Nombres Complexes

Correction :

1. $z_1 = (3 + 2i)(4 - i) = 12 - 3i + 8i - 2i^2 = 12 + 5i + 2 = 14 + 5i$.

2. $z_2 = \frac{2 + i}{3 - 2i} = \frac{(2 + i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} = \frac{6 + 4i + 3i + 2i^2}{9 - 4i^2} = \frac{6 + 7i - 2}{9 + 4} = \frac{4 + 7i}{13} = \frac{4}{13} + \frac{7}{13}i$.

3. $z_3 = (2 + i)^3 = (2 + i)^2(2 + i) = (4 + 4i + i^2)(2 + i) = (3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i$.

4. $z_4 = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i}{1 - i^2} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Correction :

1. $|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{3}$.

2. $|z_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\cos(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = -\frac{3\pi}{4}$.

3. $|z_3| = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$. $\cos(\theta) = \frac{0}{5} = 0$ et $\sin(\theta) = \frac{5}{5} = 1$. Donc $\theta = \frac{\pi}{2}$.

4. $|z_4| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$. $\cos(\theta) = \frac{-3}{3} = -1$ et $\sin(\theta) = \frac{0}{3} = 0$. Donc $\theta = \pi$.

Correction :

1. $|z_1| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\cos(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = -\frac{\pi}{4}$. $z_1 = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

2. $|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. $\cos(\theta) = \frac{-1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta = \frac{2\pi}{3}$. $z_2 = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}))$.

3. $|z_3| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$. $\cos(\theta) = \frac{0}{4} = 0$ et $\sin(\theta) = \frac{-4}{4} = -1$. Donc $\theta = -\frac{\pi}{2}$. $z_3 = 4(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

4. $|z_4| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$. $\cos(\theta) = \frac{2}{2} = 1$ et $\sin(\theta) = \frac{0}{2} = 0$. Donc $\theta = 0$. $z_4 = 2(\cos(0) + i\sin(0))$.

Correction :

1. $|z_1| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. $\cos(\theta) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{4}$. $z_1 = 3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

2. $|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. $\cos(\theta) = \frac{-1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta = -\frac{2\pi}{3}$. $z_2 = 2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

3. $|z_3| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$. $\cos(\theta) = \frac{-2}{2} = -1$ et $\sin(\theta) = \frac{0}{2} = 0$. Donc $\theta = \pi$. $z_3 = 2e^{i\pi}$.

4. $|z_4| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. $\cos(\theta) = \frac{0}{1} = 0$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{1} = 1$. Donc $\theta = \frac{\pi}{2}$. $z_4 = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Correction :

1. Le conjugué de $z = a + bi$ est $\bar{z} = a - bi$.

2. Soient $z_1 = a + bi$ et $z_2 = c + di$. Alors $z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$. Donc $\overline{z_1 + z_2} = (a + c) - (b + d)i = (a - bi) + (c - di) = \bar{z_1} + \bar{z_2}$.

3. $z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$. Donc $\overline{z_1 z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i$. D'autre part, $\bar{z_1} \bar{z_2} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = (ac - bd) - (ad + bc)i$. Donc $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}$.

4. Si $z$ est réel, alors $b = 0$, donc $z = a$ et $\bar{z} = a$. Donc $z = \bar{z}$.

Correction :

1. Soient $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$. Alors $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$. Donc $|z_1 z_2| = r_1 r_2 = |z_1| |z_2|$.

2. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$. Donc $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{r_1}{r_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.

3. $|(3 + 4i)(1 - i)| = |3 + 4i| |1 - i| = \sqrt{3^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{25} \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

4. $|\frac{2 + i}{1 - 2i}| = \frac{|2 + i|}{|1 - 2i|} = \frac{\sqrt{2^2 + 1^2}}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$.

Correction :

1. Soient $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$. Alors $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$. Donc $\arg(z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2 = \arg(z_1) + \arg(z_2)$.

