Exercices : Inverse d'une matrice

Correction :

Question 1 : Montrons que ${\rm A}$ et ${\rm B}$ sont inverses l'une de l'autre.

Pour montrer que deux matrices ${\rm A}$ et ${\rm B}$ sont inverses, nous devons vérifier que ${\rm A} \times {\rm B} = {\rm I}_2$ et ${\rm B} \times {\rm A} = {\rm I}_2$, où ${\rm I}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est la matrice identité d'ordre 2.

Calculons ${\rm A} \times {\rm B}$ :

$${\rm A} \times {\rm B} = \begin{pmatrix}\,1 & \,2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} \times \dfrac12\begin{pmatrix}-4 & -2 \\ \,3 & \,1 \end{pmatrix} $$

$$= \dfrac12 \begin{pmatrix}\,1 & \,2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4 & -2 \\ \,3 & \,1 \end{pmatrix}$$

$$= \dfrac12 \begin{pmatrix} (1 \times -4) + (2 \times 3) & (1 \times -2) + (2 \times 1) \\ (-3 \times -4) + (-4 \times 3) & (-3 \times -2) + (-4 \times 1) \end{pmatrix}$$

$$= \dfrac12 \begin{pmatrix} -4 + 6 & -2 + 2 \\ 12 - 12 & 6 - 4 \end{pmatrix} = \dfrac12 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = {\rm I}_2$$

Calculons ${\rm B} \times {\rm A}$ :

$${\rm B} \times {\rm A} = \dfrac12\begin{pmatrix}-4 & -2 \\ \,3 & \,1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\,1 & \,2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} = \dfrac12 \begin{pmatrix} (-4 \times 1) + (-2 \times -3) & (-4 \times 2) + (-2 \times -4) \\ (3 \times 1) + (1 \times -3) & (3 \times 2) + (1 \times -4) \end{pmatrix}$$

$$= \dfrac12 \begin{pmatrix} -4 + 6 & -8 + 8 \\ 3 - 3 & 6 - 4 \end{pmatrix} = \dfrac12 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = {\rm I}_2$$

Comme ${\rm A} \times {\rm B} = {\rm B} \times {\rm A} = {\rm I}_2$, les matrices ${\rm A}$ et ${\rm B}$ sont bien inverses l'une de l'autre.

Question 2 : Déterminons les valeurs de $c$ et $d$ pour que ${\rm C}$ et ${\rm D}$ soient inverses.

Pour que ${\rm C}$ et ${\rm D}$ soient inverses, il faut que ${\rm C} \times {\rm D} = {\rm I}_3$ (il suffit de vérifier un seul produit car l'inverse est unique si il existe). Calculons ${\rm C} \times {\rm D}$ :

$${\rm C} \times {\rm D} = \begin{pmatrix} \,\,c & \,\,2 & \,\,3\\ \,\,0 & \,\,1 & \,\,4 \\ \,\,5 & \,\,6 & \,\,0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -24 & \,18 & \,\,5 \\ \,20 & -15 & \,-4 \\ \,\,d & \,\,4 & \,\,1 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} -24c + 2 \times 20 + 3d & 18c + 2 \times (-15) + 3 \times 4 & 5c + 2 \times (-4) + 3 \times 1 \\ 0 \times (-24) + 1 \times 20 + 4d & 0 \times 18 + 1 \times (-15) + 4 \times 4 & 0 \times 5 + 1 \times (-4) + 4 \times 1 \\ 5 \times (-24) + 6 \times 20 + 0 \times d & 5 \times 18 + 6 \times (-15) + 0 \times 4 & 5 \times 5 + 6 \times (-4) + 0 \times 1 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} -24c + 40 + 3d & 18c - 30 + 12 & 5c - 8 + 3 \\ 20 + 4d & -15 + 16 & -4 + 4 \\ -120 + 120 & 90 - 90 & 25 - 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24c + 40 + 3d & 18c - 18 & 5c - 5 \\ 20 + 4d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Pour que ${\rm C} \times {\rm D} = {\rm I}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, nous devons résoudre le système d'équations suivant en identifiant les coefficients :

En comparant les termes de la matrice ${\rm C} \times {\rm D}$ avec ceux de ${\rm I}_3$, on obtient le système :

$$\begin{cases} -24c + 40 + 3d = 1 \\ 18c - 18 = 0 \\ 5c - 5 = 0 \\ 20 + 4d = 0 \end{cases}$$

De la deuxième équation, $18c - 18 = 0$, on tire $18c = 18$, donc $c = 1$.

Vérifions avec la troisième équation, $5c - 5 = 0$, si $c=1$, alors $5 \times 1 - 5 = 0$, ce qui est vrai. Donc $c=1$ est cohérent.

De la quatrième équation, $20 + 4d = 0$, on tire $4d = -20$, donc $d = -5$.

Vérifions la première équation avec $c=1$ et $d=-5$ : $-24c + 40 + 3d = -24(1) + 40 + 3(-5) = -24 + 40 - 15 = 16 - 15 = 1$. Cela correspond bien à la valeur attendue.

Donc, les valeurs pour que ${\rm C}$ et ${\rm D}$ soient inverses sont $c = 1$ et $d = -5$.

Correction :

Pour montrer que la matrice ${\rm A} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ n'est pas inversible, nous devons montrer qu'il n'existe aucune matrice ${\rm A}^{-1}$ telle que ${\rm A} \times {\rm A}^{-1} = {\rm I}_2$ ou ${\rm A}^{-1} \times {\rm A} = {\rm I}_2$. Nous allons procéder par l'absurde.

Supposons que ${\rm A}$ est inversible. Alors il existe une matrice ${\rm X} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ telle que ${\rm A} \times {\rm X} = {\rm I}_2$.

