Primitives et Intégrales - Exercices BTS Informatique

Correction Exercice 1 :

1. Pour déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2 + 2$, nous allons utiliser la règle de primitivation des polynômes, qui stipule que la primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (pour $n \neq -1$) et que la primitive d'une constante $c$ est $cx$.

   Étape 1 : Primitiver $3x^2$. En appliquant la règle avec $n=2$, on obtient $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

   Étape 2 : Primitiver $2$. La primitive d'une constante $2$ est simplement $2x$.

   Étape 3 : Combiner et ajouter la constante d'intégration. En combinant les primitives des deux termes, on obtient $F(x) = x^3 + 2x$. N'oubliez pas d'ajouter la constante d'intégration $C$, car la dérivée d'une constante est zéro. Donc, la primitive générale est $F(x) = x^3 + 2x + C$.

2. Vérification XCAS :

   
   // Pour f(x) = 3x^2 + 2
   diff(x^3 + 2*x, x) // Doit retourner 3*x^2 + 2
                           

   XCAS confirme que la dérivée de $x^3 + 2x$ est bien $3x^2 + 2$, validant notre primitive.

Réponse : 1. $F(x) = x^3 + 2x + C$

Correction Exercice 2 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{1} x dx$, nous devons d'abord trouver une primitive de la fonction $f(x) = x$, puis évaluer cette primitive aux bornes de l'intégration (1 et 0) et soustraire les valeurs.

   Étape 1 : Trouver une primitive de $f(x) = x$. En utilisant la règle des puissances pour les polynômes (avec $n=1$), une primitive de $x$ est $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$. Nous n'avons pas besoin d'ajouter la constante d'intégration $C$ pour une intégrale définie.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous devons calculer $F(1) - F(0)$, où $F(x) = \frac{x^2}{2}$. $F(1) = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ et $F(0) = \frac{0^2}{2} = 0$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{0}^{1} x dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

2. Interprétation géométrique : L'intégrale $\int_{0}^{1} x dx$ représente l'aire du domaine plan délimité par la courbe $y=x$, l'axe des abscisses (y=0), et les droites verticales $x=0$ et $x=1$. Visuellement, il s'agit d'un triangle rectangle dont la base est sur l'axe des x de 0 à 1 (longueur 1) et la hauteur est donnée par la valeur de la fonction $f(x)=x$ en $x=1$, donc $f(1)=1$. L'aire d'un triangle rectangle est donnée par $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$. Ce qui correspond bien à la valeur de l'intégrale que nous avons calculée.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de x de 0 à 1
   integrate(x, x=0..1) // Doit retourner 1/2
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $\frac{1}{2}$.

Réponse : 1. $\frac{1}{2}$ 2. Aire d'un triangle.

Correction Exercice 3 :

1. Pour trouver une primitive de $f(x) = 5e^{2x}$, nous utilisons la formule de primitivation de l'exponentielle composée, qui stipule que la primitive de $e^{ax}$ est $\frac{1}{a}e^{ax}$ (pour $a \neq 0$). Dans notre cas, nous avons une constante multiplicative 5 devant l'exponentielle.

   Étape 1 : Appliquer la formule de primitivation pour $e^{2x}$. Ici, $a = 2$, donc la primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$.

   Étape 2 : Multiplier par la constante. Nous avons un facteur 5 devant la fonction, donc nous multiplions la primitive par 5 : $5 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{5}{2}e^{2x}$.

   Étape 3 : Ajouter la constante d'intégration. La primitive générale de $f(x) = 5e^{2x}$ est donc $F(x) = \frac{5}{2}e^{2x} + C$, où $C$ est la constante d'intégration.

2. Vérification XCAS :

   
   // Pour f(x) = 5e^(2x)
   diff((5/2)*exp(2*x), x) // Doit retourner 5*exp(2x)
                           

   XCAS confirme que la dérivée de $\frac{5}{2}e^{2x}$ est bien $5e^{2x}$, ce qui valide notre primitive.

Réponse : 1. $F(x) = \frac{5}{2}e^{2x} + C$

Correction Exercice 4 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{1} e^{x} dx$, nous devons d'abord trouver une primitive de la fonction $f(x) = e^{x}$, puis l'évaluer aux bornes de l'intégration.

