Probabilités Conditionnelles, Indépendance et Probabilités Totales - Exercices BTS CIEL

Correction :

Pour calculer la probabilité que le système ne fonctionne pas correctement, nous utilisons la propriété de l'événement contraire. La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est toujours égale à 1.

Mathématiquement : $P(Fonctionne) + P(Ne Fonctionne Pas) = 1$

Nous connaissons la probabilité que le système fonctionne : $P(Fonctionne) = 0.92$. Nous cherchons $P(Ne Fonctionne Pas)$.

En réarrangeant la formule, nous obtenons : $P(Ne Fonctionne Pas) = 1 - P(Fonctionne)$

En substituant la valeur de $P(Fonctionne)$, nous trouvons : $P(Ne Fonctionne Pas) = 1 - 0.92 = 0.08$

Ainsi, la probabilité que le système ne fonctionne pas correctement pendant cette heure est de 0.08, soit 8%!!

Correction :

Pour résoudre cet exercice, nous devons d'abord déterminer le nombre total de câbles dans le lot.

Dans ce lot, il y a un total de $80 + 20 = 100$ câbles réseau.

Probabilité de choisir un câble Cat5e :

Soit C5e l'événement "choisir un câble Cat5e". Le nombre de câbles Cat5e est de 80.

La probabilité de choisir un câble Cat5e se calcule comme suit : $P(C5e) = \frac{\text{Nombre de câbles Cat5e}}{\text{Nombre total de câbles}} = \frac{80}{100} = 0.8$

Ainsi, la probabilité de choisir un câble Cat5e est de 0.8!!

Probabilité de choisir un câble Cat6 :

Soit C6 l'événement "choisir un câble Cat6". Le nombre de câbles Cat6 est de 20.

La probabilité de choisir un câble Cat6 est : $P(C6) = \frac{\text{Nombre de câbles Cat6}}{\text{Nombre total de câbles}} = \frac{20}{100} = 0.2$

Donc, la probabilité de choisir un câble Cat6 est de 0.2!!

On peut vérifier que la somme des probabilités est $P(C5e) + P(C6) = 0.8 + 0.2 = 1$, ce qui est attendu car il n'y a que des câbles Cat5e et Cat6 dans le lot.

Correction :

L'énoncé précise que les serveurs fonctionnent de manière indépendante. En probabilités, cela signifie que la réalisation d'un événement (panne du Serveur A) n'influence pas la probabilité de l'autre événement (panne du Serveur B).

Les événements PA et PB sont donc indépendants par hypothèse de l'énoncé!!

Mathématiquement, deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Probabilités individuelles :

Probabilité de panne du Serveur A : $P(PA) = 0.01$.

Probabilité de panne du Serveur B : $P(PB) = 0.02$.

Calcul de la probabilité que les deux serveurs tombent en panne le même jour :

Puisque les événements sont indépendants, la probabilité que les deux serveurs tombent en panne le même jour (l'intersection des événements PA et PB) est simplement le produit de leurs probabilités : $P(PA \cap PB) = P(PA) \times P(PB) = 0.01 \times 0.02 = 0.0002$

Ainsi, la probabilité que les deux serveurs tombent en panne le même jour est de 0.0002, ce qui correspond à 0.02%!!

Correction :

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule des probabilités totales. Cette formule est utile lorsque l'on veut calculer la probabilité d'un événement (ici, "le test est positif") en considérant différentes situations possibles qui mènent à cet événement (être infecté ou ne pas être infecté).

Définissons les événements :

V : "l'ordinateur est infecté par un virus"

$\overline{V}$ : "l'ordinateur n'est pas infecté par un virus" (événement contraire de V)

T+ : "le test de diagnostic est positif"

Nous voulons calculer la probabilité $P(T+)$. La formule des probabilités totales nous dit que : $P(T+) = P(T+|V)P(V) + P(T+|\overline{V})P(\overline{V})$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Probabilité d'infection virale : $P(V) = 0.03$ (3% des ordinateurs sont infectés)

Probabilité de non-infection virale : $P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0.03 = 0.97$

Probabilité d'un test positif si l'ordinateur est infecté (vrai positif) : $P(T+|V) = 0.95$

Probabilité d'un test positif si l'ordinateur n'est pas infecté (faux positif) : $P(T+|\overline{V}) = 0.01$

Maintenant, substituons ces valeurs dans la formule des probabilités totales : $P(T+) = (0.95 \times 0.03) + (0.01 \times 0.97)$ $P(T+) = 0.0285 + 0.0097$ $P(T+) = 0.0382$

Donc, la probabilité que le test de diagnostic soit positif est de 0.0382, soit 3.82%!!