Calculons le produit ${\rm A} \times {\rm X}$ :

$${\rm A} \times {\rm X} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 4c & 2b + 4d \\ 3a + 6c & 3b + 6d \end{pmatrix}$$

Pour que ${\rm A} \times {\rm X} = {\rm I}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, nous devons avoir :

$$\begin{cases} 2a + 4c = 1 \\ 2b + 4d = 0 \\ 3a + 6c = 0 \\ 3b + 6d = 1 \end{cases}$$

Considérons les deux premières équations :

(1) $2a + 4c = 1$

(3) $3a + 6c = 0$

De l'équation (3), on peut factoriser par 3 : $3(a + 2c) = 0$, ce qui implique $a + 2c = 0$, ou encore $a = -2c$.

Substituons $a = -2c$ dans l'équation (1) : $2(-2c) + 4c = 1$, ce qui donne $-4c + 4c = 1$, soit $0 = 1$.

Nous arrivons à une contradiction $0 = 1$, ce qui est impossible. Par conséquent, notre hypothèse de départ, que ${\rm A}$ est inversible, est fausse.

Conclusion : La matrice ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Remarque : On aurait pu également travailler avec les équations (2) et (4) et arriver à une contradiction de la même manière. De l'équation (4) $3b + 6d = 1$ et de l'équation (2) $2b + 4d = 0$ qui donne $b = -2d$. En substituant dans (4) on obtient $3(-2d) + 6d = 1$ soit $-6d + 6d = 1$ donc $0 = 1$, contradiction.

Autre méthode : On remarque que la deuxième colonne de ${\rm A}$ est le double de la première colonne. Cela signifie que les colonnes de ${\rm A}$ sont linéairement dépendantes. Une matrice carrée dont les colonnes (ou les lignes) sont linéairement dépendantes n'est pas inversible. Bien que cette méthode soit rapide, la question demandait de le montrer sans utiliser le déterminant et sans utiliser explicitement la notion de dépendance linéaire (même si l'idée est là). La méthode par l'absurde et système d'équations est plus directe dans le cadre de ce qui est attendu en Terminale.

Correction :

Pour montrer que la matrice ${\rm AB}$ est inversible et trouver son inverse, nous devons trouver une matrice ${\rm X}$ telle que $({\rm AB}){\rm X} = {\rm I}$ et ${\rm X}({\rm AB}) = {\rm I}$, où ${\rm I}$ est la matrice identité de même ordre que ${\rm A}$ et ${\rm B}$.

On nous demande d'exprimer l'inverse de ${\rm AB}$ en fonction de ${\rm A}^{-1}$ et ${\rm B}^{-1}$. Considérons la matrice ${\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}$. Calculons le produit $({\rm AB})({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1})$ :

$$ ({\rm AB})({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}) = {\rm A} ({\rm B} {\rm B}^{-1}) {\rm A}^{-1} $$

Puisque ${\rm B}$ est inversible, nous savons que ${\rm B} {\rm B}^{-1} = {\rm I}$. Donc :

$$ {\rm A} ({\rm B} {\rm B}^{-1}) {\rm A}^{-1} = {\rm A} {\rm I} {\rm A}^{-1} = {\rm A} {\rm A}^{-1} $$

Puisque ${\rm A}$ est inversible, nous savons que ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$. Donc :

$$ {\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I} $$

Ainsi, nous avons montré que $({\rm AB})({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}) = {\rm I}$.

Il faut aussi vérifier le produit dans l'autre sens : $({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1})({\rm AB})$ :

$$ ({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1})({\rm AB}) = {\rm B}^{-1} ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm B} $$

Puisque ${\rm A}$ est inversible, ${\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}$. Donc :

$$ {\rm B}^{-1} ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm B} = {\rm B}^{-1} {\rm I} {\rm B} = {\rm B}^{-1} {\rm B} $$

Puisque ${\rm B}$ est inversible, ${\rm B}^{-1} {\rm B} = {\rm I}$. Donc :

$$ {\rm B}^{-1} {\rm B} = {\rm I} $$

Ainsi, nous avons montré que $({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1})({\rm AB}) = {\rm I}$.

Puisque $({\rm AB})({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}) = {\rm I}$ et $({\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1})({\rm AB}) = {\rm I}$, nous concluons que le produit ${\rm AB}$ est inversible et son inverse est ${\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}$.

Conclusion : Le produit ${\rm AB}$ est inversible et $({\rm AB})^{-1} = {\rm B}^{-1}{\rm A}^{-1}$.

Attention à l'ordre des inverses ! L'inverse d'un produit de matrices est le produit des inverses, mais dans l'ordre inverse. C'est une propriété importante à retenir.

Correction :

Question 1 : Montrons par l'absurde que ${\rm A}$ n'est pas inversible si ${\rm A}^2 = 0$.

Supposons que ${\rm A}$ est inversible. Alors il existe une matrice ${\rm A}^{-1}$ telle que ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}$.

Nous savons que ${\rm A}^2 = 0$. Multiplions à droite l'égalité ${\rm A}^2 = 0$ par ${\rm A}^{-1}$ (puisque nous supposons ${\rm A}$ inversible, ${\rm A}^{-1}$ existe) :

$$ {\rm A}^2 {\rm A}^{-1} = 0 \times {\rm A}^{-1} $$ $$ {\rm A} ({\rm A} {\rm A}^{-1}) = 0 $$ $$ {\rm A} {\rm I} = 0 $$ $$ {\rm A} = 0 $$

Si ${\rm A} = 0$, alors ${\rm A}^2 = 0^2 = 0$, ce qui est cohérent avec l'hypothèse ${\rm A}^2 = 0$. Cependant, si ${\rm A} = 0$ est la matrice nulle, peut-elle être inversible ?

Si ${\rm A} = 0$ était inversible, il existerait ${\rm A}^{-1}$ tel que ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$. Mais ${\rm A} {\rm A}^{-1} = 0 \times {\rm A}^{-1} = 0$. Donc nous aurions $0 = {\rm I}$.

Or, la matrice identité ${\rm I}$ n'est pas la matrice nulle (sauf dans le cas trivial des matrices d'ordre 0, mais ici on parle de matrices carrées). Donc $0 = {\rm I}$ est une contradiction.

