Exercices - Argument d'un Nombre Complexe

Argument d'un Nombre Complexe

Maîtrisez le module et l'argument, les formes trigonométrique et exponentielle, et leurs propriétés à travers ces exercices ciblés.

Revoyons ensemble les points essentiels sur l'Argument d'un Nombre Complexe avant de démarrer les exercices. Ces rappels sont vos fondations pour réussir !

1. Module et Argument d'un Nombre Complexe

Pour un nombre complexe $z = x + iy$, où $x$ et $y$ sont réels :

Le module de $z$, noté $|z|$, est la distance de l'origine O au point M d'affixe $z$. Il est donné par la formule :

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

L'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est l'angle $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM})$, où $\overrightarrow{u}$ est le vecteur unitaire de l'axe des réels. Il est défini à $2\pi$ près et vérifie :

$$\cos(\arg(z)) = \frac{x}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin(\arg(z)) = \frac{y}{|z|}$$

2. Forme Trigonométrique et Exponentielle

Forme trigonométrique : Un nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme :

$$z = |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$$

où $|z|$ est le module de $z$ et $\theta = \arg(z)$ est un argument de $z$.

Forme exponentielle : En utilisant la notation $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$, la forme exponentielle de $z$ est :

$$z = |z|e^{i\theta}$$

3. Propriétés des Arguments

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls :

Argument d'un produit : $$\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z') \quad [2\pi]$$

Argument d'un quotient : $$\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \quad [2\pi]$$

Argument d'une puissance : $$\arg(z^n) = n\arg(z) \quad [2\pi]$$ pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$.

Argument du conjugué : $$\arg(\overline{z}) = -\arg(z) \quad [2\pi]$$

Argument de l'opposé : $$\arg(-z) = \arg(z) + \pi \quad [2\pi]$$

4. Interprétation Géométrique de l'Argument

L'argument de $z_B - z_A$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AB})$.

L'argument de $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Si $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = \frac{\pi}{2} \quad [\pi]$, alors les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

Si $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) = 0 \quad [\pi]$, alors les points A, B, et C sont alignés.

C'est noté ? 💪 Maintenant, place aux exercices ! Bonne chance !

Exercice 1: Lire le module et un argument d'un nombre complexe

Dans un repère orthonormé direct $\rm \left(O;~\overrightarrow{OD};~\overrightarrow{OE}\right)$, on considère les points A, B, C, D, E, F, G et H.
On note $z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H$ leurs affixes respectives.

1) Déterminer le module et un argument de $z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H$.
2) Écrire $z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H$ sous forme trigonométrique, exponentielle et algébrique.

Correction :

Question 1) Déterminer le module et un argument de $z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H$.

Pour lire le module et l'argument graphiquement, on utilise le repère orthonormé direct $\rm \left(O;~\overrightarrow{OD};~\overrightarrow{OE}\right)$. L'axe des abscisses correspond à l'axe réel et l'axe des ordonnées correspond à l'axe imaginaire.

- Point A : $z_A = 2$. Le point A est sur l'axe réel positif à une distance de 2 de l'origine. Donc, module $|z_A| = 2$ et argument $\arg(z_A) = 0 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point B : $z_B = 3i$. Le point B est sur l'axe imaginaire positif à une distance de 3 de l'origine. Donc, module $|z_B| = 3$ et argument $\arg(z_B) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point C : $z_C = -2$. Le point C est sur l'axe réel négatif à une distance de 2 de l'origine. Donc, module $|z_C| = 2$ et argument $\arg(z_C) = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point D : $z_D = -4i$. Le point D est sur l'axe imaginaire négatif à une distance de 4 de l'origine. Donc, module $|z_D| = 4$ et argument $\arg(z_D) = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point E : $z_E = 1+i$. Le point E est dans le premier quadrant. On peut voir que OE est la diagonale d'un carré de côté 1. Donc, par Pythagore, $|z_E| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. L'angle formé avec l'axe réel positif est de $\frac{\pi}{4}$. Donc, $\arg(z_E) = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point F : $z_F = -1+i$. Le point F est dans le deuxième quadrant. Module $|z_F| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. L'angle formé avec l'axe réel positif est de $\frac{3\pi}{4}$. Donc, $\arg(z_F) = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point G : $z_G = -1-i$. Le point G est dans le troisième quadrant. Module $|z_G| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. L'angle formé avec l'axe réel positif est de $-\frac{3\pi}{4}$ ou $\frac{5\pi}{4}$. Donc, $\arg(z_G) = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ ou $\arg(z_G) = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- Point H : $z_H = 1-i$. Le point H est dans le quatrième quadrant. Module $|z_H| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. L'angle formé avec l'axe réel positif est de $-\frac{\pi}{4}$. Donc, $\arg(z_H) = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Question 2) Écrire $z_A,~ z_B,~ z_C,~ z_D,~ z_E,~ z_F, ~ z_G,~ z_H$ sous forme trigonométrique, exponentielle et algébrique.

- $z_A = 2$:

Forme algébrique : $z_A = 2$

Forme trigonométrique : $z_A = 2(\cos(0) + i\sin(0))$

Forme exponentielle : $z_A = 2e^{i0} = 2$

- $z_B = 3i$:

Forme algébrique : $z_B = 0 + 3i$

Forme trigonométrique : $z_B = 3(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

Forme exponentielle : $z_B = 3e^{i\frac{\pi}{2}}$

- $z_C = -2$:

Forme algébrique : $z_C = -2 + 0i$

Forme trigonométrique : $z_C = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$

Forme exponentielle : $z_C = 2e^{i\pi}$

- $z_D = -4i$:

Forme algébrique : $z_D = 0 - 4i$

Forme trigonométrique : $z_D = 4(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

Forme exponentielle : $z_D = 4e^{-i\frac{\pi}{2}}$

- $z_E = 1+i$:

Forme algébrique : $z_E = 1 + 1i$

Forme trigonométrique : $z_E = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

Forme exponentielle : $z_E = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

- $z_F = -1+i$:

Forme algébrique : $z_F = -1 + 1i$

Forme trigonométrique : $z_F = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$

Forme exponentielle : $z_F = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$

- $z_G = -1-i$:

Forme algébrique : $z_G = -1 - 1i$

Forme trigonométrique : $z_G = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\3pi}{4}) + i\sin(-\frac{3\pi}{4}))$

Forme exponentielle : $z_G = \sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}}$

- $z_H = 1-i$:

Forme algébrique : $z_H = 1 - 1i$

Forme trigonométrique : $z_H = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

Forme exponentielle : $z_H = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$

Exercices 2: Déterminer le module et un argument - forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:

$z_1=3$	$z_2=-4$	$z_3=i$	$z_4=-3i$
$z_5=2+2i$	$z_6=2-2i$	$z_7=-\sqrt 3+3i$

2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique et exponentielle.

Correction :

Question 1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:

- $z_1 = 3$: Module $|z_1| = 3$. Argument $\arg(z_1) = 0 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- $z_2 = -4$: Module $|z_2| = 4$. Argument $\arg(z_2) = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- $z_3 = i$: Module $|z_3| = 1$. Argument $\arg(z_3) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- $z_4 = -3i$: Module $|z_4| = 3$. Argument $\arg(z_4) = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- $z_5 = 2+2i$: Module $|z_5| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Pour l'argument, $\cos(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\arg(z_5) = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- $z_6 = 2-2i$: Module $|z_6| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Pour l'argument, $\cos(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\arg(z_6) = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

- $z_7 = -\sqrt{3}+3i$: Module $|z_7| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Pour l'argument, $\cos(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\arg(z_7) = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Question 2) Écrire ces nombres complexes sous forme trigonométrique et exponentielle.

- $z_1 = 3 = 3(\cos(0) + i\sin(0)) = 3e^{i0} = 3$.

- $z_2 = -4 = 4(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 4e^{i\pi}$.

- $z_3 = i = 1(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

- $z_4 = -3i = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

- $z_5 = 2+2i = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

- $z_6 = 2-2i = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

- $z_7 = -\sqrt{3}+3i = 2\sqrt{3}(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 2\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Exercices 3: Propriétés de l'argument d'un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe non nul.
1) Exprimer $\arg(\overline z)$ en fonction de $\arg(z)$.
2) Exprimer $\arg(-z)$ en fonction de $\arg(z)$.
3) Exprimer $\arg(-\overline z)$ en fonction de $\arg(z)$.

Exercices 4: Utiliser les propriétés des arguments d'un nombre complexe

1) Déterminer un argument de $z_1=1+i$ et \[z_2=-3+\sqrt 3i\].
2) En déduire un argument des nombres complexes suivants:

\[z_1\times z_2\]

\[-3-\sqrt 3i\]

\[-\frac12(1+i)\]

\[-1-i\]

\[\frac{(3-\sqrt 3i) ^2}{(1-i)^3}\]

Correction :

Question 1) Déterminer un argument de $z_1=1+i$ et $z_2=-3+\sqrt 3i$.

- Pour $z_1 = 1+i$, on a $\cos(\arg(z_1)) = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\arg(z_1)) = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc, $\arg(z_1) = \frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

- Pour $z_2 = -3+\sqrt 3i$, on a $|z_2| = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. $\cos(\arg(z_2)) = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\arg(z_2)) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Donc, $\arg(z_2) = \frac{5\pi}{6} \quad [2\pi]$.

Question 2) En déduire un argument des nombres complexes suivants:

- Pour $z_1 \times z_2$, on utilise la propriété $\arg(z_1 \times z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \quad [2\pi]$. $\arg(z_1 \times z_2) = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{10\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \quad [2\pi]$. On peut aussi donner un argument dans $[-\pi, \pi]$ : $\frac{13\pi}{12} - 2\pi = \frac{13\pi - 24\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} \quad [2\pi]$.

- Pour $-3-\sqrt 3i$, c'est le conjugué de $z_2 = -3+\sqrt 3i$, soit $\overline{z_2} = -3-\sqrt 3i$. On utilise la propriété $\arg(\overline{z_2}) = -\arg(z_2) \quad [2\pi]$. $\arg(-3-\sqrt 3i) = -\arg(z_2) = -\frac{5\pi}{6} \quad [2\pi]$.

- Pour $-\frac12(1+i) = -\frac{1}{2}z_1$. On utilise la propriété $\arg(kz) = \arg(z) + \arg(k) \quad [2\pi]$. Ici $k = -\frac{1}{2}$ est un réel négatif, donc $\arg(k) = \pi \quad [2\pi]$. $\arg(-\frac12(1+i)) = \arg(-\frac{1}{2}) + \arg(z_1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \quad [2\pi]$. On peut aussi donner un argument dans $[-\pi, \pi]$ : $\frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$.

- Pour $-1-i = -(1+i) = -z_1$. On utilise la propriété $\arg(-z) = \arg(z) + \pi \quad [2\pi]$. $\arg(-1-i) = \arg(-z_1) = \arg(z_1) + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \quad [2\pi]$. Ou $\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$.