Correction :

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser le concept de probabilité conditionnelle. Nous devons calculer la probabilité d'une séquence d'événements qui dépendent les uns des autres (tirage sans remise).

Définissons les événements :

F1 : "le premier disque dur testé est fonctionnel"

D2 : "le second disque dur testé est défectueux"

Nous cherchons à calculer la probabilité de l'événement "F1 et D2", que l'on note $P(F1 \cap D2)$. En utilisant la formule des probabilités conditionnelles, nous avons : $P(F1 \cap D2) = P(F1) \times P(D2|F1)$ Où $P(D2|F1)$ est la probabilité que le second disque soit défectueux sachant que le premier était fonctionnel.

Calcul de $P(F1)$ (probabilité que le premier disque soit fonctionnel) :

Au départ, il y a 10 disques durs au total, dont 3 sont défectueux et donc $10 - 3 = 7$ sont fonctionnels.

La probabilité de tirer un disque fonctionnel en premier est : $P(F1) = \frac{\text{Nombre de disques fonctionnels}}{\text{Nombre total de disques}} = \frac{7}{10}$

Calcul de $P(D2|F1)$ (probabilité que le second disque soit défectueux sachant que le premier était fonctionnel) :

Si le premier disque testé était fonctionnel et n'est pas remis dans le lot, il reste alors 9 disques durs. Parmi ces 9 disques, il y a toujours 3 défectueux (car on a tiré un fonctionnel au premier tirage) et maintenant seulement 6 fonctionnels (puisqu'on en a retiré un).

La probabilité de tirer un disque défectueux au second tirage, sachant que le premier était fonctionnel, est : $P(D2|F1) = \frac{\text{Nombre de disques défectueux restants}}{\text{Nombre total de disques restants}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Calcul de la probabilité de l'événement $F1 \cap D2$ :

En utilisant la formule des probabilités conditionnelles : $P(F1 \cap D2) = P(F1) \times P(D2|F1) = \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{30}$

La probabilité que le premier disque dur testé soit fonctionnel et le second soit défectueux est de $\frac{7}{30}$!!

Correction :

Pour cet exercice, nous allons simplifier en considérant un modèle probabiliste discret pour le nombre d'erreurs sur chaque serveur afin de rendre les calculs plus accessibles.

Modèle simplifié : Supposons que pour chaque serveur (X et Y), le nombre d'erreurs possibles lors du test est 0, 1 ou 2, avec les probabilités suivantes (à titre d'exemple pédagogique) :

Probabilité de 0 erreur : 0.6

Probabilité de 1 erreur : 0.3

Probabilité de 2 erreurs : 0.1

Et nous supposons que les erreurs sur le serveur X et le serveur Y sont indépendantes.

Calcul de la probabilité de l'événement $E_X$ :

L'événement $E_X$ est "Le serveur X présente au moins une erreur lors du test". Cela signifie que le serveur X a soit 1 erreur, soit 2 erreurs.

Donc, la probabilité de $E_X$ est : $P(E_X)$ = $P(\text{1 erreur sur X}) + P(\text{2 erreurs sur X}) = 0.3 + 0.1 = 0.4$

Calcul de la probabilité de l'événement S :

L'événement S est "La somme du nombre d'erreurs détectées sur les deux serveurs est supérieure ou égale à 3". Pour calculer $P(S)$, il est plus simple de passer par l'événement contraire, $\overline{S}$, qui est "la somme des erreurs est strictement inférieure à 3" (donc la somme est 0, 1, ou 2).

Listons les cas possibles pour $\overline{S}$ et leurs probabilités (en utilisant l'indépendance des erreurs sur X et Y) :

Somme = 0 : (0 erreur sur X, 0 erreur sur Y) : $P(\text{0 erreur sur X}) \times P(\text{0 erreur sur Y}) = 0.6 \times 0.6 = 0.36$

Somme = 1 : (0 erreur sur X, 1 erreur sur Y) ou (1 erreur sur X, 0 erreur sur Y) : $(0.6 \times 0.3) + (0.3 \times 0.6) = 0.18 + 0.18 = 0.36$

Somme = 2 : (0 erreur sur X, 2 erreurs sur Y) ou (1 erreur sur X, 1 erreur sur Y) ou (2 erreurs sur X, 0 erreur sur Y) : $(0.6 \times 0.1) + (0.3 \times 0.3) + (0.1 \times 0.6) = 0.06 + 0.09 + 0.06 = 0.21$

