Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Correction :

a. 2020 est un multiple de 4 car 2020 = 4 × 505.

b. 4 est un diviseur de 24 car 24 = 4 × 6.

c. 3 est un diviseur de 18 car 18 = 3 × 6.

d. -5 est un diviseur de 5 car 5 = (-5) × (-1).

e. 14 est un multiple de 7 car 14 = 7 x 2

Correction :

Pour trouver les diviseurs positifs de 84, on peut décomposer 84 en facteurs premiers : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.

Les diviseurs positifs de 84 sont donc :

$D_{84} = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84\}$.

Correction :

1. Soient $n$, $n+1$ et $n+2$ trois entiers consécutifs.
Leur somme est $S = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$.
Comme $n+1$ est un entier, $S$ est un multiple de 3, donc divisible par 3.

2. On a $5^n + 5^{n+1} = 5^n + 5^n \cdot 5 = 5^n(1+5) = 5^n \cdot 6$.
Comme $5^n$ est un entier, $5^n \cdot 6$ est un multiple de 6, donc divisible par 6.

Correction :

Soit $n$ un entier naturel inférieur à 100. On peut écrire $n$ sous la forme $n = 10d + u$, où $d$ est le chiffre des dizaines et $u$ le chiffre des unités.

La somme des chiffres de $n$ est $d + u$.

Si l'on soustrait cette somme à $n$, on obtient : $n - (d + u) = (10d + u) - (d + u) = 10d + u - d - u = 9d$.

Comme $9d$ est un multiple de 9, le résultat est toujours divisible par 9.

Correction :

Si $a$ divise $b$, alors il existe un entier $k$ tel que $b = ka$.
Si $b$ divise $a$, alors il existe un entier $m$ tel que $a = mb$.

En substituant, on obtient $a = m(ka) = (mk)a$. Comme $a$ est non nul, on peut diviser par $a$, ce qui donne $mk = 1$.

Les seuls entiers dont le produit vaut 1 sont $m=k=1$ et $m=k=-1$.

Si $m=k=1$, alors $a = b$.
Si $m=k=-1$, alors $a = -b$.

Donc, si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, alors $a = b$ ou $a = -b$.

Correction :

Soit $p$ un diviseur de $a$. Alors, par définition, il existe un entier $k$ tel que $a = pk$.

On a donc $|a| = |p| \cdot |k|$. Comme $k$ est un entier non nul, $|k| \geq 1$.

Par conséquent, $|a| = |p| \cdot |k| \geq |p| \cdot 1 = |p|$. Donc $|p| \leq |a|$.

Cela signifie que $-|a| \leq p \leq |a|$. Ainsi, tout diviseur de $a$ est compris entre $-|a|$ et $|a|$.

Comme il n'y a qu'un nombre fini d'entiers entre $-|a|$ et $|a|$, $a$ possède un nombre fini de diviseurs.

Correction :

1. Si $p$ divise $a$, alors il existe un entier $k$ tel que $a = pk$.
Donc, $a = (-p)(-k)$. Comme $-k$ est un entier, $-p$ divise $a$.

2. Si $p$ divise $a$, alors il existe un entier $k$ tel que $a = pk$.
Donc, $-a = -(pk) = p(-k)$. Comme $-k$ est un entier, $p$ divise $-a$.

3. D'après 1., si $p$ divise $a$, alors $-p$ divise $a$.
D'après 2., si $p$ divise $a$, alors $p$ divise $-a$.
Donc, si $p$ est un diviseur de $a$, alors $p$ est aussi un diviseur de $-a$.
Réciproquement, si $p$ est un diviseur de $-a$, alors $p$ est aussi un diviseur de $-(-a) = a$.
Ainsi, $a$ et $-a$ ont exactement les mêmes diviseurs.

Correction :

1. Si $c$ divise $a$, il existe un entier $k$ tel que $a = kc$.
Si $c$ divise $b$, il existe un entier $m$ tel que $b = mc$.
Alors, $a + b = kc + mc = (k+m)c$. Comme $k+m$ est un entier, $c$ divise $a+b$.

2. Supposons que $c$ divise $a$ mais ne divise pas $b$.
Si $c$ divisait $a+b$, alors il existerait un entier $n$ tel que $a+b = nc$.
Comme $c$ divise $a$, il existe un entier $k$ tel que $a=kc$.
Donc, $b = (a+b) - a = nc - kc = (n-k)c$.
Comme $n-k$ est un entier, cela signifierait que $c$ divise $b$, ce qui est une contradiction.
Donc, $c$ ne divise pas $a+b$.

3. Si $c$ ne divise ni $a$ ni $b$, on ne peut pas conclure quant à la divisibilité de $a+b$ par $c$.
Par exemple, 3 ne divise ni 4 ni 5, mais 3 divise 4+5=9.
Par contre, 3 ne divise ni 4 ni 7, et 3 ne divise pas 4+7=11.

