Exercices : Equations avec les nombres complexes

Correction de l'exercice 1:

Question a) : $3iz+1=i$

Pour résoudre cette équation du premier degré en $z$, nous allons isoler $z$.

Soustraions 1 de chaque côté de l'équation :

$$3iz = i - 1$$

Maintenant, divisons par $3i$ pour isoler $z$ :

$$z = \frac{i-1}{3i}$$

Pour écrire $z$ sous forme algébrique, multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $-3i$ :

$$z = \frac{(i-1)(-3i)}{(3i)(-3i)} = \frac{-3i^2 + 3i}{-9i^2} = \frac{3 + 3i}{9} = \frac{3}{9} + \frac{3}{9}i = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$$

Solution de a) : $z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}i$

Question b) : $z-3i=iz+2$

Regroupons les termes en $z$ d'un côté et les constantes de l'autre côté de l'équation :

$$z - iz = 2 + 3i$$

Factorisons $z$ à gauche :

$$z(1 - i) = 2 + 3i$$

Divisons par $(1-i)$ pour isoler $z$ :

$$z = \frac{2 + 3i}{1 - i}$$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est $1+i$ :

$$z = \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 - i^2} = \frac{2 + 5i - 3}{1 - (-1)} = \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$

Solution de b) : $z = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$

Correction de l'exercice 2:

Question a) : $(z-2i)(2z+1-i)=0$

Pour résoudre cette équation, nous utilisons le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

Donc, soit $z-2i = 0$ soit $2z+1-i = 0$.

Si $z-2i = 0$, alors $z = 2i$.

Si $2z+1-i = 0$, alors $2z = -1+i$, et $z = \frac{-1+i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Solutions de a) : $z = 2i$ ou $z = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

Question b) : $4z^2=z$

Réécrivons l'équation sous la forme $4z^2 - z = 0$.

Factorisons $z$ : $z(4z - 1) = 0$.

Donc, soit $z = 0$ soit $4z - 1 = 0$.

Si $4z - 1 = 0$, alors $4z = 1$, et $z = \frac{1}{4}$.

Solutions de b) : $z = 0$ ou $z = \frac{1}{4}$

Question c) : $z-\frac 4z=0$

Pour résoudre cette équation, multiplions par $z$ (en supposant $z \neq 0$) pour éliminer la fraction :

$$z^2 - 4 = 0$$

$$z^2 = 4$$

Les solutions sont $z = \pm \sqrt{4} = \pm 2$.

On vérifie que $z \neq 0$, donc les solutions sont valides.

Solutions de c) : $z = 2$ ou $z = -2$

Question d) : $(2-i)z=2z+i$

Regroupons les termes en $z$ d'un côté :

$$(2-i)z - 2z = i$$

Factorisons $z$ :

$$z((2-i) - 2) = i$$

$$z(-i) = i$$

Divisons par $-i$ pour isoler $z$ :

$$z = \frac{i}{-i} = -1$$

Solution de d) : $z = -1$

Correction de l'exercice 3:

Question a) : $\frac{z-i}{z+i}=2i$

Multiplions les deux côtés par $(z+i)$, en supposant $z \neq -i$ :

$$z-i = 2i(z+i)$$

$$z-i = 2iz + 2i^2$$

$$z-i = 2iz - 2$$

Regroupons les termes en $z$ d'un côté et les constantes de l'autre :

$$z - 2iz = -2 + i$$

$$z(1 - 2i) = -2 + i$$

$$z = \frac{-2 + i}{1 - 2i}$$

Multiplions par le conjugué du dénominateur $(1+2i)$ :

$$z = \frac{(-2 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{-2 - 4i + i + 2i^2}{1 - (2i)^2} = \frac{-2 - 3i - 2}{1 - (-4)} = \frac{-4 - 3i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$$

Vérifions si $z = -i$ est exclu. $z = -\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i \neq -i$, donc la solution est valide.

Solution de a) : $z = -\frac{4}{5} - \frac{3}{5}i$

Question b) : $\frac {z+i}{2z}=1-i$

Multiplions les deux côtés par $2z$, en supposant $z \neq 0$ :

$$z+i = 2z(1-i)$$

$$z+i = 2z - 2iz$$

Regroupons les termes en $z$ :

$$i = 2z - 2iz - z$$

$$i = z(2 - 2i - 1)$$

$$i = z(1 - 2i)$$

$$z = \frac{i}{1 - 2i}$$

Multiplions par le conjugué du dénominateur $(1+2i)$ :

$$z = \frac{i(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{i + 2i^2}{1 - (2i)^2} = \frac{i - 2}{1 - (-4)} = \frac{-2 + i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$$

Vérifions si $z = 0$ est exclu. $z = -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i \neq 0$, donc la solution est valide.

