Exercices - Matrices

Revoyons ensemble les points essentiels sur les Matrices avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !

1. Définition d'une matrice

Une matrice est un tableau de nombres, appelés coefficients, ordonnés en lignes et en colonnes.

On note une matrice $A$ de taille $n \times p$ (n lignes, p colonnes) comme suit :

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix} $$

où $a_{ij}$ représente le coefficient situé à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne.

2. Opérations : Addition et Multiplication par un scalaire

Addition de matrices : On peut additionner deux matrices de même taille. L'addition se fait coefficient par coefficient.

Si $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ sont deux matrices $n \times p$, alors $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$.

Multiplication par un scalaire : On peut multiplier une matrice par un nombre réel (scalaire). La multiplication se fait coefficient par coefficient.

Si $A = (a_{ij})$ est une matrice $n \times p$ et $\lambda$ est un scalaire, alors $\lambda A = (\lambda a_{ij})$.

3. Produit matriciel

Le produit de deux matrices $A$ et $B$ est possible si et seulement si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.

Si $A$ est une matrice $n \times p$ et $B$ est une matrice $p \times m$, alors le produit $AB$ est une matrice $n \times m$.

Le coefficient $(i, j)$ de la matrice produit $AB$ est donné par :

$$ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj} $$

Attention : Le produit matriciel n'est pas commutatif en général, c'est-à-dire que $AB \neq BA$ en général.

4. Matrice Transposée

La transposée d'une matrice $A$, notée ${}^tA$, est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.

Si $A = (a_{ij})$ est une matrice $n \times p$, alors ${}^tA$ est une matrice $p \times n$ dont le coefficient $(i, j)$ est $a_{ji}$.

Propriétés de la transposition :

${}^t({}^tA) = A$ ${}^t(A + B) = {}^tA + {}^tB$ ${}^t(\lambda A) = \lambda {}^tA$ ${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$ (Attention à l'ordre pour le produit)

5. Matrices Carrées Particulières

Matrice Identité (I) : Matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. C'est l'élément neutre pour la multiplication matricielle : $AI = IA = A$.

Matrice Nulle (O) : Matrice dont tous les coefficients sont nuls. C'est l'élément neutre pour l'addition matricielle.

Matrice Diagonale : Matrice carrée dont tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Matrice Triangulaire Supérieure (ou Inférieure) : Matrice carrée dont tous les coefficients en dessous (ou au-dessus) de la diagonale principale sont nuls.

6. Formule du binôme de Newton (pour les matrices complément de cours)

Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même taille qui commutent (c'est-à-dire $AB = BA$), et tout entier naturel $n$ :

$$(A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{n-k} B^k = \binom{n}{0}A^n + \binom{n}{1}A^{n-1}B + \binom{n}{2}A^{n-2}B^2 + ... + \binom{n}{n}B^n$$

où $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ est le coefficient binomial.

Important : La condition $AB = BA$ est cruciale. Si les matrices ne commutent pas, la formule du binôme de Newton n'est pas applicable.

7. Matrice Nilpotente (Complément de cours - Exercice 18 et +)

Une matrice carrée $A$ est dite nilpotente s'il existe un entier naturel $p$ tel que $A^p = 0$ (la matrice nulle). Le plus petit entier $p$ vérifiant cette propriété est appelé l'indice de nilpotence de $A$.

Propriétés et remarques :

1. Si $A$ est nilpotente, alors toutes les puissances de $A$ supérieures à son indice de nilpotence sont également nulles.

2. Une matrice nilpotente n'est pas inversible. En effet, si $A$ était inversible, on aurait $A^p A^{-1} = 0 A^{-1}$, ce qui impliquerait $A^{p-1} = 0$, contredisant la minimalité de $p$.

3. Si $A$ est une matrice $n \times n$ nilpotente d'indice $p$, alors $p \leq n$.

C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !

Exercice 1

On considère les matrices $\rm A = \begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ et $\rm B$ = $\begin{pmatrix}-6 & 0& 4 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$.
1) Calculer les matrices suivantes :
a) $A + B$ b) $ \frac{1}{3}A$ c) $A - B$ d) $-2A + 4B$
2) Existe-t-il deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha A + \beta B = \begin{pmatrix}9 & 3& -2 \\ \frac{5}{2} & -11 & 2 \end{pmatrix}$

Correction : Exercice 1

Question 1) Calcul des matrices :

a) Calcul de $A + B$ :

Pour additionner deux matrices, elles doivent avoir la même dimension, ce qui est le cas ici ($2 \times 3$). On additionne les coefficients terme à terme :

$$ A + B = \begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 & 0& 4 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+(-6) & 1+0& 0+4 \\ 1+1 & -3+4 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 1& 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$

b) Calcul de $\frac{1}{3}A$ :

Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chaque coefficient de la matrice par ce scalaire :

$$ \frac{1}{3}A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}& \frac{0}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{-3}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & \frac{1}{3}& 0 \\ \frac{1}{3} & -1 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} $$

c) Calcul de $A - B$ :