La probabilité de $\overline{S}$ est donc la somme de ces probabilités : $P(\overline{S}) = 0.36 + 0.36 + 0.21 = 0.93$

Par conséquent, la probabilité de S est : $P(S) = 1 - P(\overline{S}) = 1 - 0.93 = 0.07$

Calcul de la probabilité de l'événement $E_X \cap S$ :

$E_X \cap S$ est l'événement "Le serveur X a au moins une erreur ET la somme des erreurs sur les deux serveurs est supérieure ou égale à 3". Listons les combinaisons (erreurs sur X, erreurs sur Y) qui satisfont les deux conditions :

Si X a 1 erreur, alors pour que la somme soit $\geq 3$, Y doit avoir au moins 2 erreurs : Cas (1 erreur sur X, 2 erreurs sur Y)

Si X a 2 erreurs, alors pour que la somme soit $\geq 3$, Y doit avoir au moins 1 erreur (1 ou 2 erreurs) : Cas (2 erreurs sur X, 1 erreur sur Y) et (2 erreurs sur X, 2 erreurs sur Y)

Calculons les probabilités de ces cas et additionnons-les :

Cas (1 erreur sur X, 2 erreurs sur Y) : $P(\text{1 erreur sur X}) \times P(\text{2 erreurs sur Y}) = 0.3 \times 0.1 = 0.03$

Cas (2 erreurs sur X, 1 erreur sur Y) : $P(\text{2 erreurs sur X}) \times P(\text{1 erreur sur Y}) = 0.1 \times 0.3 = 0.03$

Cas (2 erreurs sur X, 2 erreurs sur Y) : $P(\text{2 erreurs sur X}) \times P(\text{2 erreurs sur Y}) = 0.1 \times 0.1 = 0.01$

$P(E_X \cap S) = 0.03 + 0.03 + 0.01 = 0.07$

Vérification de l'indépendance :

Pour que $E_X$ et S soient indépendants, il faudrait que $P(E_X \cap S)$ = $P(E_X) \times P(S)$. Calculons le produit : $P(E_X) \times P(S)$ = $0.4 \times 0.07 = 0.028$

Comparons avec $P(E_X \cap S)$ = 0.07$. Nous constatons que : $P(E_X \cap S)$ = $0.07 \neq 0.028 = P(E_X) \times P(S)$

Conclusion : Puisque la condition d'indépendance n'est pas vérifiée, les événements $E_X$ et S ne sont pas indépendants. Ils sont dépendants!! Dans cet exemple, le fait de savoir que le serveur X a des erreurs influence la probabilité que la somme totale des erreurs soit élevée.

Correction :

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la formule des probabilités totales. Nous avons trois lignes de production qui contribuent à la production totale de routeurs, et chacune a son propre taux de production et son propre taux de défaut.

Définissons les événements :

L1 : "le routeur est produit par la ligne L1"

L2 : "le routeur est produit par la ligne L2"

L3 : "le routeur est produit par la ligne L3"

D : "le routeur est défectueux"

Nous voulons calculer la probabilité $P(D)$ que le routeur choisi soit défectueux. La formule des probabilités totales dans ce cas est : $P(D) = P(D|L1)P(L1) + P(D|L2)P(L2) + P(D|L3)P(L3)$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Proportions de production : $P(L1) = 0.40$, $P(L2) = 0.35$, $P(L3) = 0.25$. (Notez que $P(L1) + P(L2) + P(L3) = 0.40 + 0.35 + 0.25 = 1$).

Taux de routeurs défectueux par ligne : $P(D|L1) = 0.03$, $P(D|L2) = 0.05$, $P(D|L3) = 0.02$.

Maintenant, substituons ces valeurs dans la formule des probabilités totales : $P(D) = (0.03 \times 0.40) + (0.05 \times 0.35) + (0.02 \times 0.25)$ $P(D) = 0.012 + 0.0175 + 0.005$ $P(D) = 0.0345$

Donc, la probabilité qu'un routeur choisi au hasard dans la production totale soit défectueux est de 0.0345, soit 3.45%!!

Correction :

Cet exercice est un exemple classique d'application du théorème de Bayes, qui permet d'inverser le conditionnement des probabilités. Ici, on connaît les probabilités de test positif/négatif sachant si l'utilisateur est autorisé ou non, et on veut calculer la probabilité inverse : la probabilité que l'utilisateur soit autorisé sachant que le test est positif (connexion acceptée).