Solution de b) : $z = -\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i$

Question c) : $\frac {2z+i}{iz}=\frac{2iz}{1-z}$

Multiplions en croix, en supposant $iz \neq 0$ et $1-z \neq 0$ (donc $z \neq 0$ et $z \neq 1$) :

$$(2z+i)(1-z) = (iz)(2iz)$$

$$2z - 2z^2 + i - iz = 2i^2z^2$$

$$2z - 2z^2 + i - iz = -2z^2$$

Simplifions en ajoutant $2z^2$ de chaque côté :

$$2z + i - iz = 0$$

Regroupons les termes en $z$ :

$$2z - iz = -i$$

$$z(2 - i) = -i$$

$$z = \frac{-i}{2 - i}$$

Multiplions par le conjugué du dénominateur $(2+i)$ :

$$z = \frac{-i(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-2i - i^2}{4 - i^2} = \frac{-2i + 1}{4 - (-1)} = \frac{1 - 2i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$$

Vérifions les valeurs exclues : $z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i \neq 0$ et $z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i \neq 1$. Donc la solution est valide.

Solution de c) : $z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$

Correction de l'exercice 4:

Question a) : $z^2=4z+5$

Réécrivons l'équation sous la forme $z^2 - 4z - 5 = 0$.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$.

Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles :

$$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$$

$$z_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$z_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Solutions de a) : $z = 5$ ou $z = -1$

Question b) : $z^2=4z$

Réécrivons l'équation sous la forme $z^2 - 4z = 0$.

Factorisons $z$ : $z(z - 4) = 0$.

Donc, soit $z = 0$ soit $z - 4 = 0$.

Solutions de b) : $z = 0$ ou $z = 4$

Question c) : $20z-25=4z^2$

Réécrivons l'équation sous la forme $4z^2 - 20z + 25 = 0$.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(4)(25) = 400 - 400 = 0$.

Comme $\Delta = 0$, il y a une solution réelle unique :

$$z = -\frac{b}{2a} = \frac{20}{2 \times 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$$

On peut aussi remarquer que $4z^2 - 20z + 25 = (2z - 5)^2 = 0$, donc $2z - 5 = 0$, $z = \frac{5}{2}$.

Solution de c) : $z = \frac{5}{2}$

Question d) : $4z^2+12z=-10$

Réécrivons l'équation sous la forme $4z^2 + 12z + 10 = 0$.

Divisons par 2 pour simplifier : $2z^2 + 6z + 5 = 0$.

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4(2)(5) = 36 - 40 = -4$.

Comme $\Delta < 0$, il y a deux solutions complexes conjuguées.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = \sqrt{4}i = 2i$.

$$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 \pm 2i}{2 \times 2} = \frac{-6 \pm 2i}{4} = \frac{-3 \pm i}{2}$$

$$z_1 = \frac{-3 + i}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$$

$$z_2 = \frac{-3 - i}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$$

Solutions de d) : $z = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$ ou $z = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$

Question e) : $z^2+2\cos \frac {\pi}{12} z+1=0$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = \left(2\cos \frac {\pi}{12}\right)^2 - 4(1)(1) = 4\cos^2 \frac {\pi}{12} - 4 = 4\left(\cos^2 \frac {\pi}{12} - 1\right) = -4\sin^2 \frac {\pi}{12}$.

Comme $\sin^2 \frac {\pi}{12} > 0$, $\Delta < 0$, il y a deux solutions complexes conjuguées.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4\sin^2 \frac {\pi}{12}} = \sqrt{4\sin^2 \frac {\pi}{12}} i = 2\left|\sin \frac {\pi}{12}\right| i = 2\sin \frac {\pi}{12} i$ (car $\sin \frac {\pi}{12} > 0$).

$$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2\cos \frac {\pi}{12} \pm 2\sin \frac {\pi}{12} i}{2} = -\cos \frac {\pi}{12} \pm i\sin \frac {\pi}{12}$$

$$z_1 = -\cos \frac {\pi}{12} + i\sin \frac {\pi}{12} = \cos\left(\pi - \frac {\pi}{12}\right) + i\sin\left(\pi - \frac {\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac {11\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac {11\pi}{12}\right) = e^{i\frac {11\pi}{12}}$$

$$z_2 = -\cos \frac {\pi}{12} - i\sin \frac {\pi}{12} = -\left(\cos \frac {\pi}{12} + i\sin \frac {\pi}{12}\right) = \cos\left(\pi + \frac {\pi}{12}\right) + i\sin\left(\pi + \frac {\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac {13\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac {13\pi}{12}\right) = e^{i\frac {13\pi}{12}}$$

Ou plus simplement :

$$z_1 = -\cos \frac {\pi}{12} + i\sin \frac {\pi}{12}$$

$$z_2 = -\cos \frac {\pi}{12} - i\sin \frac {\pi}{12}$$

Solutions de e) : $z = -\cos \frac {\pi}{12} + i\sin \frac {\pi}{12}$ ou $z = -\cos \frac {\pi}{12} - i\sin \frac {\pi}{12}$

Correction de l'exercice 5:

Question a) : $i(z+3)=2+i$

Divisons par $i$ :

$$z+3 = \frac{2+i}{i}$$

Multiplions par le conjugué du dénominateur $-i$ :

$$z+3 = \frac{(2+i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-2i - i^2}{-i^2} = \frac{-2i + 1}{1} = 1 - 2i$$

$$z = 1 - 2i - 3 = -2 - 2i$$

Solution de a) : $z = -2 - 2i$

Question b) : $\frac{z-5}{z+5}=z$

Multiplions par $(z+5)$, en supposant $z \neq -5$ :

$$z-5 = z(z+5)$$

$$z-5 = z^2 + 5z$$

$$z^2 + 5z - z + 5 = 0$$

$$z^2 + 4z + 5 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-4} = 2i$.

$$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i$$

$$z_1 = -2 + i$$

$$z_2 = -2 - i$$

Vérifions si $z = -5$ est exclu. $z = -2 \pm i \neq -5$, donc les solutions sont valides.

Solutions de b) : $z = -2 + i$ ou $z = -2 - i$

Question c) : $\frac{z+3}{z}=\frac{z+1}{z+2}$

Multiplions en croix, en supposant $z \neq 0$ et $z \neq -2$ :

$$(z+3)(z+2) = z(z+1)$$

$$z^2 + 2z + 3z + 6 = z^2 + z$$

$$z^2 + 5z + 6 = z^2 + z$$

Simplifions en soustrayant $z^2$ de chaque côté :

$$5z + 6 = z$$

$$4z = -6$$

$$z = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$

Vérifions les valeurs exclues : $z = -\frac{3}{2} \neq 0$ et $z = -\frac{3}{2} \neq -2$. Donc la solution est valide.

Solution de c) : $z = -\frac{3}{2}$

Question d) : $z^2=-9$

$$z^2 = -9$$

$$z = \pm \sqrt{-9} = \pm \sqrt{9}i = \pm 3i$$

Solutions de d) : $z = 3i$ ou $z = -3i$

Correction de l'exercice 6:

Question a) : $\overline {z}+i=2z-1$

Posons $z = x + iy$, alors $\overline{z} = x - iy$. L'équation devient :

$$(x - iy) + i = 2(x + iy) - 1$$

$$x - iy + i = 2x + 2iy - 1$$

Regroupons partie réelle et partie imaginaire de chaque côté :

$$(x) + i(1 - y) = (2x - 1) + i(2y)$$

Egalisons les parties réelles et les parties imaginaires :

$$\begin{cases} x = 2x - 1 \\ 1 - y = 2y \end{cases}$$

Résolvons le système :

De la première équation, $x = 2x - 1 \Rightarrow x = 1$.

De la deuxième équation, $1 - y = 2y \Rightarrow 1 = 3y \Rightarrow y = \frac{1}{3}$.

Donc $z = x + iy = 1 + \frac{1}{3}i$.

Solution de a) : $z = 1 + \frac{1}{3}i$

Question b) : $\frac {z+1}{\overline z}=z$

Multiplions par $\overline{z}$, en supposant $\overline{z} \neq 0$ (donc $z \neq 0$) :

$$z+1 = z\overline{z}$$

Nous savons que $z\overline{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$. Donc l'équation devient :

$$z+1 = |z|^2$$

$$x + iy + 1 = x^2 + y^2$$

Regroupons partie réelle et partie imaginaire de chaque côté :

$$(x + 1) + i(y) = (x^2 + y^2) + i(0)$$

Egalisons les parties réelles et les parties imaginaires :

$$\begin{cases} x + 1 = x^2 + y^2 \\ y = 0 \end{cases}$$

De la deuxième équation, $y = 0$. Remplaçons dans la première équation :

$$x + 1 = x^2 + 0^2$$

$$x^2 - x - 1 = 0$$

Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$.

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Donc on a deux solutions réelles pour $x$ : $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Comme $y = 0$, on a deux solutions pour $z$ :

$$z_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

$$z_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Vérifions si $z = 0$ est exclu. $z_1 \neq 0$ et $z_2 \neq 0$, donc les solutions sont valides.

Solutions de b) : $z = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ou $z = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Correction de l'exercice 7:

Question 1) : Vérifions que -1 est solution de $z^3+3z^2+11z+9=0$.

Substituons $z = -1$ dans l'équation :

$$(-1)^3 + 3(-1)^2 + 11(-1) + 9 = -1 + 3 - 11 + 9 = 2 - 11 + 9 = -9 + 9 = 0$$

Donc, -1 est bien une solution de l'équation.

Question 2) : Déterminons $a$, $b$, $c$ tels que $z^3+3z^2+11z+9=(z+1)(az^2+bz+c)$.

Développons $(z+1)(az^2+bz+c)$ :

$$(z+1)(az^2+bz+c) = az^3 + bz^2 + cz + az^2 + bz + c = az^3 + (a+b)z^2 + (b+c)z + c$$

Par identification avec $z^3+3z^2+11z+9$, nous obtenons le système d'équations :

$$\begin{cases} a = 1 \\ a+b = 3 \\ b+c = 11 \\ c = 9 \end{cases}$$

De la première équation, $a = 1$.

De la deuxième équation, $1+b = 3 \Rightarrow b = 2$.