Soustraire la matrice $B$ à la matrice $A$ revient à additionner $A$ et $(-1)B$. On soustrait les coefficients terme à terme :

$$ A - B = \begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-6 & 0& 4 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-6) & 1-0& 0-4 \\ 1-1 & -3-4 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 1& -4 \\ 0 & -7 & -1 \end{pmatrix} $$

d) Calcul de $-2A + 4B$ :

On combine la multiplication par un scalaire et l'addition de matrices :

$$ -2A + 4B = -2\begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}-6 & 0& 4 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix} -4 & -2& 0 \\ -2 & 6 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -24 & 0& 16 \\ 4 & 16 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-28 & -2& 16 \\ 2 & 22 & 6 \end{pmatrix} $$

Question 2) Existence de réels $\alpha$ et $\beta$ :

On cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha A + \beta B = \begin{pmatrix}9 & 3& -2 \\ \frac{5}{2} & -11 & 2 \end{pmatrix}$. Développons le membre de gauche :

$$ \alpha A + \beta B = \alpha \begin{pmatrix}2 & 1& 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}-6 & 0& 4 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\alpha - 6\beta & \alpha& 4\beta \\ \alpha + \beta & -3\alpha + 4\beta & \alpha + 2\beta \end{pmatrix} $$

Pour que cette matrice soit égale à $\begin{pmatrix}9 & 3& -2 \\ \frac{5}{2} & -11 & 2 \end{pmatrix}$, il faut que les coefficients correspondants soient égaux. On obtient le système d'équations suivant :

$$\begin{cases} 2\alpha - 6\beta = 9 & (1) \\ \alpha = 3 & (2) \\ 4\beta = -2 & (3) \\ \alpha + \beta = \frac{5}{2} & (4) \\ -3\alpha + 4\beta = -11 & (5) \\ \alpha + 2\beta = 2 & (6) \end{cases}$$

D'après (2), on a $\alpha = 3$. D'après (3), on a $\beta = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Vérifions si ces valeurs satisfont les autres équations :

(1) : $2\alpha - 6\beta = 2(3) - 6(-\frac{1}{2}) = 6 + 3 = 9$. Équation vérifiée.

(4) : $\alpha + \beta = 3 + (-\frac{1}{2}) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$. Équation vérifiée.

(5) : $-3\alpha + 4\beta = -3(3) + 4(-\frac{1}{2}) = -9 - 2 = -11$. Équation vérifiée.

(6) : $\alpha + 2\beta = 3 + 2(-\frac{1}{2}) = 3 - 1 = 2$. Équation vérifiée.

Les valeurs $\alpha = 3$ et $\beta = -\frac{1}{2}$ vérifient toutes les équations du système.

Conclusion : Il existe bien deux réels $\alpha = 3$ et $\beta = -\frac{1}{2}$ tels que $\alpha A + \beta B = \begin{pmatrix}9 & 3& -2 \\ \frac{5}{2} & -11 & 2 \end{pmatrix}$.

Exercice 2

On considère les matrices $\rm A = \begin{pmatrix}3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\rm B = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ 0 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$
1) Parmi les produits suivants $\rm A \times B$, $\rm B \times C$ et $\rm C \times B$, lesquels ont un sens ?
2) Calculer $\rm A \times C$ et $\rm B^2$.
3) Déterminer les coefficients manquants des matrices pour que l'égalité soit vraie. \[\begin{pmatrix}\,. & 1 \\\,. & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ \,. & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3 & \,. \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]

Correction : Exercice 2

Question 1) Sens des produits matriciels :

Pour que le produit de deux matrices $M \times N$ ait un sens, il faut que le nombre de colonnes de $M$ soit égal au nombre de lignes de $N$.

- Pour $\rm A \times B$ :

Dimension de A : $2 \times 3$ (2 lignes, 3 colonnes). Dimension de B : $2 \times 2$ (2 lignes, 2 colonnes). Le nombre de colonnes de A (3) est différent du nombre de lignes de B (2). Donc, $\rm A \times B$ n'a pas de sens.

- Pour $\rm B \times C$ :

Dimension de B : $2 \times 2$ (2 lignes, 2 colonnes). Dimension de C : $3 \times 2$ (3 lignes, 2 colonnes). Le nombre de colonnes de B (2) est égal au nombre de lignes de C (3). Donc, $\rm B \times C$ a un sens. Le résultat sera une matrice de dimension $2 \times 2$ (2 lignes, 2 colonnes).

- Pour $\rm C \times B$ :

Dimension de C : $3 \times 2$ (3 lignes, 2 colonnes). Dimension de B : $2 \times 2$ (2 lignes, 2 colonnes). Le nombre de colonnes de C (2) est égal au nombre de lignes de B (2). Donc, $\rm C \times B$ a un sens. Le résultat sera une matrice de dimension $3 \times 2$ (3 lignes, 2 colonnes).