2. $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$. Donc $\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \theta_1 - \theta_2 = \arg(z_1) - \arg(z_2)$.

3. $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$.

4. $\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi - \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Correction :

1. $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{i\frac{\pi}{6}} + e^{-i\frac{\pi}{6}}}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{i\frac{\pi}{6}} - e^{-i\frac{\pi}{6}}}{2i}$.

2. $e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} = e^{i(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4})} = e^{i\frac{7\pi}{12}}$. Or, $e^{i\frac{7\pi}{12}} = \cos(\frac{7\pi}{12}) + i\sin(\frac{7\pi}{12})$. D'autre part, $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$. Par identification, $\cos(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ et $\sin(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

3. $\frac{e^{i\frac{\pi}{2}}}{e^{i\frac{\pi}{3}}} = e^{i(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3})} = e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})$. Donc $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

4. On a $e^{i(x+\pi)} = \cos(x+\pi) + i\sin(x+\pi)$. Or $e^{i(x+\pi)} = e^{ix}e^{i\pi} = e^{ix} \cdot (-1) = -e^{ix}$. $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$, donc $-e^{ix} = -\cos(x) - i\sin(x)$. Par identification, $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$ et $\sin(x+\pi) = -\sin(x)$.

Correction :

1. $(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))^4 = \cos(\pi) + i\sin(\pi)$ d'après la formule de Moivre.

2. On a $(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))^4 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})^4$.

En développant, on obtient : $(\frac{\sqrt{2}}{2})^4 (1 + i)^4 = \frac{4}{16} (1 + 4i - 6 - 4i + 1) = \frac{1}{4} (-4) = -1$.

Donc $\cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$. Par identification, $\cos(\pi) = -1$ et $\sin(\pi) = 0$.

3. $1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$, donc $(1 + i)^6 = (\sqrt{2})^6 e^{i\frac{6\pi}{4}} = 8e^{i\frac{3\pi}{2}} = 8(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 8(0 - i) = -8i$.

4. D'après la question précédente, $(1 + i)^6 = -8i$.

En développant directement, $(1 + i)^6 = ((1 + i)^2)^3 = (1 + 2i - 1)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$. On retrouve bien le même résultat.

Correction :

1. $\sin^3(x) = (\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i})^3 = \frac{1}{-8i}(e^{3ix} - 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} - e^{-3ix}) $

$= \frac{1}{-8i}(e^{3ix} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-3ix}) = \frac{1}{4}\frac{e^{3ix} - e^{-3ix}}{2i} - \frac{3}{4}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = -\frac{1}{4}\sin(3x) + \frac{3}{4}\sin(x)$.

2. $\cos^4(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^4 = \frac{1}{16}(e^{4ix} + 4e^{3ix}e^{-ix} + 6e^{2ix}e^{-2ix} + 4e^{ix}e^{-3ix} + e^{-4ix}) $

$= \frac{1}{16}(e^{4ix} + 4e^{2ix} + 6 + 4e^{-2ix} + e^{-4ix}) = \frac{1}{8}\frac{e^{4ix} + e^{-4ix}}{2} + \frac{4}{8}\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{2} + \frac{6}{16} = \frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{8}$.

3. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{8}\cos(4x) + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{8}) dx$

$ = [\frac{1}{32}\sin(4x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{3}{8}x]_0^{\frac{\pi}{2}} = (0 + 0 + \frac{3\pi}{16}) - (0 + 0 + 0) = \frac{3\pi}{16}$.

Correction :

1. Soit $z = a + bi$ une racine carrée de $3 + 4i$. Alors $z^2 = a^2 + 2abi - b^2 = 3 + 4i$.

Par identification, on a $a^2 - b^2 = 3$ et $2ab = 4$.

De plus, $|z^2| = |3 + 4i|$, donc $a^2 + b^2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

On a donc le système :

$\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ a^2 + b^2 = 5 \\ 2ab = 4 \end{cases}$

En additionnant les deux premières équations, on obtient $2a^2 = 8$, donc $a^2 = 4$, d'où $a = 2$ ou $a = -2$.