De la quatrième équation, $c = 9$.

Vérifions la troisième équation : $b+c = 2+9 = 11$. Elle est vérifiée.

Donc $a = 1$, $b = 2$, $c = 9$. Et $z^3+3z^2+11z+9=(z+1)(z^2+2z+9)$.

Question 3) : Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.

Nous avons factorisé l'équation en $(z+1)(z^2+2z+9)=0$. Donc soit $z+1 = 0$ soit $z^2+2z+9 = 0$.

Si $z+1 = 0$, alors $z = -1$.

Considérons $z^2+2z+9 = 0$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(9) = 4 - 36 = -32$.

Comme $\Delta < 0$, l'équation $z^2+2z+9 = 0$ n'a pas de solutions réelles.

Solution dans $\mathbb{R}$ : $z = -1$

Question 4) : Résolvons dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3+3z^2+11z+9=0$.

Nous avons toujours la factorisation $(z+1)(z^2+2z+9)=0$. Donc soit $z+1 = 0$ soit $z^2+2z+9 = 0$.

Si $z+1 = 0$, alors $z = -1$.

Pour $z^2+2z+9 = 0$, nous avons $\Delta = -32$. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-32} = \sqrt{32}i = \sqrt{16 \times 2}i = 4\sqrt{2}i$.

$$z_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}i$$

$$z_2 = -1 + 2\sqrt{2}i$$

$$z_3 = -1 - 2\sqrt{2}i$$

Solutions dans $\mathbb{C}$ : $z = -1$, $z = -1 + 2\sqrt{2}i$, $z = -1 - 2\sqrt{2}i$

Correction de l'exercice 8:

Question a): $z^4 = 1$

Il s'agit de trouver les racines quatrièmes de l'unité. On peut les exprimer sous forme exponentielle :

$z_k = e^{i(2k\pi/4)} = e^{i(k\pi/2)}$, pour $k = 0, 1, 2, 3$.

$z_0 = e^{i(0)} = 1$

$z_1 = e^{i(\pi/2)} = i$

$z_2 = e^{i(\pi)} = -1$

$z_3 = e^{i(3\pi/2)} = -i$

Solutions de a): $z \in \{1, i, -1, -i\}$

Question b): $z^3 = -8i$

On cherche les racines cubiques de $-8i$. Écrivons $-8i$ sous forme exponentielle : $-8i = 8e^{i(3\pi/2)}$.

Les racines cubiques sont données par $z_k = \sqrt[3]{8}e^{i((3\pi/2 + 2k\pi)/3)}$, pour $k = 0, 1, 2$.

$z_k = 2e^{i(\pi/2 + 2k\pi/3)}$

$z_0 = 2e^{i(\pi/2)} = 2i$

$z_1 = 2e^{i(\pi/2 + 2\pi/3)} = 2e^{i(7\pi/6)} = 2(\cos(7\pi/6) + i\sin(7\pi/6)) = 2(-\sqrt{3}/2 - i/2) = -\sqrt{3} - i$

$z_2 = 2e^{i(\pi/2 + 4\pi/3)} = 2e^{i(11\pi/6)} = 2(\cos(11\pi/6) + i\sin(11\pi/6)) = 2(\sqrt{3}/2 - i/2) = \sqrt{3} - i$

Solutions de b): $z \in \{2i, -\sqrt{3} - i, \sqrt{3} - i\}$

Question c): $z^2 - (1+i)z + i = 0$

On utilise la formule quadratique. $\Delta = (-(1+i))^2 - 4(1)(i) = (1 + 2i + i^2) - 4i = 1 + 2i - 1 - 4i = -2i$.

Trouvons les racines carrées de $-2i = 2e^{i(3\pi/2)}$. Elles sont de la forme $\sqrt{2}e^{i(3\pi/4 + k\pi)}$, $k=0, 1$.

$\delta_1 = \sqrt{2}e^{i(3\pi/4)} = \sqrt{2}(\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) = \sqrt{2}(-\sqrt{2}/2 + i\sqrt{2}/2) = -1 + i$

$\delta_2 = \sqrt{2}e^{i(7\pi/4)} = \sqrt{2}(\cos(7\pi/4) + i\sin(7\pi/4)) = \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - i\sqrt{2}/2) = 1 - i$

Les solutions sont $z = \frac{(1+i) \pm (-1+i)}{2}$

$z_1 = \frac{1+i-1+i}{2} = \frac{2i}{2} = i$

$z_2 = \frac{1+i+1-i}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Solutions de c): $z \in \{1, i\}$

Correction de l'exercice 9:

Question a): Points invariants

On cherche $z$ tel que $z' = z$, c'est-à-dire $\frac{z-2}{iz+1} = z$.

$z - 2 = z(iz + 1)$

$z - 2 = iz^2 + z$

$iz^2 + 2 = 0$

$z^2 = -2/i = 2i$

On cherche les racines carrées de $2i = 2e^{i\pi/2}$.

$z_k = \sqrt{2}e^{i(\pi/4 + k\pi)}$, pour $k=0, 1$.