Question 2) Calcul de $\rm A \times C$ et $\rm B^2$ :

- Calcul de $\rm A \times C$ :

Dimension de A : $2 \times 3$. Dimension de C : $3 \times 2$. Le produit $\rm A \times C$ a un sens et sera de dimension $2 \times 2$.

$$ \rm A \times C = \begin{pmatrix}3 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4 & 2 \\ 0 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \times 4 + 0 \times 0 + 2 \times 5) & (3 \times 2 + 0 \times (-1) + 2 \times 1) \\ (1 \times 4 + 1 \times 0 + 2 \times 5) & (1 \times 2 + 1 \times (-1) + 2 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ \rm A \times C = \begin{pmatrix} (12 + 0 + 10) & (6 + 0 + 2) \\ (4 + 0 + 10) & (2 - 1 + 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22 & 8 \\ 14 & 3 \end{pmatrix} $$

- Calcul de $\rm B^2 = B \times B$ :

Dimension de B : $2 \times 2$. Le produit $\rm B \times B$ a un sens et sera de dimension $2 \times 2$.

$$ \rm B^2 = \rm B \times \rm B = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \times 3 + 1 \times 0) & (3 \times 1 + 1 \times 1) \\ (0 \times 3 + 1 \times 0) & (0 \times 1 + 1 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ \rm B^2 = \begin{pmatrix} (9 + 0) & (3 + 1) \\ (0 + 0) & (0 + 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Question 3) Détermination des coefficients manquants :

Soit l'égalité matricielle : $\begin{pmatrix}x & 1 \\y & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ z & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3 & w \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Calculons le produit matriciel du membre de gauche :

$$ \begin{pmatrix}x & 1 \\y & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ z & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2x + 1z) & (3x + 5) \\ (2y + 4z) & (3y + 20) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x + z & 3x + 5 \\ 2y + 4z & 3y + 20 \end{pmatrix} $$

On doit avoir : $\begin{pmatrix}2x + z & 3x + 5 \\ 2y + 4z & 3y + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & w \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

En égalisant les coefficients, on obtient le système d'équations :

$$\begin{cases} 2x + z = -3 & (1) \\ 3x + 5 = w & (2) \\ 2y + 4z = 0 & (3) \\ 3y + 20 = 2 & (4) \end{cases}$$

De (4), on tire $3y = 2 - 20 = -18$, donc $y = -6$.

De (3), on a $2y + 4z = 0$, donc $2(-6) + 4z = 0$, $-12 + 4z = 0$, $4z = 12$, $z = 3$.

De (1), on a $2x + z = -3$, donc $2x + 3 = -3$, $2x = -6$, $x = -3$.

De (2), on a $3x + 5 = w$, donc $w = 3(-3) + 5 = -9 + 5 = -4$.

Ainsi, $x = -3$, $y = -6$, $z = 3$, et $w = -4$. La matrice complétée est :

$$ \begin{pmatrix}-3 & 1 \\-6 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3 & -4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

Les coefficients manquants sont donc : en haut à gauche -3, en bas à gauche -6, en bas à droite 3, et en haut à droite -4.

Exercice 3

On considère les matrices :
$\rm A=\begin{pmatrix}\bullet & -5 & 2 \\-3 & 4 & 7 \\-1 & \bullet & 6 \end{pmatrix}$ , $\rm B=\begin{pmatrix}\bullet & 2 & -4 \\-5 & -2 & \bullet \\ 1 & \bullet & -5 \end{pmatrix}$ et $\rm C=\begin{pmatrix}\bullet & 10 & -3 \\-4 & 7 & \bullet \\ 39 & \bullet & \bullet\end{pmatrix}$.
Sans justifier, recopier ces matrices en remplaçant les $\bullet$ par des valeurs numériques de telle sorte que $\rm A \times B=C$.

Correction : Exercice 3

Pour trouver les coefficients manquants, nous allons effectuer le produit matriciel $\rm A \times B$ et identifier les coefficients avec la matrice $\rm C$. Soient les matrices :

$$ \rm A=\begin{pmatrix}a & -5 & 2 \\-3 & 4 & 7 \\-1 & b & 6 \end{pmatrix} , \rm B=\begin{pmatrix}c & 2 & -4 \\-5 & -2 & d \\ 1 & e & -5 \end{pmatrix} , \rm C=\begin{pmatrix}f & 10 & -3 \\-4 & 7 & g \\ 39 & h & i\end{pmatrix} $$