Si $a = 2$, alors $2(2)b = 4$, donc $b = 1$.

Si $a = -2$, alors $2(-2)b = 4$, donc $b = -1$.

Les racines carrées de $3 + 4i$ sont donc $2 + i$ et $-2 - i$.

2. $-1 = e^{i\pi}$. Les racines carrées de $-1$ sont donc $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ et $e^{i\frac{\pi + 2\pi}{2}} = e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i$.

3. $2e^{i\frac{\pi}{3}} = (\sqrt{2})^2 e^{i\frac{\pi}{3}}$. Les racines carrées sont donc $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{6} + \pi)} = \sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{6}}$.

Correction :

1. On a $|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

$z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (-1 + 2i) = 2 + 6i$.

Donc $|z_1 + z_2| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

2. On a $|z_1 + z_2| = 2\sqrt{10} \approx 6.32$ et $|z_1| + |z_2| = 5 + \sqrt{5} \approx 7.24$.

On a bien $2\sqrt{10} \leq 5 + \sqrt{5}$, donc $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

3. D'après l'inégalité triangulaire, on a $|z| = |(z - 1) + 1| \leq |z - 1| + |1| = |z - 1| + 1$.

Donc $|z| - 1 \leq |z - 1|$.

Correction :

1. Soit $z = a + bi$. Alors $\bar{z} = a - bi$.

L'équation devient $2(a + bi) + (a - bi) = 3 + 2i$, soit $3a + bi = 3 + 2i$.

Par identification, on a :

$\begin{cases} 3a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$

Donc $a = 1$ et $b = 2$. La solution est $z = 1 + 2i$.

2. On pose $z = re^{i\theta}$. Alors $z^2 = r^2e^{2i\theta}$ et $\bar{z} = re^{-i\theta}$.

L'équation $z^2 = \bar{z}$ équivaut à $r^2e^{2i\theta} = re^{-i\theta}$.

En prenant le module, on obtient $r^2 = r$, donc $r = 0$ ou $r = 1$.

Si $r = 0$, alors $z = 0$.

Si $r = 1$, alors $e^{2i\theta} = e^{-i\theta}$, donc $2\theta = -\theta + 2k\pi$, soit $3\theta = 2k\pi$, d'où $\theta = \frac{2k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Les solutions sont donc $z = 0$, $z = e^{i0} = 1$, $z = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Correction :

1. On calcule les longueurs des côtés :

$AB = |z_B - z_A| = |i - 1| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$BC = |z_C - z_B| = |-1 - i| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$CD = |z_D - z_C| = |-i - (-1)| = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

$DA = |z_A - z_D| = |1 - (-i)| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Les quatre côtés sont égaux. On calcule les longueurs des diagonales :

$AC = |z_C - z_A| = |-1 - 1| = |-2| = 2$.

$BD = |z_D - z_B| = |-i - i| = |-2i| = 2$.

Les diagonales sont égales. Donc ABCD est un carré.

2. L'aire du carré ABCD est $AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

3. On a $AE = AB = \sqrt{2}$ et $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}) = \frac{\pi}{3}$.

Donc $z_E - z_A = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{3}} (z_B - z_A) = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{3}} (i - 1)$.

$z_E = 1 + \sqrt{2}(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(i - 1) = 1 + \sqrt{2}(\frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} + i(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2})$.

Correction :

1. On cherche $z$ sous la forme $re^{i\theta}$. On a $z^2 = r^2e^{2i\theta}$.

$-2i = 2e^{-i\frac{\pi}{2}}$. Donc $r^2 = 2$ et $2\theta = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

On a $r = \sqrt{2}$ et $\theta = -\frac{\pi}{4} + k\pi$.

Pour $k = 0$, $\theta = -\frac{\pi}{4}$, donc $z_1 = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - i$.