- Pour $\frac{(3-\sqrt 3i) ^2}{(1-i)^3}$. Il faut d'abord déterminer l'argument de $3-\sqrt 3i$ et $1-i$. $3-\sqrt 3i = \overline{z_2} = -3-\sqrt 3i$. On a $\arg(\overline{z_2}) = -\arg(z_2) = -\frac{5\pi}{6} \quad [2\pi]$. Pour $1-i = \overline{z_E} = \overline{1+i} = \overline{z_1}$. On a $\arg(\overline{z_1}) = -\arg(z_1) = -\frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$. Donc, $\arg((3-\sqrt 3i)^2) = 2\arg(3-\sqrt 3i) = 2 \times (-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{3} \quad [2\pi]$. $\arg((1-i)^3) = 3\arg(1-i) = 3 \times (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$. $\arg(\frac{(3-\sqrt 3i) ^2}{(1-i)^3}) = \arg((3-\sqrt 3i)^2) - \arg((1-i)^3) = -\frac{5\pi}{3} - (-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{5\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{-20\pi + 9\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} \quad [2\pi]$.

Exercices 5: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique

Dans chaque cas, donner une forme trigonométrique du nombre complexe $z$:

$z = -2\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) \right)$
$z = 3\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right) \right)$
$z = 5\left( -\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right) \right)$

Correction :

Question 1) $z = -2\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) \right)$

Pour avoir la forme trigonométrique, il faut avoir un module positif devant et un signe '+' entre le cosinus et le sinus. Ici, on a un $-2$ devant, ce qui est négatif, et un signe '-' entre le cosinus et le sinus.

On utilise $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ et $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$.

Donc, $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$.

Donc, $z = -2\left( \cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) \right)$. Il reste le $-2$ devant. On utilise $-1 = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi)$.

$z = 2 \times (-1) \times \left( \cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) \right) = 2 \times \left( \cos(\pi) + i\sin(\pi) \right) \times \left( \cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) \right)$.

En utilisant la formule de multiplication des nombres complexes sous forme trigonométrique (ou exponentielle), on ajoute les arguments :

$z = 2 \left( \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{12}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) + i\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right)$.

Forme trigonométrique : $z = 2 \left( \cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) + i\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) \right)$.

Question 2) $z = 3\left( \cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) - i\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right) \right)$

Ici, le module 3 est positif, mais il y a un signe '-' entre le cosinus et le sinus. On utilise encore $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ et $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$.

$z = 3\left( \cos \left(-\dfrac{\pi}{7}\right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{7}\right) \right)$.

Forme trigonométrique : $z = 3\left( \cos \left(-\dfrac{\pi}{7}\right) + i\sin \left(-\dfrac{\pi}{7}\right) \right)$.

Question 3) $z = 5\left( -\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right) \right)$

Ici, le module 5 est positif, mais le cosinus est précédé d'un signe '-'. On utilise les formules : $\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$ et $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$.

Donc, $-\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) = \cos \left(\pi - \dfrac{\pi}{5}\right) = \cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.

Et $i\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right) = i\sin \left(\pi - \dfrac{\pi}{5}\right) = i\sin \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.

Donc, $z = 5\left( \cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) + i\sin \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right)$.

Forme trigonométrique : $z = 5\left( \cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) + i\sin \left(\dfrac{4\pi}{5}\right) \right)$.

Exercices 6: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique

1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:

\[z_1=2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\]	\[z_2=-2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\]
\[z_3=2(-\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)\]	\[z_4=2(\cos \frac {\pi} 4-i \sin \frac {\pi} 4)\]

2) Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.

Correction :

Question 1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants:

- $z_1=2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)$. Forme trigonométrique directe. Module $|z_1| = 2$, argument $\arg(z_1) = \frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

- $z_2=-2(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)$. Le module doit être positif. On utilise $-1 = e^{i\pi}$. $z_2 = 2 \times (-1) \times (\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4) = 2 e^{i\pi} e^{i\frac{\pi}{4}} = 2 e^{i(\pi + \frac{\pi}{4})} = 2 e^{i\frac{5\pi}{4}}$. Module $|z_2| = 2$, argument $\arg(z_2) = \frac{5\pi}{4} \quad [2\pi]$.

- $z_3=2(-\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4)$. Le cosinus est précédé d'un signe '-'. On utilise $\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$ et $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$. $z_3 = 2(\cos(\pi - \frac {\pi} 4)+i \sin (\pi - \frac {\pi} 4)) = 2(\cos(\frac {3\pi} 4)+i \sin (\frac {3\pi} 4))$. Module $|z_3| = 2$, argument $\arg(z_3) = \frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$.

- $z_4=2(\cos \frac {\pi} 4-i \sin \frac {\pi} 4)$. Le sinus est précédé d'un signe '-'. On utilise $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ et $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$. $z_4 = 2(\cos(-\frac {\pi} 4)+i \sin (-\frac {\pi} 4))$. Module $|z_4| = 2$, argument $\arg(z_4) = -\frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Question 2) Écrire ces nombres complexes sous forme exponentielle.

- $z_1=2e^{i\frac {\pi} 4}$.

- $z_2=2e^{i\frac {5\pi} 4}$.

- $z_3=2e^{i\frac {3\pi} 4}$.

- $z_4=2e^{-i\frac {\pi} 4}$.

Exercices 7: Ensemble de points et argument d'un nombre complexe - lieu de points et argument

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
1) Déterminer le lieu des points M d'affixe $z$ tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6 ~[2\pi]\].
2) Déterminer le lieu des points M d'affixe $z$ tel que \[\arg(z)=\frac \pi 6 ~[\pi]\].
3) Déterminer le lieu des points M d'affixe $z$ tel que \[\arg(z+i)=-\frac {3\pi} 4 ~[2\pi]\]

Correction :

Question 1) Déterminer le lieu des points M d'affixe $z$ tel que $\arg(z)=\frac \pi 6 ~[2\pi]$.

$\arg(z) = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM}) = \frac{\pi}{6} \quad [2\pi]$. Cela signifie que l'angle entre l'axe des abscisses (vecteur $\overrightarrow{u}$) et le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est constant et égal à $\frac{\pi}{6}$.

L'ensemble des points M est donc la demi-droite d'origine O, faisant un angle de $\frac{\pi}{6}$ avec l'axe des abscisses, privée de l'origine O (car l'argument n'est pas défini pour $z=0$).

Lieu des points M : Demi-droite d'origine O, d'angle $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe réel positif, excluant le point O.

Question 2) Déterminer le lieu des points M d'affixe $z$ tel que $\arg(z)=\frac \pi 6 ~[\pi]$.

$\arg(z) = \frac{\pi}{6} \quad [\pi]$ signifie $\arg(z) = \frac{\pi}{6} + k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$.

Si $k=0$, $\arg(z) = \frac{\pi}{6} \quad [2\pi]$. On a la demi-droite de la question 1.

Si $k=1$, $\arg(z) = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - \pi \quad [2\pi]$. On a la demi-droite opposée, faisant un angle de $\frac{7\pi}{6}$ ou $-\frac{5\pi}{6}$ avec l'axe des abscisses.

L'ensemble des points M est donc la réunion de deux demi-droites opposées, formant une droite passant par l'origine O, et faisant un angle de $\frac{\pi}{6}$ avec l'axe des abscisses, privée de l'origine O.

Lieu des points M : Droite passant par O, d'angle $\frac{\pi}{6}$ par rapport à l'axe réel positif, excluant le point O.

Question 3) Déterminer le lieu des points M d'affixe $z$ tel que $\arg(z+i)=-\frac {3\pi} 4 ~[2\pi]$.

Posons $Z = z+i$. Alors l'équation devient $\arg(Z) = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Si $z$ est l'affixe de M, alors $z+i$ est l'affixe de $\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OV}$ où V a pour affixe $i$. Donc $z+i$ est l'affixe du point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OV}$. En fait, si on pose $z+i = Z$, alors $z = Z - i$.

L'équation $\arg(z+i) = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$ signifie $\arg(Z) = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$. Donc, Z est l'affixe d'un point $M'$ qui appartient à la demi-droite d'origine O, d'angle $-\frac{3\pi}{4}$ avec l'axe des abscisses, privée de O.

On a $Z = z+i$, donc $z = Z - i$. Si $M'$ est le point d'affixe $Z$, et M est le point d'affixe $z = Z-i$, alors $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OM'} - \overrightarrow{OV} = \overrightarrow{M'V}$. Donc $\overrightarrow{VM'} = \overrightarrow{OM}$.

Si $M'$ décrit la demi-droite d'origine O, d'angle $-\frac{3\pi}{4}$, alors M décrit la demi-droite d'origine V (point d'affixe $-i$), d'angle $-\frac{3\pi}{4}$ avec l'axe des abscisses, privée de V.

En effet, $z+i$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM}$ où A est le point d'affixe $-i$. Donc $\arg(z+i) = \arg(z - (-i)) = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Lieu des points M : Demi-droite d'origine A (point d'affixe $-i$), d'angle $-\frac{3\pi}{4}$ par rapport à l'axe réel positif, excluant le point A.

Exercices 8: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique

Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:

$z_1=2-2i$

\[z_2=-3 \left(\cos \frac \pi 3-i\sin \frac \pi 3\right)\]

\[z_3=\frac 1{-\sqrt 2+i\sqrt 6}\]

Correction :

Pour écrire un nombre complexe sous forme exponentielle $z = re^{i\theta}$, il faut déterminer son module $r = |z|$ et un argument $\theta = \arg(z)$.

Pour $z_1=2-2i$ :

Module : $|z_1| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Argument : $\cos(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = -\frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Forme exponentielle : $z_1 = 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Pour $z_2=-3 \left(\cos \frac \pi 3-i\sin \frac \pi 3\right)$ :

On a $z_2 = -3 \left(\cos \frac \pi 3-i\sin \frac \pi 3\right) = -3 \left(\cos (-\frac \pi 3)+i\sin (-\frac \pi 3)\right)$.

Le module doit être positif. On utilise $-1 = e^{i\pi}$. $-3 = 3 \times (-1) = 3 e^{i\pi}$.

$z_2 = 3e^{i\pi} \times \left(\cos (-\frac \pi 3)+i\sin (-\frac \pi 3)\right) = 3e^{i\pi} \times e^{-i\frac{\pi}{3}} = 3e^{i(\pi - \frac{\pi}{3})} = 3e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Forme exponentielle : $z_2 = 3e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Pour $z_3=\frac 1{-\sqrt 2+i\sqrt 6}$ :

On calcule d'abord le module et l'argument du dénominateur $z = -\sqrt 2+i\sqrt 6$.

Module de $-\sqrt 2+i\sqrt 6$ : $|-\sqrt 2+i\sqrt 6| = \sqrt{(-\sqrt 2)^2 + (\sqrt 6)^2} = \sqrt{2+6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Argument de $-\sqrt 2+i\sqrt 6$ : $\cos(\theta) = \frac{-\sqrt 2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt 6}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta = \frac{2\pi}{3} \quad [2\pi]$.

Donc $-\sqrt 2+i\sqrt 6 = 2\sqrt{2}e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Alors $z_3 = \frac{1}{-\sqrt 2+i\sqrt 6} = \frac{1}{2\sqrt{2}e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

Forme exponentielle : $z_3 = \frac{1}{2\sqrt{2}} e^{-i\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4} e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

Exercices 9: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique

Écrire les nombres suivants sous forme exponentielle:

\[z_1=-4e^{i\frac \pi 5}\]

\[z_2=\frac{-3(1+i)}{-\sqrt 3+3i}\]

\[z_3=-\sqrt 5 (-2\sqrt 3+6i)^2e^{-i\frac{2\pi} 3}\]

Correction :

Pour $z_1=-4e^{i\frac \pi 5}$ :

Le module doit être positif. On a $-4 = 4 \times (-1) = 4e^{i\pi}$.