Correction :

1. Si $n+5$ divise $3n+8$, alors $n+5$ divise aussi $3(n+5) - (3n+8) = 15 - 8 = 7$.
Les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7.
Si $n+5 = 1$, alors $n=-4$, ce qui n'est pas un entier naturel.
Si $n+5 = 7$, alors $n=2$.
Donc, la seule solution est $n=2$.

2. Si $n+2$ divise $2n+10$, alors $n+2$ divise aussi $2(n+2) - (2n+10) = 4 - 10 = -6$.
Les diviseurs positifs de 6 sont 1, 2, 3 et 6.
Si $n+2 = 1$, alors $n=-1$, ce qui n'est pas un entier naturel.
Si $n+2 = 2$, alors $n=0$.
Si $n+2 = 3$, alors $n=1$.
Si $n+2 = 6$, alors $n=4$.
Les solutions sont donc $n \in \{0, 1, 4\}$.

Correction :

1. Si $2n+3$ divise $n+11$, alors $2n+3$ divise aussi $2(n+11) - (2n+3) = 22-3 = 19$.
Les diviseurs positifs de 19 sont 1 et 19.
Si $2n+3=1$, alors $2n = -2$, donc $n=-1$, ce qui n'est pas un entier naturel.
Si $2n+3=19$, alors $2n = 16$, donc $n=8$.
La seule solution est $n=8$.

2. On raisonne par l'absurde. Supposons que $3n+5$ soit divisible par 9.
Alors il existe un entier $k$ tel que $3n+5 = 9k$.
Donc, $3n = 9k - 5$.
En regardant les congruences modulo 3, on a :
$3n \equiv 0 \pmod{3}$
$9k - 5 \equiv -5 \equiv 1 \pmod{3}$
On a donc $0 \equiv 1 \pmod{3}$, ce qui est une contradiction.
Donc, $3n+5$ n'est jamais divisible par 9.

Correction :

1. Si $n-2$ divise $2n+3$, alors il existe un entier $k$ tel que $2n+3 = k(n-2)$.
On a $2(n-2) = 2n - 4$.
Comme $n-2$ divise $n-2$, $n-2$ divise aussi $2(n-2)$.

2. Si $n-2$ divise $2n+3$ et $n-2$ divise $2(n-2)$, alors $n-2$ divise leur différence :
$(2n+3) - 2(n-2) = 2n + 3 - 2n + 4 = 7$.
Donc, si $n-2$ divise $2n+3$, alors $n-2$ divise 7.

3. Les diviseurs de 7 sont -7, -1, 1 et 7.
Si $n-2 = -7$, alors $n = -5$.
Si $n-2 = -1$, alors $n = 1$.
Si $n-2 = 1$, alors $n = 3$.
Si $n-2 = 7$, alors $n = 9$.
Les valeurs possibles de $n$ sont donc -5, 1, 3 et 9.

Correction :

1. On peut factoriser $n^2 + 5n + 4$ comme suit : $n^2 + 5n + 4 = (n+1)(n+4)$.
Comme $n+4$ est un entier, $n+1$ divise $n^2 + 5n + 4$.

2. On a $\frac{n^2 + 5n + 4}{n+1} = \frac{(n+1)(n+4)}{n+1} = n+4$.
Comme $n+4$ est un entier pour tout entier naturel $n$, $\frac{n^2 + 5n + 4}{n+1}$ est un entier pour toutes les valeurs de $n$.

Correction :

Soit $q$ le quotient de la division de $a$ par 15. On a alors $a = 15q + 7$.

Lorsqu'on divise $a$ par 16, le quotient est $q+1$ et le reste est 3. Donc, $a = 16(q+1) + 3 = 16q + 16 + 3 = 16q + 19$.

On a donc $15q + 7 = 16q + 19$.
En soustrayant $15q$ des deux côtés, on obtient $7 = q + 19$, d'où $q = 7 - 19 = -12$.

Puis on remplace dans l'équation: $a=15q+7=15*(-12)+7=-173$

Correction :

1. Soit $n$ un multiple de 24. Alors il existe un entier $k$ tel que $n = 24k$.
On peut écrire $n = 24k = 6(4k)$. Comme $4k$ est un entier, $n$ est un multiple de 6.

2. La réciproque est fausse. Par exemple, 12 est un multiple de 6, mais 12 n'est pas un multiple de 24.

3. Oui, par exemple 18 est un multiple de 9 et un diviseur de 54 (car $54 = 18 \times 3$).
Plus généralement, tout diviseur positif de 54 qui est un multiple de 9 convient.
Les diviseurs positifs de 54 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Parmi eux, 9, 18, 27 et 54 sont des multiples de 9.

Correction :

On peut utiliser l'identité remarquable $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ avec $a=n$ et $b=1$.

On a alors $n^3 + 1 = n^3 + 1^3 = (n+1)(n^2 - n + 1)$.

Comme $n^2 - n + 1$ est un entier, on en déduit que $n+1$ divise $n^3 + 1$.