Calculons le produit $\rm A \times B$ :

$$ \rm A \times B$$

$$ = \begin{pmatrix} a \times c + (-5) \times (-5) + 2 \times 1 & a \times 2 + (-5) \times (-2) + 2 \times e & a \times (-4) + (-5) \times d + 2 \times (-5) \\ -3 \times c + 4 \times (-5) + 7 \times 1 & -3 \times 2 + 4 \times (-2) + 7 \times e & -3 \times (-4) + 4 \times d + 7 \times (-5) \\ -1 \times c + b \times (-5) + 6 \times 1 & -1 \times 2 + b \times (-2) + 6 \times e & -1 \times (-4) + b \times d + 6 \times (-5) \end{pmatrix} $$ $$ \rm A \times B $$

$$= \begin{pmatrix} ac + 27 & 2a + 10 + 2e & -4a - 5d - 10 \\ -3c - 20 + 7 & -6 - 8 + 7e & 12 + 4d - 35 \\ -c - 5b + 6 & -2 - 2b + 6e & 4 + bd - 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac + 27 & 2a + 10 + 2e & -4a - 5d - 10 \\ -3c - 13 & -14 + 7e & 4d - 23 \\ -c - 5b + 6 & -2 - 2b + 6e & bd - 26 \end{pmatrix} $$

Identifions avec la matrice $\rm C=\begin{pmatrix}f & 10 & -3 \\-4 & 7 & g \\ 39 & h & i\end{pmatrix}$ :

Coefficient (2,1) : $-3c - 13 = -4 \implies -3c = 9 \implies c = -3$

Coefficient (1,2) : $2a + 10 + 2e = 10 \implies 2a + 2e = 0 \implies a = -e$

Coefficient (2,2) : $-14 + 7e = 7 \implies 7e = 21 \implies e = 3$

Donc $a = -e = -3$.

Coefficient (1,1) : $ac + 27 = f$. Avec $a = -3$ et $c = -3$, $f = (-3) \times (-3) + 27 = 9 + 27 = 36$. Donc $f = 36$.

Coefficient (3,1) : $-c - 5b + 6 = 39$. Avec $c = -3$, $-(-3) - 5b + 6 = 39 \implies 3 - 5b + 6 = 39 \implies 9 - 5b = 39 \implies -5b = 30 \implies b = -6$.

Coefficient (3,2) : $-2 - 2b + 6e = h$. Avec $b = -6$ et $e = 3$, $h = -2 - 2(-6) + 6(3) = -2 + 12 + 18 = 28$. Donc $h = 28$.

Coefficient (1,3) : $-4a - 5d - 10 = -3$. Avec $a = -3$, $-4(-3) - 5d - 10 = -3 \implies 12 - 5d - 10 = -3 \implies 2 - 5d = -3 \implies -5d = -5 \implies d = 1$.

Coefficient (2,3) : $4d - 23 = g$. Avec $d = 1$, $g = 4(1) - 23 = 4 - 23 = -19$. Donc $g = -19$.

Coefficient (3,3) : $bd - 26 = i$. Avec $b = -6$ et $d = 1$, $i = (-6) \times (1) - 26 = -6 - 26 = -32$. Donc $i = -32$.

Vérification avec le coefficient (1,2) déjà utilisé.

Les matrices complétées sont :

$$ \rm A=\begin{pmatrix}-3 & -5 & 2 \\-3 & 4 & 7 \\-1 & -6 & 6 \end{pmatrix} , \rm B=\begin{pmatrix}-3 & 2 & -4 \\-5 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & -5 \end{pmatrix} , \rm C=\begin{pmatrix}36 & 10 & -3 \\-4 & 7 & -19 \\ 39 & 28 & -32\end{pmatrix} $$

Exercice 4

En choisissant judicieusement des matrices carrées d'ordre $2$, montrer que les propositions suivantes sont fausses :
1) Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux matrices carrées de même ordre, alors $\rm AB = BA$.
2) Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux matrices carrées de même ordre et si $\rm AB = O$ alors $\rm A = O$ ou $\rm B = O$.
(avec $\rm O$ la matrice carrée nulle de même ordre)
3) Si $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont trois matrices carrées de même ordre et si $\rm AB = AC$ alors $\rm B = C$.

Correction : Exercice 4

Pour montrer qu'une proposition est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple. Ici, nous devons trouver des matrices carrées d'ordre 2 qui contredisent les propositions données.

1) Faux : Le produit matriciel n'est pas commutatif en général.

Prenons par exemple les matrices :

$$ \rm A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ et } \rm B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Calculons $\rm AB$ :

$$ \rm AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 0 + 0 \times 0) & (1 \times 1 + 0 \times 0) \\ (0 \times 0 + 0 \times 0) & (0 \times 1 + 0 \times 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Calculons $\rm BA$ :

$$ \rm BA = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \times 1 + 1 \times 0) & (0 \times 0 + 1 \times 0) \\ (0 \times 1 + 0 \times 0) & (0 \times 0 + 0 \times 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \rm O $$

On constate que $\rm AB = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \rm BA$. Donc $\rm AB \neq BA$. La proposition 1 est fausse.

2) Faux : $\rm AB = O$ n'implique pas $\rm A = O$ ou $\rm B = O$.

Reprenons les matrices $\rm A$ et $\rm B$ de la question 1) :

$$ \rm A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ et } \rm B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Nous avons vu que $\rm BA = \rm O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Or, $\rm A \neq O$ et $\rm B \neq O$. La proposition 2 est fausse.

3) Faux : $\rm AB = AC$ n'implique pas $\rm B = C$ en général.