$z_1 = -4e^{i\frac \pi 5} = 4e^{i\pi} \times e^{i\frac \pi 5} = 4e^{i(\pi + \frac{\pi}{5})} = 4e^{i\frac{6\pi}{5}}$.

Forme exponentielle : $z_1 = 4e^{i\frac{6\pi}{5}}$.

Pour $z_2=\frac{-3(1+i)}{-\sqrt 3+3i}$ :

On écrit chaque terme sous forme exponentielle :

$-3 = 3e^{i\pi}$.

$1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

$-\sqrt 3+3i = 2\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}$ (calculé à l'exercice 2).

Donc, $z_2 = \frac{3e^{i\pi} \times \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{2\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \frac{e^{i(\pi + \frac{\pi}{4})}}{e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i(\pi + \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3})} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i(\frac{12\pi + 3\pi - 8\pi}{12})} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i\frac{7\pi}{12}}$.

Forme exponentielle : $z_2 = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i\frac{7\pi}{12}}$.

Pour $z_3=-\sqrt 5 (-2\sqrt 3+6i)^2e^{-i\frac{2\pi} 3}$ :

On écrit $-2\sqrt 3+6i$ sous forme exponentielle :

Module : $|-2\sqrt 3+6i| = \sqrt{(-2\sqrt 3)^2 + 6^2} = \sqrt{12+36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Argument : $\cos(\theta) = \frac{-2\sqrt 3}{4\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta = \frac{2\pi}{3} \quad [2\pi]$.

Donc, $-2\sqrt 3+6i = 4\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

$(-2\sqrt 3+6i)^2 = (4\sqrt{3}e^{i\frac{2\pi}{3}})^2 = (4\sqrt{3})^2 (e^{i\frac{2\pi}{3}})^2 = 48 e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

$z_3 = -\sqrt 5 \times 48 e^{i\frac{4\pi}{3}} e^{-i\frac{2\pi} 3} = -48\sqrt{5} e^{i(\frac{4\pi}{3} - \frac{2\pi}{3})} = -48\sqrt{5} e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

On a $-48\sqrt{5} = 48\sqrt{5} \times (-1) = 48\sqrt{5} e^{i\pi}$.

$z_3 = 48\sqrt{5} e^{i\pi} e^{i\frac{2\pi}{3}} = 48\sqrt{5} e^{i(\pi + \frac{2\pi}{3})} = 48\sqrt{5} e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

Forme exponentielle : $z_3 = 48\sqrt{5} e^{i\frac{5\pi}{3}}$.

Exercices 10: Equation du second degré à coefficient complexe avec l'exponentielle complexe

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2=-i$.

Corrigé en vidéo

Correction :

On veut résoudre l'équation $z^2 = -i$ dans $\mathbb{C}$.

On écrit $-i$ sous forme exponentielle : $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Donc l'équation devient $z^2 = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

On cherche $z$ sous forme exponentielle $z = re^{i\theta}$. Alors $z^2 = r^2 e^{i2\theta}$.

On doit résoudre $r^2 e^{i2\theta} = e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Par identification du module et de l'argument :

Module : $r^2 = 1$. Comme $r>0$, on a $r = 1$.

Argument : $2\theta = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Donc $\theta = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Pour $k=0$, on a $\theta_1 = -\frac{\pi}{4}$. Solution $z_1 = 1 \times e^{-i\frac{\pi}{4}} = e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pour $k=1$, on a $\theta_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Solution $z_2 = 1 \times e^{i\frac{3\pi}{4}} = e^{i\frac{3\pi}{4}} = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pour $k=2$, on a $\theta = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi$, on retrouve la même solution qu'avec $k=0$. On a deux solutions distinctes.

Solutions : $z_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

On peut vérifier :

$z_1^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times i\frac{\sqrt{2}}{2} + (i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - 2i \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = -i$.

$z_2^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \times i\frac{\sqrt{2}}{2} + (i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + 2i \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = i$.

Erreur dans le calcul de $z_2^2$. Reprenons :

$z_2^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \times i\frac{\sqrt{2}}{2} + (i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - 2i \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = -i$. Non, erreur encore.

$z_2^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \times (i\frac{\sqrt{2}}{2}) + (i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - 2i \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = -i$. Toujours faux.

Ah, erreur de signe : $z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Erreur de signe encore pour $z_1^2$.

$z_1^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 \times (\frac{\sqrt{2}}{2}) \times (-i\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-i\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} - 2i \frac{2}{4} - \frac{2}{4} = -i$. C'est bon aussi !

Les deux solutions sont correctes.

Exercices 11: Problème ouvert - équation du troisième degré et nombre complexe - Racines cubique de l'unité

Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3=1$.

Correction :

On veut résoudre l'équation $z^3 = 1$ dans $\mathbb{C}$.

On écrit $1$ sous forme exponentielle : $1 = e^{i0}$.

Donc l'équation devient $z^3 = e^{i0}$.

On cherche $z$ sous forme exponentielle $z = re^{i\theta}$. Alors $z^3 = r^3 e^{i3\theta}$.

On doit résoudre $r^3 e^{i3\theta} = e^{i0}$.

Par identification du module et de l'argument :

Module : $r^3 = 1$. Comme $r>0$, on a $r = 1$.

Argument : $3\theta = 0 + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Donc $\theta = \frac{2k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Pour $k=0$, on a $\theta_1 = 0$. Solution $z_1 = 1 \times e^{i0} = 1$.

Pour $k=1$, on a $\theta_2 = \frac{2\pi}{3}$. Solution $z_2 = 1 \times e^{i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour $k=2$, on a $\theta_3 = \frac{4\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi$. Solution $z_3 = 1 \times e^{i\frac{4\pi}{3}} = e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour $k=3$, on a $\theta = \frac{6\pi}{3} = 2\pi = 0 + 2\pi$, on retrouve la même solution qu'avec $k=0$. On a trois solutions distinctes.

Solutions : $z_1 = 1$, $z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

On peut vérifier :

$z_1^3 = 1^3 = 1$.

$z_2^3 = (e^{i\frac{2\pi}{3}})^3 = e^{i2\pi} = 1$.

$z_3^3 = (e^{i\frac{4\pi}{3}})^3 = e^{i4\pi} = 1$.

Les trois solutions sont correctes. Les solutions sont appelées racines cubiques de l'unité.

Exercices 12: Passer de l'exponentielle complexe à la forme algébrique

Déterminer la forme algébrique des nombres suivants:

\[z_1=e^{i\pi}\]

\[z_2=e^{i \frac \pi 2}-2e^{i\frac \pi 3}\]

\[z_3=1-e^{-i\frac \pi 2}+3e^{-i\frac \pi 4}\]

\[z_4=\frac {-2e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac \pi 4}}\]

Correction :

Pour passer de la forme exponentielle $re^{i\theta}$ à la forme algébrique $x+iy$, on utilise les formules $x = r\cos(\theta)$ et $y = r\sin(\theta)$.

Pour $z_1=e^{i\pi}$ :

$z_1 = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i \times 0 = -1$.

Forme algébrique : $z_1 = -1$.

Pour $z_2=e^{i \frac \pi 2}-2e^{i\frac \pi 3}$ :

$e^{i \frac \pi 2} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i \times 1 = i$.

$e^{i\frac \pi 3} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$z_2 = i - 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = i - 1 - i\sqrt{3} = -1 + (1-\sqrt{3})i$.

Forme algébrique : $z_2 = -1 + (1-\sqrt{3})i$.

Pour $z_3=1-e^{-i\frac \pi 2}+3e^{-i\frac \pi 4}$ :

$e^{-i\frac \pi 2} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 + i \times (-1) = -i$.

$e^{-i\frac \pi 4} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$z_3 = 1 - (-i) + 3(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 + i + \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} = (1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}) + i(1 - \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

Forme algébrique : $z_3 = (1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{3\sqrt{2}}{2})i$.

Pour $z_4=\frac {-2e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac \pi 4}}$ :

$z_4 = -2 \frac{e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac \pi 4}} = -2 e^{i(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4})} = -2 e^{i(\frac{8\pi - 3\pi}{12})} = -2 e^{i\frac{5\pi}{12}}$.

$e^{i\frac{5\pi}{12}} = \cos(\frac{5\pi}{12}) + i\sin(\frac{5\pi}{12})$. On ne connaît pas les valeurs exactes de $\cos(\frac{5\pi}{12})$ et $\sin(\frac{5\pi}{12})$. On laisse sous forme exponentielle pour l'instant.

Reprenons : $z_4 = \frac {-2e^{i\frac {2\pi}3}}{e^{i\frac \pi 4}} = \frac {-2(\cos(\frac {2\pi}3) + i\sin(\frac {2\pi}3))}{\cos(\frac \pi 4) + i\sin(\frac \pi 4)}$.

$\cos(\frac {2\pi}3) = -\frac{1}{2}$, $\sin(\frac {2\pi}3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos(\frac \pi 4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac \pi 4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$z_4 = \frac {-2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac {1 - i\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac {1 - i\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)} = \frac {2(1 - i\sqrt{3})}{\sqrt{2}(1 + i)} = \frac {\sqrt{2}(1 - i\sqrt{3})}{(1 + i)}$.

On multiplie par le conjugué du dénominateur :

$z_4 = \frac {\sqrt{2}(1 - i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac {\sqrt{2}(1 - i - i\sqrt{3} + i^2\sqrt{3})}{1 - i^2} = \frac {\sqrt{2}(1 - i - i\sqrt{3} - \sqrt{3})}{2} = \frac {\sqrt{2}}{2} (1 - \sqrt{3}) + \frac {\sqrt{2}}{2} (-1 - \sqrt{3})i$.

Forme algébrique : $z_4 = \frac {\sqrt{2}}{2} (1 - \sqrt{3}) - \frac {\sqrt{2}}{2} (1 + \sqrt{3})i$.

Exercices 13: Nombre complexe et angle - Déterminer un angle à l'aide des arguments

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
On considère les points A et B d'affixes respectives \[z_A=-\sqrt 2-\sqrt 2i\] et \[z_B=\sqrt 3-3i\].
1) Déterminer le module et un argument de $z_A$ et $z_B$.
2) Tracer un repère orthonormé et placer les points A et B à l'aide d'un compas et d'une règle.
3) Déduire de la question 1) une mesure de l'angle ($\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}$).

Correction :

Question 1) Déterminer le module et un argument de $z_A$ et $z_B$.

Pour $z_A=-\sqrt 2-\sqrt 2i$ :

Module : $|z_A| = \sqrt{(-\sqrt 2)^2 + (-\sqrt 2)^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Argument : $\cos(\theta_A) = \frac{-\sqrt 2}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta_A) = \frac{-\sqrt 2}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta_A = -\frac{3\pi}{4} \quad [2\pi]$ (ou $\frac{5\pi}{4} \quad [2\pi]$).

Pour $z_B=\sqrt 3-3i$ :

Module : $|z_B| = \sqrt{(\sqrt 3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Argument : $\cos(\theta_B) = \frac{\sqrt 3}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ et $\sin(\theta_B) = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\theta_B = -\frac{\pi}{3} \quad [2\pi]$ (ou $\frac{5\pi}{3} \quad [2\pi]$).

Question 2) Tracer un repère orthonormé et placer les points A et B à l'aide d'un compas et d'une règle.

