$ équivaut à $z - i = Z(z+i)$.
Donc, $z - i = Zz + Zi$, soit $z - Zz = Zi + i$.
En factorisant par $z$, on obtient $z(1-Z) = i(Z+1)$.
Comme $Z \neq 1$, on peut diviser par $1-Z$ pour obtenir $z = \frac{i(Z+1)}{1-Z}$.
Pour tout complexe $Z \neq 1$, il existe un unique antécédent de $Z$ par $f$, qui est $z = \frac{i(Z+1)}{1-Z}$.

4. Soit $x$ un réel. Alors $|f(x)| = |\frac{x-i}{x+i}| = \frac{|x-i|}{|x+i|} = \frac{\sqrt{x^2 + (-1)^2}}{\sqrt{x^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1$.

Correction :

On a $f(z) = iz = i(a + ib) = ia + i^2b = ia - b = -b + ia$.

Donc, la forme algébrique de $f(z)$ est $-b + ia$.

Correction :

1. On a $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ et $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

2. a. On a $i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

b. On a $i^{4n+1} = i^{4n} \cdot i = 1 \cdot i = i$.
On a $i^{4n+2} = i^{4n} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.
On a $i^{4n+3} = i^{4n} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

3. a. En observant les résultats précédents, on constate que les puissances de $i$ se répètent avec une période de 4. On a donc :
- Si $n \equiv 0 \pmod{4}$, alors $i^n = 1$.
- Si $n \equiv 1 \pmod{4}$, alors $i^n = i$.
- Si $n \equiv 2 \pmod{4}$, alors $i^n = -1$.
- Si $n \equiv 3 \pmod{4}$, alors $i^n = -i$.

b. On a $2020 \equiv 0 \pmod{4}$ et $2021 \equiv 1 \pmod{4}$.
Donc, $i^{2020} = 1$ et $i^{2021} = i$.
Ainsi, $Z = 2i^{2020} - 3i^{2021} = 2(1) - 3(i) = 2 - 3i$.

Correction :

1. On a $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ et $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.

2. a. On a $i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

b. On a $i^{4n+1} = i^{4n} \cdot i = 1 \cdot i = i$.
On a $i^{4n+2} = i^{4n} \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$.
On a $i^{4n+3} = i^{4n} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

3. a. En observant les résultats précédents, on constate que les puissances de $i$ se répètent avec une période de 4. On a donc :
- Si $n \equiv 0 \pmod{4}$, alors $i^n = 1$.
- Si $n \equiv 1 \pmod{4}$, alors $i^n = i$.
- Si $n \equiv 2 \pmod{4}$, alors $i^n = -1$.
- Si $n \equiv 3 \pmod{4}$, alors $i^n = -i$.

b. On a $2020 \equiv 0 \pmod{4}$ et $2021 \equiv 1 \pmod{4}$.
Donc, $i^{2020} = 1$ et $i^{2021} = i$.
Ainsi, $Z = 2i^{2020} - 3i^{2021} = 2(1) - 3(i) = 2 - 3i$.

Correction :

On remarque que $S$ est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $i$ et de premier terme 1.

On a donc $S = \frac{1 - i^{101}}{1 - i}$.
Comme $101 \equiv 1 \pmod{4}$, on a $i^{101} = i$.
Donc, $S = \frac{1 - i}{1 - i} = 1$.

Correction :

Si $z$ est un imaginaire pur, alors il existe un réel $b$ tel que $z = bi$.

Soit $n$ un entier naturel impair. On peut écrire $n = 2k+1$ avec $k$ un entier naturel.

Alors $z^n = (bi)^n = (bi)^{2k+1} = b^n i^n = b^n i^{2k+1} = b^n i^{2k} \cdot i = b^n (i^2)^k \cdot i = b^n (-1)^k i$.

Comme $b$ est réel, $b^n$ est réel, et $(-1)^k$ vaut 1 ou -1, donc $b^n(-1)^k$ est réel.

Ainsi, $z^n = b^n(-1)^k i$ est de la forme $ci$ avec $c$ réel, donc $z^n$ est un imaginaire pur.