Notre hypothèse de départ ("${\rm A}$ est inversible") mène à une contradiction. Par conséquent, ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Conclusion : Si ${\rm A}^2 = 0$, alors ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Question 2 : Montrons que ${\rm I} + {\rm A}$ est inversible.

Pour montrer que ${\rm I} + {\rm A}$ est inversible, nous devons trouver une matrice qui, multipliée par ${\rm I} + {\rm A}$, donne la matrice identité ${\rm I}$.

Considérons la matrice ${\rm I} - {\rm A}$. Calculons le produit $({\rm I} + {\rm A})({\rm I} - {\rm A})$ :

$$ ({\rm I} + {\rm A})({\rm I} - {\rm A}) = {\rm I} \times {\rm I} - {\rm I} \times {\rm A} + {\rm A} \times {\rm I} - {\rm A} \times {\rm A} $$ $$ = {\rm I} - {\rm A} + {\rm A} - {\rm A}^2 = {\rm I} - {\rm A}^2 $$

Nous savons que ${\rm A}^2 = 0$. Donc :

$$ {\rm I} - {\rm A}^2 = {\rm I} - 0 = {\rm I} $$

Ainsi, $({\rm I} + {\rm A})({\rm I} - {\rm A}) = {\rm I}$.

De même, calculons le produit dans l'autre sens : $({\rm I} - {\rm A})({\rm I} + {\rm A})$ :

$$ ({\rm I} - {\rm A})({\rm I} + {\rm A}) = {\rm I} \times {\rm I} + {\rm I} \times {\rm A} - {\rm A} \times {\rm I} - {\rm A} \times {\rm A} $$ $$ = {\rm I} + {\rm A} - {\rm A} - {\rm A}^2 = {\rm I} - {\rm A}^2 $$

Et puisque ${\rm A}^2 = 0$, on a ${\rm I} - {\rm A}^2 = {\rm I}$.

Donc $({\rm I} - {\rm A})({\rm I} + {\rm A}) = {\rm I}$.

Puisque $({\rm I} + {\rm A})({\rm I} - {\rm A}) = {\rm I}$ et $({\rm I} - {\rm A})({\rm I} + {\rm A}) = {\rm I}$, la matrice ${\rm I} + {\rm A}$ est inversible et son inverse est ${\rm I} - {\rm A}$.

Conclusion : La matrice ${\rm I} + {\rm A}$ est inversible, et $({\rm I} + {\rm A})^{-1} = {\rm I} - {\rm A}$.

Correction :

Pour démontrer l'unicité de l'inverse d'une matrice inversible, nous allons procéder par l'absurde. Supposons qu'une matrice inversible ${\rm A}$ ait deux inverses distincts, disons ${\rm B}$ et ${\rm C}$. Nous devons montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction, ce qui prouvera que l'inverse est unique.

Si ${\rm B}$ et ${\rm C}$ sont tous deux des inverses de ${\rm A}$, alors par définition de l'inverse, nous avons :

${\rm A} \times {\rm B} = {\rm B} \times {\rm A} = {\rm I}$

et

${\rm A} \times {\rm C} = {\rm C} \times {\rm A} = {\rm I}$

Considérons l'expression ${\rm B} \times ({\rm A} \times {\rm C})$. On peut l'évaluer de deux manières différentes en utilisant l'associativité du produit matriciel :

Première manière : On regroupe ${\rm A} \times {\rm C}$ en premier :

$$ {\rm B} \times ({\rm A} \times {\rm C}) = {\rm B} \times {\rm I} = {\rm B} $$

car ${\rm A} \times {\rm C} = {\rm I}$ et ${\rm I}$ est l'élément neutre pour la multiplication matricielle.

Deuxième manière : On regroupe ${\rm B} \times {\rm A}$ en premier :

$$ ({\rm B} \times {\rm A}) \times {\rm C} = {\rm I} \times {\rm C} = {\rm C} $$

car ${\rm B} \times {\rm A} = {\rm I}$ et ${\rm I}$ est l'élément neutre pour la multiplication matricielle.

En comparant les deux résultats, nous obtenons ${\rm B} = {\rm C}$.

Ainsi, si ${\rm B}$ et ${\rm C}$ sont deux inverses de ${\rm A}$, alors ${\rm B}$ et ${\rm C}$ sont en fait égaux. Cela contredit notre hypothèse de départ que ${\rm A}$ avait deux inverses distincts.

Par conséquent, notre hypothèse de départ est fausse, et l'inverse d'une matrice inversible est unique.

Conclusion : Si une matrice est inversible, alors son inverse est unique.

Correction :

Nous allons démontrer par l'absurde que si une matrice carrée ${\rm A} \neq {\rm I}$ vérifie ${\rm A}^2 = {\rm A}$, alors ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Supposons que ${\rm A}$ est inversible. Puisqu'elle est inversible, il existe une matrice inverse ${\rm A}^{-1}$ telle que ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}$.

Nous savons que ${\rm A}^2 = {\rm A}$. Multiplions cette égalité à gauche par ${\rm A}^{-1}$ (puisque nous supposons ${\rm A}$ inversible, ${\rm A}^{-1}$ existe) :

$$ {\rm A}^{-1} {\rm A}^2 = {\rm A}^{-1} {\rm A} $$ $$ ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm A} = {\rm A}^{-1} {\rm A} $$ $$ {\rm I} {\rm A} = {\rm I} $$ $$ {\rm A} = {\rm I} $$

Nous arrivons à la conclusion que ${\rm A} = {\rm I}$, la matrice identité. Or, l'énoncé précise que ${\rm A}$ est différente de la matrice unité (${\rm A} \neq {\rm I}$).

Nous avons donc une contradiction : notre hypothèse de départ ("${\rm A}$ est inversible") nous conduit à conclure que ${\rm A} = {\rm I}$, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'énoncé (${\rm A} \neq {\rm I}$).