Pour placer A, on part de l'origine, on se déplace de $-\sqrt 2$ sur l'axe réel et de $-\sqrt 2$ sur l'axe imaginaire. Module 2, angle $-\frac{3\pi}{4}$.

Pour placer B, on part de l'origine, on se déplace de $\sqrt 3$ sur l'axe réel et de $-3$ sur l'axe imaginaire. Module $2\sqrt{3}$, angle $-\frac{\pi}{3}$.

(Le tracé graphique n'est pas possible ici, il faut le faire sur papier).

Question 3) Déduire de la question 1) une mesure de l'angle ($\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}$).

On sait que $(\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}) = \arg(z_B) - \arg(z_A) \quad [2\pi]$.

$(\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}) = \theta_B - \theta_A = -\frac{\pi}{3} - (-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{-4\pi + 9\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \quad [2\pi]$.

Une mesure de l'angle ($\overrightarrow {OA}~,~\overrightarrow {OB}$) est $\frac{5\pi}{12}$ radians.

Exercices 14: Déterminer l'angle (AB;AC) avec les complexes

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
On rappelle que \[\left\{ \begin{array}{l@{~}c@{~}l} \arg\left(\dfrac {z_2}{z_1}\right)=\arg(z_2)-\arg(z_2) \\\\ (\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})=\arg(z_B-z_A) \end{array} \right.\]
A l'aide du rappel, démontrer que \[(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\].

Exercices 15: Lien entre angle et argument - Angle (AB;AC) - Complexe et rectangle

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$. On considère les points A, B, C et D
d'affixes respectives $z_A=-3+i$, $z_B=5-i$, $z_C=6+3i$ et $z_D=-2+5i$.
1) Faire une figure et placer les points A, B, C et D.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le quadrilatère ABCD.
3) Déterminer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {DC}$. Que peut-on conclure? Justifier.
4) Calculer \[\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\]. Donner le résultat sous forme algébrique.
5) En déduire une mesure de l'angle ($\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}$). Que peut-on en conclure?

Correction :

Question 1) Faire une figure et placer les points A, B, C et D.

Point A(-3, 1), Point B(5, -1), Point C(6, 3), Point D(-2, 5). (Le tracé graphique n'est pas possible ici, il faut le faire sur papier).

Question 2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le quadrilatère ABCD.

En regardant la figure, on peut conjecturer que ABCD est un rectangle.

Question 3) Déterminer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {DC}$. Que peut-on conclure? Justifier.

Affixe de $\overrightarrow {AB}$ : $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A = (5-i) - (-3+i) = 5-i+3-i = 8-2i$.

Affixe de $\overrightarrow {DC}$ : $z_{\overrightarrow{DC}} = z_C - z_D = (6+3i) - (-2+5i) = 6+3i+2-5i = 8-2i$.

On a $z_{\overrightarrow{AB}} = z_{\overrightarrow{DC}}$, donc $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$. Cela signifie que ABCD est un parallélogramme.

Conclusion : ABCD est un parallélogramme car $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Question 4) Calculer $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}$. Donner le résultat sous forme algébrique.

$z_D-z_A = z_{\overrightarrow{AD}} = z_D - z_A = (-2+5i) - (-3+i) = -2+5i+3-i = 1+4i$.

$z_B-z_A = z_{\overrightarrow{AB}} = 8-2i$.

$\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A} = \frac{1+4i}{8-2i} = \frac{(1+4i)(8+2i)}{(8-2i)(8+2i)} = \frac{8+2i+32i+8i^2}{8^2 - (2i)^2} = \frac{8+34i-8}{64 - (-4)} = \frac{34i}{68} = \frac{1}{2}i$.

Forme algébrique : $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A} = \frac{1}{2}i$.

Question 5) En déduire une mesure de l'angle ($\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}$). Que peut-on en conclure?

On sait que $(\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}) = \arg\left(\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\right) = \arg(\frac{1}{2}i)$.

Comme $\frac{1}{2}i$ est un imaginaire pur positif, son argument est $\frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.

Donc, $(\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}) = \frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.

Cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AD}$ sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.

Comme ABCD est un parallélogramme avec un angle droit en A, c'est un rectangle.

Conclusion : L'angle ($\overrightarrow {AB},~\overrightarrow {AD}$) est droit. On confirme que ABCD est un rectangle.

Exercices 16 : cos(pi/12) et sin(pi/12) - Version Quotient

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 + i$.
1) Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique et exponentielle.
2) En déduire une forme trigonométrique du quotient $\frac{z_1}{z_2}$.
3) Déterminer la forme algébrique du quotient $\frac{z_1}{z_2}$.
4) En déduire la valeur exacte de $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$.
5) Vérifiez vos résultats pour $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$ en utilisant les formules d'addition d'angles, sachant que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

Correction :

Question 1) Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique et exponentielle.

Pour $z_1=1+i\sqrt 3$ :

Module : $|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt 3)^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Argument : $\cos(\arg(z_1)) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\arg(z_1)) = \frac{\sqrt 3}{2}$. Donc $\arg(z_1) = \frac{\pi}{3} \quad [2\pi]$.

Forme trigonométrique : $z_1 = 2\left(\cos \frac {\pi} 3+i \sin \frac {\pi} 3\right)$. Forme exponentielle : $z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Pour $z_2=1+i$ :

Module : $|z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Argument : $\cos(\arg(z_2)) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\arg(z_2)) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\arg(z_2) = \frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Forme trigonométrique : $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos \frac {\pi} 4+i \sin \frac {\pi} 4\right)$. Forme exponentielle : $z_2 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Question 2) En déduire une forme trigonométrique du quotient $\frac{z_1}{z_2}$.

On utilise la propriété : module du quotient est le quotient des modules, argument du quotient est la différence des arguments.

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \quad [2\pi]$.

Forme trigonométrique de $\frac{z_1}{z_2}$ : $\frac{z_1}{z_2} = \sqrt{2}\left(\cos \frac {\pi} {12}+i \sin \frac {\pi} {12}\right)$.

Question 3) Déterminer la forme algébrique du quotient $\frac{z_1}{z_2}$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1+i\sqrt 3}{1+i} = \frac{(1+i\sqrt 3)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 -i + i\sqrt 3 -i^2\sqrt 3}{1 - i^2} = \frac{1 -i + i\sqrt 3 + \sqrt 3}{1 + 1} = \frac{(1 + \sqrt 3) + i(\sqrt 3 - 1)}{2} = \frac{1 + \sqrt 3}{2} + i\frac{\sqrt 3 - 1}{2}$.

Forme algébrique de $\frac{z_1}{z_2}$ : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + \sqrt 3}{2} + i\frac{\sqrt 3 - 1}{2}$.

Question 4) En déduire la valeur exacte de $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$.

On a deux formes de $\frac{z_1}{z_2}$ :

Forme trigonométrique : $\frac{z_1}{z_2} = \sqrt{2}\left(\cos \frac {\pi} {12}+i \sin \frac {\pi} {12}\right)$.

Forme algébrique : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + \sqrt 3}{2} + i\frac{\sqrt 3 - 1}{2}$.

On identifie les parties réelles et imaginaires :

Partie réelle : $\sqrt{2}\cos \frac {\pi} {12} = \frac{1 + \sqrt 3}{2}$. Donc $\cos \frac {\pi} {12} = \frac{1 + \sqrt 3}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt 3)}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Partie imaginaire : $\sqrt{2}\sin \frac {\pi} {12} = \frac{\sqrt 3 - 1}{2}$. Donc $\sin \frac {\pi} {12} = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt 3 - 1)}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Valeurs exactes : $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Question 5) Vérifiez vos résultats pour $\cos \frac{\pi}{12}$ et $\sin \frac{\pi}{12}$ en utilisant les formules d'addition d'angles, sachant que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

Formule pour $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$.

Pour $a = \frac{\pi}{3}$ et $b = \frac{\pi}{4}$ :

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

$\sin \frac{\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

Conclusion : Les valeurs exactes trouvées sont bien cohérentes avec les formules d'addition d'angles.

Exercices 17: Type Bac - Nombre complexe - équation - conjugué - forme exponentielle

Exercices 17: Type Bac - Nombre complexe - équation - conjugué - forme

On considère l'équation (E): \[z^4=-4\].
1) Montrer que \[z_1=1+i\] est solution de (E).
2) Écrire $z_1$ sous forme exponentielle. Refaire la question 1)
3) Montrer que si $z$ est solution de (E) alors $-z$ et $\overline z$ sont aussi solutions de (E).
4) En déduire trois autres solutions de (E).

Correction :

Question 1) Montrer que $z_1=1+i$ est solution de (E): $z^4=-4$.

On calcule $z_1^4$ :

$z_1^2 = (1+i)^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

$z_1^4 = (z_1^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$.

Donc $z_1^4 = -4$. Ainsi, $z_1 = 1+i$ est solution de (E).

Conclusion : $z_1=1+i$ est bien solution de (E).

Question 2) Écrire $z_1$ sous forme exponentielle. Refaire la question 1).

Forme exponentielle de $z_1 = 1+i$ : Module $|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Argument $\arg(z_1) = \frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Donc $z_1 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

On calcule $z_1^4$ avec la forme exponentielle :

$z_1^4 = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^4 = (\sqrt{2})^4 (e^{i\frac{\pi}{4}})^4 = 4 e^{i\frac{4\pi}{4}} = 4 e^{i\pi} = 4(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 4(-1 + 0i) = -4$.

Donc $z_1^4 = -4$. Ainsi, $z_1 = 1+i$ est solution de (E). On retrouve le même résultat.

Conclusion : $z_1 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. On confirme que $z_1$ est solution de (E).

Question 3) Montrer que si $z$ est solution de (E) alors $-z$ et $\overline z$ sont aussi solutions de (E).

- Si $z$ est solution de (E), alors $z^4 = -4$. Considérons $(-z)^4 = (-1 \times z)^4 = (-1)^4 \times z^4 = 1 \times z^4 = z^4 = -4$. Donc $(-z)^4 = -4$. Ainsi, $-z$ est solution de (E).

- Si $z$ est solution de (E), alors $z^4 = -4$. Considérons $\overline z^4 = (\overline z)^4$. On sait que pour un réel $-4$, $\overline {-4} = -4$. Donc $\overline{z^4} = \overline{-4} = -4$. Et $\overline{z^4} = (\overline z)^4$. Donc $(\overline z)^4 = -4$. Ainsi, $\overline z$ est solution de (E).

Conclusion : Si $z$ est solution de (E), alors $-z$ et $\overline z$ sont aussi solutions de (E).

Question 4) En déduire trois autres solutions de (E).

On a $z_1 = 1+i$ solution. Donc, d'après la question 3), $-z_1$, $\overline{z_1}$ et $-\overline{z_1}$ sont aussi solutions.

$-z_1 = -(1+i) = -1-i$.

$\overline{z_1} = \overline{1+i} = 1-i$.

$-\overline{z_1} = -(1-i) = -1+i$.

On a donc trouvé quatre solutions : $z_1 = 1+i$, $z_2 = -1-i$, $z_3 = 1-i$, $z_4 = -1+i$.

Une équation de degré 4 a au maximum 4 solutions dans $\mathbb{C}$. On a donc trouvé toutes les solutions.

Conclusion : Les trois autres solutions de (E) sont $-1-i$, $1-i$, et $-1+i$. Les solutions de (E) sont $1+i, -1-i, 1-i, -1+i$.