Correction :

On a $z_n = (2-2i)^{4n} = ((2-2i)^4)^n$.
Calculons d'abord $(2-2i)^2 = 4 - 8i + 4i^2 = 4 - 8i - 4 = -8i$.
Alors, $(2-2i)^4 = (-8i)^2 = 64i^2 = -64$.
Donc, $z_n = ((2-2i)^4)^n = (-64)^n = (-1)^n \cdot 64^n$.
Comme $z_n$ est un réel, sa forme algébrique est $z_n = (-1)^n \cdot 64^n + 0i$.

Correction :

1. a. On a $z_1 = uz_0 + i = u \cdot 0 + i = i$.
$z_2 = uz_1 + i = u(i) + i = (u+1)i$.
$z_3 = uz_2 + i = u(u+1)i + i = (u^2 + u)i + i = (u^2 + u + 1)i$.

1. b. On procède par récurrence.
Initialisation : Pour $n=0$, $z_0 = 0$ et $\frac{u^0 - 1}{u-1}i = \frac{1-1}{u-1}i = 0$. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$, $z_n = \frac{u^n - 1}{u-1}i$.
Alors, $z_{n+1} = uz_n + i = u(\frac{u^n - 1}{u-1}i) + i = \frac{u^{n+1} - u}{u-1}i + i = \frac{u^{n+1} - u + u - 1}{u-1}i = \frac{u^{n+1} - 1}{u-1}i$.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.

2. a. Si $u=i$, alors $z_4 = \frac{i^4 - 1}{i-1}i = \frac{1-1}{i-1}i = 0$.

2. b. On a $z_{n+4} = \frac{i^{n+4} - 1}{i-1}i = \frac{i^n i^4 - 1}{i-1}i = \frac{i^n - 1}{i-1}i = z_n$ car $i^4 = 1$.

Correction :

1. On a $z_1 = \frac{z_0 - 6}{1+i} = \frac{1-6}{1+i} = \frac{-5}{1+i} = \frac{-5(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-5+5i}{1-i^2} = \frac{-5+5i}{2} = -\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i$.
$z_2 = \frac{z_1 - 6}{1+i} = \frac{-\frac{5}{2} + \frac{5}{2}i - 6}{1+i} = \frac{-\frac{17}{2} + \frac{5}{2}i}{1+i} = \frac{(-17+5i)(1-i)}{2(1+i)(1-i)} = \frac{-17 + 17i + 5i + 5}{2(1-i^2)} = \frac{-12 + 22i}{4} = -3 + \frac{11}{2}i$.

2. a. On a $u_{n+1} = z_{n+1} - 6i = \frac{z_n - 6}{1+i} - 6i = \frac{z_n - 6 - 6i(1+i)}{1+i} = \frac{z_n - 6 - 6i + 6}{1+i} = \frac{z_n - 6i}{1+i} = \frac{u_n}{1+i}$.
Donc, $u_{n+1} = \frac{1}{1+i} u_n$. La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{1+i}$.

2. b. On a $u_0 = z_0 - 6i = 1 - 6i$.
Donc, $u_n = u_0 \cdot (\frac{1}{1+i})^n = (1-6i)(\frac{1}{1+i})^n$.
Et $z_n = u_n + 6i = (1-6i)(\frac{1}{1+i})^n + 6i$.

Correction :

1. On a $z_1 = a + 3i - ib + 2i^2 = a + 3i - ib - 2 = (a - 2) + (3 - b)i$.
$z_1$ est un réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est-à-dire si $3 - b = 0$, soit $b = 3$.

2. $z_1$ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est-à-dire si $a - 2 = 0$, soit $a = 2$.

3. $z_1 = z_2$ si et seulement si $\text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2)$ et $\text{Im}(z_1) = \text{Im}(z_2)$.
On a $\text{Re}(z_1) = a - 2$ et $\text{Im}(z_1) = 3 - b$.
On a $\text{Re}(z_2) = 3$ et $\text{Im}(z_2) = 1$.
Donc, $z_1 = z_2$ si et seulement si $a - 2 = 3$ et $3 - b = 1$, c'est-à-dire $a = 5$ et $b = 2$.

Correction :

On a $(2i+1)x + (-1+i)y = x + 2ix - y + iy = (x-y) + (2x+y)i$.

L'équation $(2i+1)x+(-1+i)y=1+2i$ est donc équivalente à :
$(x-y) + (2x+y)i = 1 + 2i$.