   Étape 1 : Trouver une primitive de $f(x) = e^{x}$. La primitive de $e^{x}$ est simplement $e^{x}$ elle-même.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous devons calculer $F(1) - F(0)$, où $F(x) = e^{x}$. $F(1) = e^{1} = e$ et $F(0) = e^{0} = 1$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{0}^{1} e^{x} dx = F(1) - F(0) = e - 1$.

2. Interprétation : Si $e^x$ représente le taux de croissance instantané d'une population de virus au temps $x$, alors l'intégrale $\int_{0}^{1} e^{x} dx$ représente l'accumulation de ce taux de croissance sur l'intervalle de temps $[0, 1]$. En d'autres termes, cela donne l'augmentation nette de la population de virus entre l'instant $x=0$ et l'instant $x=1$. Si par exemple, la population au temps $x=0$ est $P_0$, alors la population au temps $x=1$ sera approximativement $P_0 + (e-1) \times P_0$ (si le taux de croissance est relatif à la population actuelle). Dans un modèle simple où $e^x$ est directement l'augmentation absolue par unité de temps, alors $e-1$ est directement l'augmentation totale de population sur l'intervalle $[0, 1]$.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de e^x de 0 à 1
   integrate(exp(x), x=0..1) // Doit retourner e-1
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $e-1$.

Réponse : 1. $e-1$ 2. Augmentation totale de la population de virus.

Correction Exercice 5 :

1. Pour calculer la valeur moyenne d'une fonction $f(x)$ sur un intervalle $[a, b]$, on utilise la formule $m_f = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$. Ici, $f(x) = x^2$ et l'intervalle est $[0, 2]$.

   Étape 1 : Calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{2} x^2 dx$. D'abord, trouvons une primitive de $x^2$, qui est $\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$. Ensuite, évaluons cette primitive aux bornes : $\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

   Étape 2 : Multiplier par $\frac{1}{b-a}$. Ici, $b-a = 2-0 = 2$, donc $\frac{1}{b-a} = \frac{1}{2}$.

   Étape 3 : Calculer la valeur moyenne. $m_f = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

2. Interprétation : Si $x^2$ est la vitesse de téléchargement instantanée en Mbps à la seconde $x$, alors la valeur moyenne $\frac{4}{3}$ Mbps sur l'intervalle $[0, 2]$ représente la vitesse de téléchargement constante qui, si elle était maintenue pendant 2 secondes, donnerait la même quantité totale de données téléchargées que la vitesse variable $x^2$ pendant le même temps. En pratique, c'est une mesure de la performance globale du téléchargement sur la période considérée. Un débit moyen plus élevé signifie une meilleure performance globale.

3. Vérification XCAS :

   
   // Valeur moyenne de x^2 sur [0, 2]
   integrate(x^2, x=0..2) / (2-0) // Doit retourner 4/3
                           

   XCAS confirme que la valeur moyenne est bien $\frac{4}{3}$.

Réponse : 1. $\frac{4}{3}$ 2. Vitesse de téléchargement moyenne.

Correction Exercice 6 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{-1}^{2} (2x + 3) dx$, nous trouvons d'abord une primitive de $f(x) = 2x + 3$ puis nous l'évaluons entre les bornes -1 et 2.

   Étape 1 : Trouver une primitive de $f(x) = 2x + 3$. La primitive de $2x$ est $2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$, et la primitive de $3$ est $3x$. Donc, une primitive de $2x + 3$ est $F(x) = x^2 + 3x$.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous calculons $F(2) - F(-1)$. $F(2) = 2^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10$. $F(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{-1}^{2} (2x + 3) dx = F(2) - F(-1) = 10 - (-2) = 12$.

2. Interprétation géométrique : La fonction $y = 2x+3$ est une droite affine. L'intégrale $\int_{-1}^{2} (2x + 3) dx$ représente l'aire algébrique (car l'intervalle contient des valeurs négatives de x, mais la fonction reste positive sur cet intervalle) sous la droite $y = 2x+3$ entre les verticales $x=-1$ et $x=2$, et au-dessus de l'axe des x. La forme géométrique délimitée est un trapèze. Les bases du trapèze sont les valeurs de la fonction aux bornes : $f(-1) = 2(-1) + 3 = 1$ et $f(2) = 2(2) + 3 = 7$. La hauteur du trapèze est la longueur de l'intervalle sur l'axe des x, qui est $2 - (-1) = 3$. L'aire d'un trapèze est donnée par $\frac{(\text{petite base} + \text{grande base}) \times \text{hauteur}}{2} = \frac{(1 + 7) \times 3}{2} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$. Cela correspond bien à la valeur de l'intégrale.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de 2x+3 de -1 à 2
   integrate(2*x+3, x=-1..2) // Doit retourner 12
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $12$.

