Nombres Complexes : Point de vue géométrique

Correction :

1. En lisant les coordonnées des points sur le graphique, on a :

$z_A = -5+4i$ (à compléter en fonction du graphique)
$z_B = -2-2i$ (à compléter en fonction du graphique)
$z_C = 7+2i$ (à compléter en fonction du graphique)

2. Pour placer les points, on utilise leurs coordonnées dans le plan complexe :
- D a pour coordonnées (-2, 1)
- E a pour coordonnées (3, -2)
- F a pour coordonnées (0, -4)
- G a pour coordonnées (2, 0)

3. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A = 3-6i$ (à calculer en fonction des valeurs trouvées en 1.).
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AC}$ est $z_C - z_A = 12-2i$ (à calculer en fonction des valeurs trouvées en 1.).

Correction :

On lit les coordonnées des points sur le graphique :
$A = (-5 , 3)$
$B = (-1, -3)$
$C = (5 , 4)$
$D = (6, -5)$ (à compléter en fonction du graphique)

On a alors :

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est = $z_B - z_A = 4-6i$

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AC}$ est = $z_C - z_A = 10+i$

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{CD}$ est = $z_D - z_C = 1-9i$

Correction :

1. On place les points A, B, C et D dans le plan complexe en utilisant leurs affixes comme coordonnées.

2. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A = (1 + 2i) - (-2 + i) = 1 + 2i + 2 - i = 3 + i$.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{CD}$ est $z_D - z_C = -2i - 4 = -4 - 2i$.

Correction :

1. L'affixe d'un point de coordonnées $(x, y)$ est $z = x + yi$.
Donc, $z_E = 2 - 3i$, $z_F = 4i$, $z_G = -1 + 5i$ et $z_H = 3$.

2. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{EF}$ est $z_F - z_E = 4i - (2 - 3i) = -2 + 7i$.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{HG}$ est $z_G - z_H = (-1 + 5i) - 3 = -4 + 5i$.

Correction :

1. On place les points A, B, C et D dans le plan complexe en utilisant leurs affixes comme coordonnées.

2. L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A = (2 - 2i) - (-1 - i) = 3 - i$.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{DC}$ est $z_C - z_D = (3 + i) - (-2 + 2i) = 5 - i$.

3. On constate que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Cela signifie que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Correction :

1. Le centre d'un parallélogramme est le milieu de ses diagonales. On peut donc calculer l'affixe de I en utilisant le milieu de [AD] :
$z_I = \frac{z_A + z_D}{2} = \frac{(-1 - i) + (-2 + 2i)}{2} = \frac{-3 + i}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.

2. L'affixe du milieu de [AC] est $\frac{z_A + z_C}{2} = \frac{(-1 - i) + (3 + i)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
L'affixe du milieu de [BD] est $\frac{z_B + z_D}{2} = \frac{(2 - 2i) + (-2 + 2i)}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Il y a une erreur quelque part. Reprenons l'exercice 5. On a $\overrightarrow{AB}(3-i)$ et $\overrightarrow{DC}(5-i)$. Donc les vecteurs ne sont pas égaux, ABCD n'est pas un parallélogramme.

Correction :

1. On a $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{(4 + 2i) - (-2)}{(1 + i) - (-2)} = \frac{6 + 2i}{3 + i}$.

Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

$\frac{6 + 2i}{3 + i} = \frac{(6 + 2i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{18 - 6i + 6i - 2i^2}{9 - i^2} = \frac{18 + 2}{9 + 1} = \frac{20}{10} = 2$.

2. Comme $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel, cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Donc, les points A, B et C sont alignés.

Correction :

1. On place les points A, B et C dans le plan complexe en utilisant leurs affixes comme coordonnées.

2. La relation vectorielle $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ se traduit en termes d'affixes par :
$(z_A - z_G) + (z_B - z_G) + (z_C - z_G) = 0$.
Donc, $z_A + z_B + z_C - 3z_G = 0$.
D'où $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{(1 - 2i) + (-2 + i) + (4 + 3i)}{3} = \frac{3 + 2i}{3} = 1 + \frac{2}{3}i$.