Prenons les matrices :

$$ \rm A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \rm B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \rm C = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$

Calculons $\rm AB$ :

$$ \rm AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 0 + 0 \times 1) & (1 \times 0 + 0 \times 0) \\ (0 \times 0 + 0 \times 1) & (0 \times 0 + 0 \times 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \rm O $$

Calculons $\rm AC$ :

$$ \rm AC = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 0 + 0 \times 2) & (1 \times 0 + 0 \times 0) \\ (0 \times 0 + 0 \times 2) & (0 \times 0 + 0 \times 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \rm O $$

On a bien $\rm AB = AC = \rm O$. Or, $\rm B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \rm C$. Donc $\rm B \neq C$. La proposition 3 est fausse.

Exercice 5

On considère la matrice $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre réels.
On note $0$ la matrice nulle d'ordre $2$.
On appelle transposée de $\rm A$, la matrice, notée ${}^t{\rm A}$, définie par : ${}^t{\rm A} =\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$.
Montrer que ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0$ si et seulement si ${\rm A} = 0$.

Correction : Exercice 5

On doit montrer une équivalence : ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0$ si et seulement si ${\rm A} = 0$. Montrons l'implication dans les deux sens.

$\Longrightarrow$ Sens direct : Si ${\rm A} = 0$, alors ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0$.

Si $\rm A = 0 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, alors la transposée de $\rm A$ est ${}^t{\rm A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$.

Dans ce cas, le produit ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0 \times 0 = 0$. Ce sens de l'implication est donc vrai (et assez trivial).

$\Longleftarrow$ Sens réciproque : Si ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0$, alors ${\rm A} = 0$.

Soit $\rm A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$. Alors ${}^t{\rm A} = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}$.

Calculons le produit ${}^t{\rm A} \times {\rm A}$ :

$$ {}^t{\rm A} \times {\rm A} = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a \times a + c \times c) & (a \times b + c \times d) \\ (b \times a + d \times c) & (b \times b + d \times d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a^2 + c^2 & ab + cd \\ ba + dc & b^2 + d^2 \end{pmatrix} $$

On suppose que ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Donc, on doit avoir :

$$ \begin{pmatrix}a^2 + c^2 & ab + cd \\ ba + dc & b^2 + d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

En égalant les coefficients, on obtient le système d'équations :

$$\begin{cases} a^2 + c^2 = 0 & (1) \\ ab + cd = 0 & (2) \\ ba + dc = 0 & (3) \\ b^2 + d^2 = 0 & (4) \end{cases}$$

Considérons l'équation (1) : $a^2 + c^2 = 0$. Comme $a$ et $c$ sont des nombres réels, $a^2 \ge 0$ et $c^2 \ge 0$. La somme de deux nombres positifs ou nuls est nulle si et seulement si les deux nombres sont nuls. Donc, $a^2 = 0$ et $c^2 = 0$, ce qui implique $a = 0$ et $c = 0$.

Considérons l'équation (4) : $b^2 + d^2 = 0$. De même, comme $b$ et $d$ sont des nombres réels, $b^2 \ge 0$ et $d^2 \ge 0$. La somme de deux nombres positifs ou nuls est nulle si et seulement si les deux nombres sont nuls. Donc, $b^2 = 0$ et $d^2 = 0$, ce qui implique $b = 0$ et $d = 0$.

On a donc montré que $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$, et $d = 0$. Par conséquent, $\rm A = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$.

Conclusion : On a bien montré que ${}^t{\rm A} \times {\rm A} = 0$ si et seulement si ${\rm A} = 0$.

Exercice 6

Dans chaque cas, répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.

Pour toute matrice carrée A, on a : $A^2 + A = A(A + 1)$.
Si H est la matrice définie par $H=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}$ où $k\in \mathbb{R}^*$ alors $AH = HA$ pour toute matrice carrée A d'ordre 2.
Soit A une matrice carrée avec $A^2 = 0$, 0 désignant la matrice nulle de même ordre, alors
• $A=0$
• $A^3=0$

Correction : Exercice 6

1) Proposition : Pour toute matrice carrée A, on a : $A^2 + A = A(A + I)$. VRAI.

C'est une simple factorisation. En développant le membre de droite $A(A + I)$ (où $I$ est la matrice identité d'ordre 2, car on additionne une matrice avec un scalaire 1, ce qui n'a pas de sens. Il faut comprendre $A+I$), on obtient :

$$ A(A + I) = A \times A + A \times I = A^2 + A $$

Car $A \times I = A$ (la matrice identité est l'élément neutre pour la multiplication matricielle). Donc, l'égalité $A^2 + A = A(A + I)$ est toujours vraie pour toute matrice carrée $A$. La proposition est VRAIE.

2) Proposition : Si H est la matrice définie par $H=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}$ où $k\in \mathbb{R}^*$ alors $AH = HA$ pour toute matrice carrée A d'ordre 2. VRAI.

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d'ordre 2, et $H=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = kI$.