Définissons les événements :

A : "la tentative de connexion provient d'un utilisateur autorisé"

$\overline{A}$ : "la tentative de connexion provient d'un utilisateur non autorisé"

Accepte : "le système accepte la tentative de connexion"

Nous voulons calculer la probabilité $P(A|Accepte)$. Le théorème de Bayes nous donne la formule : $P(A|Accepte) = \frac{P(Accepte|A)P(A)}{P(Accepte)}$

Pour appliquer cette formule, nous devons d'abord calculer $P(Accepte)$, la probabilité que le système accepte une tentative de connexion, en utilisant la formule des probabilités totales : $P(Accepte) = P(Accepte|A)P(A) + P(Accepte|\overline{A})P(\overline{A})$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Proportion de tentatives d'utilisateurs autorisés : $P(A) = 0.60$

Proportion de tentatives d'utilisateurs non autorisés : $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40$

Taux de vrais positifs (accepte un utilisateur autorisé) : $P(Accepte|A) = 0.99$ (99% de vrais positifs)

Taux de faux positifs (accepte un utilisateur non autorisé) : $P(Accepte|\overline{A}) = 0.01$ (1% de faux positifs)

Calcul de $P(Accepte)$ : $P(Accepte) = (0.99 \times 0.60) + (0.01 \times 0.40) = 0.594 + 0.004 = 0.598$

Calcul de $P(A|Accepte)$ en utilisant le théorème de Bayes : $P(A|Accepte) = \frac{P(Accepte|A)P(A)}{P(Accepte)} = \frac{0.99 \times 0.60}{0.598} = \frac{0.594}{0.598} = \frac{594}{598} = \frac{297}{299}$

En valeur décimale approximative : $P(A|Accepte) = \frac{297}{299} \approx 0.9933$

Donc, sachant que la connexion est acceptée par le système, la probabilité que cette tentative provienne réellement d'un utilisateur autorisé est d'environ 0.9933, soit 99.33%!!

Correction :

L'énoncé de cet exercice suppose que les événements "paquet TCP" et "paquet SYN" sont indépendants, uniquement à des fins pédagogiques pour illustrer le concept d'indépendance. En réalité, un paquet SYN est toujours un type de paquet TCP, donc ils ne sont pas indépendants dans le trafic réseau réel.

Cependant, sous l'hypothèse d'indépendance donnée pour cet exercice, si deux événements A et B sont indépendants, alors la probabilité de leur intersection (A et B se produisent en même temps) est le produit de leurs probabilités : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Dans notre cas, A est l'événement "TCP" et B est l'événement "SYN". Nous avons les probabilités données :

Probabilité qu'un paquet soit TCP : $P(TCP) = 0.6$

Probabilité qu'un paquet soit SYN : $P(SYN) = 0.2$

Sous l'hypothèse d'indépendance, la probabilité qu'un paquet soit à la fois TCP et SYN (c'est-à-dire, qu'il soit dans l'intersection des événements TCP et SYN) est : $P(TCP \cap SYN) = P(TCP) \times P(SYN) = 0.6 \times 0.2 = 0.12$

Donc, sous cette hypothèse d'indépendance (qui est une simplification), la probabilité qu'un paquet soit à la fois TCP et SYN est de 0.12, soit 12%!!

Note importante pour les étudiants CIEL : Il est crucial de comprendre que dans un contexte réseau réel, l'hypothèse d'indépendance entre le type de protocole et le flag TCP est fausse. Un paquet SYN est spécifiquement un type de paquet TCP. Dans la réalité, il y aurait une relation de dépendance forte, voire d'inclusion (l'ensemble des paquets SYN est un sous-ensemble de l'ensemble des paquets TCP). Cet exercice est donc une simplification pour illustrer le calcul avec l'indépendance, mais ne reflète pas la complexité du trafic réseau réel.

Correction :

Pour résoudre ce problème, nous allons appliquer la formule des probabilités totales. L'administrateur a deux choix de configuration, et chaque configuration a une probabilité différente de conduire à un crash serveur. Ces choix de configuration forment une "partition" des possibilités.

Définissons les événements :

C1 : "l'administrateur choisit la Configuration 1"

C2 : "l'administrateur choisit la Configuration 2"

Crash : "le serveur crashe dans le mois"

Nous souhaitons calculer la probabilité $P(Crash)$. La formule des probabilités totales dans ce cas est : $P(Crash) = P(Crash|C1)P(C1) + P(Crash|C2)P(C2)$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Probabilités de choix de configuration : $P(C1) = 0.7$ et $P(C2) = 0.3$. (On vérifie que $P(C1) + P(C2) = 0.7 + 0.3 = 1$, ce qui est normal car il n'y a que deux choix).