Correction :

1. Si $n+3$ divise $2n+9$, alors il existe un entier $k$ tel que $2n+9 = k(n+3)$.
Comme $n+3$ divise $n+3$, il divise aussi $2(n+3)$.

2. Si $n+3$ divise $2n+9$ et $n+3$ divise $2(n+3)$, alors $n+3$ divise la différence :
$(2n+9) - 2(n+3) = 2n + 9 - 2n - 6 = 3$.
Donc, si $n+3$ divise $2n+9$, alors $n+3$ divise 3.

3. Les diviseurs de 3 sont -3, -1, 1 et 3.
On a donc les possibilités suivantes :
$n+3 = -3 \Rightarrow n = -6$
$n+3 = -1 \Rightarrow n = -4$
$n+3 = 1 \Rightarrow n = -2$
$n+3 = 3 \Rightarrow n = 0$
Les valeurs possibles de $n$ sont donc -6, -4, -2 et 0.

Correction :

Pour montrer que la fraction est irréductible, il suffit de montrer que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c'est-à-dire que leur PGCD est 1.

Soit $d$ un diviseur commun à $4n+3$ et $5n+2$.
Alors $d$ divise toute combinaison linéaire de $4n+3$ et $5n+2$.
En particulier, $d$ divise $5(4n+3) - 4(5n+2) = 20n + 15 - 20n - 8 = 7$.

Donc $d$ est un diviseur de 7. Les diviseurs de 7 sont -7, -1, 1 et 7.

Si $d = 7$, alors $4n+3$ est un multiple de 7. Or, $4n+3 = 7k$ pour un certain entier $k$.
Cela implique $4n = 7k - 3$, mais $4n$ est pair alors que $7k-3$ est impair (car 7k est impair, et impair - impair = pair).
Il y a donc une contradiction, et $d$ ne peut pas être 7.

Par conséquent, $d$ ne peut être que 1 ou -1. Le PGCD de $4n+3$ et $5n+2$ est donc 1, et la fraction est irréductible.

Correction :

1. On calcule les premières puissances de 3 modulo 11 :
$3^0 \equiv 1 \pmod{11}$
$3^1 \equiv 3 \pmod{11}$
$3^2 \equiv 9 \pmod{11}$
$3^3 \equiv 27 \equiv 5 \pmod{11}$
$3^4 \equiv 15 \equiv 4 \pmod{11}$
$3^5 \equiv 12 \equiv 1 \pmod{11}$
On observe que les restes se répètent avec une période de 5 : 1, 3, 9, 5, 4.

2. On a $3^{2n+3} = 3^{2n} \cdot 3^3 = (3^2)^n \cdot 27 \equiv 9^n \cdot 5 \pmod{11}$.
De plus, $5^{n+1} = 5^n \cdot 5$.
On a donc $3^{2n+3} + 5^{n+1} \equiv 9^n \cdot 5 + 5^n \cdot 5 \equiv 5(9^n + 5^n) \pmod{11}$.
En regardant les congruences des puissances de 9 et 5 modulo 11, on remarque que pour $n=1$, on a $9^1 + 5^1 = 14$, qui est congru à 3 modulo 11.
Pour $n=2$, on a $9^2 + 5^2 = 81 + 25 = 106$, qui est congru à 7 modulo 11.
Pour $n=3$, on a $9^3 + 5^3 \equiv 5 + 4 \equiv 9 \pmod{11}$.
Pour $n=4$, on a $9^4 + 5^4 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \pmod{11}$.
Pour $n=5$, on a $9^5 + 5^5 \equiv 1 + 3 \equiv 4 \pmod{11}$.
Pour $n=6$, on a $9^6 + 5^6 \equiv 3 + 9 \equiv 1 \pmod{11}$.
On remarque que la somme des congruences ne donne jamais 0 modulo 11.
Il y a une erreur dans l'énoncé. La propriété est fausse.

Correction :

1. On cherche un entier $x$ tel que $4x \equiv 7 \pmod{11}$.
On peut multiplier les deux membres de la congruence par 3 (car $4 \times 3 = 12 \equiv 1 \pmod{11}$) :
$3 \cdot 4x \equiv 3 \cdot 7 \pmod{11}$
$12x \equiv 21 \pmod{11}$
$x \equiv 10 \pmod{11}$
Les solutions sont donc les entiers de la forme $x = 10 + 11k$, où $k$ est un entier relatif.

2. On cherche un entier $x$ tel que $6x \equiv 5 \pmod{9}$.
On remarque que $6 \times 3 = 18 \equiv 0 \pmod{9}$.
Multiplions les deux membres de la congruence par 3 :
$3 \cdot 6x \equiv 3 \cdot 5 \pmod{9}$
$18x \equiv 15 \pmod{9}$
$0 \equiv 6 \pmod{9}$
Cette congruence n'a pas de solution, car 0 n'est pas congru à 6 modulo 9.
Donc, l'équation $6x \equiv 5 \pmod{9}$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}$.