En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système :
$\begin{cases} x-y = 1 \\ 2x+y = 2 \end{cases}$

En additionnant les deux équations, on obtient $3x = 3$, donc $x=1$.
En remplaçant $x$ par 1 dans la première équation, on obtient $1 - y = 1$, donc $y=0$.
La solution est donc $x=1$ et $y=0$.

Correction :

1. On a :
a. $\bar{z_1} = 2 - 3i$
b. $\bar{z_2} = -1 + 2i$
c. $\bar{z_3} = 9$ (le conjugué d'un réel est lui-même)
d. $\bar{z_4} = 9i$

2. On a $z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 - ixy + ixy - i^2y^2 = x^2 + y^2 = |z|^2$.

Correction :

a. $z_1 = \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$.

b. $z_2 = \frac{3-2i}{i} = \frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i + 2i^2}{-i^2} = \frac{-3i - 2}{1} = -2 - 3i$.

c. $z_3 = \frac{3+5i}{5-3i} = \frac{(3+5i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)} = \frac{15 + 9i + 25i + 15i^2}{25 - 9i^2} = \frac{15 + 34i - 15}{25 + 9} = \frac{34i}{34} = i$.

d. $z_4 = \frac{1-3i}{(-1+2i)(1-i)} = \frac{1-3i}{-1 + i + 2i - 2i^2} = \frac{1-3i}{-1 + 3i + 2} = \frac{1-3i}{1+3i}$.
$z_4 = \frac{(1-3i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{1 - 3i - 3i + 9i^2}{1 - 9i^2} = \frac{1 - 6i - 9}{1 + 9} = \frac{-8 - 6i}{10} = -\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$.

Correction :

a. $\bar{Z} = \overline{2z + \bar{z}} = \overline{2z} + \overline{\bar{z}} = 2\bar{z} + z$.

b. $\bar{Z} = \overline{3z + 6} = \overline{3z} + \overline{6} = 3\bar{z} + 6$.

c. $\bar{Z} = \overline{iz - 3i\bar{z}} = \overline{iz} - \overline{3i\bar{z}} = \bar{i}\bar{z} - 3\bar{i}\bar{\bar{z}} = -i\bar{z} - 3(-i)z = -i\bar{z} + 3iz$.

d. $\bar{Z} = \overline{2 - 5i + 9z} = \bar{2} - \overline{5i} + \overline{9z} = 2 + 5i + 9\bar{z}$.

e. $\bar{Z} = \overline{(z+2)(\bar{z}-2i)} = \overline{(z+2)} \cdot \overline{(\bar{z}-2i)} = (\bar{z} + 2)(z + 2i)$.

f. $\bar{Z} = \overline{\frac{2z^2 + z}{iz - 3}} = \frac{\overline{2z^2 + z}}{\overline{iz - 3}} = \frac{2\bar{z}^2 + \bar{z}}{-i\bar{z} - 3}$.

Correction :

a. $Z = \overline{z_1} - z_2 = \overline{(1+i)} - (-2+3i) = (1-i) - (-2+3i) = 1 - i + 2 - 3i = 3 - 4i$.

b. $Z = \overline{z_1 - z_2} = \overline{(1+i) - (-2+3i)} = \overline{1+i+2-3i} = \overline{3-2i} = 3+2i$.

c. $Z = \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \frac{1-i}{-2-3i} = \frac{(1-i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)} = \frac{-2-3i+2i+3i^2}{4-9i^2} = \frac{-2-i-3}{4+9} = \frac{-5-i}{13} = -\frac{5}{13} - \frac{1}{13}i$.

d. $Z = \overline{(\frac{1}{z_2})} = \frac{1}{\overline{z_2}} = \frac{1}{-2-3i} = \frac{1(-2+3i)}{(-2-3i)(-2+3i)} = \frac{-2+3i}{4-9i^2} = \frac{-2+3i}{4+9} = \frac{-2+3i}{13} = -\frac{2}{13} + \frac{3}{13}i$.

Correction :

1. On a $z_1 = (-4a+i)(a-i) - (1+2ai)^2 = -4a^2 + 4ai + ai - i^2 - (1 + 4ai + 4a^2i^2) $

$= -4a^2 + 5ai + 1 - 1 - 4ai + 4a^2 = a i$.