Probabilités de crash selon la configuration :

Probabilité de crash avec la Configuration 1 : $P(Crash|C1) = 0.01$

Probabilité de crash avec la Configuration 2 : $P(Crash|C2) = 0.05$

Substituons ces valeurs dans la formule des probabilités totales : $P(Crash) = (0.01 \times 0.7) + (0.05 \times 0.3)$ $P(Crash) = 0.007 + 0.015$ $P(Crash) = 0.022$

Donc, la probabilité que le serveur crashe dans le mois est de 0.022, soit 2.2%!!

Correction :

Dans cet exercice, nous allons encore utiliser la formule des probabilités totales. L'envoi des données peut se faire par deux routes différentes, et chaque route a une probabilité différente d'entraîner un délai de transmission long.

Définissons les événements :

RouteA : "les données sont envoyées par la Route A"

RouteB : "les données sont envoyées par la Route B"

Délai : "le délai de transmission dépasse 100ms"

Nous voulons calculer la probabilité $P(Délai)$ qu'un délai de transmission long se produise. La formule des probabilités totales est : $P(Délai) = P(Délai|RouteA)P(RouteA) + P(Délai|RouteB)P(RouteB)$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Probabilités de choix de route : $P(RouteA) = 0.6$ et $P(RouteB) = 0.4$. (On vérifie que $P(RouteA) + P(RouteB) = 0.6 + 0.4 = 1$).

Probabilités de délai long selon la route :

Probabilité de délai long avec la Route A : $P(Délai|RouteA) = 0.15$

Probabilité de délai long avec la Route B : $P(Délai|RouteB) = 0.08$

Substituons ces valeurs dans la formule des probabilités totales : $P(Délai) = (0.15 \times 0.6) + (0.08 \times 0.4)$ $P(Délai) = 0.09 + 0.032$ $P(Délai) = 0.122$

Donc, la probabilité que le délai de transmission dépasse 100ms est de 0.122, soit 12.2%!!

Correction :

Pour déterminer si les événements "passer les tests unitaires" (TU) et "passer les tests d'intégration" (TI) sont indépendants, nous devons réfléchir à leur relation dans le processus de développement logiciel.

Analyse intuitive et logique :

Les tests unitaires sont conçus pour vérifier le bon fonctionnement de petites unités de code isolées (fonctions, classes, etc.). Les tests d'intégration, quant à eux, vérifient que ces unités fonctionnent correctement ensemble une fois intégrées dans un système plus large.

Intuitivement : Si un module passe avec succès les tests unitaires, cela signifie que ses composants individuels fonctionnent probablement bien. Cela diminue la probabilité qu'il y ait des erreurs fondamentales dans ce module qui pourraient causer des problèmes lors de l'intégration. Inversement, si un module échoue aux tests unitaires, il est plus probable qu'il cause des problèmes lors de l'intégration.

Logiquement : La réussite aux tests unitaires est un indicateur positif de la qualité du module. Bien sûr, un module qui passe les tests unitaires peut toujours échouer aux tests d'intégration (à cause de problèmes d'interface avec d'autres modules, par exemple). Mais, en moyenne, un module qui a passé ses tests unitaires a une meilleure chance de réussir l'intégration qu'un module qui ne les a pas passés ou n'a pas été testé unitairement.

Conclusion sur l'indépendance : Les événements TU et TI ne sont pas indépendants. La réussite des tests unitaires influence (augmente) la probabilité de réussite des tests d'intégration. Ils sont donc dépendants et, plus précisément, ils sont positivement corrélés!!

Réponse à la question spécifique : Si un module passe les tests unitaires, cela augmente la probabilité qu'il passe les tests d'intégration. En termes de probabilités conditionnelles, cela signifie que : $P(TI|TU) > P(TI)$ La probabilité de TI sachant TU est plus grande que la probabilité de TI sans information sur TU.

Correction :

Cet exercice est similaire à l'Exercice 6 (test de diagnostic réseau), mais appliqué à la détection de bugs dans le code source. Nous allons encore utiliser le théorème de Bayes pour inverser le conditionnement et répondre à la question : "si le test dit qu'il y a un bug, quelle est la probabilité qu'il y ait vraiment un bug ?".