Correction :

1. On a $2023 \equiv 3 \pmod{5}$.
Donc, $2023^{2024} \equiv 3^{2024} \pmod{5}$.
On calcule les premières puissances de 3 modulo 5 :
$3^1 \equiv 3 \pmod{5}$
$3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$
$3^3 \equiv 27 \equiv 2 \pmod{5}$
$3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{5}$
Les puissances de 3 modulo 5 ont une période de 4.
Comme $2024 = 4 \times 506$, on a $2024 \equiv 0 \pmod{4}$.
Donc, $3^{2024} \equiv 3^0 \equiv 1 \pmod{5}$.
Le reste de la division euclidienne de $2023^{2024}$ par 5 est 1.

2. On a $17 \equiv -1 \pmod{6}$.
Donc, $17^{100} \equiv (-1)^{100} \equiv 1 \pmod{6}$.
Le reste de la division euclidienne de $17^{100}$ par 6 est 1.

Correction :

1. Étude des restes possibles de $3^n$ par 7 :

Méthode 1 (ne permet pas la généralisation "conjecture") : Avec les restes successifs
On calcule les restes successifs de la division euclidienne de $3^n$ par 7 :
- Pour $n=0$, $3^0 = 1$, le reste est 1.
- Pour $n=1$, $3^1 = 3$, le reste est 3.
- Pour $n=2$, $3^2 = 9$, le reste est 2.
- Pour $n=3$, $3^3 = 27$, le reste est 6.
- Pour $n=4$, $3^4 = 81$, le reste est 4.
- Pour $n=5$, $3^5 = 243$, le reste est 5.
- Pour $n=6$, $3^6 = 729$, le reste est 1.

On observe une période de 6 : les restes possibles sont 1, 3, 2, 6, 4, 5.

Méthode 2 (généralisation) : Avec les congruences et l'étude des restes de la division de $n$ par 6
On a déjà observé que les puissances de 3 modulo 7 ont une période de 6.
On étudie donc les restes possibles de la division euclidienne de $n$ par 6 :
- Si $n \equiv 0 \pmod{6}$, alors $n = 6k$ pour un certain entier $k$, et $3^n = 3^{6k} = (3^6)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{7}$.
- Si $n \equiv 1 \pmod{6}$, alors $n = 6k+1$ pour un certain entier $k$, et $3^n = 3^{6k+1} = (3^6)^k \cdot 3 \equiv 1^k \cdot 3 \equiv 3 \pmod{7}$.
- Si $n \equiv 2 \pmod{6}$, alors $n = 6k+2$ pour un certain entier $k$, et $3^n = 3^{6k+2} = (3^6)^k \cdot 3^2 \equiv 1^k \cdot 9 \equiv 2 \pmod{7}$.
- Si $n \equiv 3 \pmod{6}$, alors $n = 6k+3$ pour un certain entier $k$, et $3^n = 3^{6k+3} = (3^6)^k \cdot 3^3 \equiv 1^k \cdot 27 \equiv 6 \pmod{7}$.
- Si $n \equiv 4 \pmod{6}$, alors $n = 6k+4$ pour un certain entier $k$, et $3^n = 3^{6k+4} = (3^6)^k \cdot 3^4 \equiv 1^k \cdot 81 \equiv 4 \pmod{7}$.
- Si $n \equiv 5 \pmod{6}$, alors $n = 6k+5$ pour un certain entier $k$, et $3^n = 3^{6k+5} = (3^6)^k \cdot 3^5 \equiv 1^k \cdot 243 \equiv 5 \pmod{7}$.
On retrouve bien les mêmes restes possibles : 1, 3, 2, 6, 4, 5.

2. On a $2023 = 7 \times 289$, donc $2023 \equiv 0 \pmod{7}$.
On a $2024 = 6 \times 337 + 2$, donc $2024 \equiv 2 \pmod{6}$.
Comme les puissances de 3 modulo 7 ont une période de 6, on a $3^{2024} \equiv 3^2 \equiv 2 \pmod{7}$.
Par conséquent, $2023^{2024} \equiv 0^{2024} \equiv 0 \pmod{7}$
Le reste de la division euclidienne de $2023^{2024}$ par 7 est 0.

Correction :

1. Soit $n$ un entier naturel. On peut écrire $n$ en base 10 sous la forme $n = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + \dots + a_1 10 + a_0$, où les $a_i$ sont les chiffres de $n$ (compris entre 0 et 9).
Comme $10 \equiv 0 \pmod{10}$, on a $10^i \equiv 0 \pmod{10}$ pour tout $i \geq 1$.
Donc, $n \equiv a_k \cdot 0 + a_{k-1} \cdot 0 + \dots + a_1 \cdot 0 + a_0 \equiv a_0 \pmod{10}$.
Ainsi, tout entier naturel est congru à son dernier chiffre (chiffre des unités) modulo 10.