Correction :

a. $|z_1| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

b. $|z_2| = |-2 + 5i| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

c. $|z_3| = |1 - i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

d. $|z_4| = |-5i| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

e. $|z_5| = |-7| = \sqrt{(-7)^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7$.

Correction :

a. $|z_1| = |(1 + i)(3 - 2i)| = |1 + i| |3 - 2i| = \sqrt{1^2 + 1^2} \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{2} \sqrt{13} = \sqrt{26}$.

b. $|z_2| = |(2 + 2i)(1 - i)^2| = |2 + 2i| |1 - i|^2 = \sqrt{2^2 + 2^2} (\sqrt{1^2 + (-1)^2})^2 = \sqrt{8} \cdot (\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$.

c. $|z_3| = |(4 - 3i)(-1 + i\sqrt{3})| = |4 - 3i| |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{25} \sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$.

Correction :

a. $|z_1| = |\frac{2+i}{1-i}| = \frac{|2+i|}{|1-i|} = \frac{\sqrt{2^2 + 1^2}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

b. $|z_2| = |\frac{4-3i}{2+i}| = \frac{|4-3i|}{|2+i|} = \frac{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.

c. $|z_3| = |\frac{(1+i)^3}{2-i}| = \frac{|1+i|^3}{|2-i|} = \frac{(\sqrt{1^2 + 1^2})^3}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$.

Correction :

a. $|z_1| = |(2-3i)^4| = |2-3i|^4 = (\sqrt{2^2 + (-3)^2})^4 = (\sqrt{13})^4 = 13^2 = 169$.

b. $|z_2| = |(\sqrt{3} + i)^7| = |\sqrt{3} + i|^7 = (\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2})^7 = (\sqrt{4})^7 = 2^7 = 128$.

c. $|z_3| = |(\frac{1+i}{2-i})^5| = (\frac{|1+i|}{|2-i|})^5 = (\frac{\sqrt{1^2 + 1^2}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}})^5 = (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}})^5 = \frac{4\sqrt{2}}{25\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{10}}{125}$.

Correction :

1. $AB = |z_B - z_A| = |-2 + 3i - (1 + i)| = |-3 + 2i| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.

$AC = |z_C - z_A| = |-1 - 2i - (1 + i)| = |-2 - 3i| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

$BC = |z_C - z_B| = |-1 - 2i - (-2 + 3i)| = |1 - 5i| = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$.

2. On remarque que $AB^2 + AC^2 = 13 + 13 = 26 = BC^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
De plus, comme $AB = AC$, le triangle ABC est aussi isocèle en A.
Donc, ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

Correction :

a. $z_1 = -2$ est un nombre réel négatif. Donc, un argument de $z_1$ est $\pi$.

b. $z_2 = 3i$ est un imaginaire pur avec une partie imaginaire positive. Donc, un argument de $z_2$ est $\frac{\pi}{2}$.

c. $z_3 = 1 + i$. On a $|z_3| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Donc, $z_3 = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$.
Un argument de $z_3$ est $\frac{\pi}{4}$.

d. $z_4 = -\sqrt{3} + i$. On a $|z_4| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
Donc, $z_4 = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}))$.
Un argument de $z_4$ est $\frac{5\pi}{6}$.

Correction :

1. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\arg(z) = \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ est la demi-droite ouverte d'origine $O$ (exclue) et passant par le point d'affixe $i$ (c'est-à-dire l'axe des ordonnées positives, privé de l'origine).

2. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\arg(z) = -\frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}$ est la demi-droite ouverte d'origine $O$ (exclue) et passant par le point d'affixe $-1 - i$ (c'est-à-dire la demi-droite d'angle $-\frac{3\pi}{4}$ avec l'axe des abscisses positives).

Correction :

On a $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$.