Par conséquent, notre hypothèse de départ est fausse, et ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Conclusion : Si ${\rm A}^2 = {\rm A}$ et ${\rm A} \neq {\rm I}$, alors ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Remarque : Les matrices qui vérifient ${\rm A}^2 = {\rm A}$ sont appelées des matrices de projection. Mis à part la matrice identité ${\rm I}$ et la matrice nulle $0$, les matrices de projection ne sont jamais inversibles.

Correction :

Question 1 : Calculons ${\rm A}^2$ et ${\rm A}^2 - 3{\rm A} + 2{\rm I}_2$.

Calcul de ${\rm A}^2 = {\rm A} \times {\rm A}$ :

$${\rm A}^2 = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1 \times -1) + (-2 \times 3) & (-1 \times -2) + (-2 \times 4) \\ (3 \times -1) + (4 \times 3) & (3 \times -2) + (4 \times 4) \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 1 - 6 & 2 - 8 \\ -3 + 12 & -6 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}$$

Calcul de $3{\rm A}$ :

$$3{\rm A} = 3 \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$$

Calcul de $2{\rm I}_2$ :

$$2{\rm I}_2 = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Calcul de ${\rm A}^2 - 3{\rm A} + 2{\rm I}_2$ :

$${\rm A}^2 - 3{\rm A} + 2{\rm I}_2 = \begin{pmatrix} -5 & -6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3 & -6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} -5 - (-3) + 2 & -6 - (-6) + 0 \\ 9 - 9 + 0 & 10 - 12 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 3 + 2 & -6 + 6 + 0 \\ 0 & -2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$$

Donc, ${\rm A}^2 - 3{\rm A} + 2{\rm I}_2 = 0$, où $0$ est la matrice nulle d'ordre 2.

Question 2 : Déduisons-en que ${\rm A}$ est inversible et donnons son inverse.

Nous avons trouvé que ${\rm A}^2 - 3{\rm A} + 2{\rm I}_2 = 0$. Nous pouvons réécrire cette équation pour isoler ${\rm I}_2$ et factoriser ${\rm A}$ :

$$ {\rm A}^2 - 3{\rm A} + 2{\rm I}_2 = 0 $$ $$ 2{\rm I}_2 = -{\rm A}^2 + 3{\rm A} $$ $$ 2{\rm I}_2 = {\rm A}(3{\rm I}_2 - {\rm A}) $$ $$ {\rm I}_2 = {\rm A} \left( \dfrac{1}{2}(3{\rm I}_2 - {\rm A}) \right) $$

On peut aussi factoriser ${\rm A}$ à droite :

$$ 2{\rm I}_2 = (-{\rm A} + 3{\rm I}_2) {\rm A} $$ $$ {\rm I}_2 = \left( \dfrac{1}{2}(3{\rm I}_2 - {\rm A}) \right) {\rm A} $$

Posons ${\rm B} = \dfrac{1}{2}(3{\rm I}_2 - {\rm A})$. Alors nous avons ${\rm A} \times {\rm B} = {\rm I}_2$ et ${\rm B} \times {\rm A} = {\rm I}_2$. Cela montre que ${\rm A}$ est inversible et que son inverse est ${\rm B} = \dfrac{1}{2}(3{\rm I}_2 - {\rm A})$.

Calculons ${\rm B} = \dfrac{1}{2}(3{\rm I}_2 - {\rm A})$ explicitement :

$$ {\rm B} = \dfrac{1}{2} \left( 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \right) $$ $$ = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 - (-1) & 0 - (-2) \\ 0 - 3 & 3 - 4 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3/2 & -1/2 \end{pmatrix} $$

Conclusion : La matrice ${\rm A}$ est inversible et son inverse est ${\rm A}^{-1} = \dfrac{1}{2}(3{\rm I}_2 - {\rm A}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.

On peut vérifier en calculant ${\rm A} \times {\rm A}^{-1}$ pour s'assurer que l'on obtient bien ${\rm I}_2$.

Correction :

Question 1 : Justifions que ${\rm A} \times {\rm B} = (ad - bc) {\rm I}_2$.

Calculons le produit ${\rm A} \times {\rm B}$ :

$$ {\rm A} \times {\rm B} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a \times d) + (b \times -c) & (a \times -b) + (b \times a) \\ (c \times d) + (d \times -c) & (c \times -b) + (d \times a) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} ad - bc & -ab + ab \\ cd - cd & -cb + da \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & da - cb \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} $$

On peut factoriser $(ad - bc)$ :

$$ \begin{pmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{pmatrix} = (ad - bc) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (ad - bc) {\rm I}_2 $$

Donc, ${\rm A} \times {\rm B} = (ad - bc) {\rm I}_2$.

Question 2.1 : Montrons que si $ad - bc \neq 0$, alors ${\rm A}$ est inversible et précisons ${\rm A}^{-1}$.

Si $ad - bc \neq 0$, alors on peut diviser par $ad - bc$. De l'égalité ${\rm A} \times {\rm B} = (ad - bc) {\rm I}_2$, on peut écrire :

$$ {\rm A} \times \left( \dfrac{1}{ad - bc} {\rm B} \right) = {\rm I}_2 $$

Posons ${\rm A}' = \dfrac{1}{ad - bc} {\rm B} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{d}{ad - bc} & \frac{-b}{ad - bc} \\ \frac{-c}{ad - bc} & \frac{a}{ad - bc} \end{pmatrix}$.

Nous avons montré que ${\rm A} \times {\rm A}' = {\rm I}_2$. Il faut aussi vérifier que ${\rm A}' \times {\rm A} = {\rm I}_2$. Or, nous savons que ${\rm A} \times {\rm B} = {\rm B} \times {\rm A} = (ad - bc) {\rm I}_2$ (ce dernier point se vérifie par un calcul similaire à la question 1, ou en utilisant la propriété que si ${\rm A} \times {\rm B} = k {\rm I}$ avec $k \neq 0$, alors ${\rm B} \times {\rm A} = k {\rm I}$).