$z_0 = \sqrt{2}e^{i\pi/4} = \sqrt{2}(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) = \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 + i\sqrt{2}/2) = 1 + i$

$z_1 = \sqrt{2}e^{i(5\pi/4)} = \sqrt{2}(\cos(5\pi/4) + i\sin(5\pi/4)) = \sqrt{2}(-\sqrt{2}/2 - i\sqrt{2}/2) = -1 - i$

Points invariants : $1 + i$ et $-1 - i$

Question b): Exprimer $x'$ et $y'$

$z' = \frac{z-2}{iz+1} = \frac{x+iy-2}{i(x+iy)+1} = \frac{(x-2) + iy}{1-y + ix}$

On multiplie par le conjugué du dénominateur :

$z' = \frac{((x-2) + iy)((1-y) - ix)}{((1-y) + ix)((1-y) - ix)} = \frac{(x-2)(1-y) - i x(x-2) + iy(1-y) -i^2xy}{(1-y)^2 + x^2}$

$z' = \frac{(x-2)(1-y) + xy + i(y(1-y) - x(x-2))}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{x - xy - 2 + 2y + xy + i(y - y^2 - x^2 + 2x)}{(1-y)^2 + x^2}$

$z' = \frac{x - 2 + 2y + i(-y^2 - x^2 + y + 2x)}{1 - 2y + y^2 + x^2}$

$x' = \frac{x - 2 + 2y}{x^2 + y^2 - 2y + 1}$

$y' = \frac{-x^2 - y^2 + 2x + y}{x^2 + y^2 - 2y + 1}$

Correction de l'exercice 10:

Posons $r = |z|$. L'équation devient :

$z^2 - 2r + 1 = 0$

Prenons le module des deux côtés: $|z^2 - 2r + 1| = 0$.

On en déduit que : $|z^2| = |2r - 1|$. Donc $r^2 = |2r - 1|$.

On a deux cas :

Cas 1 : $2r - 1 \geq 0$, c'est-à-dire $r \geq 1/2$. Alors $r^2 = 2r - 1$, ou $r^2 - 2r + 1 = 0$, ce qui donne $(r-1)^2 = 0$, donc $r = 1$.

Cas 2 : $2r - 1 < 0$, c'est-à-dire $r < 1/2$. Alors $r^2 = -(2r - 1) = 1 - 2r$, ou $r^2 + 2r - 1 = 0$. Les solutions sont $r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$. Seule la solution positive est possible, donc $r = -1 + \sqrt{2}$. Comme $\sqrt{2} \approx 1.41$, on a $-1+\sqrt{2} \approx 0.41 < 1/2$, ce qui est cohérent avec ce cas.

Si $r = 1$, alors $z^2 - 2 + 1 = 0$, donc $z^2 = 1$, et $z = \pm 1$.

Si $r = -1+\sqrt{2}$, alors $z^2 = 2r - 1 = 2(-1+\sqrt{2}) - 1= 2\sqrt{2} -3$, et $z= \pm \sqrt{ 2\sqrt{2} -3}$.

Solutions : $z \in \{1, -1, \sqrt{ 2\sqrt{2} -3} , -\sqrt{ 2\sqrt{2} -3} \}$

Correction de l'exercice 11:

Question 1) : Montrer que $i$ est une racine.

$P(i) = i^3 - (2+i)i^2 + (2+2i)i - 2i = -i - (2+i)(-1) + 2i + 2i^2 - 2i = -i + 2 + i + 2i - 2 - 2i = 0$.

Donc $i$ est bien une racine de $P(z)$.

Question 2) : Déterminer $a$, $b$, $c$.

On développe $(z-i)(az^2 + bz + c) = az^3 + bz^2 + cz - iaz^2 - ibz - ic = az^3 + (b-ia)z^2 + (c-ib)z - ic$.

Par identification avec $P(z) = z^3 - (2+i)z^2 + (2+2i)z - 2i$, on obtient le système :

$$\begin{cases} a = 1 \\ b - ia = -2 - i \\ c - ib = 2 + 2i \\ -ic = -2i \end{cases}$$

De la première équation, $a=1$.

De la quatrième équation, $c = 2$.

De la deuxième équation, $b - i(1) = -2 - i$, donc $b = -2$.

Vérifions la troisième équation: $c - ib = 2 - i(-2) = 2 + 2i$. C'est correct.

Donc $a=1$, $b=-2$, $c=2$, et $P(z) = (z-i)(z^2 - 2z + 2)$.

Question 3) : Résoudre $P(z) = 0$.

On a $(z-i)(z^2 - 2z + 2) = 0$, donc soit $z-i=0$ (donc $z=i$), soit $z^2 - 2z + 2 = 0$.

Pour $z^2 - 2z + 2 = 0$, $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$.

$z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2i}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$.

Solutions : $z \in \{i, 1+i, 1-i\}$.

Correction de l'exercice 12:

Question 1) : Si $z_0$ est solution, $\overline{z_0}$ l'est aussi.

