Exercices : Module d'un Nombre Complexe

Correction :

Première condition : $|z - i| = |z + 1| \Leftrightarrow |z - i| = |z - (-1)|$.

Soit A le point d'affixe $i$ et B le point d'affixe -1. L'équation s'écrit $AM = BM$. L'ensemble des points M vérifiant cette condition est la médiatrice du segment [AB].

Deuxième condition : $|z + 3 - 2i| \leq 2 \Leftrightarrow |z - (-3 + 2i)| \leq 2$.

Soit C le point d'affixe $-3 + 2i$. L'inéquation s'écrit $CM \leq 2$. L'ensemble des points M vérifiant cette condition est le disque de centre C et de rayon 2.

L'ensemble $\mathcal{S}$ est l'intersection de la médiatrice de [AB] et du disque de centre C et de rayon 2. Pour le construire, on trace la médiatrice de [AB] et le cercle de centre C et de rayon 2. L'ensemble $\mathcal{S}$ est le segment contenu dans le disque et sur la médiatrice.

Correction :

1) L'affixe du point C est $z_C = 1 + 0i = 1$.

$|z_C - 2 - 3i| = |1 - 2 - 3i| = |-1 - 3i| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$|z_C - 4 + i| = |1 - 4 + i| = |-3 + i| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Comme $|z_C - 2 - 3i| = |z_C - 4 + i|$, le point C appartient à $\Gamma$.

2) On pose $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont des réels.

$|z - 2 - 3i| = |z - 4 + i| \Leftrightarrow |(x + iy) - 2 - 3i| = |(x + iy) - 4 + i|$

$\Leftrightarrow |(x - 2) + i(y - 3)| = |(x - 4) + i(y + 1)|$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + (y + 1)^2}$

$\Leftrightarrow (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 4)^2 + (y + 1)^2$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1$

$\Leftrightarrow -4x - 6y + 13 = -8x + 2y + 17$

$\Leftrightarrow 4x - 8y - 4 = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y - 1 = 0$

L'ensemble $\Gamma$ est la droite d'équation $x - 2y - 1 = 0$.

3) Soit A le point d'affixe $2 + 3i$ et B le point d'affixe $4 - i$.

Alors $|z - 2 - 3i| = |z - z_A| = AM$ et $|z - 4 + i| = |z - z_B| = BM$.

L'équation $|z - 2 - 3i| = |z - 4 + i|$ s'écrit $AM = BM$.

L'ensemble $\Gamma$ est donc la médiatrice du segment [AB].

Correction :

1) On calcule les longueurs des côtés du triangle ABC :

$AB = |z_B - z_A| = |(7 + i) - (-1 - 5i)| = |8 + 6i| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

$AC = |z_C - z_A| = |(8 - 2i) - (-1 - 5i)| = |9 + 3i| = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

$BC = |z_C - z_B| = |(8 - 2i) - (7 + i)| = |1 - 3i| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

On remarque que $AB^2 = 100 = 90 + 10 = AC^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2) Le triangle ABC étant rectangle en C, il est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].

Le centre I du cercle est le milieu de [AB]. Son affixe est :

$z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{(-1 - 5i) + (7 + i)}{2} = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i$

Le rayon du cercle est la moitié de la longueur AB, soit $R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3) Pour vérifier si D est sur le cercle, on calcule la distance DI :

$DI = |z_I - z_D| = |(3 - 2i) - (0 + 2i)| = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Comme $DI = R = 5$, le point D est sur le cercle.

Correction :

M' est sur le cercle de centre O et de rayon 1 si et seulement si $|z'| = 1$.

$|z'| = 1 \Leftrightarrow \left| \frac{z - 2}{iz + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \frac{|z - 2|}{|iz + 3|} = 1$

$\Leftrightarrow |z - 2| = |iz + 3| \Leftrightarrow |z - 2| = |i(z - 3i)|$

$\Leftrightarrow |z - 2| = |i|\cdot|z-3i| \Leftrightarrow |z - 2| = |z - 3i|$ (car $|i|=1$)

Soit A le point d'affixe 2 et B le point d'affixe $3i$. L'équation s'écrit $AM = BM$.

L'ensemble $\mathscr{E}$ est donc la médiatrice du segment [AB].