Donc, ${\rm B} \times {\rm A} = (ad - bc) {\rm I}_2$, et en multipliant par $\dfrac{1}{ad - bc}$ :

$$ \left( \dfrac{1}{ad - bc} {\rm B} \right) \times {\rm A} = {\rm I}_2 $$ $$ {\rm A}' \times {\rm A} = {\rm I}_2 $$

Ainsi, ${\rm A} \times {\rm A}' = {\rm A}' \times {\rm A} = {\rm I}_2$, ce qui prouve que ${\rm A}$ est inversible et que son inverse est ${\rm A}' = \dfrac{1}{ad - bc} {\rm B}$.

Conclusion : Si $ad - bc \neq 0$, alors ${\rm A}$ est inversible et ${\rm A}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Question 2.2 : Réciproquement, montrons que si ${\rm A}$ est inversible alors $ad - bc \neq 0$.

Nous allons procéder par contraposition. Montrons que si $ad - bc = 0$, alors ${\rm A}$ n'est pas inversible.

Si $ad - bc = 0$, alors d'après la question 1, ${\rm A} \times {\rm B} = (ad - bc) {\rm I}_2 = 0 \times {\rm I}_2 = 0$, où $0$ est la matrice nulle.

Supposons par l'absurde que ${\rm A}$ est inversible. Alors il existe ${\rm A}^{-1}$ tel que ${\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}_2$.

Considérons l'égalité ${\rm A} \times {\rm B} = 0$. Multiplions à gauche par ${\rm A}^{-1}$ :

$$ {\rm A}^{-1} ({\rm A} \times {\rm B}) = {\rm A}^{-1} \times 0 $$ $$ ({\rm A}^{-1} {\rm A}) \times {\rm B} = 0 $$ $$ {\rm I}_2 \times {\rm B} = 0 $$ $$ {\rm B} = 0 $$

Donc, si ${\rm A}$ est inversible et $ad - bc = 0$, alors ${\rm B} = 0$. Or, ${\rm B} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Donc ${\rm B} = 0$ signifie que $d = 0$, $-b = 0$, $-c = 0$, $a = 0$, c'est-à-dire $a = b = c = d = 0$. Dans ce cas, ${\rm A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$, la matrice nulle.

Si ${\rm A} = 0$, est-ce que ${\rm A}$ peut être inversible ? Non, car si ${\rm A}$ était inversible, il existerait ${\rm A}^{-1}$ tel que ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}_2$. Mais ${\rm A} {\rm A}^{-1} = 0 \times {\rm A}^{-1} = 0 \neq {\rm I}_2$. Donc ${\rm A} = 0$ n'est pas inversible.

Ainsi, si $ad - bc = 0$, alors ${\rm A}$ n'est pas inversible. Par contraposition, si ${\rm A}$ est inversible, alors $ad - bc \neq 0$.

Conclusion : Si ${\rm A}$ est inversible, alors $ad - bc \neq 0$.

Question 3 : Inversibilité de ${\rm C}$ et ${\rm D}$.

Pour ${\rm C} =\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$, calculons $ad - bc = (4 \times 5) - (3 \times 6) = 20 - 18 = 2$. Comme $ad - bc = 2 \neq 0$, la matrice ${\rm C}$ est inversible. Son inverse est :

$$ {\rm C}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/2 & -3/2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} $$

Pour ${\rm D} =\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 9 & -6 \end{pmatrix}$, calculons $ad - bc = (3 \times -6) - (-2 \times 9) = -18 - (-18) = -18 + 18 = 0$. Comme $ad - bc = 0$, la matrice ${\rm D}$ n'est pas inversible.

Conclusion : ${\rm C}$ est inversible et ${\rm C}^{-1} = \begin{pmatrix} 5/2 & -3/2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$. ${\rm D}$ n'est pas inversible.

Correction :

Question 1 : Déterminons la matrice ${\rm A}$ telle que $(\mathscr{S}) \Leftrightarrow {\rm AX} = {\rm B}$.

Le système $(\mathscr{S})$ est : $\begin{cases} 1x - 2y - 2z= 3 \\ 2x + 1y + 2z= -2 \\ 2x + 0y + 1z = 1 \\ \end{cases}$

On peut écrire ce système sous forme matricielle ${\rm AX} = {\rm B}$ en identifiant les coefficients de $x, y, z$ pour former la matrice ${\rm A}$, et en regroupant les inconnues dans la matrice colonne ${\rm X}$ et les termes constants dans la matrice colonne ${\rm B}$.

La matrice ${\rm A}$ est formée des coefficients du système :

$$ {\rm A} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Avec ${\rm X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et ${\rm B} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, l'équation matricielle ${\rm AX} = {\rm B}$ est bien équivalente au système $(\mathscr{S})$.

Conclusion : La matrice ${\rm A}$ est ${\rm A} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Question 2 : Vérifions que ${\rm A}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2& -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -4& 5 \end{pmatrix}$.

Pour vérifier que la matrice donnée est l'inverse de ${\rm A}$, nous devons calculer le produit de ${\rm A}$ avec cette matrice (dans les deux sens, mais un seul suffit, car on nous dit de vérifier, donc on suppose que c'est l'inverse). Appelons ${\rm A}' = \begin{pmatrix}1 & 2& -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -4& 5 \end{pmatrix}$. Calculons ${\rm A} \times {\rm A}'$ :

Puisque ${\rm A} \times {\rm A}' = {\rm I}_3$, la matrice ${\rm A}'$ est bien l'inverse de ${\rm A}$.

Conclusion : La matrice $\begin{pmatrix}1 & 2& -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -4& 5 \end{pmatrix}$ est bien l'inverse de ${\rm A}$.

Question 3 : Résolvons le système $(\mathscr{S})$.