Pour $k = 1$, $\theta = \frac{3\pi}{4}$, donc $z_2 = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 + i$.

Les solutions sont $1 - i$ et $-1 + i$.

2. On cherche $z$ sous la forme $re^{i\theta}$. On a $z^3 = r^3e^{3i\theta}$.

$1 = e^{i(0 + 2k\pi)}$, $k \in \mathbb{Z}$. Donc $r^3 = 1$ et $3\theta = 2k\pi$.

On a $r = 1$ et $\theta = \frac{2k\pi}{3}$.

Pour $k = 0$, $z_1 = e^{i0} = 1$.

Pour $k = 1$, $z_2 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour $k = 2$, $z_3 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Les solutions sont $1$, $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. On cherche $z$ sous la forme $re^{i\theta}$. On a $z^4 = r^4e^{4i\theta}$.

$-4 = 4e^{i\pi}$. Donc $r^4 = 4$ et $4\theta = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

On a $r = \sqrt{2}$ et $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

Pour $k = 0$, $z_1 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 + i$.

Pour $k = 1$, $z_2 = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 + i$.

Pour $k = 2$, $z_3 = \sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}} = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - i$.

Pour $k = 3$, $z_4 = \sqrt{2}e^{i\frac{7\pi}{4}} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - i$.

Les solutions sont $1 + i$, $-1 + i$, $-1 - i$ et $1 - i$.

Correction :

1. On a $\sqrt{3} + i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Donc $(\sqrt{3} + i)^3 = (2e^{i\frac{\pi}{6}})^3 = 2^3 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$.

2. $(\sqrt{3} + i)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2 i + 3\sqrt{3}i^2 + i^3 = 3\sqrt{3} + 9i - 3\sqrt{3} - i = 8i$.

3. D'après 1., $(\sqrt{3} + i)^3 = 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

D'après 2., $(\sqrt{3} + i)^3 = 8i$.

Par identification, $8\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ et $8\sin(\frac{\pi}{2}) = 8$.

Donc $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ et $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Correction :

1. On a $\cos(\frac{\pi}{5}) = \text{Re}(e^{i\frac{\pi}{5}}) = \text{Re}(z)$.

De même, $\cos(\frac{2\pi}{5}) = \text{Re}(e^{i\frac{2\pi}{5}}) = \text{Re}(z^2)$, $\cos(\frac{3\pi}{5}) = \text{Re}(e^{i\frac{3\pi}{5}}) = \text{Re}(z^3)$ et $\cos(\frac{4\pi}{5}) = \text{Re}(e^{i\frac{4\pi}{5}}) = \text{Re}(z^4)$.

Donc $S = \text{Re}(z) + \text{Re}(z^2) + \text{Re}(z^3) + \text{Re}(z^4) = \text{Re}(z + z^2 + z^3 + z^4)$.

2. On reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique de raison $z$ et de premier terme $z$ :

$z + z^2 + z^3 + z^4 = z(1 + z + z^2 + z^3) = z\frac{1 - z^4}{1 - z}$.

De même, $z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} + z^{-4} = z^{-1}(1 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3}) = z^{-1}\frac{1 - z^{-4}}{1 - z^{-1}}$.

Donc $S = \text{Re}(\frac{z(1 - z^4)}{1 - z}) = \frac{z(1 - z^4)}{2(1 - z)} + \frac{\bar{z}(1 - \bar{z}^4)}{2(1 - \bar{z})} = \frac{z(1 - z^4)}{2(1 - z)} + \frac{z^{-1}(1 - z^{-4})}{2(1 - z^{-1})}$.

3. On a $z^5 = e^{i\pi} = -1$.

$S = \text{Re}(\frac{z - z^5}{1 - z}) = \text{Re}(\frac{z + 1}{1 - z})$.

Or, $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = \frac{1 - z^5}{1 - z} = \frac{1 - (-1)}{1 - z} = \frac{2}{1 - z}$.