Soit $P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63$. Si $P(z_0) = 0$, alors $z_0^4 - 6z_0^3 + 24z_0^2 - 18z_0 + 63 = 0$.

Prenons le conjugué des deux membres : $\overline{z_0^4 - 6z_0^3 + 24z_0^2 - 18z_0 + 63} = \overline{0} = 0$.

Comme les coefficients du polynôme sont réels, on a : $\overline{z_0}^4 - 6\overline{z_0}^3 + 24\overline{z_0}^2 - 18\overline{z_0} + 63 = 0$, ce qui signifie que $P(\overline{z_0}) = 0$.

Question 2) : Montrer que $z = i\sqrt{3}$ est solution.

On substitue $z = i\sqrt{3}$ dans l'équation :

$(i\sqrt{3})^4 - 6(i\sqrt{3})^3 + 24(i\sqrt{3})^2 - 18(i\sqrt{3}) + 63$

$= 9 - 6(-3i\sqrt{3}) + 24(-3) - 18i\sqrt{3} + 63 = 9 + 18i\sqrt{3} - 72 - 18i\sqrt{3} + 63 = 0$.

Donc $i\sqrt{3}$ est bien une solution.

Question 3) : Factorisation.

Comme $i\sqrt{3}$ est solution, $-i\sqrt{3}$ l'est aussi (d'après la question 1). Donc $(z - i\sqrt{3})(z + i\sqrt{3}) = z^2 + 3$ est un facteur du polynôme.

On cherche donc $a$, $b$, $c$ tels que $(z^2+3)(az^2+bz+c) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63$.

En développant, on obtient $az^4 + bz^3 + cz^2 + 3az^2 + 3bz + 3c = az^4 + bz^3 + (c+3a)z^2 + 3bz + 3c$.

Par identification, on a le système :

$$\begin{cases} a = 1 \\ b = -6 \\ c + 3a = 24 \\ 3b = -18 \\ 3c = 63 \end{cases}$$

On trouve $a=1$, $b=-6$, et $c=21$. Donc $z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63 = (z^2 + 3)(z^2 - 6z + 21)$.

Question 4) : Résoudre l'équation.

On a $(z^2 + 3)(z^2 - 6z + 21) = 0$. Donc soit $z^2 + 3 = 0$, soit $z^2 - 6z + 21 = 0$.

Pour $z^2 + 3 = 0$, on a $z^2 = -3$, donc $z = \pm i\sqrt{3}$.

Pour $z^2 - 6z + 21 = 0$, $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(21) = 36 - 84 = -48 = (4i\sqrt{3})^2$.

$z_{1,2} = \frac{-(-6) \pm 4i\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \pm 4i\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2i\sqrt{3}$.

Solutions : $z \in \{i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, 3 + 2i\sqrt{3}, 3 - 2i\sqrt{3}\}$.

Correction de l'exercice 13:

Question 1) : Déterminer $a$.

On développe $(z-i)(z^2 + az + 1) = z^3 + az^2 + z - iz^2 - iaz - i = z^3 + (a-i)z^2 + (1-ia)z - i$.

Par identification avec $P(z) = z^3 + (2-i)z^2 + (1-2i)z - i$, on a le système :

$$\begin{cases} a - i = 2 - i \\ 1 - ia = 1 - 2i \end{cases}$$

De la première équation, on trouve directement $a = 2$.

Vérifions la seconde équation : $1 - i(2) = 1 - 2i$. C'est correct.

Donc $a = 2$, et $P(z) = (z-i)(z^2 + 2z + 1)$.

Question 2) : Résoudre $P(z)=0$.

On a $(z-i)(z^2 + 2z + 1) = (z-i)(z+1)^2 = 0$. Donc soit $z-i=0$, soit $(z+1)^2 = 0$.

Les solutions sont donc $z = i$ et $z = -1$ (racine double).

Solutions : $z \in \{i, -1\}$.

1) $P(2) = 2^3 - 4(2^2) + 6(2) - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0$. Donc 2 est racine.

2) $(z-2)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b-2a)z^2 + (c-2b)z - 2c$. Par identification : $a=1$, $b-2a=-4$, $c-2b=6$, $-2c=-4$. On trouve $a=1$, $b=-2$, $c=2$. Donc $P(z) = (z-2)(z^2 - 2z + 2)$.

3) $z^2 - 2z + 2 = 0$ a pour discriminant $\Delta = -4$, donc les solutions sont $z = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$. Solutions : $z \in \{2, 1+i, 1-i\}$.

1) $P(2i) = (2i)^3 - (5+i)(2i)^2 + (4+8i)(2i) - 4 - 4i = -8i + 20 + 4i + 8i - 16 - 4 - 4i = 0$. Donc $2i$ est racine.

2) $(z - 2i)(z^2 + az + b) = z^3 + az^2 + bz - 2iz^2 - 2iaz - 2bi = z^3 + (a - 2i)z^2 + (b - 2ai)z - 2bi$.

Par identification : $a - 2i = -5 - i$, $b - 2ai = 4 + 8i$, $-2bi = -4 - 4i$.