2. On a $z_2 = \frac{2+2ai}{1-i} = \frac{(2+2ai)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2 + 2i + 2ai - 2a}{1 - i^2} = \frac{2 - 2a + (2+2a)i}{2} = (1-a) + (1+a)i$.

Correction :

On a $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} + \frac{z}{z\bar{z}} = \frac{z + \bar{z}}{z\bar{z}}$.

Or, $z\bar{z} = |z|^2$ est un réel, et $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$ est aussi un réel.

Donc, $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}}$ est le quotient de deux réels, avec un dénominateur non nul car $z \neq 0$.
Par conséquent, $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}}$ est un réel.

Correction :

Posons $z = a + ib$, avec $a$ et $b$ réels. Alors $\bar{z} = a - ib$.

On a $z - \bar{z}(iz + 1) = (a + ib) - (a - ib)(i(a + ib) + 1) = (a + ib) - (a - ib)(ai - b + 1)$.
En développant, on obtient :
$a + ib - (a^2i - ab + a - iab - i^2b + ib + ai - ib + i)$
$= a + ib - (a^2i - ab + a - iab + b + ai)$
$= a + ib - a^2i + ab - a + iab - b - ai$
$= -a^2i + ab - b + i(b + ab - a)$
La partie réelle de $z - \bar{z}(iz + 1)$ est nulle, donc $z - \bar{z}(iz + 1)$ est un imaginaire pur.

Correction :

On remarque que $(1-3i)$ et $(1+3i)$ sont conjugués, de même que $(5+4i)$ et $(10-8i)$ ne sont pas conjugués.

On a $z = (1-3i)(1+3i)(5+4i)(10-8i) = (1^2 + 3^2)(5+4i)2(5-4i)$

$= 10 \cdot 2 \cdot (5+4i)(5-4i) = 20(5^2 + 4^2) = 20(25 + 16) = 20 \cdot 41 = 820$.

Comme $z$ est le produit de deux nombres réels, $z$ est un réel.

Correction :

On a $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} + \frac{z}{z\bar{z}} = \frac{z + \bar{z}}{z\bar{z}}$.

Or, $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$ est un réel, et $z\bar{z} = |z|^2$ est un réel positif non nul car $z$ est non nul.

Donc, $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}}$ est le quotient de deux réels, avec un dénominateur non nul.

Par conséquent, $\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar{z}}$ est un réel.

Correction :

On remarque que $1-i$ est le conjugué de $1+i$.
Donc, $(1-i)^n$ est le conjugué de $(1+i)^n$.

On sait que pour tout nombre complexe $z$, $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$, qui est un réel.

En posant $z = (1+i)^n$, on a $\bar{z} = \overline{(1+i)^n} = \overline{(1+i)}^n = (1-i)^n$.

Donc, $Z_n = z + \bar{z} = (1+i)^n + (1-i)^n = 2\text{Re}((1+i)^n)$, qui est un réel.

Correction :

On remarque que le dénominateur $\bar{z}z + 1 = |z|^2 + 1$ est un réel strictement positif pour tout $z$ complexe (car $|z|^2 \ge 0$).
Donc, $Z$ est réel si et seulement si son numérateur $z^2 - 2i$ est réel.

$z^2 - 2i$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est-à-dire $\text{Im}(z^2 - 2i) = 0$.

En posant $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels, on a :
$z^2 = (a+ib)^2 = a^2 + 2abi - b^2$, donc $\text{Im}(z^2) = 2ab$.
Ainsi, $\text{Im}(z^2 - 2i) = 2ab - 2$.

$Z$ est réel si et seulement si $2ab - 2 = 0$, soit $ab = 1$.

D'autre part, $(z-\bar{z})(z+\bar{z}) = (a+ib - (a-ib))(a+ib + a-ib) = (2ib)(2a) = 4iab$.

Donc, $(z-\bar{z})(z+\bar{z}) = 4i$ équivaut à $4iab = 4i$, soit $ab = 1$.

Finalement, $Z$ est réel si et seulement si $(z-\bar{z})(z+\bar{z}) = 4i$.