Calculons $\rm AH$ :

$$ \rm AH = A(kI) = k(AI) = kA $$

Calculons $\rm HA$ :

$$ \rm HA = (kI)A = k(IA) = kA $$

On constate que $\rm AH = kA$ et $\rm HA = kA$. Donc $\rm AH = HA$ pour toute matrice carrée A d'ordre 2. La proposition est VRAIE.

Remarque : Les matrices de la forme $kI$ (avec $k$ un scalaire) commutent avec toutes les matrices carrées de même ordre. On les appelle matrices scalaires.

3) Proposition : Soit A une matrice carrée avec $A^2 = 0$, 0 désignant la matrice nulle de même ordre, alors :

• $A=0$ : FAUX.

On a vu à l'exercice 4 question 2) que l'on peut avoir $\rm AB = O$ avec $\rm A \neq O$ et $\rm B \neq O$. On peut même avoir $A^2 = O$ avec $A \neq O$. Prenons par exemple la matrice $\rm A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. On a calculé à l'exercice 4 question 1) que $A^2 = \rm AA = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \rm O$. Or $\rm A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq O$. Donc $A^2 = O$ n'implique pas $A = O$. Cette sous-proposition est FAUSSE.

• $A^3=0$ : VRAI.

Si $A^2 = O$, alors $A^3 = A^2 \times A = O \times A = O$. Car si on multiplie la matrice nulle par n'importe quelle matrice (compatible), on obtient la matrice nulle. Donc $A^2 = O$ implique $A^3 = O$. Cette sous-proposition est VRAIE.

En résumé pour la question 3) : • $A=0$ : FAUX. • $A^3=0$ : VRAI.

Exercice 7

On considère les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$.
Calculer les matrices suivantes :
1) $2A - B$
2) $A \times B$
3) $B \times A$
4) ${}^tA$

Correction : Exercice 7

1) Calcul de $2A - B$ :

On effectue d'abord la multiplication scalaire de $A$ par 2, puis on soustrait la matrice $B$.

$$ 2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} $$ $$ 2A - B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 & 4-6 \\ 6-7 & 8-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

2) Calcul de $A \times B$ :

Le produit $A \times B$ est possible car le nombre de colonnes de $A$ (2) est égal au nombre de lignes de $B$ (2).

$$ A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 5 + 2 \times 7) & (1 \times 6 + 2 \times 8) \\ (3 \times 5 + 4 \times 7) & (3 \times 6 + 4 \times 8) \end{pmatrix} $$ $$ A \times B = \begin{pmatrix} (5 + 14) & (6 + 16) \\ (15 + 28) & (18 + 32) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} $$

3) Calcul de $B \times A$ :

Le produit $B \times A$ est aussi possible pour les mêmes raisons.

$$ B \times A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5 \times 1 + 6 \times 3) & (5 \times 2 + 6 \times 4) \\ (7 \times 1 + 8 \times 3) & (7 \times 2 + 8 \times 4) \end{pmatrix} $$ $$ B \times A = \begin{pmatrix} (5 + 18) & (10 + 24) \\ (7 + 24) & (14 + 32) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix} $$

Remarque : On observe bien que $A \times B \neq B \times A$, ce qui illustre la non-commutativité du produit matriciel.

4) Calcul de ${}^tA$ :

La transposée de $A$ est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.

$$ {}^tA = {}^t \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $$

Exercice 8

Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.
Vérifier si l'égalité $(A + B) \times C = A \times C + B \times C$ est vraie.

Correction : Exercice 8

On doit vérifier la distributivité du produit matriciel par rapport à l'addition : $(A + B) \times C = A \times C + B \times C$.

Calculons d'abord $A + B$ :

$$ A + B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} $$

Calculons $(A + B) \times C$ :

$$ (A + B) \times C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \times 1 + (-1) \times 2) & (0 \times (-3) + (-1) \times 1) \\ (1 \times 1 + 7 \times 2) & (1 \times (-3) + 7 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ (A + B) \times C = \begin{pmatrix} (0 - 2) & (0 - 1) \\ (1 + 14) & (-3 + 7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 15 & 4 \end{pmatrix} $$

Calculons maintenant $A \times C$ :

$$ A \times C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times 1 + (-1) \times 2) & (2 \times (-3) + (-1) \times 1) \\ (0 \times 1 + 3 \times 2) & (0 \times (-3) + 3 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ A \times C = \begin{pmatrix} (2 - 2) & (-6 - 1) \\ (0 + 6) & (0 + 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -7 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} $$

Calculons $B \times C$ :

$$ B \times C = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2 \times 1 + 0 \times 2) & (-2 \times (-3) + 0 \times 1) \\ (1 \times 1 + 4 \times 2) & (1 \times (-3) + 4 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ B \times C = \begin{pmatrix} (-2 + 0) & (6 + 0) \\ (1 + 8) & (-3 + 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} $$

Calculons $A \times C + B \times C$ :

$$ A \times C + B \times C = \begin{pmatrix} 0 & -7 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+(-2) & -7+6 \\ 6+9 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 15 & 4 \end{pmatrix} $$

Comparons $(A + B) \times C$ et $A \times C + B \times C$ :

$$ (A + B) \times C = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 15 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ A \times C + B \times C = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 15 & 4 \end{pmatrix} $$

On constate que $(A + B) \times C = A \times C + B \times C$. L'égalité est vérifiée.