Définissons les événements :

Bug : "la ligne de code contient un bug"

$\overline{Bug}$ : "la ligne de code ne contient pas de bug"

Test+ : "l'outil de test signale un bug sur la ligne"

Nous voulons calculer la probabilité $P(Bug|Test+)$. Encore une fois, nous utilisons le théorème de Bayes : $P(Bug|Test+) = \frac{P(Test+|Bug)P(Bug)}{P(Test+)}$

Nous devons d'abord calculer $P(Test+)$ en utilisant la formule des probabilités totales : $P(Test+) = P(Test+|Bug)P(Bug) + P(Test+|\overline{Bug})P(\overline{Bug})$

Identifions les probabilités données :

Proportion de lignes buggées (prévalence) : $P(Bug) = 0.03$ (3% des lignes)

Proportion de lignes non buggées : $P(\overline{Bug}) = 1 - P(Bug) = 1 - 0.03 = 0.97$

Sensibilité du test (vrai positif) : $P(Test+|Bug) = 0.95$ (95% de détection si bug présent)

Spécificité du test est de 99%, donc faux positif : $P(Test+|\overline{Bug}) = 1 - 0.99 = 0.01$ (1% de faux positifs)

Calcul de $P(Test+)$ : $P(Test+) = (0.95 \times 0.03) + (0.01 \times 0.97) = 0.0285 + 0.0097 = 0.0382$

Calcul de $P(Bug|Test+)$ avec le théorème de Bayes : $P(Bug|Test+) = \frac{P(Test+|Bug)P(Bug)}{P(Test+)} = \frac{0.95 \times 0.03}{0.0382} = \frac{0.0285}{0.0382} = \frac{285}{382}$

En valeur décimale approximative : $P(Bug|Test+) = \frac{285}{382} \approx 0.7461$

Donc, si l'outil de test signale un bug sur une ligne de code, la probabilité que cette ligne de code contienne réellement un bug est d'environ 0.7461, soit 74.61%!!

Comparaison avec la proportion initiale de bugs :

La proportion initiale de lignes buggées dans le code (avant de faire le test) était de seulement 3% ($P(Bug) = 0.03$). Après que le test ait signalé un bug (test positif), la probabilité que ce soit effectivement un bug monte considérablement à environ 74.61%.

Cependant, il est important de noter que même avec un test positif, il reste une probabilité non négligeable (environ $100\% - 74.61\% = 25.39\%$) que le signalement du bug soit un faux positif. Cela souligne l'importance de ne pas se fier aveuglément aux résultats des tests automatiques et de toujours procéder à une vérification humaine ou à d'autres formes de validation.

Correction :

Pour déterminer si les événements "TraficElevé" et "Surcharge" pour un serveur web sont indépendants, nous devons analyser leur relation logique et intuitive dans le contexte du fonctionnement d'un serveur web.

Analyse intuitive et logique :

Un serveur web est conçu pour traiter des requêtes réseau (trafic). Cependant, il a des capacités limitées en termes de ressources (processeur, mémoire, bande passante réseau, etc.).

Intuitivement : Si un serveur web subit un "TraficElevé", cela signifie qu'il reçoit un grand nombre de requêtes en peu de temps. Ce grand nombre de requêtes va solliciter fortement ses ressources. Si le trafic dépasse ses capacités, le serveur risque d'être "débordé", ce qui peut conduire à une "Surcharge". Une surcharge se manifeste par des ralentissements (temps de réponse longs) voire des pannes (incapacité à répondre aux requêtes).

Logiquement : Un trafic réseau élevé est un facteur de risque majeur de surcharge pour un serveur web. Les mécanismes de protection contre la surcharge (limitation du nombre de connexions, mise en file d'attente des requêtes, etc.) existent, mais ils ne sont pas infaillibles. Plus le trafic augmente, plus le risque de surcharge s'accroît.

Conclusion sur l'indépendance : Les événements "TraficElevé" et "Surcharge" ne sont pas indépendants. Un trafic réseau élevé augmente significativement la probabilité de surcharge du serveur. Ils sont donc dépendants et positivement corrélés!!

Réponse à la question spécifique : Oui, le fait d'avoir un trafic réseau élevé influence fortement la probabilité de surcharge du serveur. En termes de probabilités conditionnelles : $P(Surcharge|TraficElevé) > P(Surcharge)$ La probabilité de surcharge sachant qu'il y a un trafic élevé est plus grande que la probabilité de surcharge en général.

En résumé, dans le contexte d'un serveur web, il est clair que le trafic réseau et la surcharge sont des événements dépendants et qu'il est crucial pour les administrateurs système de surveiller le trafic et de mettre en place des mesures pour prévenir les surcharges, surtout en période de fort trafic.