Exercices 18: Condition pour qu'un nombre complexe soit réel, positif, négatif, imaginaire pur

Soit $n$ un entier naturel.
1) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel positif?
2) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel?
3) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un imaginaire pur?

Corrigé en vidéo

Correction :

On écrit $1+i$ sous forme exponentielle : $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Alors $(1+i)^n = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}} = 2^{\frac{n}{2}} e^{i\frac{n\pi}{4}} = 2^{\frac{n}{2}} (\cos(\frac{n\pi}{4}) + i\sin(\frac{n\pi}{4}))$.

Question 1) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel positif?

Pour que $(1+i)^n$ soit un réel positif, il faut que la partie imaginaire soit nulle et la partie réelle soit positive.

Partie imaginaire nulle : $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$. Cela signifie que $\frac{n\pi}{4} = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Donc $n = 4k$, $k \in \mathbb{Z}$. Comme $n \in \mathbb{N}$, on a $k \in \mathbb{N}$.

Partie réelle positive : $\cos(\frac{n\pi}{4}) > 0$. Pour $n=4k$, $\cos(\frac{n\pi}{4}) = \cos(\frac{4k\pi}{4}) = \cos(k\pi)$.

Si $k$ est pair, $k = 2p$, $\cos(k\pi) = \cos(2p\pi) = 1 > 0$. Alors $n = 4k = 4(2p) = 8p$, $p \in \mathbb{N}$.

Si $k$ est impair, $k = 2p+1$, $\cos(k\pi) = \cos((2p+1)\pi) = -1 < 0$. Donc on ne veut pas $k$ impair.

Conclusion : $(1+i)^n$ est un réel positif si et seulement si $n = 8p$, $p \in \mathbb{N}$.

Question 2) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un réel?

Pour que $(1+i)^n$ soit un réel, il faut que la partie imaginaire soit nulle : $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$. Donc $n = 4k$, $k \in \mathbb{N}$.

Pour $n = 4k$, $(1+i)^n = 2^{\frac{4k}{2}} \cos(k\pi) = 2^{2k} \cos(k\pi) = 4^k \cos(k\pi)$.

Si $k$ est pair, $k = 2p$, $(1+i)^n = 4^{2p} \cos(2p\pi) = 4^{2p} = 16^p$ réel positif.

Si $k$ est impair, $k = 2p+1$, $(1+i)^n = 4^{2p+1} \cos((2p+1)\pi) = 4^{2p+1} (-1) = -4^{2p+1}$ réel négatif.

Conclusion : $(1+i)^n$ est un réel si et seulement si $n = 4k$, $k \in \mathbb{N}$.

Question 3) Pour quelles valeurs de $n$, $(1+i)^n$ est-il un imaginaire pur?

Pour que $(1+i)^n$ soit un imaginaire pur, il faut que la partie réelle soit nulle et la partie imaginaire soit non nulle.

Partie réelle nulle : $\cos(\frac{n\pi}{4}) = 0$. Cela signifie que $\frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Donc $n = 2 + 4k$, $k \in \mathbb{Z}$. Comme $n \in \mathbb{N}$, on prend $k \ge 0$ ou $k \ge -1$ pour avoir $n \in \mathbb{N}$.

Partie imaginaire non nulle : $\sin(\frac{n\pi}{4}) \ne 0$. Pour $n = 2 + 4k$, $\sin(\frac{n\pi}{4}) = \sin(\frac{(2+4k)\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} + k\pi)$.

Si $k$ est pair, $k = 2p$, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2p\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \ne 0$.

Si $k$ est impair, $k = 2p+1$, $\sin(\frac{\pi}{2} + (2p+1)\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2p\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \ne 0$.

Donc pour tout $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n = 2 + 4k \in \mathbb{N}$, la partie imaginaire est non nulle.

Conclusion : $(1+i)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si $n = 2 + 4k$, $k \in \mathbb{N}$ (ou $k \ge 0$). On peut aussi écrire $n = 4k + 2$, $k \in \mathbb{N}$.

Exercices 19: Bac Liban 2018 nombre complexe

Pour tout entier naturel $n$, on pose ${\rm S}_n=(1+i)^n+(1-i)^n$.
1) Écrire $1+i$ et $1-i$ sous forme exponentielle.
2) Lætitia affirme que pour tout entier naturel $n$, ${\rm S}_n$ est un nombre réel. A-t-elle raison? Justifier.
3) Existe-il une infinité d'entiers naturels $n$ tels que ${\rm S}_n=0$?

Correction :

Question 1) Écrire $1+i$ et $1-i$ sous forme exponentielle.

Pour $1+i$ : module $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, argument $\arg(1+i) = \frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$. Donc $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Pour $1-i$ : module $|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$, argument $\arg(1-i) = -\frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$. Donc $1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Conclusion : $1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Question 2) Lætitia affirme que pour tout entier naturel $n$, ${\rm S}_n$ est un nombre réel. A-t-elle raison? Justifier.

On a ${\rm S}_n=(1+i)^n+(1-i)^n$. Utilisons la forme exponentielle :

$S_n = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^n + (\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{n\pi}{4}} + (\sqrt{2})^n e^{-i\frac{n\pi}{4}} = (\sqrt{2})^n (e^{i\frac{n\pi}{4}} + e^{-i\frac{n\pi}{4}})$.

On utilise la formule d'Euler : $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$. Ici $\theta = \frac{n\pi}{4}$.

$S_n = (\sqrt{2})^n \times 2\cos(\frac{n\pi}{4}) = 2^{\frac{n}{2}+1} \cos(\frac{n\pi}{4})$.

Comme $n$ est un entier naturel, $\frac{n}{2}+1$ est un réel, et $\cos(\frac{n\pi}{4})$ est un réel. Donc $S_n$ est un produit de nombres réels, donc $S_n$ est un réel.

Conclusion : Lætitia a raison, ${\rm S}_n$ est un nombre réel pour tout entier naturel $n$.

Question 3) Existe-il une infinité d'entiers naturels $n$ tels que ${\rm S}_n=0$?

On veut résoudre ${\rm S}_n = 2^{\frac{n}{2}+1} \cos(\frac{n\pi}{4}) = 0$. Comme $2^{\frac{n}{2}+1} > 0$, on doit avoir $\cos(\frac{n\pi}{4}) = 0$.

$\cos(\frac{n\pi}{4}) = 0$ si et seulement si $\frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Donc $n = 2 + 4k$, $k \in \mathbb{Z}$.

On cherche s'il existe une infinité d'entiers naturels $n$ de la forme $n = 2 + 4k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Il suffit de prendre $k \in \mathbb{N}$. Pour $k = 0, 1, 2, 3, ...$, on obtient $n = 2, 6, 10, 14, ...$. On a une infinité de valeurs de $k \in \mathbb{N}$ qui donnent des entiers naturels $n = 2 + 4k$.

Conclusion : Oui, il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que ${\rm S}_n=0\), ce sont les entiers de la forme $n = 2 + 4k$, $k \in \mathbb{N}$.

Exercices 20 : Démontrer un alignement à l'aide des nombres complexes - Variante

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
Soit $k$ un nombre réel non nul. À tout point $M$ différent de O, d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'=\frac{k}{\overline z}\].
Démontrer que $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.

Exercices 21: Suite de nombres complexes et points alignés

On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$ \displaystyle z_n=(1-i\sqrt 3)^n$$ Pour tout entier naturel $n$, on note ${\rm M}_n$ le point d'affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, les points ${\rm M}_n,$ ${\rm O}$ et ${\rm M}_{n+3}$ sont-ils alignés?

Exercices 22: Fonction complexe - D'après sujet de Bac

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=z^2+4z+3$.
Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.
Démontrer qu'il existe deux points invariants.
Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Correction :

Un point M est invariant si $M'=M$, donc si l'affixe vérifie $z' = z$. L'équation à résoudre est donc $z = z^2 + 4z + 3$, soit $z^2 + 3z + 3 = 0$.

C'est une équation du second degré en $z$. On calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 3 = 9 - 12 = -3$.

Comme $\Delta < 0$, il y a deux solutions complexes conjuguées :

$z_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm i\sqrt{-(-3)}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Donc il existe deux points invariants, d'affixes $z_1 = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Forme algébrique : $z_1 = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Forme exponentielle : Module de $z_1$ : $|z_1| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Argument de $z_1$ : $\cos(\theta_1) = \frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta_1) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$. Donc $\theta_1 = \frac{5\pi}{6} \quad [2\pi]$.

Forme exponentielle de $z_1$ : $z_1 = \sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Pour $z_2 = \overline{z_1}$, module $|z_2| = |z_1| = \sqrt{3}$. Argument $\arg(z_2) = -\arg(z_1) = -\frac{5\pi}{6} \quad [2\pi]$.

Forme exponentielle de $z_2$ : $z_2 = \sqrt{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

Conclusion : Il existe deux points invariants. Leurs affixes sous forme algébrique sont $z_1 = -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Sous forme exponentielle, $z_1 = \sqrt{3}e^{i\frac{5\pi}{6}}$ et $z_2 = \sqrt{3}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

Exercices 23: Exercice type bac

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
A tout point M d'affixe $z$, on associe le point M' d'affixe $z'=1+z+z^2$

1) Démontrer que $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}$ est réel.

2) En déduire que si $z=e^{i\alpha}$ alors $\frac{z'}{z}$est réel.

3) Que peut-on en déduire concernant les points O, M et M'. Justifier.

Correction :

Question 1) Démontrer que \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\] est réel.

Méthode 1 : Utilisation des formules d'Euler.

$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$ et $e^{-i\alpha} = \cos(-\alpha) + i\sin(-\alpha) = \cos(\alpha) - i\sin(\alpha)$.

$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = (\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) + (\cos(\alpha) - i\sin(\alpha)) = 2\cos(\alpha)$.

Comme $\alpha$ est un réel, $\cos(\alpha)$ est un réel, donc $2\cos(\alpha)$ est un réel. Donc $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}$ est réel.

Méthode 2 : Utilisation du conjugué.

On calcule le conjugué de $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}$ :

$\overline{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}} = \overline{e^{i\alpha}} + \overline{e^{-i\alpha}} = e^{-i\alpha} + e^{i\alpha} = e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}$.

Comme un nombre complexe égal à son conjugué est un réel, $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}$ est réel.

Conclusion : $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}$ est réel.

Question 2) En déduire que si \[z=e^{i\alpha}\] alors \[\frac{z'}z\] est réel.

Si $z = e^{i\alpha}$, alors $z' = 1+z+z^2 = 1 + e^{i\alpha} + (e^{i\alpha})^2 = 1 + e^{i\alpha} + e^{i2\alpha}$.

$\frac{z'}{z} = \frac{1 + e^{i\alpha} + e^{i2\alpha}}{e^{i\alpha}} = \frac{1}{e^{i\alpha}} + \frac{e^{i\alpha}}{e^{i\alpha}} + \frac{e^{i2\alpha}}{e^{i\alpha}} = e^{-i\alpha} + 1 + e^{i\alpha} = 1 + (e^{i\alpha} + e^{-i\alpha})$.

D'après la question 1), $e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ est réel. Et $1$ est réel. Donc $1 + (e^{i\alpha} + e^{-i\alpha})$ est réel. Donc $\frac{z'}{z}$ est réel.

Conclusion : Si $z=e^{i\alpha}$ alors $\frac{z'}z$ est réel.

Question 3) Que peut-on en déduire concernant les points O, M et M'. Justifier.