Correction :

1. On a $Z = z - 2\bar{z} + i = (x + iy) - 2(x - iy) + i = x + iy - 2x + 2iy + i = -x + i(3y+1)$.

2. $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est-à-dire $-x = 0$, soit $x=0$.
Donc, $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est un imaginaire pur.

Correction :

1. On a $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{-2+3i} = \frac{(1+i)(-2-3i)}{(-2+3i)(-2-3i)} = \frac{-2-3i-2i-3i^2}{4-9i^2} = \frac{-2-5i+3}{4+9} = \frac{1-5i}{13} = \frac{1}{13} - \frac{5}{13}i$.

2. On a $\frac{1}{z_1} = \frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1-i^2} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
On a $\frac{1}{z_2} = \frac{1}{-2+3i} = \frac{-2-3i}{(-2+3i)(-2-3i)} = \frac{-2-3i}{4-9i^2} = \frac{-2-3i}{13} = -\frac{2}{13} - \frac{3}{13}i$.
Donc, $\frac{1}{z_1} - \frac{1}{z_2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) - (-\frac{2}{13} - \frac{3}{13}i) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i = \frac{17}{26} - \frac{7}{26}i$.

3. On a $z_1 - z_2 = (1+i) - (-2+3i) = 1 + i + 2 - 3i = 3 - 2i$.
On a $z_1 + z_2 = (1+i) + (-2+3i) = -1 + 4i$.
Donc, $\frac{z_1 - z_2}{z_1 + z_2} = \frac{3-2i}{-1+4i} = \frac{(3-2i)(-1-4i)}{(-1+4i)(-1-4i)} = \frac{-3-12i+2i+8i^2}{1-16i^2} = \frac{-3-10i-8}{1+16} = \frac{-11-10i}{17} = -\frac{11}{17} - \frac{10}{17}i$.

Correction :

a. $2z + 2i - 1 = 5z + 4i \Leftrightarrow -3z = 1 + 2i \Leftrightarrow z = \frac{1+2i}{-3} = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3}i$.

b. $3z + 4i - 2 = -z + 2i + 3 \Leftrightarrow 4z = 5 - 2i \Leftrightarrow z = \frac{5}{4} - \frac{1}{2}i$.

c. $-z + 2 = 2z - 3i - 5 \Leftrightarrow -3z = -7 - 3i \Leftrightarrow z = \frac{7}{3} + i$.

Correction :

a. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Donc, $(z-3)(z-2i) = 0 \Leftrightarrow z-3=0$ ou $z-2i=0$.
Les solutions sont donc $z = 3$ et $z = 2i$.

b. $-2z + 3 = iz + 1 - i \Leftrightarrow -2z - iz = 1 - i - 3 \Leftrightarrow z(-2-i) = -2 - i$.
Donc, $z = \frac{-2-i}{-2-i} = 1$.

c. $3(1+i)z - 2 = 2 - iz \Leftrightarrow 3z + 3iz - 2 = 2 - iz \Leftrightarrow 3z + 4iz = 4$.
Donc, $z(3+4i) = 4 \Leftrightarrow z = \frac{4}{3+4i} = \frac{4(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{12-16i}{9+16} = \frac{12}{25} - \frac{16}{25}i$.

Correction :

a. $2\bar{z} = -4 + 3i \Leftrightarrow \bar{z} = -2 + \frac{3}{2}i$. Donc, $z = -2 - \frac{3}{2}i$.

b. $3\bar{z} = 6\bar{z} + 2i \Leftrightarrow -3\bar{z} = 2i \Leftrightarrow \bar{z} = -\frac{2}{3}i$. Donc, $z = \frac{2}{3}i$.

c. $4\bar{z} = 30 - \bar{z} \Leftrightarrow 5\bar{z} = 30 \Leftrightarrow \bar{z} = 6$. Donc, $z = 6$.

Correction :

1. $f(2) = \frac{2(2)}{2-2i} = \frac{4}{2-2i} = \frac{4(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)} = \frac{8+8i}{4+4} = \frac{8+8i}{8} = 1+i$.

$f(1+i) = \frac{2(1+i)}{1+i-2i} = \frac{2+2i}{1-i} = \frac{(2+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+2i-2}{1+1} = \frac{4i}{2} = 2i$.