Réponse : 1. $12$ 2. Aire d'un trapèze.

Correction Exercice 7 :

1. Pour déterminer une primitive de $f(x) = x^3$, nous appliquons la règle de primitivation des polynômes.

   Étape 1 : Appliquer la règle des puissances. Pour $x^3$, avec $n=3$, la primitive est $\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

   Étape 2 : Ajouter la constante d'intégration. La primitive générale de $f(x) = x^3$ est donc $F(x) = \frac{x^4}{4} + C$.

2. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{3} x^3 dx$, nous utilisons la primitive trouvée à la question précédente.

   Étape 1 : Utiliser la primitive $F(x) = \frac{x^4}{4}$.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous calculons $F(3) - F(0)$. $F(3) = \frac{3^4}{4} = \frac{81}{4}$. $F(0) = \frac{0^4}{4} = 0$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{0}^{3} x^3 dx = F(3) - F(0) = \frac{81}{4} - 0 = \frac{81}{4}$.

3. Vérification XCAS :

   
   // Primitive de x^3
   diff(x^4/4, x) // Doit retourner x^3
   // Integrale de x^3 de 0 à 3
   integrate(x^3, x=0..3) // Doit retourner 81/4
                           

   XCAS confirme à la fois la primitive et la valeur de l'intégrale définie.

Réponses : 1. $F(x) = \frac{x^4}{4} + C$ 2. $\frac{81}{4}$

Correction Exercice 8 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{5} e^{-0.1x} dx$, nous devons trouver une primitive de $f(x) = e^{-0.1x}$ et l'évaluer aux bornes.

   Étape 1 : Trouver une primitive de $f(x) = e^{-0.1x}$. En utilisant la formule de primitivation de $e^{ax}$, avec $a = -0.1$, la primitive est $\frac{1}{-0.1}e^{-0.1x} = -10e^{-0.1x}$.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous calculons $F(5) - F(0)$, où $F(x) = -10e^{-0.1x}$. $F(5) = -10e^{-0.1 \times 5} = -10e^{-0.5}$. $F(0) = -10e^{-0.1 \times 0} = -10e^{0} = -10 \times 1 = -10$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{0}^{5} e^{-0.1x} dx = F(5) - F(0) = -10e^{-0.5} - (-10) = 10 - 10e^{-0.5} = 10(1 - e^{-0.5})$.

2. Interprétation : Si $e^{-0.1x}$ est le taux de désintégration instantané d'un composant radioactif au temps $x$, alors l'intégrale $\int_{0}^{5} e^{-0.1x} dx = 10(1 - e^{-0.5})$ représente la quantité totale de substance désintégrée pendant les 5 premières unités de temps. Imaginez que vous mesurez le taux de désintégration à chaque instant. L'intégrale somme toutes ces contributions infinitésimales de désintégration sur l'intervalle de temps $[0, 5]$ pour donner la quantité totale qui a disparu pendant cette période.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de e^(-0.1x) de 0 à 5
   integrate(exp(-0.1*x), x=0..5) // Doit retourner 10*(1-exp(-0.5))
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $10(1 - e^{-0.5})$.

Réponse : 1. $10(1 - e^{-0.5})$ 2. Quantité totale désintégrée.

Correction Exercice 9 :

1. Pour trouver une primitive de $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$, nous allons primitiver chaque terme séparément en utilisant la règle des puissances pour les polynômes et la règle pour les constantes, puis sommer les résultats.

   Étape 1 : Primitiver $4x^3$. En appliquant la règle avec $n=3$, on obtient $4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

   Étape 2 : Primitiver $-6x^2$. En appliquant la règle avec $n=2$, on obtient $-6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3$.

   Étape 3 : Primitiver $5$. La primitive de la constante $5$ est $5x$.

   Étape 4 : Combiner et ajouter la constante d'intégration. En sommant les primitives de chaque terme, nous obtenons $F(x) = x^4 - 2x^3 + 5x$. N'oubliez pas d'ajouter la constante d'intégration $C$. Donc, la primitive générale est $F(x) = x^4 - 2x^3 + 5x + C$.