Conclusion : La distributivité du produit matriciel par rapport à l'addition est vérifiée sur cet exemple.

Exercice 9

Résoudre l'équation matricielle $2X - A = B$, où $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}$, et $X$ est une matrice carrée d'ordre 2 inconnue.

Exercice 10

Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $M^2$ et $M^3$.

Correction : Exercice 10

On doit calculer les puissances $M^2$ et $M^3$ de la matrice $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Calcul de $M^2 = M \times M$ :

$$ M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$ M^2= \begin{pmatrix} (0 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 1) & (0 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 1) & (0 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 0) \\ (1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 0) \\ (1 \times 0 + 1 \times 1 + 0 \times 1) & (1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1) & (1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 0) \end{pmatrix} $$

$$ M^2 = \begin{pmatrix} (0 + 1 + 1) & (0 + 0 + 1) & (0 + 1 + 0) \\ (0 + 0 + 1) & (1 + 0 + 1) & (1 + 0 + 0) \\ (0 + 1 + 0) & (1 + 0 + 0) & (1 + 1 + 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Calcul de $M^3 = M^2 \times M$ :

On utilise la matrice $M^2$ que l'on vient de calculer et on la multiplie par $M$.

$$ M^3 = M^2 \times M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$M^3= \begin{pmatrix} (2 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 1) & (2 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 1) & (2 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 0) \\ (1 \times 0 + 2 \times 1 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 0 + 1 \times 1) & (1 \times 1 + 2 \times 1 + 1 \times 0) \\ (1 \times 0 + 1 \times 1 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 1 \times 0 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 1 \times 1 + 2 \times 0) \end{pmatrix} $$

$$ M^3 = \begin{pmatrix} (0 + 1 + 1) & (2 + 0 + 1) & (2 + 1 + 0) \\ (0 + 2 + 1) & (1 + 0 + 1) & (1 + 2 + 0) \\ (0 + 1 + 2) & (1 + 0 + 2) & (1 + 1 + 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} $$

Résultats : $M^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $M^3 = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$.

Exercice 11

Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Calculer $A^2 - 2A + 3I$.

Exercice 12

Calculer la trace de la matrice $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 \\ 1 & 0 & 4 \\ -3 & 8 & -1 \end{pmatrix}$.

Exercice 13

Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer ${}^t(A + B)$ et ${}^tA + {}^tB$. Vérifier l'égalité ${}^t(A + B) = {}^tA + {}^tB$.

Correction : Exercice 13

On doit vérifier la propriété de la transposée de la somme : ${}^t(A + B) = {}^tA + {}^tB$.

Calcul de $A + B$ :

$$ A + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0 & 1+(-2) \\ -1+4 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

Calcul de ${}^t(A + B)$ :

$$ {}^t(A + B) = {}^t \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} $$

Calcul de ${}^tA$ et ${}^tB$ :

$$ {}^tA = {}^t \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$ $$ {}^tB = {}^t \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$

Calcul de ${}^tA + {}^tB$ :

$$ {}^tA + {}^tB = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0 & -1+4 \\ 1+(-2) & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} $$

Comparons ${}^t(A + B)$ et ${}^tA + {}^tB$ :

$$ {}^t(A + B) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ {}^tA + {}^tB = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} $$

On constate que ${}^t(A + B) = {}^tA + {}^tB$. L'égalité est vérifiée.

Conclusion : La propriété ${}^t(A + B) = {}^tA + {}^tB$ est vérifiée sur cet exemple.

Exercice 14

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer ${}^t(A \times B)$ et ${}^tB \times {}^tA$. Vérifier l'égalité ${}^t(A \times B) = {}^tB \times {}^tA$.

Correction : Exercice 14

On doit vérifier la propriété de la transposée du produit : ${}^t(A \times B) = {}^tB \times {}^tA$. Attention à l'ordre du produit !

Calcul de $A \times B$ :

$$ A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3 + 2 \times 2) & (1 \times 0 + 2 \times 1) \\ (0 \times 3 + (-1) \times 2) & (0 \times 0 + (-1) \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ A \times B = \begin{pmatrix} (3 + 4) & (0 + 2) \\ (0 - 2) & (0 - 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} $$

Calcul de ${}^t(A \times B)$ :

$$ {}^t(A \times B) = {}^t \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

Calcul de ${}^tA$ et ${}^tB$ :

$$ {}^tA = {}^t \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ {}^tB = {}^t \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Calcul de ${}^tB \times {}^tA$ :

$$ {}^tB \times {}^tA = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \times 1 + 2 \times 2) & (3 \times 0 + 2 \times (-1)) \\ (0 \times 1 + 1 \times 2) & (0 \times 0 + 1 \times (-1)) \end{pmatrix} $$ $$ {}^tB \times {}^tA = \begin{pmatrix} (3 + 4) & (0 - 2) \\ (0 + 2) & (0 - 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

Comparons ${}^t(A \times B)$ et ${}^tB \times {}^tA$ :

$$ {}^t(A \times B) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ {}^tB \times {}^tA = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

On constate que ${}^t(A \times B) = {}^tB \times {}^tA$. L'égalité est vérifiée.