2. On a $2021 \equiv 1 \pmod{10}$.
Donc, $2021^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{10}$.
Le chiffre des unités de $2021^{2022}$ est donc 1.

Correction :

On doit montrer que $n(n^2 + 5) \equiv 0 \pmod{6}$ pour tout entier naturel $n$.
Cela revient à montrer que $n(n^2+5)$ est divisible à la fois par 2 et par 3.

Divisibilité par 2 :
Si $n$ est pair, alors $n(n^2 + 5)$ est pair.
Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair, donc $n^2 + 5$ est pair. Ainsi, $n(n^2 + 5)$ est pair.
Dans tous les cas, $n(n^2 + 5)$ est divisible par 2.

Divisibilité par 3 :
On étudie les cas possibles pour $n$ modulo 3 :
- Si $n \equiv 0 \pmod{3}$, alors $n(n^2 + 5) \equiv 0 \cdot (0^2 + 5) \equiv 0 \pmod{3}$.
- Si $n \equiv 1 \pmod{3}$, alors $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$, donc $n^2 + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Si $n \equiv 2 \pmod{3}$, alors $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$, donc $n^2 + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3}$.
Dans tous les cas, $n(n^2 + 5)$ est divisible par 3.

Comme $n(n^2 + 5)$ est divisible par 2 et par 3, et que 2 et 3 sont premiers entre eux, $n(n^2 + 5)$ est divisible par $2 \times 3 = 6$.

Correction :

1. Tout entier $n$ est soit pair, soit impair.
- Si $n$ est pair, alors $n = 2k$ pour un certain entier $k$. Donc $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Si $n$ est impair, alors $n = 2k+1$ pour un certain entier $k$. Donc $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.
Ainsi, $n^2$ est toujours congru soit à 0, soit à 1 modulo 4.

2. Si $n$ est impair, alors d'après la question précédente, $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$.
Donc, $n^2 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$.
Cela signifie que $n^2 - 1$ est divisible par 4 lorsque $n$ est impair.

Correction :

1. Soit $(x, y)$ une solution de l'équation $x+y=xy$ avec $x \neq 0$.
Comme $x$ et $y$ sont solutions de l'équation, on a $xy \neq 0$.
En divisant les deux membres de l'équation par $xy$, on obtient $\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{xy}{xy}$, ce qui donne $\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 1$.

2. Comme $x$ et $y$ sont des entiers naturels non nuls, $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ sont positifs.
Si $x > 2$, alors $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$. De même, si $y > 2$, alors $\frac{1}{y} < \frac{1}{2}$.
Si $x>2$ et $y>2$, alors on aurait $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, ce qui contredit l'égalité $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$.
Donc, on doit avoir $x \leq 2$ et $y \leq 2$.

3. On a montré que les solutions non nulles vérifient $x \leq 2$ et $y \leq 2$. On teste les différentes possibilités :
- Si $x=1$, l'équation devient $1+y = y$, ce qui n'a pas de solution.
- Si $x=2$, l'équation devient $2+y = 2y$, ce qui donne $y=2$.
Par symétrie, si $y=1$, il n'y a pas de solution, et si $y=2$, on retrouve $x=2$.
Il y a aussi la solution évidente $x=0$, $y=0$.
Les solutions dans $\mathbb{N}$ sont donc $(0,0)$ et $(2,2)$.

Correction :

1. On décompose 54 en facteurs premiers : $54 = 2 \times 3^3$.
Les diviseurs positifs de 54 sont donc : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 et 54.

2. Les diviseurs de 72 dans $\mathbb{Z}$ sont les entiers $d$ tels que $d$ divise 72 ou $-d$ divise 72.
On décompose 72 en facteurs premiers : $72 = 2^3 \times 3^2$.
Les diviseurs positifs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.
Les diviseurs de 72 dans $\mathbb{Z}$ sont donc : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 24, \pm 36$ et $\pm 72$.

Correction :

1. Les diviseurs positifs de 45 sont : 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
Les diviseurs positifs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
Les diviseurs communs à 45 et 60 sont donc 1, 3, 5 et 15.

2. Si $a$ divise 15, alors il existe un entier $k$ tel que $15 = ka$.
Si $a$ divise 20, alors il existe un entier $m$ tel que $20 = ma$.
On a $5 = 20 - 15 = ma - ka = (m-k)a$.
Comme $m-k$ est un entier, $a$ divise 5.

Correction :

Si $d$ divise $a$, alors il existe un entier $k$ tel que $a = kd$.
Si $d$ divise $b$, alors il existe un entier $m$ tel que $b = md$.

Alors, $3a + 5b = 3(kd) + 5(md) = (3k + 5m)d$.

Comme $3k + 5m$ est un entier, $d$ divise $3a + 5b$.