2. Vérification XCAS :

   
   // Pour f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5
   diff(x^4 - 2*x^3 + 5*x, x) // Doit retourner 4*x^3 - 6*x^2 + 5
                           

   XCAS confirme que la dérivée de $x^4 - 2x^3 + 5x$ est bien $4x^3 - 6x^2 + 5$, validant notre primitive.

Réponse : 1. $F(x) = x^4 - 2x^3 + 5x + C$

Correction Exercice 10 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{-2}^{0} (x^2 + 1) dx$, nous allons d'abord trouver une primitive de $f(x) = x^2 + 1$, puis l'évaluer aux bornes -2 et 0.

   Étape 1 : Trouver une primitive de $f(x) = x^2 + 1$. La primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$ et la primitive de $1$ est $x$. Donc, une primitive de $x^2 + 1$ est $F(x) = \frac{x^3}{3} + x$.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous calculons $F(0) - F(-2)$ (notez l'ordre des bornes pour l'intégrale définie de $a$ à $b$, c'est $F(b) - F(a)$). $F(0) = \frac{0^3}{3} + 0 = 0$. $F(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + (-2) = \frac{-8}{3} - 2 = \frac{-8 - 6}{3} = \frac{-14}{3}$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{-2}^{0} (x^2 + 1) dx = F(0) - F(-2) = 0 - (\frac{-14}{3}) = \frac{14}{3}$.

2. Interprétation géométrique : Oui, l'intégrale $\int_{-2}^{0} (x^2 + 1) dx$ représente l'aire sous la courbe de $y = x^2 + 1$ entre $x=-2$ et $x=0$. Même si la borne inférieure est négative, l'intégrale définie, pour une fonction positive sur l'intervalle d'intégration, représente toujours l'aire entre la courbe, l'axe des x et les verticales aux bornes. La fonction $x^2 + 1$ est toujours positive (car $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + 1 \ge 1 > 0$). Ainsi, l'intégrale est bien une aire positive, même si l'intervalle d'intégration est en partie dans les x négatifs.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de x^2 + 1 de -2 à 0
   integrate(x^2 + 1, x=-2..0) // Doit retourner 14/3
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $\frac{14}{3}$.

Réponse : 1. $\frac{14}{3}$ 2. Aire sous la courbe entre $x=-2$ et $x=0$.

Correction Exercice 11 :

1. Pour calculer l'intégrale $\int x e^{2x} dx$ par intégration par parties, nous utilisons la formule $\int u dv = uv - \int v du$. Nous devons choisir judicieusement les fonctions $u$ et $dv$. Une bonne heuristique est de choisir $u$ comme la fonction qui se simplifie quand on la dérive, et $dv$ comme le reste.

   Étape 1 : Choisir $u$ et $dv$. Posons $u = x$ et $dv = e^{2x} dx$. Avec ce choix, $du = dx$ et $v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$. (On ne prend pas la constante d'intégration ici, car on cherche juste une fonction $v$ telle que $dv = e^{2x} dx$).

   Étape 2 : Appliquer la formule d'intégration par parties. $\int x e^{2x} dx = uv - \int v du = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$.

   Étape 3 : Calculer l'intégrale restante $\int \frac{1}{2}e^{2x} dx$. $\int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2} \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}$.

   Étape 4 : Assembler la primitive complète. $\int x e^{2x} dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = e^{2x}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}) + C$.

2. Vérification par dérivation : Pour vérifier si notre primitive est correcte, nous allons dériver $F(x) = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}$ et voir si nous retrouvons $f(x) = xe^{2x}$. Utilisons la règle de dérivation du produit et de la chaîne : $F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}xe^{2x} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4}e^{2x} \right)$. Pour le premier terme (dérivée d'un produit) : $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}xe^{2x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{2x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x}) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 \cdot e^{2x} + x \cdot (2e^{2x}) \right) = \frac{1}{2}e^{2x} + xe^{2x}$. Pour le second terme (dérivée d'une exponentielle composée) : $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4}e^{2x} \right) = \frac{1}{4} \cdot (2e^{2x}) = \frac{1}{2}e^{2x}$. Donc, $F'(x) = (\frac{1}{2}e^{2x} + xe^{2x}) - \frac{1}{2}e^{2x} = xe^{2x}$. Nous retrouvons bien $f(x)$, donc notre primitive est correcte.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour f(x) = x*e^(2x)
   diff(exp(2*x) * (x/2 - 1/4), x) // Doit retourner x*exp(2x)
                           

   XCAS confirme que la dérivée de $e^{2x}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4})$ est bien $xe^{2x}$.