Conclusion : La propriété ${}^t(A \times B) = {}^tB \times {}^tA$ est vérifiée sur cet exemple.

Exercice 15

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2 - 5A + 6I$, où $I$ est la matrice identité d'ordre 2.

Exercice 16

Soit $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $J^2$, $J^3$ et $J^4$. Que remarquez-vous pour $J^4$?

Correction : Exercice 16

On doit calculer les puissances successives de la matrice $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.

Calcul de $J^2 = J \times J$ :

$$ J^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \times 0 + 1 \times (-1)) & (0 \times 1 + 1 \times 0) \\ ((-1) \times 0 + 0 \times (-1)) & ((-1) \times 1 + 0 \times 0) \end{pmatrix} $$ $$ J^2 = \begin{pmatrix} (0 - 1) & (0 + 0) \\ (0 + 0) & (-1 + 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

On remarque que $J^2 = -I$, où $I$ est la matrice identité.

Calcul de $J^3 = J^2 \times J$ :

On utilise $J^2 = -I$ :

$$ J^3 = J^2 \times J = (-I) \times J = -(I \times J) = -J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Calcul de $J^4 = J^3 \times J$ :

On utilise $J^3 = -J$ :

$$ J^4 = J^3 \times J = (-J) \times J = -(J \times J) = -J^2 = -(-I) = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Remarque pour $J^4$ :

On trouve $J^4 = I$. La puissance 4-ième de la matrice $J$ est égale à la matrice identité. Cela signifie que si on multiplie $J$ par elle-même quatre fois, on revient à la matrice identité.

Résultats : $J^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$, $J^3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -J$, et $J^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$.

Exercice 17

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer $A^n$ pour tout entier naturel $n$. (On pourra calculer les premières puissances et conjecturer une formule, puis la démontrer par récurrence).

Correction : Exercice 17

On cherche à calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $n \in \mathbb{N}$.

Calcul des premières puissances :

Pour $n = 1$, $A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Pour $n = 2$, $A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Pour $n = 3$, $A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Pour $n = 4$, $A^4 = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Conjecture :

On observe une régularité : il semble que pour tout entier naturel $n$, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Démonstration par récurrence :

Initialisation : Pour $n = 0$, $A^0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. La formule est vérifiée pour $n = 0$.

Hérédité : Supposons que pour un entier $k \ge 0$, on ait $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Montrons que $A^{k+1} = \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculons $A^{k+1} = A^k \times A$ :

$$ A^{k+1} = A^k \times A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 1 + k \times 0) & (1 \times 1 + k \times 1) \\ (0 \times 1 + 1 \times 0) & (0 \times 1 + 1 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ A^{k+1} = \begin{pmatrix} (1 + 0) & (1 + k) \\ (0 + 0) & (0 + 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

C'est bien la formule attendue pour le rang $k+1$. L'hérédité est démontrée.

Conclusion : Par le principe de récurrence, la formule $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Résultat : Pour tout entier naturel $n$, $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Exercice 18

Soit la matrice $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Calculer $A^2$. Que peut-on en conclure sur la nilpotence de $A$ ?

Exercice 19

Soit la matrice $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Montrer que B est nilpotente et déterminer son indice de nilpotence.

Exercice 20

Si $A$ est une matrice nilpotente, montrer que sa transposée, notée $^tA$, est également nilpotente.

Exercice 21

Soient $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ $A$ et $B$ sont-elles nilpotentes ? La somme $A + B$ est-elle nilpotente ?

Exercice 22

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées de même taille. On suppose que $A$ est nilpotente et que $A$ et $B$ commutent (c'est-à-dire $AB = BA$). Montrer que $AB$ est nilpotente.

Exercice 23

Soit $A$ une matrice nilpotente d'indice $p$, et soit $I$ la matrice identité de même taille que $A$. Calculer $(I + A)^n$ pour $n \ge p$, en utilisant la formule du binôme de Newton (on utilisera le fait que $A$ et $I$ commutent : $AI = IA = A$).

Exercice 24

Soit $A$ une matrice nilpotente. Montrer que sa diagonale principale ne contient que des zéros.

Exercice 25

Soit $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculer $A^2$. En déduire que $A$ est nilpotente. Calculer $(I + A)^{10}$.

Exercice 26

Soit la matrice $N$ de taille $n \times n$ définie par : $$N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$$ (des 1 juste au-dessus de la diagonale principale, des 0 partout ailleurs). Montrer que $N$ est nilpotente et déterminer son indice de nilpotence.

Exercices : Matrices

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