Correction :

1) Placement des points :

$z_B = -\overline{z_A} = -(\sqrt{3} - 2i) = -\sqrt{3} + 2i$. B est le symétrique de A par rapport à l'axe des ordonnées.

$z_C = -i$. C est sur l'axe des ordonnées, une unité en dessous de l'origine.

2) On calcule les longueurs des côtés :

$AB = |z_B - z_A| = |(-\sqrt{3} + 2i) - (\sqrt{3} + 2i)| = |-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$

$AC = |z_C - z_A| = |-i - (\sqrt{3} + 2i)| = |-\sqrt{3} - 3i| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$BC = |z_C - z_B| = |-i - (-\sqrt{3} + 2i)| = |\sqrt{3} - 3i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Comme $AB = AC = BC$, le triangle ABC est équilatéral.

3) a) G est le point d'intersection des médianes du triangle.

b) Définition vectorielle de G : $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

c) L'affixe de G est la moyenne des affixes des sommets :

$z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{(\sqrt{3} + 2i) + (-\sqrt{3} + 2i) + (-i)}{3} = \frac{3i}{3} = i$

4) I est le milieu de [AG], donc :

$z_I = \frac{z_A + z_G}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 2i) + i}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3i}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$

5) GIJC est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{GI} = \overrightarrow{JC}$. En termes d'affixes :

$z_I - z_G = z_C - z_J \Rightarrow z_J = z_C - z_I + z_G$

$z_J = -i - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i\right) + i = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i$

6) Pour montrer que (GJ) et (CJ) sont perpendiculaires, on peut montrer que le triangle GJC est rectangle en J. Pour cela on vérifie la relation de pythagore.

$GJ = |z_J - z_G| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i - i\right| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5}{2}i\right| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{7}$

$CJ = |z_J - z_C| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i - (-i)\right| = \left|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$

$CG = |z_G - z_C| = |i - (-i)| = |2i| = 2$

On remarque que $GJ^2 = 7$, $CJ=1$ et $CG=4$. Donc on n'a pas la relation de Pythagore. Reprenons en utilisant la méthode du produit scalaire des vecteurs directeurs, ou l'argument du quotient des affixes :

$\frac{z_J - z_G}{z_J - z_C} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i - i}{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i} = \frac{-\sqrt{3} - 5i}{-\sqrt{3} - i} \cdot \frac{-\sqrt{3} + i}{-\sqrt{3} + i} = \frac{3 - i\sqrt{3} + 5i\sqrt{3} + 5}{3 + 1} = \frac{8 + 4i\sqrt{3}}{4} = 2+i\sqrt 3$

L'argument de ce complexe n'est ni $0$, ni $\pi$, ni $\frac{\pi}{2}$, ni $-\frac{\pi}{2}$, donc les droites ne sont pas perpendiculaires.

Correction :

1) Construction de M' :

On construit le cercle de centre O et de rayon $|z| = OM$. L'intersection de ce cercle et de la demi-droite [OM) donne un point N d'affixe $|z|$.

On construit le milieu du segment [ON], qui a pour affixe $\frac{z + |z|}{2}$.

M' est le milieu du segment reliant l'origine à ce dernier point.

2) a) Si $z_0$ est un réel négatif, alors $z_0 = -|z_0|$, donc $z_1 = \frac{z_0 + |z_0|}{4} = \frac{-|z_0| + |z_0|}{4} = 0$.

Par conséquent, $z_2 = \frac{z_1 + |z_1|}{4} = \frac{0 + 0}{4} = 0$, et ainsi de suite. La suite $(z_n)$ est constante et égale à 0 à partir du rang 1.

La suite $(|z_n|)$ est donc constante et égale à 0 à partir du rang 1, et tend donc vers 0.

b) Si $z_0$ est un réel positif, alors $z_0 = |z_0|$, donc $z_1 = \frac{z_0 + |z_0|}{4} = \frac{z_0 + z_0}{4} = \frac{2z_0}{4} = \frac{1}{2}z_0$.

On en déduit que, $z_2 = \frac{z_1+|z_1|}{4}=\frac{\frac{1}{2}z_0+\frac{1}{2}z_0}{4}= \frac{z_0}{4}$. Par récurrence, on montre que $z_n$ est un réel positif et que $z_{n+1} = \frac{1}{2} z_n$ pour tout $n$. Il s'agit d'une suite géometrique de raison 1/2.