Donc $\frac{z + 1}{1 - z} = \frac{2}{1 - z} - 1 - z^2 - z^3 - z^4$.

$S = \text{Re}(\frac{z + 1}{1 - z}) = \text{Re}(\frac{z(1 - z^4)}{1 - z}) = \text{Re}(z + z^2 + z^3 + z^4) = \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{2\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) + \cos(\frac{4\pi}{5})$

$z + z^2 + z^3 + z^4 = z \cdot \frac{1 - z^4}{1 - z} = \frac{z - z^5}{1 - z} = \frac{z + 1}{1 - z}$.

Donc $S = \text{Re}(\frac{z + 1}{1 - z}) = \text{Re}(\frac{2}{1 - z} - 1 - z^2 - z^3 - z^4)$.

On a $\frac{z+1}{1-z} = \frac{(z+1)(1-\bar{z})}{(1-z)(1-\bar{z})} = \frac{z - z\bar{z} + 1 - \bar{z}}{1 - z - \bar{z} + z\bar{z}} = \frac{z - \bar{z}}{2 - (z + \bar{z})} = \frac{2i\sin(\frac{\pi}{5})}{2 - 2\cos(\frac{\pi}{5})} = i\frac{\sin(\frac{\pi}{5})}{1 - \cos(\frac{\pi}{5})}$.

Donc $S = \text{Re}(i\frac{\sin(\frac{\pi}{5})}{1 - \cos(\frac{\pi}{5})}) = 0$.

Correction :

1. $\frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i\theta}} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}$.

Donc $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{r}$ et $\arg(\frac{1}{z}) = -\theta$.

2. $\bar{z} = re^{-i\theta}$.

Donc $|\bar{z}| = r$ et $\arg(\bar{z}) = -\theta$.

3. $-z = -re^{i\theta} = e^{i\pi}re^{i\theta} = re^{i(\theta + \pi)}$.

Donc $|-z| = r$ et $\arg(-z) = \theta + \pi$.

Correction :

1. $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = 2 \cdot 3 = 6$.

$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

2. $z_1 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.

$z_2 = 3(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})) = 3(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}$.

$z_1 z_2 = (1 + i\sqrt{3})(-\frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2} - i\frac{9}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3} - 3i$.

3. D'après 1., $z_1 z_2 = 6e^{i\frac{7\pi}{6}} = 6(\cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}))$.

D'après 2., $z_1 z_2 = -3\sqrt{3} - 3i$.

Par identification, $6\cos(\frac{7\pi}{6}) = -3\sqrt{3}$ et $6\sin(\frac{7\pi}{6}) = -3$.

Donc $\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Correction :

1. $(\cos(x) + i\sin(x))^4 = \cos^4(x) + 4\cos^3(x)(i\sin(x)) + 6\cos^2(x)(i\sin(x))^2 + 4\cos(x)(i\sin(x))^3 + (i\sin(x))^4$

$= \cos^4(x) + 4i\cos^3(x)\sin(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) - 4i\cos(x)\sin^3(x) + \sin^4(x)$.

2. D'après la formule de Moivre, $(\cos(x) + i\sin(x))^4 = \cos(4x) + i\sin(4x)$.

En identifiant les parties réelles dans les expressions de 1. et 2., on obtient :

$\cos(4x) = \cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x)$.

3. On a $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$. Donc

$\cos(4x) = \cos^4(x) - 6\cos^2(x)(1 - \cos^2(x)) + (1 - \cos^2(x))^2$

$= \cos^4(x) - 6\cos^2(x) + 6\cos^4(x) + 1 - 2\cos^2(x) + \cos^4(x)$

$= 8\cos^4(x) - 8\cos^2(x) + 1$.