Un argument de $z_1 z_2$ est $\frac{11\pi}{12}$.

Correction :

On a $\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}$.

Un argument de $\frac{z_1}{z_2}$ est $-\frac{7\pi}{12}$.

Correction :

a. $z_1 = -3 = 3(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$

b. $z_2 = 4i = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

c. $z_3 = 2 + 2i = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

d. $z_4 = -1 + i\sqrt{3} = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$

Correction :

a. $z_1 = 3(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 3(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$.

b. $z_2 = 2(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

c. $z_3 = 5(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 5(-1 + i \cdot 0) = -5$.

Correction :

1. Si $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, alors $\bar{z} = r(\cos(\theta) - i\sin(\theta)) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$.

Donc, la forme trigonométrique de $\bar{z}$ est $r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$.

2. On a $-z = -1 \cdot z = 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \cdot r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = r(\cos(\pi + \theta) + i\sin(\pi + \theta))$.

Donc, la forme trigonométrique de $-z$ est $r(\cos(\pi + \theta) + i\sin(\pi + \theta))$.

3. On a $\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))} = \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{\cos(\theta) + i\sin(\theta)} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\cos(\theta) - i\sin(\theta)}{(\cos(\theta) + i\sin(\theta))(\cos(\theta) - i\sin(\theta))}$.

En utilisant l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ et le fait que $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$, on obtient :

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\cos(\theta) - i\sin(\theta)}{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = \frac{1}{r}(\cos(\theta) - i\sin(\theta)) = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$.

Donc, la forme trigonométrique de $\frac{1}{z}$ est $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$.

Correction :

1. On a $|z| = |2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Un argument de $z$ est $\theta = \arctan(\frac{2}{2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

2. On sait que $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$ et $\arg(\frac{1}{z}) = -\arg(z)$.
Donc, $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ et $\arg(\frac{1}{z}) = -\frac{\pi}{4}$.

Correction :

1. $z_1 z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot 3e^{-i\frac{\pi}{4}} = 6e^{i(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})} = 6e^{i\frac{\pi}{12}}$.

2. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{3e^{-i\frac{\pi}{4}}} = \frac{2}{3}e^{i(\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{4}))} = \frac{2}{3}e^{i\frac{7\pi}{12}}$.

3. $z_1^4 = (2e^{i\frac{\pi}{3}})^4 = 2^4 e^{i\frac{4\pi}{3}} = 16e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

Correction :

1. On a $-z = (-1) \cdot z$. Comme $-1 = e^{i\pi}$, on a $\arg(-z) = \arg(-1) + \arg(z) = \pi + \theta$ (modulo $2\pi$).

2. On sait que $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) = -\theta$ (modulo $2\pi$).

3. On a $\arg(\frac{1}{z}) = \arg(1) - \arg(z) = 0 - \theta = -\theta$ (modulo $2\pi$).

Correction :

1. On a $|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

Donc, $1 + i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$.

On a $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Donc, $1 - i = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

2. On a $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i} = \frac{2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))}{\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))} = \frac{2}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{4})) + i\sin(\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{4})))$

$z = \sqrt{2}(\cos(\frac{7\pi}{12}) + i\sin(\frac{7\pi}{12}))$.

3. Un argument de $z$ est $\frac{7\pi}{12}$.

Correction :

1. On a $-2i = 2(0 - i) = 2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 2e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

On a $1+i = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

2. On a $z = \frac{-2i}{1+i} = \frac{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{2}}e^{i(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$.

3. Un argument de $z$ est $-\frac{3\pi}{4}$.

Correction :

1. On a $|z| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
Un argument de $z$ est $\theta = \arctan(\frac{-1}{1}) = -\frac{\pi}{4}$.

2. On a $|z^{10}| = |z|^{10} = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$.
Un argument de $z^{10}$ est $10 \cdot \arg(z) = 10 \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{5\pi}{2}$.
Comme $-\frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 2\pi$, un argument de $z^{10}$ est $-\frac{\pi}{2}$.