2. Un invariant de $f$ est un nombre complexe $z$ tel que $f(z) = z$.

On doit donc résoudre l'équation $\frac{2z}{z-2i} = z$.

Cela équivaut à $2z = z(z-2i)$ pour $z \neq 2i$, soit $2z = z^2 - 2iz$.

On obtient $z^2 - 2iz - 2z = 0$, soit $z(z - 2i - 2) = 0$.

Les solutions sont $z = 0$ et $z = 2 + 2i$.

Donc, $f$ possède deux invariants qui sont 0 et $2+2i$.

Correction :

On a $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2i}{2} = i$.

L'équation devient $(4-2i)z - i = 2\sqrt{3} + i(1-\sqrt{3})$.

Soit $(4-2i)z = 2\sqrt{3} + i(1-\sqrt{3}) + i = 2\sqrt{3} + i(2-\sqrt{3})$.

Donc, $z = \frac{2\sqrt{3} + i(2-\sqrt{3})}{4-2i} = \frac{(2\sqrt{3} + i(2-\sqrt{3}))(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)} = \frac{8\sqrt{3} + 4i\sqrt{3} + 8i - 4\sqrt{3} - 2i(2-\sqrt{3})}{16 - 4i^2}$.

$z = \frac{4\sqrt{3} + i(4\sqrt{3} + 4)}{20} = \frac{\sqrt{3}}{5} + i\frac{\sqrt{3}+1}{5}$.

Correction :

1. Script Python pour afficher les 10 premiers termes de la suite $(z_n)$ :

z = 1 + 0j  # Initialisation: z_0 = 1

# Affichage des 10 premiers termes de la suite
for n in range(10):
print("z_{} = {}".format(n, z))
z = (z + abs(z)) / 2

2. Script Python modifié pour afficher les parties réelles et imaginaires :

z = 1 + 0j  # Initialisation: z_0 = 1

# Affichage des parties réelles et imaginaires des 10 premiers termes
for n in range(10):
print("Re(z_{}) = {}, Im(z_{}) = {}".format(n, z.real, z.imag))
z = (z + abs(z)) / 2

3. Le code peut être testé directement dans l'application Trinket fournie en remplaçant le code existant par le code Python ci-dessus.

Correction :

1. Script Python :

z = 5 + 0j  # Initialisation: z_0 = 5

# Affichage des parties imaginaires des 10 premiers termes
for n in range(10):
print("Im(z_{}) = {}".format(n, z.imag))
z = (z + z.conjugate()) / 2 + 2j

2. En observant les premiers termes, on peut conjecturer que la partie imaginaire de $z_n$ est constante et égale à 2 pour tout $n \ge 1$.

3. Le code peut être testé directement dans l'application Trinket fournie.

Correction :

1. Script Python :

z = 1 + 1j  # Initialisation: z_0 = 1 + i

# Affichage des modules des 10 premiers termes
for n in range(10):
print("|z_{}| = {}".format(n, abs(z)))
z = ((1 - (3**0.5)*1j) / 2) * z

2. En observant les premiers termes, on peut conjecturer que la suite $(|z_n|)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

3. Le code peut être testé directement dans l'application Trinket fournie.

Correction :

1. Script Python :

import math

z = 1 + 1j  # Initialisation: z_0 = 1 + i

# Affichage des arguments des 10 premiers termes
for n in range(10):
arg = math.atan2(z.imag, z.real)
print("arg(z_{}) = {}".format(n, arg))
z = ((1 + (3**0.5) * 1j) / 4) * z

2. En observant les premiers termes, on peut conjecturer que la suite $(\arg(z_n))$ est une suite arithmétique de raison $\frac{\pi}{3}$.

3. Le code peut être testé directement dans l'application Trinket fournie.

Correction :

1. Script Python :

z = 10 + 0j  # Initialisation: z_0 = 10

# Affichage des parties réelles des 10 premiers termes
for n in range(10):
print("Re(z_{}) = {}".format(n, z.real))
z = (z + z.conjugate()) / 2 + 1j

2. En observant les premiers termes, on peut conjecturer que la partie réelle de $z_n$ est constante et égale à 10 pour tout $n$.

3. Le code peut être testé directement dans l'application Trinket fournie.