Correction :

Pour cet exercice, nous allons utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité globale de perte de données, en considérant les deux stratégies de sauvegarde utilisées par l'entreprise. Nous allons également représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré pour visualiser les probabilités.

Définissons les événements :

Locale : "les données sont sauvegardées localement"

Cloud : "les données sont sauvegardées dans le cloud"

Perte : "il y a une perte de données"

Nous voulons calculer la probabilité $P(Perte)$. La formule des probabilités totales est : $P(Perte) = P(Perte|Locale)P(Locale) + P(Perte|Cloud)P(Cloud)$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Probabilités données dans l'énoncé :

Proportions de données sauvegardées : $P(Locale) = 0.60$ (60% localement) et $P(Cloud) = 0.40$ (40% dans le cloud). (On vérifie que $P(Locale) + P(Cloud) = 0.60 + 0.40 = 1$).

Probabilités de perte de données selon la stratégie :

Probabilité de perte avec la sauvegarde locale : $P(Perte|Locale) = 0.02$

Probabilité de perte avec la sauvegarde cloud : $P(Perte|Cloud) = 0.01$

Substituons ces valeurs dans la formule des probabilités totales : $P(Perte) = (0.02 \times 0.60) + (0.01 \times 0.40)$ $P(Perte) = 0.012 + 0.004$ $P(Perte) = 0.016$

Donc, la probabilité totale de perte de données est de 0.016, soit 1.6%!!

Représentation avec un arbre pondéré :

Un arbre pondéré permet de visualiser les différentes possibilités et les probabilités associées. Pour cet exercice, l'arbre se construit comme suit :

1. Départ : Point initial représentant l'ensemble des données.

2. Première bifurcation : Représente le choix de la stratégie de sauvegarde :

Branche vers "Locale" avec probabilité $P(Locale) = 0.60$.

Branche vers "Cloud" avec probabilité $P(Cloud) = 0.40$.

3. Deuxième bifurcation (à partir de chaque branche de la première bifurcation) : Représente l'événement "Perte de données" ou son contraire "Pas de perte" pour chaque stratégie :

À partir de la branche "Locale" :

Branche vers "Perte" avec probabilité $P(Perte|Locale) = 0.02$.

Branche vers "Pas de perte" avec probabilité $1 - P(Perte|Locale) = 1 - 0.02 = 0.98$.

À partir de la branche "Cloud" :

Branche vers "Perte" avec probabilité $P(Perte|Cloud) = 0.01$.

Branche vers "Pas de perte" avec probabilité $1 - P(Perte|Cloud) = 1 - 0.01 = 0.99$.

Pour calculer $P(Perte)$ à partir de l'arbre, on additionne les probabilités des chemins qui mènent à l'événement "Perte" :

Chemin "Locale" puis "Perte" : Probabilité = $P(Locale) \times P(Perte|Locale) = 0.60 \times 0.02 = 0.012$.

Chemin "Cloud" puis "Perte" : Probabilité = $P(Cloud) \times P(Perte|Cloud) = 0.40 \times 0.01 = 0.004$.

$P(Perte) = 0.012 + 0.004 = 0.016$

L'arbre pondéré confirme le résultat obtenu avec la formule des probabilités totales : la probabilité totale de perte de données est de 1.6%!! L'arbre permet de visualiser clairement comment chaque stratégie de sauvegarde contribue à cette probabilité globale.

Correction :

Pour résoudre cet exercice, nous allons utiliser la formule des probabilités totales. Le joueur a deux stratégies possibles, et chaque stratégie a une probabilité différente de mener à la victoire. Ces stratégies forment une partition des choix possibles.

Définissons les événements :

SO : "Le joueur choisit la Stratégie Offensive"

SD : "Le joueur choisit la Stratégie Défensive"

G : "Le joueur gagne la partie"

Nous voulons calculer la probabilité $P(G)$ que le joueur gagne. La formule des probabilités totales est : $P(G) = P(G|SO)P(SO) + P(G|SD)P(SD)$

Identifions les probabilités données dans l'énoncé :

Probabilités de choix de stratégie : $P(SO) = 0.55$ et $P(SD) = 0.45$. (On vérifie que $P(SO) + P(SD) = 0.55 + 0.45 = 1$).