Correction :

1. $\cos^2(x)\sin^2(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^2 (\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i})^2 $

$= \frac{(e^{2ix} + 2 + e^{-2ix})(-1)(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix})}{-16}$

$= \frac{-(e^{4ix} - 2e^{2ix} + 1 + 2e^{2ix} - 4 + 2e^{-2ix} + 1 - 2e^{-2ix} + e^{-4ix})}{-16} = \frac{-(e^{4ix} - 2 + e^{-4ix})}{-16} = \frac{1}{8}\frac{e^{4ix} + e^{-4ix}}{2} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}\cos(4x) - \frac{1}{8}$

Donc $\cos^2(x)\sin^2(x) = \frac{1}{4} ( \frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2} - \frac{e^{i2x} - 2 + e^{-i2x}}{-4}) = \frac{1}{8}(1-\cos(4x))$

2. $\int_0^{\pi} \cos^2(x)\sin^2(x) dx = \int_0^{\pi} \frac{1}{8}(1 - \cos(4x)) dx = \frac{1}{8} [x - \frac{1}{4}\sin(4x)]_0^{\pi} = \frac{1}{8}(\pi - 0) - \frac{1}{8}(0 - 0) = \frac{\pi}{8}$.

Correction :

1. $(\cos(x) + i\sin(x))^5$

$= \cos^5(x) + 5\cos^4(x)(i\sin(x)) + 10\cos^3(x)(i\sin(x))^2 + 10\cos^2(x)(i\sin(x))^3 + 5\cos(x)(i\sin(x))^4 + (i\sin(x))^5$

$= \cos^5(x) + 5i\cos^4(x)\sin(x) - 10\cos^3(x)\sin^2(x) - 10i\cos^2(x)\sin^3(x) + 5\cos(x)\sin^4(x) + i\sin^5(x)$

2. D'après la formule de Moivre, $(\cos(x) + i\sin(x))^5 = \cos(5x) + i\sin(5x)$. En identifiant les parties imaginaires dans les expressions de 1. et 2., on obtient : $\sin(5x) = 5\cos^4(x)\sin(x) - 10\cos^2(x)\sin^3(x) + \sin^5(x)$.

Correction :

1. $\sin^4(x) = (\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i})^4 = \frac{1}{16}(e^{4ix} - 4e^{3ix}e^{-ix} + 6e^{2ix}e^{-2ix} - 4e^{ix}e^{-3ix} + e^{-4ix})$

$= \frac{1}{16}(e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}) = \frac{1}{8}\frac{e^{4ix} + e^{-4ix}}{2} - \frac{4}{8}\frac{e^{2ix} + e^{-2ix}}{2} + \frac{6}{16} = \frac{1}{8}\cos(4x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{8}$.

2. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{8}\cos(4x) - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{3}{8}) dx = [\frac{1}{32}\sin(4x) - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{3}{8}x]_0^{\frac{\pi}{2}} $

$= (0 - 0 + \frac{3\pi}{16}) - (0 - 0 + 0) = \frac{3\pi}{16}$

Correction :

1. $e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{\pi}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})} = e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Or, $e^{i\frac{5\pi}{6}} = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6})$.

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i$ et $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Donc $e^{i\frac{\pi}{2}} \cdot e^{i\frac{\pi}{3}} = i(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.

Par identification, $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

2. $\frac{e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{4}}} = e^{i(\pi - \frac{\pi}{4})} = e^{i\frac{3\pi}{4}} = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})$.

$e^{i\pi} = -1$ et $e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Donc $\frac{e^{i\pi}}{e^{i\frac{\pi}{4}}} = \frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-1(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})}{(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Par identification, $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Correction :

1. On a $\cos(k\theta) = \text{Re}(e^{ik\theta})$ d'après la formule d'Euler.

Donc $S_n = \sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta) = \sum_{k=0}^{n} \text{Re}(e^{ik\theta}) = \text{Re}(\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta})$.