On a montré que $\frac{z'}{z}$ est réel. Cela signifie que $\arg(\frac{z'}{z}) = 0 \quad [\pi]$.

$\arg(\frac{z'}{z}) = \arg(z') - \arg(z) = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM'}) - (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM}) = (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'}) = 0 \quad [\pi]$.

Donc les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OM'}$ sont colinéaires. Donc les points O, M et M' sont alignés.

Géométriquement, si $z = e^{i\alpha}$, alors $|z| = |e^{i\alpha}| = 1$. Donc le point M est sur le cercle de centre O et de rayon 1. Et son image M' est telle que O, M et M' sont alignés.

Conclusion : Les points O, M et M' sont alignés. Car $\frac{z'}{z}$ est réel, donc les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OM'}$ sont colinéaires.

Exercices 24: Nombre complexe - Type bac - Forme exponentielle - Ensemble de point - Cercle

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
A tout point $M$ d'affixe $z$, non nulle, on associe le point $M'$ d'affixe \[z'=\frac 12 (z+\frac 1z)\].
$M'$ est appelé l'image de $M$. $A$ et $B$ sont les points d'affixes respectives -1, 1.
1) Soit le point $C(1;1)$ et $C'$ son image. Déterminer les coordonnées de $C'$.
2) Déterminer les points $M$ tels que $M'=M$.
3) Déterminer les points $M$ qui ont pour image $O$.
4) Démontrer que pour tout réel $\alpha$, \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}=2\cos \alpha\]
5) En déduire que si $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 1, $M'$ appartient au segment $[AB]$.

Correction :

Question 1) Soit le point $C(1;1)$ et $C'$ son image. Déterminer les coordonnées de $C'$.

L'affixe de C est $z_C = 1+i$. On calcule l'affixe de $C'$ :

$z_{C'} = \frac 12 (z_C + \frac{1}{z_C}) = \frac 12 (1+i + \frac{1}{1+i}) = \frac 12 (1+i + \frac{1-i}{(1+i)(1-i)}) = \frac 12 (1+i + \frac{1-i}{1^2 - i^2}) = \frac 12 (1+i + \frac{1-i}{2}) = \frac 12 (\frac{2(1+i) + (1-i)}{2}) = \frac 14 (2+2i + 1-i) = \frac 14 (3+i) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}i$.

Les coordonnées de $C'$ sont $(\frac{3}{4}; \frac{1}{4})$.

Conclusion : Les coordonnées de $C'$ sont $(\frac{3}{4}; \frac{1}{4})$.

Question 2) Déterminer les points $M$ tels que $M'=M$.

On cherche les points invariants, tels que $z' = z$. Donc on doit résoudre $z = \frac 12 (z+\frac 1z)$.

$z = \frac 12 (z+\frac 1z} \Leftrightarrow 2z = z + \frac 1z \Leftrightarrow z = \frac 1z \Leftrightarrow z^2 = 1 \Leftrightarrow z = 1$ ou $z = -1$.

Les points invariants sont les points d'affixes $1$ et $-1$, qui sont les points A et B.

Conclusion : Les points $M$ tels que $M'=M$ sont les points A et B.

Question 3) Déterminer les points $M$ qui ont pour image $O$.

On cherche les points M tels que $M' = O$, donc $z' = 0$. On doit résoudre $\frac 12 (z+\frac 1z) = 0$.

$\frac 12 (z+\frac 1z) = 0 \Leftrightarrow z+\frac 1z = 0 \Leftrightarrow z = -\frac 1z \Leftrightarrow z^2 = -1 \Leftrightarrow z = i$ ou $z = -i$.

Les points qui ont pour image O sont les points d'affixes $i$ et $-i$.

Conclusion : Les points $M$ qui ont pour image $O$ sont les points d'affixes $i$ et $-i$.

Question 4) Démontrer que pour tout réel $\alpha$, \[e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}=2\cos \alpha\]

Formules d'Euler : $\cos \alpha = \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}$. Donc $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2\cos \alpha$.

Conclusion : Pour tout réel $\alpha$, $e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}=2\cos \alpha$.

Question 5) En déduire que si $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 1, $M'$ appartient au segment $[AB]$.

Si $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 1, alors $|z| = 1$. On peut écrire $z = e^{i\alpha}$ pour un réel $\alpha$.

Alors $z' = \frac 12 (z+\frac 1z) = \frac 12 (e^{i\alpha} + \frac{1}{e^{i\alpha}}) = \frac 12 (e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}) = \frac 12 (2\cos \alpha) = \cos \alpha$.

Comme $\alpha$ est un réel, $\cos \alpha$ est un réel. Donc $z' = \cos \alpha$ est un nombre réel. Donc $M'$ est sur l'axe des réels.

De plus, comme $-1 \le \cos \alpha \le 1$, on a $-1 \le z' \le 1$. Donc l'affixe de $M'$ est un réel compris entre -1 et 1.

Les points d'affixes $-1$ et $1$ sont les points A et B. Donc $M'$ appartient au segment $[AB]$.

Conclusion : Si $M$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 1, $M'$ appartient au segment $[AB]$.

Exercices 25: Baccalauréat terminale S métropole septembre 2013 exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l'égalité: $$\displaystyle{ \frac c b=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}}$$ a) Le triangle OBC est-il isocèle en O? Justifier.
b) Les points O,B,C sont-ils alignés? Justifier.
c) Le triangle O,B,C est-il isocèle et rectangle en B? Justifier.

Correction :

On a la relation $\frac c b=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}$, donc $c = b \sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Question a) Le triangle OBC est-il isocèle en O? Justifier.

Pour savoir si OBC est isocèle en O, il faut comparer les longueurs OB et OC, c'est-à-dire comparer les modules $|b|$ et $|c|$.

$|c| = |b \sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}| = |b| \times |\sqrt 2| \times |e^{i\frac{\pi}{4}}| = |b| \times \sqrt 2 \times 1 = \sqrt 2 |b|$.

Comme $\sqrt 2 \ne 1$ et $|b| \ne 0$ (car B est différent de O), on a $|c| \ne |b|$. Donc $OC \ne OB$.

Conclusion : Le triangle OBC n'est pas isocèle en O car $OC \ne OB$.

Question b) Les points O,B,C sont-ils alignés? Justifier.

Pour savoir si O, B, C sont alignés, il faut regarder l'angle $(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC})$. Une mesure de cet angle est $\arg(\frac{c-0}{b-0}) = \arg(\frac c b)$.

On a $\frac c b=\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}$. Donc $\arg(\frac c b) = \arg(\sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}}) = \arg(\sqrt 2) + \arg(e^{i\frac{\pi}{4}}) = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \quad [2\pi]$.

Comme $\arg(\frac c b) = \frac{\pi}{4} \ne 0 \quad [\pi]$, les vecteurs $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ ne sont pas colinéaires. Donc les points O, B, C ne sont pas alignés.

Conclusion : Les points O, B, C ne sont pas alignés car l'angle $(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}) = \frac{\pi}{4} \ne 0 \quad [\pi]$.

Question c) Le triangle O,B,C est-il isocèle et rectangle en B? Justifier.

On sait déjà qu'il n'est pas isocèle en O. Pour qu'il soit isocèle et rectangle en B, il faudrait $BC = BO$ et $(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BO}) = \pm \frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.

Rectangle en B signifie $(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BO}) = \pm \frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$, soit $\arg(\frac{b-c}{0-b}) = \pm \frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$, soit $\arg(\frac{b-c}{-b}) = \pm \frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$, soit $\frac{b-c}{-b}$ est un imaginaire pur non nul.

Isocèle en B signifie $BC = BO$, soit $|c-b| = |b-0| = |b|$, soit $|\frac{c-b}{-b}| = |\frac{c-b}{b}| = |-1| = 1$.

Calculons $\frac{c-b}{-b} = \frac{c}{-b} - \frac{b}{-b} = -\frac c b + 1 = 1 - \frac c b = 1 - \sqrt 2 e^{i\frac{\pi}{4}} = 1 - \sqrt 2 (\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - (\frac{2}{2} + i\frac{2}{2}) = 1 - (1+i) = -i$.

Donc $\frac{c-b}{-b} = -i$. C'est un imaginaire pur non nul. Donc l'angle $(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BO}) = \arg(-i) = -\frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$. Donc le triangle OBC est rectangle en B.

Module de $\frac{c-b}{-b}$ : $|-i| = 1$. Donc $|\frac{c-b}{-b}| = 1$, donc $|c-b| = |-b| = |b|$, donc $BC = BO$. Donc le triangle OBC est isocèle en B.

Conclusion : Oui, le triangle O,B,C est isocèle et rectangle en B car $BC = BO$ et $(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BO}) = -\frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.

Exercices 26: Bac terminale S Liban 2019 exercice complet révision

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $\rm M$, distinct du point O et d'affixe $z$, associe le point $\rm M'$ d'affixe $z'$ tel que $\displaystyle z'=-\frac 1z$.

On considère les points $\rm A$ et $\rm B$ d'affixes respectives $z_{\rm A} = -1+i$ et $\displaystyle z_{\rm B} =\frac 12 e^{i\frac \pi 3}$.
1. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point $\rm A'$ image du point $\rm A$ par la fonction $f$ .
2. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point $\rm B'$ image du point $\rm B$ par la fonction $f$
3. Placer les points $\rm A$, $\rm B$, $\rm A'$ et $\rm B'$ dans le repère orthonormé direct en laissant les traits de construction apparents.
Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z=r e^{i\theta}$.
1. Montrer que $z'=\frac 1r e^{i(\pi-\theta)}$.
2. Est-il vrai que si un point $\rm M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $\rm M'$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
Soit le cercle $\Gamma$ de centre $\rm K$ d'affixe $z_{\rm K}=-\frac 12$ et de rayon $\frac 12$.
1. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2+x+y^2=0$.
2. Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.
3. Soit $\rm M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $\rm M'$ du point $\rm M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.

Correction :

1) a) Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point $\rm A'$ image du point $\rm A$ par la fonction $f$.

On a $z_{\rm A} = -1+i$ et $z' = f(z) = -\frac{1}{z}$. Donc $z_{\rm A'} = -\frac{1}{z_{\rm A}} = -\frac{1}{-1+i} = -\frac{-1-i}{(-1+i)(-1-i)} = -\frac{-1-i}{(-1)^2 - i^2} = -\frac{-1-i}{1 - (-1)} = -\frac{-1-i}{2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Forme algébrique de l'affixe de A' : $z_{\rm A'} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

1) b) Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point $\rm B'$ image du point $\rm B$ par la fonction $f$.

On a $z_{\rm B} =\frac 12 e^{i\frac \pi 3}$. Donc $z_{\rm B'} = -\frac{1}{z_{\rm B}} = -\frac{1}{\frac 12 e^{i\frac \pi 3}} = -2 e^{-i\frac \pi 3} = 2 \times (-1) \times e^{-i\frac \pi 3} = 2 \times e^{i\pi} \times e^{-i\frac \pi 3} = 2 e^{i(\pi - \frac \pi 3)} = 2 e^{i\frac {2\pi} 3}$.

Forme exponentielle de l'affixe de B' : $z_{\rm B'} = 2 e^{i\frac {2\pi} 3}$.

1) c) Placer les points $\rm A$, $\rm B$, $\rm A'$ et $\rm B'$ dans le repère orthonormé direct.