Nous avons le système sous forme matricielle ${\rm AX} = {\rm B}$. Puisque ${\rm A}$ est inversible et que nous connaissons ${\rm A}^{-1}$, nous pouvons résoudre le système en multipliant à gauche par ${\rm A}^{-1}$ :

$$ {\rm A}^{-1} ({\rm AX}) = {\rm A}^{-1} {\rm B} $$ $$ ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm X} = {\rm A}^{-1} {\rm B} $$ $$ {\rm I}_3 {\rm X} = {\rm A}^{-1} {\rm B} $$ $$ {\rm X} = {\rm A}^{-1} {\rm B} $$

Calculons ${\rm X} = {\rm A}^{-1} {\rm B}$ :

$$ {\rm X} = \begin{pmatrix}1 & 2& -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -4& 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times -2) + (-2 \times 1) \\ (2 \times 3) + (5 \times -2) + (-6 \times 1) \\ (-2 \times 3) + (-4 \times -2) + (5 \times 1) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 3 - 4 - 2 \\ 6 - 10 - 6 \\ -6 + 8 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix} $$

Donc ${\rm X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}$. Ainsi, $x = -3$, $y = -10$, $z = 7$.

Conclusion : La solution du système $(\mathscr{S})$ est $(x, y, z) = (-3, -10, 7)$.

On peut vérifier en substituant ces valeurs dans le système $(\mathscr{S})$ initial.

Correction :

Pour déterminer si la matrice ${\rm M} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer son inverse, nous allons utiliser la formule pour l'inverse d'une matrice 2x2.

Pour une matrice ${\rm A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, si $ad - bc \neq 0$, alors ${\rm A}$ est inversible et son inverse est donnée par :

$${\rm A}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Dans notre cas, ${\rm M} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, donc $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$, $d = 4$. Calculons $ad - bc$ :

$$ad - bc = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$$

Puisque $ad - bc = -2 \neq 0$, la matrice ${\rm M}$ est inversible. Calculons son inverse ${\rm M}^{-1}$ :

$${\rm M}^{-1} = \dfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{-2} & \dfrac{-2}{-2} \\ \dfrac{-3}{-2} & \dfrac{1}{-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Conclusion : La matrice ${\rm M}$ est inversible et son inverse est ${\rm M}^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$.

Vérification : Calculons ${\rm M} \times {\rm M}^{-1}$ pour vérifier si nous obtenons la matrice identité ${\rm I}_2$.

$${\rm M} \times {\rm M}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \dfrac{3}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times -2) + (2 \times \dfrac{3}{2}) & (1 \times 1) + (2 \times -\dfrac{1}{2}) \\ (3 \times -2) + (4 \times \dfrac{3}{2}) & (3 \times 1) + (4 \times -\dfrac{1}{2}) \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = {\rm I}_2$$

Le calcul confirme que ${\rm M}^{-1}$ est correct.

Correction :

Pour démontrer que si ${\rm A}$ est inversible, alors ${\rm A}^t$ est inversible et que $({\rm A}^t)^{-1} = ({\rm A}^{-1})^t$, nous devons montrer que le produit de ${\rm A}^t$ et $({\rm A}^{-1})^t$ dans les deux sens donne la matrice identité ${\rm I}$.

Considérons le produit ${\rm A}^t \times ({\rm A}^{-1})^t$. En utilisant la propriété de la transposée du produit de matrices $(({\rm XY})^t = {\rm Y}^t {\rm X}^t)$, nous avons :

$${\rm A}^t \times ({\rm A}^{-1})^t = ({\rm A}^{-1} {\rm A})^t$$

Puisque ${\rm A}$ est inversible, par définition, ${\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}$. Donc :

$$ ({\rm A}^{-1} {\rm A})^t = {\rm I}^t $$

La transposée de la matrice identité ${\rm I}$ est la matrice identité elle-même, ${\rm I}^t = {\rm I}$. Donc :

$$ {\rm I}^t = {\rm I} $$

Ainsi, ${\rm A}^t \times ({\rm A}^{-1})^t = {\rm I}$.

Maintenant, considérons le produit dans l'autre sens : $({\rm A}^{-1})^t \times {\rm A}^t$. De même, en utilisant la propriété de la transposée du produit de matrices :

$$({\rm A}^{-1})^t \times {\rm A}^t = ({\rm A} {\rm A}^{-1})^t$$

Puisque ${\rm A}$ est inversible, ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$. Donc :

$$ ({\rm A} {\rm A}^{-1})^t = {\rm I}^t $$

Et ${\rm I}^t = {\rm I}$. Donc :

$$ {\rm I}^t = {\rm I} $$

Ainsi, $({\rm A}^{-1})^t \times {\rm A}^t = {\rm I}$.

Puisque ${\rm A}^t \times ({\rm A}^{-1})^t = {\rm I}$ et $({\rm A}^{-1})^t \times {\rm A}^t = {\rm I}$, nous avons montré que ${\rm A}^t$ est inversible et que son inverse est $({\rm A}^{-1})^t$.

Conclusion : Si ${\rm A}$ est inversible, alors ${\rm A}^t$ est inversible et $({\rm A}^t)^{-1} = ({\rm A}^{-1})^t$.

Correction :

Nous cherchons l'inverse de la matrice ${\rm ABA}^{-1}$. Soit ${\rm X} = {\rm ABA}^{-1}$. Nous voulons trouver une matrice ${\rm Y}$ telle que ${\rm XY} = {\rm YX} = {\rm I}$.

Utilisons la propriété de l'inverse d'un produit : $({\rm UV})^{-1} = {\rm V}^{-1} {\rm U}^{-1}$. Nous allons essayer de construire l'inverse de ${\rm ABA}^{-1}$ à partir des inverses de ${\rm A}$, ${\rm B}$ et ${\rm A}^{-1}$.

Considérons la matrice ${\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}$. Calculons le produit de ${\rm ABA}^{-1}$ avec ${\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}$ :

$$({\rm ABA}^{-1}) \times ({\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}) = {\rm AB} ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}$$

Puisque ${\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}$, nous avons :

$${\rm AB} ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1} = {\rm AB} {\rm I} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1} = {\rm AB} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}$$

Puisque ${\rm B} {\rm B}^{-1} = {\rm I}$, nous avons :

$${\rm AB} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1} = {\rm A} ({\rm B} {\rm B}^{-1}) {\rm A}^{-1} = {\rm A} {\rm I} {\rm A}^{-1} = {\rm A} {\rm A}^{-1}$$

Puisque ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$, nous avons :

$${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$$

Donc, $({\rm ABA}^{-1}) \times ({\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}) = {\rm I}$.