Correction :

1. On a $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 15$.
Comme $x$ et $y$ sont des entiers naturels, $x+y$ et $x-y$ sont des entiers relatifs. De plus, $x+y > x-y$ car $y$ est positif.
On a les possibilités suivantes pour les facteurs de 15 :
$\begin{cases} x+y = 15 \\ x-y = 1 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x+y = 5 \\ x-y = 3 \end{cases}$
En résolvant ces systèmes, on trouve :
$\begin{cases} x = 8 \\ y = 7 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$
Les solutions sont donc les couples $(8, 7)$ et $(4, 1)$.

2. On a $xy - 3x - 2y = 0$.
On peut factoriser en ajoutant 6 des deux côtés : $xy - 3x - 2y + 6 = 6$.
Cela donne $(x-2)(y-3) = 6$.
On cherche les diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6.
On a les possibilités suivantes :
$\begin{cases} x-2 = 1 \\ y-3 = 6 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x-2 = 2 \\ y-3 = 3 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x-2 = 3 \\ y-3 = 2 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x-2 = 6 \\ y-3 = 1 \end{cases}$
Ce qui donne les solutions :
$\begin{cases} x = 3 \\ y = 9 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x = 5 \\ y = 5 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}$

Correction :

1. On a $187 = 13 \times 14 + 5$.
Le quotient de la division euclidienne de 187 par 13 est 14 et le reste est 5.

2. On peut utiliser la propriété que le reste de la division euclidienne d'un entier par 9 est le même que le reste de la division de la somme de ses chiffres par 9.
La somme des chiffres de 12345 est $1+2+3+4+5 = 15$.
La somme des chiffres de 15 est $1+5 = 6$.
Donc, le reste de la division euclidienne de 12345 par 9 est 6.

Correction :

1. Soit $n$ l'entier recherché. On a $n = 25q + r$, où $q$ est le quotient et $r$ le reste.
On sait que $q = 2r$. Donc, $n = 25(2r) + r = 50r + r = 51r$.
De plus, $0 \leq r < 25$.
Il y a donc plusieurs solutions possibles, par exemple :
Si $r=1$, $n=51$; si $r=2$, $n=102$ ; si $r=3$, $n=153$ ; etc.

2. Soient $a$ et $b$ les deux entiers, avec $a > b$.
On a $a - b = 484$ et $a = 5b + 4$.
En substituant, on obtient $(5b + 4) - b = 484$, ce qui donne $4b = 480$, d'où $b = 120$.
Alors, $a = 484 + b = 484 + 120 = 604$.
Les deux entiers sont 604 et 120.

Correction :

1. On effectue la division euclidienne de 4567 par 7 : $4567 = 652 \times 7 + 3$.
Donc, $4567 \equiv 3 \pmod{7}$.
Le reste de la division euclidienne de 4567 par 7 est 3.

2. On a $1234 \equiv 4 \pmod{5}$.
Donc, $1234^{56} \equiv 4^{56} \pmod{5}$.
Or, $4 \equiv -1 \pmod{5}$, donc $4^{56} \equiv (-1)^{56} \equiv 1 \pmod{5}$.
Le reste de la division euclidienne de $1234^{56}$ par 5 est 1.

Correction :

1. On calcule les premières puissances de 5 modulo 13 :
$5^0 \equiv 1 \pmod{13}$
$5^1 \equiv 5 \pmod{13}$
$5^2 \equiv 25 \equiv 12 \pmod{13}$
$5^3 \equiv 12 \times 5 \equiv 60 \equiv 8 \pmod{13}$
$5^4 \equiv 8 \times 5 \equiv 40 \equiv 1 \pmod{13}$
On observe une période de 4 : les restes possibles sont 1, 5, 12 et 8.

2. On a $2023 = 13 \times 155 + 8$, donc $2023 \equiv 8 \pmod{13}$.
D'autre part, $2024 = 4 \times 506$, donc $2024 \equiv 0 \pmod{4}$.
Comme les puissances de 5 modulo 13 ont une période de 4, on a $5^{2024} \equiv 5^0 \equiv 1 \pmod{13}$.
De plus, $8 \equiv -5 \pmod{13}$, donc $2023^{2024} \equiv 8^{2024} \equiv (-5)^{2024} \equiv 5^{2024} \equiv 1 \pmod{13}$.
Le reste de la division euclidienne de $2023^{2024}$ par 13 est 1.

Correction :

1. On teste les restes possibles modulo 8 pour $x$ : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
On a :
$0^2 \equiv 0 \pmod{8}$
$1^2 \equiv 1 \pmod{8}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{8}$
$3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8}$
$4^2 \equiv 16 \equiv 0 \pmod{8}$
$5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{8}$
$6^2 \equiv 36 \equiv 4 \pmod{8}$
$7^2 \equiv 49 \equiv 1 \pmod{8}$
Donc, $x^2 \equiv 1 \pmod{8}$ si et seulement si $x \equiv 1 \pmod{8}$, $x \equiv 3 \pmod{8}$, $x \equiv 5 \pmod{8}$ ou $x \equiv 7 \pmod{8}$.