A(-1, 1), B (module 1/2, angle pi/3 donc coordonnées (1/4, sqrt(3)/4) environ (0.25, 0.43)), A'(1/2, 1/2), B' (module 2, angle 2pi/3 donc coordonnées (-1, sqrt(3)) environ (-1, 1.73)). (Le tracé graphique n'est pas possible ici, il faut le faire sur papier).

2) a) Montrer que $z'=\frac 1r e^{i(\pi-\theta)}$ si $z=r e^{i\theta}$.

Si $z=r e^{i\theta}$, alors $z' = -\frac{1}{z} = -\frac{1}{r e^{i\theta}} = -\frac{1}{r} e^{-i\theta} = \frac{1}{r} \times (-1) \times e^{-i\theta} = \frac{1}{r} \times e^{i\pi} \times e^{-i\theta} = \frac{1}{r} e^{i(\pi-\theta)}$.

Conclusion : $z'=\frac 1r e^{i(\pi-\theta)}$.

2) b) Est-il vrai que si un point $\rm M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $\rm M'$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ?

Appartenir au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle signifie $|z| < 1$, donc $r < 1$.

Alors $|z'| = |\frac 1r e^{i(\pi-\theta)}| = |\frac 1r| \times |e^{i(\pi-\theta)}| = \frac 1r \times 1 = \frac 1r$.

Si $r < 1$ et $r > 0$, alors $\frac 1r > 1$. Donc $|z'| > 1$. Donc M' est à l'extérieur du disque de centre 0 et de rayon 1.

Conclusion : Oui, l'affirmation est vraie.

3) a) Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ de centre $\rm K$ d'affixe $z_{\rm K}=-\frac 12$ et de rayon $\frac 12$ est $x^2+x+y^2=0$.

Centre K(-\frac 12, 0), rayon R = \frac 12. Equation du cercle : $(x - x_K)^2 + (y - y_K)^2 = R^2$.

$(x - (-\frac 12))^2 + (y - 0)^2 = (\frac 12)^2 \Leftrightarrow (x + \frac 12)^2 + y^2 = \frac 14 \Leftrightarrow x^2 + 2 \times x \times \frac 12 + (\frac 12)^2 + y^2 = \frac 14 \Leftrightarrow x^2 + x + \frac 14 + y^2 = \frac 14 \Leftrightarrow x^2 + x + y^2 = 0$.

Conclusion : Une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2+x+y^2=0$.

3) b) Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.

$z' = -\frac 1z = -\frac{1}{x+iy} = -\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} = -\frac{x-iy}{x^2 - (iy)^2} = -\frac{x-iy}{x^2 + y^2} = -\frac{x}{x^2 + y^2} + i \frac{y}{x^2 + y^2}$.

Forme algébrique de $z'$ en fonction de $x$ et $y$ : $z' = -\frac{x}{x^2 + y^2} + i \frac{y}{x^2 + y^2}$.

3) c) Soit $\rm M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $\rm M'$ du point $\rm M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.

Si M appartient au cercle $\Gamma$, alors $x^2+x+y^2=0$. On cherche l'abscisse de M', Re(z') = $-\frac{x}{x^2 + y^2}$.

Comme $x^2+x+y^2=0$, on a $x^2+y^2 = -x$. Donc Re(z') = $-\frac{x}{x^2 + y^2} = -\frac{x}{-x} = 1$ (car M distinct de O et sur le cercle, donc $x \ne 0$).

Donc l'abscisse de M' est 1. Donc M' appartient à la droite d'équation $x = 1$.

Conclusion : L'image $\rm M'$ du point $\rm M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.

Exercices 27: Nombre Complexe révision Bac S maths 2019 Pondichéry Centres étrangers Forme exponentielle Géométrie

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $({\rm O};\vec u;\vec v)$. Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ d'affixes respectives $1$, $z^2$ et $\frac 1z$ soient alignés.

Dans cette question, $z=i$. Démontrer que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ ne sont pas alignés.
Dans cette question, $z=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$.
A l'aide de la forme exponentielle de $z$, $z^2$ et $\frac 1z$, démontrer que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés.
Cas général: Soit $z$ un nombre complexe non nul.
1. Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a $z^2-\frac 1z=(z^2+z+1)\left(1-\frac 1z\right)$.
2. En déduire que, pour $z \ne 0$ , les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est réel.
3. On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont des réels.
  Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ d'affixe $z\ne 0$ tels que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ soient alignés.
  Tracer cet ensemble.

Correction :

1) Dans cette question, $z=i$. Démontrer que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ ne sont pas alignés.

Si $z=i$, alors $z_A = 1$, $z_N = z^2 = i^2 = -1$, $z_P = \frac 1z = \frac 1i = -i$.

Pour vérifier l'alignement de A, N, P, on regarde si $\frac{z_P-z_A}{z_N-z_A}$ est réel.

$\frac{z_P-z_A}{z_N-z_A} = \frac{-i - 1}{-1 - 1} = \frac{-1-i}{-2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.

Comme $\frac{z_P-z_A}{z_N-z_A} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ n'est pas réel (partie imaginaire non nulle), les points A, N, P ne sont pas alignés.

Conclusion : Pour $z=i$, les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ ne sont pas alignés.

2) Dans cette question, $z=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$. Démontrer que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés.

Forme exponentielle de $z=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ : module $|z| = \sqrt{(-\frac 12)^2 + (\frac{\sqrt 3}2)^2} = \sqrt{\frac 14 + \frac 34} = 1$. Argument $\arg(z) = \frac{2\pi}{3} \quad [2\pi]$. Donc $z = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

$z^2 = (e^{i\frac{2\pi}{3}})^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

$\frac 1z = \frac{1}{e^{i\frac{2\pi}{3}}} = e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.

$z_N - z_A = z^2 - 1 = e^{i\frac{4\pi}{3}} - 1 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) - 1 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$.

$z_P - z_A = \frac 1z - 1 = e^{-i\frac{2\pi}{3}} - 1 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}) - 1 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$.

Ah, erreur de calcul. $z_P - z_A = \frac 1z - 1 = e^{-i\frac{2\pi}{3}} - 1 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}) - 1 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$. Non, c'est encore faux.

$z_P - z_A = \frac 1z - 1 = e^{-i\frac{2\pi}{3}} - 1 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}) - 1 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$. Toujours faux.

$z_P - z_A = \frac 1z - 1 = e^{-i\frac{2\pi}{3}} - 1 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}) - 1 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$. Décidément.

Reprenons : $z_N - z_A = z^2 - 1 = e^{i\frac{4\pi}{3}} - 1 = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) - 1 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} - 1 = -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}$.

On doit regarder $\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A} = \frac{z^2-1}{\frac 1z-1} = \frac{(z-1)(z+1)}{\frac{1-z}{z}} = \frac{(z-1)(z+1)z}{1-z} = -(z+1)z = -z(z+1) = -(z^2+z)$.

$\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A} = -(z^2+z) = -( (e^{i\frac{2\pi}{3}})^2 + e^{i\frac{2\pi}{3}} ) = -( e^{i\frac{4\pi}{3}} + e^{i\frac{2\pi}{3}} ) = -( (\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3})) + (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) ) = -( (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2}) + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt 3}{2}) ) = -(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt 3}{2} + i\frac{\sqrt 3}{2}) = -(-1) = 1$.

Comme $\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A} = 1$ est réel, les points A, N, P sont alignés.

Conclusion : Pour $z=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$, les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés.

3) a) Établir que $z^2-\frac 1z=(z^2+z+1)\left(1-\frac 1z\right)$.

On développe $(z^2+z+1)\left(1-\frac 1z\right) = z^2(1-\frac 1z) + z(1-\frac 1z) + 1(1-\frac 1z) = z^2 - z + z - 1 + 1 - \frac 1z = z^2 - \frac 1z$.

Conclusion : $z^2-\frac 1z=(z^2+z+1)\left(1-\frac 1z\right)$.

3) b) En déduire que, pour $z \ne 0$ , les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est réel.

Les points A, N, P sont alignés si et seulement si $\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A} = \frac{z^2-1}{\frac 1z-1}$ est réel.

$\frac{z^2-1}{\frac 1z-1} = \frac{z^2-1}{\frac {1-z}{z}} = \frac{z(z^2-1)}{1-z} = \frac{-z(1-z^2)}{1-z} = \frac{-z(1-z)(1+z)}{1-z} = -z(1+z) = -(z^2+z)$ si $z \ne 1$.

On veut que $\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A} = \frac{z^2-\frac 1z}{1-\frac 1z} = \frac{z(z^2-\frac 1z)}{z(1-\frac 1z)} = \frac{z^3-1}{z-1} = \frac{(z-1)(z^2+z+1)}{z-1} = z^2+z+1$ soit réel si $z \ne 1$.

On a $z^2-\frac 1z=(z^2+z+1)\left(1-\frac 1z\right)$. Donc $\frac{z^2-\frac 1z}{1-\frac 1z} = z^2+z+1$ si $1-\frac 1z \ne 0$, soit $z \ne 1$.

Donc $\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A} = z^2+z+1$. Les points A, N, P sont alignés si et seulement si $\frac{z_N-z_A}{z_P-z_A}$ est réel, donc si et seulement si $z^2+z+1$ est réel (pour $z \ne 1$ et $z \ne 0$ pour que P existe).

Si $z=1$, $z_N = 1^2 = 1 = z_A$. Donc A et N sont confondus, donc A, N, P sont alignés.

Si $z=1$, $z^2+z+1 = 1+1+1 = 3$ est réel. Donc la condition est aussi vraie pour $z=1$.

Conclusion : Les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est réel.

3) c) Déterminer l'ensemble des points $\rm M$ d'affixe $z\ne 0$ tels que les points $\rm A$, $\rm N$ et $\rm P$ soient alignés. Tracer cet ensemble.

On veut que $z^2+z+1$ soit réel. Soit $z = x+iy$.

$z^2+z+1 = (x+iy)^2 + (x+iy) + 1 = x^2 + 2ixy - y^2 + x + iy + 1 = (x^2 - y^2 + x + 1) + i(2xy + y)$.

Pour que $z^2+z+1$ soit réel, il faut que la partie imaginaire soit nulle : $2xy + y = 0 \Leftrightarrow y(2x+1) = 0 \Leftrightarrow y = 0$ ou $2x+1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac 12$.

Si $y = 0$, alors $z = x$ est réel. Si $x = -\frac 12$, alors $z = -\frac 12 + iy$.

L'ensemble des points M est la réunion de l'axe réel et de la droite verticale d'équation $x = -\frac 12$.

(Le tracé graphique n'est pas possible ici, il faut le faire sur papier).

Conclusion : L'ensemble des points M est la réunion de l'axe réel et de la droite verticale d'équation $x = -\frac 12$.

Exercices 28: Propriétés du nombres $j$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} )$.
Soit le nombre complexe $j=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$.
1) Montrer que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.
2) Écrire $j$ sous forme exponentielle.
3) Démontrer que $j^3=1$ et que $j^2=-1-j$.
4) Soient P, Q et R les points d'affixes respectives 1, $j$ et $j^2$. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.

Correction :

Question 1) Montrer que $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.

On remplace $z$ par $j=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ dans l'équation $z^2+z+1=0$.

$j^2+j+1 = (-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2)^2 + (-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2) + 1 = (\frac 14 - 2 \times \frac 12 \times i\frac{\sqrt 3}2 - \frac 34) - \frac 12+i\frac{\sqrt 3}2 + 1 = (\frac 14 - \frac 34 - \frac 12 + 1) + i(-\frac{\sqrt 3}2 + \frac{\sqrt 3}2) = (\frac{1-3-2+4}{4}) + i(0) = \frac{0}{4} = 0$.