Donc, $z_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n z_0$, et $|z_n| = \left(\frac{1}{2}\right)^n |z_0|$. Comme $0 < \frac{1}{2} < 1$, la suite $(|z_n|)$ tend vers 0.

c) Si $z_0$ n'est pas réel, on remarque que $z_1 = \frac{z_0 + |z_0|}{4}$ est un réel positif (car $|z_0|$ est un réel, et la somme d'un nombre complexe et de son module divisé par un réel positif donne un réel). À partir de $z_1$, on est dans le cas de la question 2)b) : la suite $(|z_n|)$ tend vers 0.

Correction :

On cherche $z$ tel que $|z| = \left|\frac{1}{z}\right| = |1 - z|$.

$|z| = \left|\frac{1}{z}\right| \Leftrightarrow |z| = \frac{1}{|z|} \Leftrightarrow |z|^2 = 1$. Comme $|z|$ est un réel positif, cela implique $|z| = 1$.

On a donc $|z| = |1 - z| = 1$.

$|z| = 1$ signifie que le point M d'affixe $z$ est sur le cercle unité (cercle de centre O et de rayon 1).

$|1 - z| = |z - 1| = 1$ signifie que la distance entre le point M d'affixe $z$ et le point A d'affixe 1 est égale à 1. Donc M est sur le cercle de centre A et de rayon 1.

On cherche donc l'intersection de ces deux cercles. On peut résoudre géométriquement ou algébriquement.

Algébriquement : On pose $z = x + iy$. Comme $|z| = 1$, on a $x^2 + y^2 = 1$.

$|z - 1| = 1 \Leftrightarrow |(x - 1) + iy| = 1 \Leftrightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 1$

$\Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$. En utilisant $x^2 + y^2 = 1$, on obtient $-2x + 1 = 0$, donc $x = \frac{1}{2}$.

On remplace dans $x^2 + y^2 = 1$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + $y^2 = 1 \Leftrightarrow y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Donc $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Les solutions sont donc $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Correction :

On a $z_{n+1} = \frac{i}{3} z_n$.

Donc $|z_{n+1}| = \left|\frac{i}{3}\right| |z_n| = \frac{|i|}{|3|} |z_n| = \frac{1}{3} |z_n|$.

La suite $(|z_n|)$ est donc une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $|z_0| = |100| = 100$.

On a donc $|z_n| = 100 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$.

Dire que $M_n$ appartient au disque de centre O et de rayon 1 signifie que $OM_n \leq 1$, c'est-à-dire $|z_n| \leq 1$.

On cherche donc $n$ tel que $100 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n \leq 1$.

$\Leftrightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^n \leq \frac{1}{100}$

$\Leftrightarrow \ln\left(\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \leq \ln\left(\frac{1}{100}\right)$ (car la fonction ln est croissante)

$\Leftrightarrow n \ln\left(\frac{1}{3}\right) \leq \ln\left(\frac{1}{100}\right)$

$\Leftrightarrow n(-\ln 3) \leq -\ln 100$

$\Leftrightarrow n \geq \frac{\ln 100}{\ln 3}$ (car on divise par $-\ln 3$ qui est négatif)

Or, $\frac{\ln 100}{\ln 3} \approx 4.19$. Donc, à partir de $n = 5$, on a $|z_n| \leq 1$, et donc $M_n$ appartient au disque de centre O et de rayon 1.

Correction :

On résout l'équation : $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$

$z(z^2 - 3z + 3) = 0$

Donc soit $z = 0$, soit $z^2 - 3z + 3 = 0$.

Pour l'équation du second degré, on calcule le discriminant : $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 = 3i^2 = (i\sqrt{3})^2$.

Comme $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \frac{-(-3) + i\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \frac{3 - i\sqrt{3}}{2}$.

Les trois solutions de l'équation initiale sont donc : $z = 0$, $z_1 = \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \frac{3 - i\sqrt{3}}{2}$.

Soient O, A et B les points d'affixes respectives 0, $z_1$ et $z_2$.

$OA = |z_1 - 0| = \left|\frac{3 + i\sqrt{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{9 + 3}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$

$OB = |z_2 - 0| = \left|\frac{3 - i\sqrt{3}}{2}\right| = \frac{\sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{9 + 3}}{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$

$AB = |z_2 - z_1| = \left|\frac{3 - i\sqrt{3}}{2} - \frac{3 + i\sqrt{3}}{2}\right| = |-i\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Comme $OA = OB = AB = \sqrt{3}$, le triangle OAB est équilatéral.