On trouve $a = -5 + i$, $b = 2 - 2i$. Donc $P(z) = (z - 2i)(z^2 + (-5 + i)z + 2 - 2i)$.

3) On résout $z^2 + (-5 + i)z + 2 - 2i = 0$.

$\Delta = (-5 + i)^2 - 4(2 - 2i) = 25 - 10i - 1 - 8 + 8i = 16 - 2i$.

On cherche $\delta = x + iy$ tel que $\delta^2 = \Delta$, soit $x^2 - y^2 = 16$ et $2xy = -2$, et $x^2 + y^2 = \sqrt{16^2 + (-2)^2} = \sqrt{260} = 2\sqrt{65}$.

On trouve $x^2 = \sqrt{65} + 8$ et $y^2 = \sqrt{65} - 8$. Comme $xy < 0$, $x$ et $y$ sont de signes opposés.

Les solutions de $P(z) = 0$ sont $\{2i, z_1, z_2\}$, avec $z_1$ et $z_2$ les racines de $z^2 + (-5+i)z + 2-2i = 0$

1) Les coefficients sont réels, donc si $z_0$ est solution, $\overline{z_0}$ l'est aussi.

2) $(i)^4-4(i)^3+6(i)^2-4(i)+5 = 1+4i-6-4i+5=0$, donc $i$ est solution.

3) Comme $i$ est solution, $-i$ l'est aussi. Donc $(z-i)(z+i) = z^2+1$ est un facteur. $(z^2+1)(az^2+bz+c) = az^4 + bz^3 + (c+a)z^2 + bz + c$. Par identification : $a = 1, b=-4, c+a = 6, c=5$. Donc $a=1, b=-4, c=5$, et $z^4-4z^3+6z^2-4z+5=(z^2+1)(z^2-4z+5)$.

4) On résout $z^2-4z+5=0$. $\Delta = 16-20 = -4$. Solutions : $z = \frac{4\pm 2i}{2} = 2\pm i$. Solutions totales: $z \in \{i, -i, 2+i, 2-i\}$

1) Si $P(z_0) = 0$, alors $z_0^4 - 5z_0^3 + 8z_0^2 - 5z_0 + 1 = 0$. Divisons par $z_0^4$ (possible car $z_0 \neq 0$) : $1 - 5(1/z_0) + 8(1/z_0)^2 - 5(1/z_0)^3 + (1/z_0)^4 = 0$, ce qui montre que $1/z_0$ est racine.

2) $P(1) = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 = 0$, donc 1 est racine.

3) Comme 1 est racine double (à cause de la propriété de la question 1), on peut factoriser par $(z-1)^2 = z^2 - 2z + 1$. $(z^2-2z+1)(az^2+bz+c) = az^4 + (b-2a)z^3 + (c-2b+a)z^2 + (b-2c)z + c$. Par identification : $a=1, b-2a = -5, c-2b+a=8, b-2c=-5, c=1$. On trouve $a=1, b=-3, c=1$. Donc $P(z) = (z-1)^2(z^2-3z+1)$.

4) Résoudre $z^2-3z+1 = 0$, $\Delta = 9 - 4 = 5$, $z=\frac{3\pm \sqrt 5}{2}$.

Solutions : $\{1, 1, \frac{3+\sqrt 5}{2}, \frac{3-\sqrt 5}{2}\}$.

1) $(z^2 + z + 1)(z^2 - z + 1) = z^4 - z^3 + z^2 + z^3 - z^2 + z + z^2 - z + 1 = z^4 + z^2 + 1$.

2) On doit donc résoudre $(z^2 + z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$. Donc soit $z^2 + z + 1 = 0$, soit $z^2 - z + 1 = 0$.

Pour $z^2 + z + 1 = 0$, $\Delta = 1 - 4 = -3$, donc $z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Pour $z^2 - z + 1 = 0$, $\Delta = 1 - 4 = -3$, donc $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

Solutions : $\{ \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \}$ (Ce sont les racines quatrièmes de l'unité, sauf 1 et -1)

Posons $Z = z^3$. L'équation devient $Z^2 - 4Z + 3 = 0$.

$(Z-1)(Z-3) = 0$, donc $Z=1$ ou $Z=3$.

Si $Z=1$, alors $z^3 = 1$. Les solutions sont les racines cubiques de l'unité : $1, e^{2i\pi/3}, e^{4i\pi/3}$.

Si $Z=3$, alors $z^3 = 3$. Les solutions sont $\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{3}e^{2i\pi/3}, \sqrt[3]{3}e^{4i\pi/3}$.