Il faut aussi vérifier le produit dans l'autre sens : $({\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}) \times ({\rm ABA}^{-1})$ :

$$({\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}) \times ({\rm ABA}^{-1}) = {\rm A} {\rm B}^{-1} ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm BA}^{-1}$$

Puisque ${\rm A}^{-1} {\rm A} = {\rm I}$, nous avons :

$${\rm A} {\rm B}^{-1} ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm BA}^{-1} = {\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm I} {\rm BA}^{-1} = {\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm BA}^{-1}$$

Puisque ${\rm B}^{-1} {\rm B} = {\rm I}$, nous avons :

$${\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm BA}^{-1} = {\rm A} ({\rm B}^{-1} {\rm B}) {\rm A}^{-1} = {\rm A} {\rm I} {\rm A}^{-1} = {\rm A} {\rm A}^{-1}$$

Puisque ${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$, nous avons :

$${\rm A} {\rm A}^{-1} = {\rm I}$$

Donc, $({\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}) \times ({\rm ABA}^{-1}) = {\rm I}$.

Ainsi, l'inverse de ${\rm ABA}^{-1}$ est ${\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}$.

Conclusion : L'inverse de la matrice ${\rm ABA}^{-1}$ est $({\rm ABA}^{-1})^{-1} = {\rm A} {\rm B}^{-1} {\rm A}^{-1}$.

Correction :

Pour déterminer si la matrice ${\rm A} = \begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m \end{pmatrix}$ est inversible, nous devons calculer le déterminant de ${\rm A}$ (ou $ad-bc$ pour une matrice 2x2) et voir pour quelles valeurs de $m$ il est non nul.

Le déterminant de ${\rm A}$ est :

$${\rm det}({\rm A}) = (m \times m) - (2 \times 3) = m^2 - 6$$

La matrice ${\rm A}$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, c'est-à-dire ${\rm det}({\rm A}) \neq 0$. Donc, nous cherchons les valeurs de $m$ pour lesquelles $m^2 - 6 \neq 0$.

Résolvons l'équation $m^2 - 6 = 0$ :

$$m^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow m^2 = 6 \Leftrightarrow m = \sqrt{6} \text{ ou } m = -\sqrt{6}$$

Donc, la matrice ${\rm A}$ n'est pas inversible si $m = \sqrt{6}$ ou $m = -\sqrt{6}$. Pour toutes les autres valeurs de $m \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\}$, la matrice ${\rm A}$ est inversible.

Conclusion : La matrice ${\rm A}$ n'est pas inversible pour tout réel $m$. Elle n'est pas inversible si $m = \sqrt{6}$ ou $m = -\sqrt{6}$. Pour toutes autres valeurs de $m$, elle est inversible.

Correction :

Nous allons résoudre le système linéaire $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$ en utilisant l'inverse de la matrice des coefficients.

Écrivons le système sous forme matricielle ${\rm AX} = {\rm B}$, où ${\rm A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, ${\rm X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, et ${\rm B} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$.

Calculons l'inverse de la matrice ${\rm A}$. Pour ${\rm A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$, $d = 2$. Le déterminant est $ad - bc = (2 \times 2) - (1 \times 3) = 4 - 3 = 1$. Puisque le déterminant est non nul (égal à 1), la matrice ${\rm A}$ est inversible et son inverse est :

$${\rm A}^{-1} = \dfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$

La solution du système ${\rm AX} = {\rm B}$ est donnée par ${\rm X} = {\rm A}^{-1} {\rm B}$. Calculons ${\rm A}^{-1} {\rm B}$ :

$${\rm X} = {\rm A}^{-1} {\rm B} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times 5) + (-1 \times 8) \\ (-3 \times 5) + (2 \times 8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 8 \\ -15 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Donc ${\rm X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Ainsi, $x = 2$ et $y = 1$.

Conclusion : La solution du système linéaire est $(x, y) = (2, 1)$.

Vérification : Substituons $x=2$ et $y=1$ dans le système initial :

$2x + y = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$ (première équation vérifiée)

$3x + 2y = 3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8$ (deuxième équation vérifiée)

Correction :

Nous avons l'équation matricielle ${\rm A}^3 - 2{\rm A}^2 + {\rm A} - {\rm I} = 0$. Nous voulons montrer que ${\rm A}$ est inversible et exprimer ${\rm A}^{-1}$ en fonction de ${\rm A}^2$, ${\rm A}$ et ${\rm I}$.

Pour montrer que ${\rm A}$ est inversible, nous devons pouvoir écrire ${\rm A} \times (\text{quelque chose}) = {\rm I}$ ou $(\text{quelque chose}) \times {\rm A} = {\rm I}$. Partons de l'équation donnée et essayons d'isoler ${\rm I}$ et de factoriser ${\rm A}$.

$${\rm A}^3 - 2{\rm A}^2 + {\rm A} - {\rm I} = 0$$

Ajoutons ${\rm I}$ de chaque côté :

$${\rm A}^3 - 2{\rm A}^2 + {\rm A} = {\rm I}$$

Factorisons ${\rm A}$ à gauche dans le membre de gauche :

$${\rm A}({\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}) = {\rm I}$$

Nous avons obtenu une matrice, ${\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}$, qui multipliée par ${\rm A}$ à gauche donne la matrice identité ${\rm I}$. Cela signifie que ${\rm A}$ est inversible et que son inverse est ${\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}$.

Nous pouvons vérifier en multipliant à droite : $({\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}){\rm A} = {\rm A}^3 - 2{\rm A}^2 + {\rm A}$. D'après l'équation de départ ${\rm A}^3 - 2{\rm A}^2 + {\rm A} - {\rm I} = 0$, on a bien ${\rm A}^3 - 2{\rm A}^2 + {\rm A} = {\rm I}$.

Donc, ${\rm A}({\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}) = {\rm I}$ et $({\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}){\rm A} = {\rm I}$.