Donc $j^2+j+1 = 0$. Ainsi, $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.

Conclusion : $j$ est solution de l'équation $z^2+z+1=0$.

Question 2) Écrire $j$ sous forme exponentielle.

Module de $j=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2$ : $|j| = \sqrt{(-\frac 12)^2 + (\frac{\sqrt 3}2)^2} = \sqrt{\frac 14 + \frac 34} = \sqrt{1} = 1$.

Argument de $j$ : $\cos(\theta) = -\frac 12$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt 3}2$. Donc $\theta = \frac{2\pi}{3} \quad [2\pi]$.

Forme exponentielle de $j$ : $j = 1 e^{i\frac{2\pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Conclusion : Forme exponentielle de $j$ est $j = e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

Question 3) Démontrer que $j^3=1$ et que $j^2=-1-j$.

$j^3 = (e^{i\frac{2\pi}{3}})^3 = e^{i\frac{6\pi}{3}} = e^{i2\pi} = 1$.

On a $j^2+j+1=0$. Donc en soustrayant $j+1$ de chaque côté, on obtient $j^2 = -1-j$.

Conclusion : $j^3=1$ et $j^2=-1-j$.

Question 4) Soient P, Q et R les points d'affixes respectives 1, $j$ et $j^2$. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.

On calcule les longueurs des côtés du triangle PQR.

$PQ = |z_Q - z_P| = |j - 1| = |e^{i\frac{2\pi}{3}} - 1| = |(\cos(\frac{2\pi}{3}) - 1) + i\sin(\frac{2\pi}{3})| = |(-\frac 12 - 1) + i\frac{\sqrt 3}2| = |-\frac 32 + i\frac{\sqrt 3}2| = \sqrt{(-\frac 32)^2 + (\frac{\sqrt 3}2)^2} = \sqrt{\frac 94 + \frac 34} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

$PR = |z_R - z_P| = |j^2 - 1| = |-1-j - 1| = |-2-j| = |-2 - (-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2)| = |-\frac 32 - i\frac{\sqrt 3}2| = \sqrt{(-\frac 32)^2 + (-\frac{\sqrt 3}2)^2} = \sqrt{\frac 94 + \frac 34} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

$QR = |z_R - z_Q| = |j^2 - j| = |-1-j - j| = |-1-2j| = |-1 - 2(-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2)| = |-1 - (-1+i\sqrt 3)| = |-1 + 1 - i\sqrt 3| = |-i\sqrt 3| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt 3)^2} = \sqrt{3}$.

Comme $PQ = PR = QR = \sqrt{3}$, le triangle PQR est équilatéral.

Conclusion : Le triangle PQR est équilatéral car ses trois côtés ont la même longueur $\sqrt{3}$.

Exercices 29: Problème ouvert - Somme et nombre complexe

Calculer les sommes:
$1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)$.
$1+\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$.
où $n$ est un entier naturel et $x\in \left]0;\frac{\pi}{2} \right[$.

Correction :

On pose $C = 1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)$ et $S = \sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$. On considère la somme complexe $Z = C + iS = (1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)) + i(1+\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)) = (1+i) + (\cos(x) + i\sin(x)) + (\cos(2x) + i\sin(2x)) + ... + (\cos(nx) + i\sin(nx)) = (1+i) + e^{ix} + e^{i2x} + ... + e^{inx}$.

Non, erreur, il ne faut pas mettre (1+i) au début. Reprenons :

On pose $C = 1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)$ et $S = \sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$. On considère la somme complexe $Z = C + iS = (1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx)) + i(\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)) = 1 + (\cos(x) + i\sin(x)) + (\cos(2x) + i\sin(2x)) + ... + (\cos(nx) + i\sin(nx)) = 1 + e^{ix} + e^{i2x} + ... + e^{inx}$.

C'est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme $e^{i0} = 1$ et de raison $q = e^{ix}$. Il y a $n+1$ termes (de l'indice 0 à l'indice n).

Si $q = 1$, la somme est $(n+1) \times \text{premier terme} = n+1$. Si $q \ne 1$, la somme est $\frac{\text{premier terme} \times (1-q^{\text{nombre de termes}})}{1-q} = \frac{1 \times (1-(e^{ix})^{n+1})}{1-e^{ix}} = \frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}} = \frac{e^{i\frac{(n+1)x}{2}} (e^{-i\frac{(n+1)x}{2}} - e^{i\frac{(n+1)x}{2}})}{e^{i\frac{x}{2}} (e^{-i\frac{x}{2}} - e^{i\frac{x}{2}})} = \frac{e^{i\frac{nx}{2}} e^{i\frac{x}{2}} (-2i\sin(\frac{(n+1)x}{2}))}{e^{i\frac{x}{2}} (-2i\sin(\frac{x}{2}))} = e^{i\frac{nx}{2}} \frac{\sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = (\cos(\frac{nx}{2}) + i\sin(\frac{nx}{2})) \frac{\sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac{\cos(\frac{nx}{2}) \sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} + i \frac{\sin(\frac{nx}{2}) \sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$.

Donc $C = \text{Re}(Z) = \frac{\cos(\frac{nx}{2}) \sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$ et $S = \text{Im}(Z) = \frac{\sin(\frac{nx}{2}) \sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$.

Si $x = 2k\pi$, $e^{ix} = 1$, $q = 1$. La somme est $n+1$. Si $x \ne 2k\pi$, $\sin(\frac{x}{2}) \ne 0$.

On peut transformer l'expression de C et S avec les formules trigonométriques.

$\cos(a) \sin(b) = \frac 12 (\sin(a+b) - \sin(a-b))$.

$\cos(\frac{nx}{2}) \sin(\frac{(n+1)x}{2}) = \frac 12 (\sin(\frac{nx}{2} + \frac{(n+1)x}{2}) - \sin(\frac{nx}{2} - \frac{(n+1)x}{2})) = \frac 12 (\sin(\frac{(2n+1)x}{2}) - \sin(-\frac{x}{2})) = \frac 12 (\sin(\frac{(2n+1)x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))$.

$C = \frac{\frac 12 (\sin(\frac{(2n+1)x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac {\sin(\frac{(2n+1)x}{2}) + \sin(\frac{x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})} = \frac 12 ( \frac{\sin(\frac{(2n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} + 1)$.

$\sin(a) \sin(b) = \frac 12 (\cos(a-b) - \cos(a+b))$.

$\sin(\frac{nx}{2}) \sin(\frac{(n+1)x}{2}) = \frac 12 (\cos(\frac{nx}{2} - \frac{(n+1)x}{2}) - \cos(\frac{nx}{2} + \frac{(n+1)x}{2})) = \frac 12 (\cos(-\frac{x}{2}) - \cos(\frac{(2n+1)x}{2})) = \frac 12 (\cos(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{(2n+1)x}{2}))$.

$S = \frac{\frac 12 (\cos(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{(2n+1)x}{2}))}{\sin(\frac{x}{2})} = \frac {\cos(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{(2n+1)x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})} = \frac {\cos(\frac{x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})} - \frac {\cos(\frac{(2n+1)x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})} = \frac 12 (\frac {\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} - \frac {\cos(\frac{(2n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})})$.

Forme finale pour C : $C = \frac{1}{2} + \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right)}{ \sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Forme finale pour S : $S = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{ \sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.

On peut aussi écrire $C = \frac{\sin(\frac{(2n+1)x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})} + \frac 12$ et $S = \frac {\cos(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{(2n+1)x}{2})}{2\sin(\frac{x}{2})}$.

Pour $C = 1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx) = \frac{1}{2} + \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right)}{ \sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Pour $S = \sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{ \sin\left(\frac{x}{2}\right)}$. (Attention, le premier terme de S est sin(x), pas sin(0)=0, donc il faut enlever 1 au début de S).

Reprenons pour S : $S = \sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx)$. Donc $Z = C+iS = 1 + e^{ix} + e^{i2x} + ... + e^{inx}$. Non, erreur encore, $Z = \cos(0)+i\sin(0) + \cos(x)+i\sin(x) + ... + \cos(nx)+i\sin(nx) = \sum_{k=0}^n e^{ikx}\). C'est bon.

Donc les formules sont correctes.

Finalement, pour la première somme (avec 1 au début) : $1+\cos(x)+\cos(2x)+ ... +\cos(nx) = \frac{1}{2} + \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right)}{ \sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.

Pour la deuxième somme (sans 1 au début) : $\sin(x)+\sin(2x)+ ... +\sin(nx) = \frac{\sin\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{ \sin\left(\frac{x}{2}\right)}$.

\(z_1=3\)	\(z_2=-4\)	\(z_3=i\)	\(z_4=-3i\)
\(z_5=2+2i\)	\(z_6=2-2i\)	\(z_7=-\sqrt 3+3i\)

Exercices : Argument d'un Nombre Complexe

Argument d'un Nombre Complexe

1. Module et Argument d'un Nombre Complexe

2. Forme Trigonométrique et Exponentielle

3. Propriétés des Arguments

4. Interprétation Géométrique de l'Argument

Exercice 1: Lire le module et un argument d'un nombre complexe

Exercices 2: Déterminer le module et un argument - forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

Exercices 3: Propriétés de l'argument d'un nombre complexe

Exercices 4: Utiliser les propriétés des arguments d'un nombre complexe

Exercices 5: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique

Exercices 6: Piège avec les arguments - Ecrire sous forme exponentielle - trigonométrique

Exercices 7: Ensemble de points et argument d'un nombre complexe - lieu de points et argument

Exercices 8: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique

Exercices 9: Ecrire un nombre complexe sous forme exponentielle - trigonométrique

Exercices 10: Equation du second degré à coefficient complexe avec l'exponentielle complexe

Exercices 11: Problème ouvert - équation du troisième degré et nombre complexe - Racines cubique de l'unité

Exercices 12: Passer de l'exponentielle complexe à la forme algébrique

Exercices 13: Nombre complexe et angle - Déterminer un angle à l'aide des arguments

Exercices 14: Déterminer l'angle (AB;AC) avec les complexes

Exercices 15: Lien entre angle et argument - Angle (AB;AC) - Complexe et rectangle

Exercices 16 : cos(pi/12) et sin(pi/12) - Version Quotient

Exercices 17: Type Bac - Nombre complexe - équation - conjugué - forme exponentielle

Exercices 18: Condition pour qu'un nombre complexe soit réel, positif, négatif, imaginaire pur

Exercices 19: Bac Liban 2018 nombre complexe

Exercices 20 : Démontrer un alignement à l'aide des nombres complexes - Variante

Exercices 21: Suite de nombres complexes et points alignés

Exercices 22: Fonction complexe - D'après sujet de Bac

Exercices 23: Exercice type bac

Exercices 24: Nombre complexe - Type bac - Forme exponentielle - Ensemble de point - Cercle

Exercices 25: Baccalauréat terminale S métropole septembre 2013 exercice 2

Exercices 26: Bac terminale S Liban 2019 exercice complet révision

Exercices 27: Nombre Complexe révision Bac S maths 2019 Pondichéry Centres étrangers Forme exponentielle Géométrie

Exercices 28: Propriétés du nombres $j$

Exercices 29: Problème ouvert - Somme et nombre complexe