Probabilités de gagner selon la stratégie :

Probabilité de gagner avec la Stratégie Offensive : $P(G|SO) = 0.7$

Probabilité de gagner avec la Stratégie Défensive : $P(G|SD) = 0.4$

Substituons ces valeurs dans la formule des probabilités totales : $P(G) = (0.7 \times 0.55) + (0.4 \times 0.45)$ $P(G) = 0.385 + 0.18$ $P(G) = 0.565$

Donc, la probabilité que le joueur gagne à ce jeu est de 0.565, soit 56.5%!!

Correction :

Pour cet exercice, nous allons utiliser le théorème de Bayes pour déterminer la probabilité qu'un serveur ait réellement un problème de configuration sachant que le test de diagnostic est positif.

Définissons les événements :

C : "Le serveur a un problème de configuration"

$\overline{C}$ : "Le serveur n'a pas de problème de configuration"

T+ : "Le test de diagnostic est positif"

Nous voulons calculer la probabilité $P(C|T+)$. En utilisant le théorème de Bayes : $P(C|T+) = \frac{P(T+|C)P(C)}{P(T+)}$

Calculons $P(T+)$ avec la formule des probabilités totales : $P(T+) = P(T+|C)P(C) + P(T+|\overline{C})P(\overline{C})$

Probabilités données dans l'énoncé :

Probabilité d'avoir un problème de configuration : $P(C) = 0.2$

Probabilité de ne pas avoir de problème de configuration : $P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.2 = 0.8$

Probabilité d'un test positif si problème de configuration (vrai positif) : $P(T+|C) = 0.9$

Probabilité d'un test positif si pas de problème de configuration (faux positif) : $P(T+|\overline{C}) = 0.05$

Calcul de $P(T+)$ : $P(T+) = (0.9 \times 0.2) + (0.05 \times 0.8) = 0.18 + 0.04 = 0.22$

Calcul de $P(C|T+)$ avec le théorème de Bayes : $P(C|T+) = \frac{P(T+|C)P(C)}{P(T+)} = \frac{0.9 \times 0.2}{0.22} = \frac{0.18}{0.22} = \frac{18}{22} = \frac{9}{11}$

$P(C|T+) = \frac{9}{11} \approx 0.8182$

Donc, si le test du serveur est positif, la probabilité que le serveur ait réellement un problème de configuration est d'environ 0.8182, soit 81.82%!!

Correction :

Pour déterminer si les événements "Intrusion" et "AlerteSécurité" sont indépendants, nous devons analyser leur relation dans le contexte de la sécurité informatique.

Analyse intuitive et logique :

Un système de sécurité informatique est conçu pour détecter et signaler les activités suspectes, comme les tentatives d'intrusion. Une "AlerteSécurité de niveau critique" est généralement déclenchée pour des événements considérés comme graves et potentiellement dangereux pour le système.

Intuitivement : Si une "Intrusion" est détectée, cela signifie qu'une activité potentiellement malveillante a été identifiée. Dans la plupart des systèmes de sécurité, la détection d'une intrusion est un événement qui augmente fortement la probabilité qu'une "AlerteSécurité" soit déclenchée. En effet, une intrusion réussie ou même une tentative sérieuse d'intrusion est un événement de sécurité majeur qui justifie une alerte critique.

Logiquement : La détection d'une intrusion est un facteur de risque élevé pour le déclenchement d'une alerte de sécurité critique. Les systèmes de détection d'intrusion (IDS) et les systèmes de gestion des événements et des informations de sécurité (SIEM) sont conçus pour corréler les événements et déclencher des alertes appropriées en fonction de la gravité de la situation. Une intrusion détectée est typiquement un événement qui élève le niveau d'alerte.

Conclusion sur l'indépendance : Les événements "Intrusion" et "AlerteSécurité" ne sont pas indépendants. La détection d'une intrusion augmente la probabilité qu'une alerte de sécurité critique soit déclenchée. Ils sont donc dépendants et positivement corrélés!!

Réponse à la question spécifique : Oui, la détection d'une intrusion influence fortement la probabilité qu'une alerte de sécurité critique soit déclenchée. En termes de probabilités conditionnelles : $P(AlerteSécurité|Intrusion) > P(AlerteSécurité)$ La probabilité d'une alerte de sécurité critique sachant qu'une intrusion a été détectée est plus grande que la probabilité d'une alerte de sécurité critique en général.

En conclusion, dans le domaine de la sécurité informatique, il est essentiel de comprendre que les événements sont rarement indépendants. La détection d'un type d'événement (comme une intrusion) peut significativement modifier la probabilité d'autres événements (comme le déclenchement d'alertes), et cette dépendance est au cœur des systèmes de sécurité efficaces.