Gaspard a donc raison.

Correction :

On résout l'équation : $(4z^2 - 20z + 37)(2z - 7 + 2i) = 0$.

Soit $4z^2 - 20z + 37 = 0$, soit $2z - 7 + 2i = 0$.

Pour la première équation : $\Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 37 = 400 - 592 = -192 = (8i\sqrt{3})^2$.

Les solutions sont $z_1 = \frac{20 + 8i\sqrt{3}}{8} = \frac{5 + 2i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \frac{5 - 2i\sqrt{3}}{2}$.

Pour la seconde équation : $2z = 7 - 2i$, donc $z_3 = \frac{7}{2} - i$.

Soient A, B et C les points d'affixes $z_1$, $z_2$ et $z_3$, et P le point d'affixe 2.

On calcule les distances PA, PB et PC :

$PA = |z_1 - 2| = \left|\frac{5}{2} + i\sqrt{3} - 2\right| = \left|\frac{1}{2} + i\sqrt{3}\right| = \sqrt{\frac{1}{4} + 3} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

$PB = |z_2 - 2| = \left|\frac{5}{2} - i\sqrt{3} - 2\right| = \left|\frac{1}{2} - i\sqrt{3}\right| = \sqrt{\frac{1}{4} + 3} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

$PC = |z_3 - 2| = \left|\frac{7}{2} - i - 2\right| = \left|\frac{3}{2} - i\right| = \sqrt{\frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Comme $PA = PB = PC = \frac{\sqrt{13}}{2}$, les points A, B et C sont sur un même cercle de centre P et de rayon $\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Nasser a raison.

Correction :

Oui, la règle du produit nul est encore vraie avec des nombres complexes.

Démonstration :

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes tels que $z_1 \cdot z_2 = 0$.

Si $z_1 = 0$, alors la propriété est vérifiée.

Si $z_1 \neq 0$, alors on peut considérer le module : $|z_1 \cdot z_2| = |0| = 0$.

Or, $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$. Donc $|z_1| \cdot |z_2| = 0$.

Comme $|z_1|$ et $|z_2|$ sont des nombres réels positifs, et que $|z_1| \neq 0$ (car $z_1 \neq 0$), on a nécessairement $|z_2| = 0$.

Et $|z_2| = 0$ implique $z_2 = 0$.

Dans tous les cas, si $z_1 \cdot z_2 = 0$, alors $z_1 = 0$ ou $z_2 = 0$.

Correction :

1) a) $z^2 = (3 + 2i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i$

b) $|z^2| = |z|^2 = (\sqrt{3^2 + 2^2})^2 = (\sqrt{9 + 4})^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

c) On a $z^2 = 5 + 12i$, et $|z^2| = 13$. Or, $|z^2| = \sqrt{5^2 + 12^2}$.

Donc, $13 = \sqrt{5^2 + 12^2} \Rightarrow 13^2 = 5^2 + 12^2$.

Le triplet (5, 12, 13) est un triplet pythagoricien.

2) Généralisation : Soit $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls.

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$

$|z^2| = |z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2$

D'autre part, $|z^2| = \sqrt{(a^2-b^2)^2 + (2ab)^2} $

Donc on a :

$(a^2+b^2)^2 = (a^2-b^2)^2 + (2ab)^2$

En choisissant différentes valeurs entières pour $a$ et $b$ (avec $a > b$ pour que $a^2 - b^2$ soit positif), on obtient différents triplets pythagoriciens : $(a^2 - b^2, 2ab, a^2 + b^2)$.

Par exemple :

Si $a = 2$ et $b = 1$, on obtient $(2^2 - 1^2, 2 \cdot 2 \cdot 1, 2^2 + 1^2) = (3, 4, 5)$.

Si $a = 3$ et $b = 2$, on obtient $(3^2-2^2, 2\cdot3\cdot2, 3^2+2^2) = (5, 12, 13)$.

Si $a = 4$ et $b = 1$, on obtient $(4^2 - 1^2, 2 \cdot 4 \cdot 1, 4^2+1^2) = (15, 8, 17)$, etc.

Comme il existe une infinité de couples d'entiers $(a, b)$ avec $a > b$, on peut générer une infinité de triplets pythagoriciens.