Correction :

1. On cherche les nombres complexes $z$ tels que $z^4 = 1$.

On écrit $z$ sous forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$.

Alors $z^4 = r^4 e^{i4\theta}$.

On a $1 = 1e^{i(0 + 2k\pi)}$, où $k$ est un entier relatif.

Donc, $z^4 = 1$ si et seulement si $r^4 = 1$ et $4\theta = 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Comme $r$ est un réel positif, on a $r = 1$.

De plus, $\theta = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Pour $k = 0$, $z_1 = e^{i0} = 1$.

Pour $k = 1$, $z_2 = e^{i\frac{\pi}{2}} = i$.

Pour $k = 2$, $z_3 = e^{i\pi} = -1$.

Pour $k = 3$, $z_4 = e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i$.

Pour les autres valeurs de $k$, on retrouve les mêmes solutions.

2. Les images des solutions sont les sommets d'un carré de centre O et de côté 2, dont les sommets sont sur les axes réels et imaginaires.

Correction :

1. On a $OA = |z_A| = |2| = 2$.

$OB = |z_B| = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

$OC = |z_C| = |4| = 4$.

2. On constate que $OA = OB = 2$. Donc, les points A et B sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Le point C est situé sur l'axe des réels à une distance 4 de l'origine.

Correction :

La distance AB est donnée par le module de la différence des affixes :
$AB = |z_B - z_A| = |(1 + 2i) - (3 - i)| = |1 + 2i - 3 + i| = |-2 + 3i| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Correction :

1. On calcule les distances AB, AC et BC :

$AB = |z_B - z_A| = |1 + i\sqrt{3} - 2| = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

$AC = |z_C - z_A| = |1 - i\sqrt{3} - 2| = |-1 - i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

$BC = |z_C - z_B| = |1 - i\sqrt{3} - (1 + i\sqrt{3})| = |-2i\sqrt{3}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

On a $AB = AC = 2$. Pour montrer que le triangle est équilatéral, il faudrait montrer que $BC = 2$, or $BC = 2\sqrt{3}$. Il y a donc une erreur dans l'énoncé.

2. L'affixe du centre de gravité G est donnée par $z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{2 + 1 + i\sqrt{3} + 1 - i\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{3}$.

Correction :

1. On a $u_{n+1} = |z_{n+1}| = |\frac{\sqrt{3} + i}{2}z_n| = |\frac{\sqrt{3} + i}{2}| |z_n|$.

Or, $|\frac{\sqrt{3} + i}{2}| = \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$.

Donc, $u_{n+1} = |z_n| = u_n$. La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = |\frac{\sqrt{3} + i}{2}| = 1$.

Le premier terme est $u_0 = |z_0| = |3 + 3i| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

2. Comme $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 1 et de premier terme $3\sqrt{2}$, on a $u_n = u_0 \cdot q^n = 3\sqrt{2} \cdot 1^n = 3\sqrt{2}$ pour tout $n$.

3. Script Python :

# Initialisation
z = 3 + 3j
u = abs(z)

# Affichage des 10 premiers termes de la suite (u_n)
for n in range(10):
    print("u_{} = {}".format(n, u))
    z = ((3**0.5 + 1j) / 2) * z
    u = abs(z)

Correction :

1. On a $\arg(z_{n+1}) = \arg(\frac{1 + i}{2}z_n) = \arg(\frac{1 + i}{2}) + \arg(z_n)$.

$\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Donc, $\arg(\frac{1 + i}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

On a alors $\theta_{n+1} = \theta_n + \frac{\pi}{4}$.

La suite $(\theta_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{\pi}{4}$ et de premier terme $\theta_0 = \arg(z_0) = \arg(e^{i\frac{\pi}{6}}) = \frac{\pi}{6}$.

2. On a $\theta_n = \theta_0 + n \cdot r = \frac{\pi}{6} + n\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + 3n\pi}{12} = \frac{(3n+2)\pi}{12}$.