2. $\sum_{k=0}^{n} e^{ik\theta} = \sum_{k=0}^{n} (e^{i\theta})^k = \frac{1 - (e^{i\theta})^{n+1}}{1 - e^{i\theta}}$ (somme des termes d'une suite géométrique de raison $e^{i\theta}$)

Donc $S_n = \text{Re}(\frac{1 - e^{i(n+1)\theta}}{1 - e^{i\theta}})$.

En utilisant la technique de l'angle moitié, on a :

$S_n = \text{Re}(\frac{e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}(e^{-i\frac{(n+1)\theta}{2}} - e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}})}{e^{i\frac{\theta}{2}}(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}})}) = \text{Re}(\frac{e^{i\frac{n\theta}{2}}(-2i\sin(\frac{(n+1)\theta}{2}))}{-2i\sin(\frac{\theta}{2})}) = \text{Re}(e^{i\frac{n\theta}{2}}\frac{\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})})$

$= \frac{\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})} \text{Re}(e^{i\frac{n\theta}{2}}) = \frac{\sin(\frac{(n+1)\theta}{2})\cos(\frac{n\theta}{2})}{\sin(\frac{\theta}{2})}$.

3. Si $\theta = \frac{2\pi}{n+1}$, alors $\frac{(n+1)\theta}{2} = \pi$, donc $\sin(\frac{(n+1)\theta}{2}) = \sin(\pi) = 0$.

Donc $S_n = 0$.

Correction :

1. On a $|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Un argument de $1 + i$ est $\theta = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$.

Donc $1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

2. On a $u_n = (1 + i)^n = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}} = 2^{\frac{n}{2}}e^{i\frac{n\pi}{4}}$.

3. $|u_n| = |2^{\frac{n}{2}}e^{i\frac{n\pi}{4}}| = 2^{\frac{n}{2}}$.

On cherche $n$ tel que $2^{\frac{n}{2}} > 100$.

On peut utiliser le logarithme : $\frac{n}{2} \ln(2) > \ln(100) \Rightarrow n > \frac{2\ln(100)}{\ln(2)} \approx 13.29$.

Le plus petit entier naturel $n$ qui vérifie cette condition est $n = 14$.

4. Script Python :

import math

# Initialisation des variables
n = 0
module_un = 0

# Recherche du plus petit entier n tel que |u_n| > 100
while module_un <= 100:
    n += 1
    z = 1 + 1j
    un = z**n
    module_un = abs(un)

# Affichage du résultat
print("Le plus petit entier n tel que |u_n| > 100 est : {}".format(n))

Correction :

1. On a $|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

Un argument de $1 + i\sqrt{3}$ est $\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$.

Donc $1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

2. On a $u_n = (1 + i\sqrt{3})^n = (2e^{i\frac{\pi}{3}})^n = 2^n e^{i\frac{n\pi}{3}}$.

3. La suite $(u_n)$ est une suite de réels si et seulement si $\text{Im}(u_n) = 0$.

$u_n = 2^n e^{i\frac{n\pi}{3}} = 2^n(\cos(\frac{n\pi}{3}) + i\sin(\frac{n\pi}{3}))$.

$\text{Im}(u_n) = 0$ si et seulement si $\sin(\frac{n\pi}{3}) = 0$.

Cela se produit lorsque $\frac{n\pi}{3} = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, c'est-à-dire $n = 3k$, $k \in \mathbb{Z}$.

La suite $(u_n)$ est une suite de réels lorsque $n$ est un multiple de 3.

4. Script Python :

# Affichage des 10 premiers termes de la suite Re(u_n)
for n in range(10):
    u = (1 + (3**0.5)*1j)**n # Utilisation du type complexe de base avec 'j'
    print("Re(u_{}) = {}".format(n, u.real))

Correction :

1. On a $|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Un argument de $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ est $\theta = \arctan(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Donc $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

2. On a $u_n = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)^n = (\frac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^n = (\frac{\sqrt{2}}{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}}$.

3. $|u_n| = |(\frac{\sqrt{2}}{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}}| = (\frac{\sqrt{2}}{2})^n$.