1) Linéarisation de $\sin^2(x)$ :

On utilise la formule d'Euler : $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\sin^2(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 = \frac{1}{-4}(e^{ix} - e^{-ix})^2$

On développe :

$= -\frac{1}{4}(e^{2ix} - 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-2ix}) = -\frac{1}{4}(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix})$

On regroupe et on utilise la formule d'Euler inverse :

$= -\frac{1}{4}(e^{2ix} + e^{-2ix} - 2) = -\frac{1}{4}(2\cos(2x) - 2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Donc, $\sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

2) Résolution de $P(z) = z^3 - 3z + 2$ :

a) Racine entière évidente :

On teste quelques valeurs entières simples :

- $P(0) = 2$
- $P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

Donc $z_0 = 1$ est une racine évidente de $P(z)$.

b) Factorisation :

Puisque $1$ est une racine, on peut factoriser $P(z)$ par $(z - 1)$ :

$P(z) = (z - 1)(az^2 + bz + c)$

En développant et en identifiant les coefficients, on obtient :

- $a = 1$
- $-a + b = 0 \Rightarrow b = a = 1$
- $-c = 2 \Rightarrow c = -2$

Donc, $P(z) = (z - 1)(z^2 + z - 2)$.

c) Résolution dans $\mathbb{C}$ :

On résout l'équation du second degré : $z^2 + z - 2 = 0$

Le discriminant est : $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$

Les racines sont :

$z_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$z_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Les solutions de $P(z) = 0$ sont donc :

- $z_0 = 1$ (racine double)
- $z_2 = -2$

1) On remplace $z$ par $u+v$ : $(u+v)^3 + p(u+v) + q = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + pu + pv + q = u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q$.

En utilisant la condition $3uv = -p$, on obtient : $u^3 + v^3 - p(u+v) + p(u+v) + q = u^3 + v^3 + q = 0$. Donc $u^3 + v^3 = -q$.

De plus, comme $3uv=-p$, on a $u^3v^3 = -p^3/27$. Donc $u^3$ et $v^3$ sont les solutions de $Z^2 - (u^3+v^3)Z + u^3v^3 = Z^2 + qZ - p^3/27 = 0$.

2) On résout $Z^2 + qZ - p^3/27 = 0$. On trouve $Z_1$ et $Z_2$. Puis on prend les racines cubiques de $Z_1$ et $Z_2$ (en faisant attention à la condition $3uv=-p$ pour choisir les bonnes combinaisons). On obtient $z = u+v$.

3) Ici, $p=3$ et $q=2i$. L'équation en $Z$ est $Z^2 + 2iZ - 1 = 0$. $\Delta = (2i)^2 - 4(-1) = -4+4 = 0$. Il y a une racine double $Z = -2i/2 = -i$. Donc $u^3 = v^3 = -i$.

Les racines cubiques de $-i = e^{i(3\pi/2)}$ sont $e^{i(\pi/2 + 2k\pi/3)}$, pour $k=0, 1, 2$. $u_0=e^{i\pi/2} = i$ $u_1= e^{i(\pi/2+2\pi/3)}=e^{i7\pi/6}=\cos (7\pi/6)+i\sin(7\pi/6) = -\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{i}{2}$ $u_2= e^{i(\pi/2+4\pi/3)}=e^{i11\pi/6}= \frac{\sqrt 3}{2}- \frac{i}{2}$ Comme $3uv=-3$, on a $uv=-1$ Si on prend $u=i$, alors $v=-1/i=i$, ce qui nous donne $z=2i$ Si on prend $u= -\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{i}{2}$, on trouve que $v=\frac{-1}{u} = \frac{-1}{-\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{i}{2}}=\frac{2}{\sqrt 3+i} = \frac{2(\sqrt 3 - i)}{4} = \frac{\sqrt 3 - i}{2} $ Donc $z=u+v= -\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{i}{2}+\frac{\sqrt 3}{2} -\frac{i}{2} = -i$

1) $j$ est une racine cubique de l'unité, donc $j^3 = 1$. De plus, $1 + j + j^2 = \frac{1-j^3}{1-j} = 0$ (somme des termes d'une suite géométrique, ou remarquer que $j$ est racine de $z^3-1 = (z-1)(z^2+z+1)$).

2) Si $a+b+c=0$, alors $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$, donc $a^3+b^3+c^3=3abc$.

3) Avec $z = w+1$, l'équation devient : $(w+1)^3 - 3(w+1)^2 + 3(w+1) + 7 = w^3 + 3w^2 + 3w + 1 - 3w^2 - 6w - 3 + 3w + 3 + 7 = w^3 + 8 = 0$.

Donc $w^3 = -8$. Les solutions sont $-2, -2e^{2i\pi/3}, -2e^{4i\pi/3}$. Donc $w \in \{-2, -2j, -2j^2 \}$. $z=w+1$, donc $z\in \{-1, 1-2j, 1-2j^2\}$.

1) La division euclidienne donne $z^4+1 = (z^2+z\sqrt{2} +1)(z^2-z\sqrt 2+1)$

2) On a donc $z^2+z\sqrt 2+1=0$ ou $z^2-z\sqrt 2+1=0$ Pour la première, $\Delta = (z\sqrt 2)^2-4=2-4=-2$, $z=\frac{-\sqrt 2 \pm i\sqrt 2}{2}$ Pour la seconde, $\Delta=2-4=-2$, $z=\frac{\sqrt 2 \pm i\sqrt 2}{2}$