2. On a $x^2 \equiv x \pmod{6} \Leftrightarrow x^2 - x \equiv 0 \pmod{6} \Leftrightarrow x(x-1) \equiv 0 \pmod{6}$.
Cela signifie que $x(x-1)$ est divisible par 6.
On teste les restes possibles modulo 6 pour $x$ : 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
On trouve que $x(x-1)$ est divisible par 6 si $x \equiv 0 \pmod{6}$, $x \equiv 1 \pmod{6}$, $x \equiv 3 \pmod{6}$ ou $x \equiv 4 \pmod{6}$.

Correction :

1. On cherche un entier $x$ tel que $4x \equiv 1 \pmod{5}$.
On peut multiplier les deux membres de la congruence par 4 (car $4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$) :
$4 \cdot 4x \equiv 4 \cdot 1 \pmod{5}$
$16x \equiv 4 \pmod{5}$
$x \equiv 4 \pmod{5}$
Les solutions sont donc les entiers de la forme $x = 4 + 5k$, où $k$ est un entier relatif.

2. On a $x^2 + x \equiv 0 \pmod{7} \Leftrightarrow x(x+1) \equiv 0 \pmod{7}$.
Cela signifie que $x(x+1)$ est divisible par 7.
Comme 7 est premier, cela implique que $x$ est divisible par 7 ou $x+1$ est divisible par 7.
Donc, $x \equiv 0 \pmod{7}$ ou $x \equiv -1 \equiv 6 \pmod{7}$.
Les solutions sont donc les entiers de la forme $x = 7k$ ou $x = 6 + 7k$, où $k$ est un entier relatif.

3. On a $10 \equiv 1 \pmod{3}$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$.

Correction :

1. Si $n \equiv 0 \pmod{4}$, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 4k$.
Donc, $n^2 + 2n + 1 = (4k)^2 + 2(4k) + 1 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$.
Comme $4k^2 + 2k$ est un entier, on a $n^2 + 2n + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.

2. Si $n \equiv 1 \pmod{4}$, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 4k + 1$.
Donc, $n^2 + 2n + 1 = (4k+1)^2 + 2(4k+1) + 1 = 16k^2 + 8k + 1 + 8k + 2 + 1 = 16k^2 + 16k + 4 = 4(4k^2 + 4k + 1)$.
Comme $4k^2 + 4k + 1$ est un entier, $n^2 + 2n + 1$ est divisible par 4.

3. Si $n \equiv 2 \pmod{4}$, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 4k + 2$.
Donc, $n^2 + 2n + 1 = (4k+2)^2 + 2(4k+2) + 1 = 16k^2 + 16k + 4 + 8k + 4 + 1 = 16k^2 + 24k + 9$.
Comme $16k^2 + 24k + 8 = 4(4k^2 + 6k + 2)$ est divisible par 4 et $9 \equiv 1 \pmod{4}$, on a $n^2 + 2n + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.

4. Si $n \equiv 3 \pmod{4}$, alors il existe un entier $k$ tel que $n = 4k + 3$.
Donc, $n^2 + 2n + 1 = (4k+3)^2 + 2(4k+3) + 1 = 16k^2 + 24k + 9 + 8k + 6 + 1 = 16k^2 + 32k + 16 = 4(4k^2 + 8k + 4)$.
Comme $4k^2 + 8k + 4$ est un entier, $n^2 + 2n + 1$ est divisible par 4.

5. On remarque que $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.
Donc, $(n+1)^2$ est divisible par 4 si $n$ est impair, et $(n+1)^2$ est congru à 1 modulo 4 si $n$ est pair.

6. Script Python :

# Vérification des résultats pour n de 0 à 15
for n in range(16):
    if n % 2 == 1:
        if (n + 1)**2 % 4 == 0:
            print("Pour n =", n, ", (n+1)^2 est divisible par 4")
        else:
            print("Pour n =", n, ", (n+1)^2 n'est pas divisible par 4")
    else:
        if (n + 1)**2 % 4 == 1:
            print("Pour n =", n, ", (n+1)^2 est congru à 1 modulo 4")
        else:
            print("Pour n =", n, ", (n+1)^2 n'est pas congru à 1 modulo 4")

Correction :

1. $n^2 - n = n(n-1)$.
$n^2 - n \equiv 0 \pmod{5}$ si et seulement si $n(n-1) \equiv 0 \pmod{5}$.
Comme 5 est un nombre premier, cela signifie que soit $n \equiv 0 \pmod{5}$, soit $n-1 \equiv 0 \pmod{5}$.
Donc, $n^2 - n \equiv 0 \pmod{5}$ si et seulement si $n \equiv 0 \pmod{5}$ ou $n \equiv 1 \pmod{5}$.