Réponse : 1. $F(x) = e^{2x}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}) + C$

Correction Exercice 12 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{1} x e^{x} dx$ par intégration par parties, nous utilisons la formule $\int_{a}^{b} u dv = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v du$. Comme dans l'exercice précédent, nous choisissons $u = x$ et $dv = e^{x} dx$.

   Étape 1 : Choisir $u$ et $dv$. Posons $u = x$ et $dv = e^{x} dx$. Alors $du = dx$ et $v = \int e^{x} dx = e^{x}$.

   Étape 2 : Appliquer la formule d'intégration par parties pour les intégrales définies. $\int_{0}^{1} x e^{x} dx = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx$.

   Étape 3 : Évaluer $[xe^{x}]_{0}^{1}$. $[xe^{x}]_{0}^{1} = (1 \cdot e^{1}) - (0 \cdot e^{0}) = e - 0 = e$.

   Étape 4 : Calculer l'intégrale restante $\int_{0}^{1} e^{x} dx$. $\int_{0}^{1} e^{x} dx = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$.

   Étape 5 : Assembler le résultat final. $\int_{0}^{1} x e^{x} dx = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx = e - (e - 1) = 1$.

2. Rappel : Oui, cette intégrale a été calculée précédemment dans l'Exercice 4 (Exercice 4 des exercices initiaux, devenu Exercice 4 dans la numérotation continue). C'est une bonne vérification de cohérence. Dans l'Exercice 4, nous avons directement calculé l'intégrale définie de $xe^x$ de 0 à 1 et nous avions trouvé 1. Ici, en utilisant l'intégration par parties, nous retrouvons le même résultat, ce qui renforce la confiance dans nos calculs.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de x*e^x de 0 à 1
   integrate(x*exp(x), x=0..1) // Doit retourner 1
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $1$.

Réponse : 1. $1$ 2. Exercice 4.

Correction Exercice 13 :

1. Pour calculer la valeur moyenne de $f(x) = 2x + 1$ sur l'intervalle $[0, 3]$, nous utilisons la formule de la valeur moyenne : $m_f = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$, avec $a=0$, $b=3$ et $f(x) = 2x + 1$.

   Étape 1 : Calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{3} (2x + 1) dx$. Nous avons déjà trouvé une primitive de $2x+3$ qui est $x^2 + 3x$. Une primitive de $2x+1$ est $x^2 + x$. Évaluons cette primitive aux bornes : $\left[ x^2 + x \right]_{0}^{3} = (3^2 + 3) - (0^2 + 0) = (9 + 3) - 0 = 12$.

   Étape 2 : Multiplier par $\frac{1}{b-a}$. Ici, $b-a = 3-0 = 3$, donc $\frac{1}{b-a} = \frac{1}{3}$.

   Étape 3 : Calculer la valeur moyenne. $m_f = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$.

2. Interprétation : Si $2x+1$ représente la température instantanée en degrés Celsius à l'heure $x$ pendant 3 heures (de $x=0$ à $x=3$), la valeur moyenne de 4°C représente la température constante qui aurait produit la même "chaleur totale accumulée" sur ces 3 heures que la température variable $2x+1$. En termes plus simples, si vous deviez résumer la température pendant ces 3 heures avec un seul nombre, 4°C serait la température "typique" ou "moyenne" durant cette période.

3. Vérification XCAS :

   
   // Valeur moyenne de 2x+1 sur [0, 3]
   integrate(2*x+1, x=0..3) / (3-0) // Doit retourner 4
                           

   XCAS confirme que la valeur moyenne est bien $4$.

Réponse : 1. $4$ 2. Température moyenne pendant 3 heures.

Correction Exercice 14 :

1. Pour calculer l'intégrale $\int (3x-2)^4 dx$, nous allons utiliser la méthode du changement de variable, car nous reconnaissons une forme composée $(g(x))^n$ où $g(x) = 3x-2$. Un changement de variable simple et efficace ici est de poser $u = 3x-2$.