Conclusion : La matrice ${\rm A}$ est inversible et son inverse est ${\rm A}^{-1} = {\rm A}^2 - 2{\rm A} + {\rm I}$.

Correction :

Méthode 1 : Utilisation de la matrice augmentée

Pour calculer l'inverse de la matrice ${\rm P} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, nous utilisons la méthode de la matrice augmentée, comme expliqué précédemment.

Matrice augmentée de départ : $\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

L$_1 \leftarrow$ L$_1 - 2$L$_2$ : $\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

L$_1 \leftarrow$ L$_1 + 5$L$_3$ : $\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

L$_2 \leftarrow$ L$_2 - 4$L$_3$ : $\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

La matrice à gauche est maintenant la matrice identité ${\rm I}_3$. La matrice à droite est donc l'inverse ${\rm P}^{-1}$.

${\rm P}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Méthode 2 : Résolution d'un système d'équations

Soit ${\rm P}^{-1} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$. On cherche à résoudre ${\rm P} \times {\rm P}^{-1} = {\rm I}_3$.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

En effectuant le produit matriciel, on obtient le système d'équations suivant :

$$\begin{cases} a + 2d + 3g = 1 \\ b + 2e + 3h = 0 \\ c + 2f + 3i = 0 \\ d + 4g = 0 \\ e + 4h = 1 \\ f + 4i = 0 \\ g = 0 \\ h = 0 \\ i = 1 \end{cases}$$

En résolvant ce système, en commençant par les dernières équations, on trouve : $g = 0$, $h = 0$, $i = 1$. Puis, en remontant :

$d + 4g = 0 \Rightarrow d = 0$

$e + 4h = 1 \Rightarrow e = 1$

$f + 4i = 0 \Rightarrow f = -4$

$a + 2d + 3g = 1 \Rightarrow a = 1$

$b + 2e + 3h = 0 \Rightarrow b = -2$

$c + 2f + 3i = 0 \Rightarrow c = 5$

Donc, ${\rm P}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Conclusion : L'inverse de la matrice ${\rm P}$ est ${\rm P}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Vérification : Calculons ${\rm P} \times {\rm P}^{-1}$ :

$${\rm P} \times {\rm P}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = {\rm I}_3$$

Correction :

Si $\lambda$ est une valeur propre de ${\rm A}$, alors par définition, il existe un vecteur non nul ${\rm v}$ tel que ${\rm A} {\rm v} = \lambda {\rm v}$. Nous voulons montrer que $\frac{1}{\lambda}$ est une valeur propre de ${\rm A}^{-1}$.

Nous partons de ${\rm A} {\rm v} = \lambda {\rm v}$. Puisque ${\rm A}$ est inversible, ${\rm A}^{-1}$ existe. Multiplions à gauche l'équation ${\rm A} {\rm v} = \lambda {\rm v}$ par ${\rm A}^{-1}$ :

$${\rm A}^{-1} ({\rm A} {\rm v}) = {\rm A}^{-1} (\lambda {\rm v})$$ $$ ({\rm A}^{-1} {\rm A}) {\rm v} = \lambda ({\rm A}^{-1} {\rm v}) $$ $$ {\rm I} {\rm v} = \lambda ({\rm A}^{-1} {\rm v}) $$ $$ {\rm v} = \lambda ({\rm A}^{-1} {\rm v}) $$

Puisque $\lambda$ est une valeur propre non nulle, $\lambda \neq 0$, donc nous pouvons diviser par $\lambda$ :

$$\dfrac{1}{\lambda} {\rm v} = {\rm A}^{-1} {\rm v}$$ $${\rm A}^{-1} {\rm v} = \dfrac{1}{\lambda} {\rm v}$$

Cette équation ${\rm A}^{-1} {\rm v} = \dfrac{1}{\lambda} {\rm v}$ montre que le vecteur non nul ${\rm v}$ est aussi un vecteur propre de ${\rm A}^{-1}$ associé à la valeur propre $\frac{1}{\lambda}$.

Conclusion : Si $\lambda$ est une valeur propre non nulle de ${\rm A}$, alors $\frac{1}{\lambda}$ est une valeur propre de ${\rm A}^{-1}$.

Correction :

On cherche une matrice ${\rm B}$ telle que ${\rm A} = {\rm B}^{-1}$, avec ${\rm A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Si ${\rm A} = {\rm B}^{-1}$, alors en prenant l'inverse des deux côtés, nous avons $({\rm A})^{-1} = ({\rm B}^{-1})^{-1}$.

Or, nous savons que $({\rm B}^{-1})^{-1} = {\rm B}$. Donc, $({\rm A})^{-1} = {\rm B}$.

Pour trouver ${\rm B}$, nous devons donc calculer l'inverse de la matrice ${\rm A}$. Pour ${\rm A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$, $d = 2$. Le déterminant est $ad - bc = (2 \times 2) - (-1 \times -1) = 4 - 1 = 3$. Puisque le déterminant est non nul (égal à 3), la matrice ${\rm A}$ est inversible et son inverse est :

$${\rm A}^{-1} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -(-1) \\ -(-1) & 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$$

Puisque ${\rm B} = {\rm A}^{-1}$, nous avons donc trouvé la matrice ${\rm B}$.

Conclusion : La matrice ${\rm B}$ telle que ${\rm A} = {\rm B}^{-1}$ est ${\rm B} = {\rm A}^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$.

Vérification : Calculons ${\rm B}^{-1}$ pour voir si nous obtenons ${\rm A}$. Pour ${\rm B} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$, $a = \dfrac{2}{3}$, $b = \dfrac{1}{3}$, $c = \dfrac{1}{3}$, $d = \dfrac{2}{3}$. Le déterminant est $ad - bc = (\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}) - (\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}) = \dfrac{4}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$. L'inverse de ${\rm B}$ est :

$${\rm B}^{-1} = \dfrac{1}{\frac{1}{3}} \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = {\rm A}$$

La vérification confirme que ${\rm B}$ est correcte.