2. On doit avoir $n(n+2)(n+1)^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
On étudie les cas possibles pour $n$ modulo 4 :
- Si $n \equiv 0 \pmod{4}$, alors $n(n+2)(n+1)^2 \equiv 0 \cdot 2 \cdot 1^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Si $n \equiv 1 \pmod{4}$, alors $n(n+2)(n+1)^2 \equiv 1 \cdot 3 \cdot 2^2 \equiv 12 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Si $n \equiv 2 \pmod{4}$, alors $n(n+2)(n+1)^2 \equiv 2 \cdot 0 \cdot 3^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Si $n \equiv 3 \pmod{4}$, alors $n(n+2)(n+1)^2 \equiv 3 \cdot 1 \cdot 0^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
Dans tous les cas, $n(n+2)(n+1)^2 \equiv 0 \pmod{4}$. Donc, l'équation est vérifiée pour tout entier relatif $n$.

3. Script Python :

# Affichage des solutions de l'équation n(n+2)(n+1)^2 ≡ 0 (mod 4) pour n entre -10 et 10
for n in range(-10, 11):
    if (n * (n + 2) * (n + 1)**2) % 4 == 0:
        print("n =", n, "est une solution")

Correction :

1. On a $17 \equiv 3 \pmod{7}$.
Donc, $17^{50} \equiv 3^{50} \pmod{7}$.
On calcule les premières puissances de 3 modulo 7 :
$3^1 \equiv 3 \pmod{7}$
$3^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$
$3^3 \equiv 6 \pmod{7}$
$3^4 \equiv 18 \equiv 4 \pmod{7}$
$3^5 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}$
$3^6 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$
Les puissances de 3 modulo 7 ont une période de 6.
Comme $50 = 6 \times 8 + 2$, on a $3^{50} \equiv 3^{6 \times 8 + 2} \equiv (3^6)^8 \cdot 3^2 \equiv 1^8 \cdot 9 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$.
Donc, $17^{50} \equiv 2 \pmod{7}$.
Le reste de la division euclidienne de $17^{50}$ par 7 est 2.

2. On calcule les premières puissances de 5 modulo 9 :
$5^1 \equiv 5 \pmod{9}$
$5^2 \equiv 25 \equiv 7 \pmod{9}$
$5^3 \equiv 35 \equiv 8 \pmod{9}$
$5^4 \equiv 40 \equiv 4 \pmod{9}$
$5^5 \equiv 20 \equiv 2 \pmod{9}$
$5^6 \equiv 10 \equiv 1 \pmod{9}$
Les puissances de 5 modulo 9 ont une période de 6.
On a $2023 = 6 \times 337 + 1$, donc $2023 \equiv 1 \pmod{6}$.
Donc, $5^{2023} \equiv 5^1 \equiv 5 \pmod{9}$.
Le reste de la division euclidienne de $5^{2023}$ par 9 est 5.

Correction :

1. On a $10 \equiv 1 \pmod{9}$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{9}$.

2. Comme $10^n \equiv 1 \pmod{9}$ et que $9$ est un multiple de $3$, on a aussi $10^n \equiv 1 \pmod{3}$.
(Si un nombre est congru à 1 modulo 9, il est aussi congru à 1 modulo 3 car 9 est un multiple de 3).

3. D'après la question précédente, on a :
$10^{10} \equiv 1 \pmod{3}$
$10^{20} \equiv 1 \pmod{3}$
$10^{30} \equiv 1 \pmod{3}$
Donc, $10^{10} + 10^{20} + 10^{30} \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$.
Le reste de la division euclidienne de $10^{10} + 10^{20} + 10^{30}$ par 3 est 0.

Correction :

1. Initialisation : Pour $n=0$, on a $4^0 - 1 = 1 - 1 = 0$, qui est divisible par 3.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier naturel $k$, $4^k - 1$ est divisible par 3.
Alors, il existe un entier $m$ tel que $4^k - 1 = 3m$.
On a $4^{k+1} - 1 = 4 \cdot 4^k - 1 = 4(3m + 1) - 1 = 12m + 4 - 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1)$.
Comme $4m+1$ est un entier, $4^{k+1} - 1$ est divisible par 3.

Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$ et si elle est vraie pour un entier $k$, elle est vraie pour $k+1$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $4^n - 1$ est divisible par 3.

2. Initialisation : Pour $n=0$, on a $5^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0$, qui est divisible par 3.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier naturel $k$, $5^k - 2^k$ est divisible par 3.
Alors, il existe un entier $m$ tel que $5^k - 2^k = 3m$.
On a $5^{k+1} - 2^{k+1} = 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k = 5(3m + 2^k) - 2 \cdot 2^k = 15m + 5 \cdot 2^k - 2 \cdot 2^k = 15m + 3 \cdot 2^k = 3(5m + 2^k)$.
Comme $5m + 2^k$ est un entier, $5^{k+1} - 2^{k+1}$ est divisible par 3.

Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$ et si elle est vraie pour un entier $k$, elle est vraie pour $k+1$. Donc, pour tout entier naturel $n$, $5^n - 2^n$ est divisible par 3.