La suite $(|u_n|)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $|u_0| = (\frac{\sqrt{2}}{2})^0 = 1$.

4. Comme $0 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, la suite $(|u_n|)$ converge vers 0.

5. Script Python :

# Initialisation des variables
n = 0
module_un = 1

# Recherche du plus petit entier n tel que |u_n| < 0.01
while module_un >= 0.01:
    n += 1
    z = 0.5 + 0.5j
    u_n = z**n
    module_un = abs(u_n)

# Affichage du résultat
print("Le plus petit entier n tel que |u_n| < 0.01 est : {}".format(n-1))

Correction :

1. On a $|z_{n+1}| = |\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}z_n| = |\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}||z_n|$.

Or, $|\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}| = \frac{|1 + i\sqrt{3}|}{|2|} = \frac{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Donc $|z_{n+1}| = |z_n|$.

2. Comme $|z_{n+1}| = |z_n|$ pour tout $n$, la suite $(|z_n|)$ est constante.

$|z_0| = |4| = 4$, donc pour tout $n$, $|z_n| = 4$.

3. On a $\arg(z_{n+1}) = \arg(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}z_n) = \arg(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}) + \arg(z_n)$.

$\frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{\pi}{3}}$, donc $\arg(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Donc $\arg(z_{n+1}) = \arg(z_n) + \frac{\pi}{3}$.

4. La suite $(\arg(z_n))$ est une suite arithmétique de raison $\frac{\pi}{3}$ et de premier terme $\arg(z_0) = \arg(4) = 0$.

5. Script Python :

import math

# Initialisation de la variable z
z = 4 + 0j  # z_0 = 4

# Affichage des arguments des 10 premiers termes
for n in range(10):
    argument = math.atan2(z.imag, z.real)
    # On utilise le modulo pour que l'argument soit toujours entre -pi et +pi.
    print("Argument de z_{} : {} (modulo 2π)".format(n, argument))
    z = ((1 + (3**0.5) * 1j) / 2) * z

Correction :

1. $|\frac{3 + i\sqrt{3}}{4}| = \frac{\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}}{4} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\arg(\frac{3 + i\sqrt{3}}{4}) = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Donc $\frac{3 + i\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}$.

2. On montre par récurrence que pour tout $n$, $z_n = (\frac{\sqrt{3}}{2})^n e^{i\frac{n\pi}{6}}$.

Initialisation : Pour $n = 0$, $z_0 = 1 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^0 e^{i\frac{0\pi}{6}}$.

Hérédité : Supposons que $z_n = (\frac{\sqrt{3}}{2})^n e^{i\frac{n\pi}{6}}$ pour un certain $n$.

Alors $z_{n+1} = \frac{3 + i\sqrt{3}}{4}z_n = \frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^n e^{i\frac{n\pi}{6}} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n+1} e^{i\frac{(n+1)\pi}{6}}$.

Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$.

3. $z_0 = 1$, $z_1 = \frac{3 + i\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}$, $z_2 = \frac{3 + i\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{9 + 3i\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} - 3}{16} = \frac{6 + 6i\sqrt{3}}{16} = \frac{3}{8} + i\frac{3\sqrt{3}}{8}$, $z_3 = \frac{3 + i\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{3}{8} + i\frac{3\sqrt{3}}{8}) = \frac{9 + 9i\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} - 9}{32} = i\frac{12\sqrt{3}}{32} = i\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

4. Pour représenter les points, on place $A_0$ en (1, 0), $A_1$ en $(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$, $A_2$ en $(\frac{3}{8}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$ et $A_3$ en $(0, \frac{3\sqrt{3}}{8})$.

5. Script Python :

# Initialisation de la variable z
z = 1 + 0j  # z_0 = 1

# Affichage des affixes des 10 premiers points
for n in range(10):
    print("z_{} = {}".format(n, z))
    z = ((3 + (3**0.5) * 1j) / 4) * z