3. Script Python :

import math

# Initialisation
theta = math.pi / 6

# Affichage des 10 premiers termes de la suite (theta_n)
for n in range(10):
    print("theta_{} = {}".format(n, theta))
    theta = theta + math.pi / 4

Correction :

1. On a $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Un argument de $z$ est $\theta = \arctan(\frac{-1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

2. On a $|z^6| = |z|^6 = 2^6 = 64$.
Un argument de $z^6$ est $6 \cdot \arg(z) = 6 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\pi$.

3. Script Python :

import math

z = (3**0.5) - 1j

# Calcul et affichage du module et de l'argument de z^n pour n de 1 à 8
for n in range(1, 9):
    z_n = z**n
    module = abs(z_n)
    argument = math.atan2(z_n.imag, z_n.real)
    print("z^{} :".format(n))
    print("Module :", module)
    print("Argument :", argument)

Correction :

1. On a $|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ et $\arg(z_1) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Donc, $z_1 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

On a $|z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{4} = 2$ et $\arg(z_2) = \arctan(\frac{-1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

Donc, $z_2 = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

2. On a $\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{2e^{-i\frac{\pi}{6}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i(\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{6}))} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}$.

3. On a $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{(1+i)(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)} = \frac{\sqrt{3} + i + i\sqrt{3} - 1}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{4} + i\frac{\sqrt{3}+1}{4}$.

4. On a $\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{5\pi}{12}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(\frac{5\pi}{12}) + i\sin(\frac{5\pi}{12}))$.

En identifiant les parties réelles et imaginaires avec la forme algébrique trouvée en 3., on obtient :

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{4}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}+1}{4}$.

Donc, $\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ et $\sin(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Correction :

1. On a $z_0 = 1$.

$z_1 = \frac{1}{2}(z_0 + |z_0|) = \frac{1}{2}(1 + |1|) = \frac{1}{2}(1+1) = 1$.

$z_2 = \frac{1}{2}(z_1 + |z_1|) = \frac{1}{2}(1 + |1|) = \frac{1}{2}(1+1) = 1$.

$z_3 = \frac{1}{2}(z_2 + |z_2|) = \frac{1}{2}(1 + |1|) = \frac{1}{2}(1+1) = 1$.

2. On peut conjecturer que la suite $(|z_n|)$ est constante et égale à 1.

3. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $|z_n| = 1$.

Initialisation : Pour $n=0$, $|z_0| = |1| = 1$. La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons que $|z_n| = 1$ pour un certain entier naturel $n$.

Alors, $|z_{n+1}| = |\frac{1}{2}(z_n + |z_n|)| = \frac{1}{2}|z_n + |z_n||$.

Par hypothèse de récurrence, $|z_n| = 1$, donc $|z_{n+1}| = \frac{1}{2}|z_n + 1|$.

On a $z_n = a_n + ib_n$ où $a_n$ et $b_n$ sont des réels.

Alors $|z_{n+1}| = \frac{1}{2}|a_n + ib_n + 1| = \frac{1}{2}\sqrt{(a_n+1)^2 + b_n^2}$.

Comme $|z_n| = 1$, on a $a_n^2 + b_n^2 = 1$.

Donc, $|z_{n+1}| = \frac{1}{2}\sqrt{a_n^2 + 2a_n + 1 + b_n^2} = \frac{1}{2}\sqrt{1 + 2a_n + 1} = \frac{1}{2}\sqrt{2 + 2a_n}$.

On sait que $z_0 = 1$ et par hypothèse de récurrence, $z_n=1$. Donc, $z_{n+1}=\frac{1}{2}(1+|1|) = 1$.

Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$, et si elle est vraie pour un entier $n$, elle est vraie pour $n+1$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $|z_n| = 1$.

4. Script Python :

z = 1 + 0j  # Initialisation: z_0 = 1

# Affichage des 10 premiers termes de la suite
for i in range(10):
    z = (z + abs(z)) / 2
    print('z=',z)