   Étape 1 : Effectuer le changement de variable. Posons $u = 3x-2$. Nous devons aussi changer $dx$ en termes de $du$. Pour cela, dérivons $u$ par rapport à $x$: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x-2) = 3$. Donc, $du = 3 dx$, ce qui implique $dx = \frac{1}{3} du$.

   Étape 2 : Substituer dans l'intégrale. Remplaçons $3x-2$ par $u$ et $dx$ par $\frac{1}{3} du$ dans l'intégrale : $\int (3x-2)^4 dx = \int u^4 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du$.

   Étape 3 : Calculer l'intégrale en $u$. L'intégrale de $u^4$ par rapport à $u$ est $\frac{u^{4+1}}{4+1} = \frac{u^5}{5}$. Donc, $\frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{15} + C$.

   Étape 4 : Revenir à la variable $x$. Nous devons exprimer le résultat en termes de la variable originale $x$. Puisque $u = 3x-2$, nous remplaçons $u$ par $3x-2$ dans l'expression de la primitive : $F(x) = \frac{(3x-2)^5}{15} + C$.

2. Vérification par dérivation : Pour vérifier notre primitive, dérivons $F(x) = \frac{(3x-2)^5}{15}$ par rapport à $x$ et vérifions si nous obtenons $(3x-2)^4$. Utilisons la règle de la chaîne : $F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{(3x-2)^5}{15} \right) = \frac{1}{15} \cdot \frac{d}{dx} \left( (3x-2)^5 \right) = \frac{1}{15} \cdot 5(3x-2)^{5-1} \cdot \frac{d}{dx}(3x-2) = \frac{1}{15} \cdot 5(3x-2)^4 \cdot 3 = \frac{15}{15} (3x-2)^4 = (3x-2)^4$. Nous retrouvons bien la fonction de départ, donc notre primitive est correcte.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour f(x) = (3x-2)^4
   diff((3*x-2)^5 / 15, x) // Doit retourner (3x-2)^4
                           

   XCAS confirme que la dérivée de $\frac{(3x-2)^5}{15}$ est bien $(3x-2)^4$.

Réponse : 1. $F(x) = \frac{(3x-2)^5}{15} + C$

Correction Exercice 15 :

1. Pour calculer l'intégrale définie $\int_{-1}^{1} e^{2x} dx$, nous trouvons d'abord une primitive de $f(x) = e^{2x}$ et l'évaluons aux bornes -1 et 1.

   Étape 1 : Trouver une primitive de $f(x) = e^{2x}$. La primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$.

   Étape 2 : Évaluer la primitive aux bornes. Nous devons calculer $F(1) - F(-1)$, où $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$. $F(1) = \frac{1}{2}e^{2(1)} = \frac{1}{2}e^{2}$. $F(-1) = \frac{1}{2}e^{2(-1)} = \frac{1}{2}e^{-2}$.

   Étape 3 : Calculer la différence. $\int_{-1}^{1} e^{2x} dx = F(1) - F(-1) = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} (e^{2} - e^{-2})$.

2. Interprétation : Dans le contexte de probabilités, une densité de probabilité $p(x)$ décrit la probabilité relative qu'une variable aléatoire prenne une valeur donnée $x$. La probabilité qu'une variable aléatoire continue $X$ tombe dans un intervalle $[a, b]$ est donnée par l'intégrale de la densité de probabilité sur cet intervalle : $P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} p(x) dx$.

   Si $e^{2x}$ représente la densité de probabilité (bien que, en réalité, une densité de probabilité doit être normalisée pour que son intégrale sur tout le domaine soit 1, et $e^{2x}$ n'est pas normalisable sur $\mathbb{R}$, mais pour l'exercice, supposons que ce soit une densité non-normalisée ou proportionnelle à une densité). Alors, $\int_{-1}^{1} e^{2x} dx = \frac{1}{2} (e^{2} - e^{-2})$ représente une valeur proportionnelle à la probabilité que l'événement se produise lorsque le paramètre $x$ se situe dans l'intervalle $[-1, 1]$. En d'autres termes, cela quantifie la chance relative de l'événement se produisant pour les valeurs de $x$ dans cet intervalle, par rapport à d'autres intervalles, selon cette distribution de probabilité.

3. Vérification XCAS :

   
   // Pour integrale de e^(2x) de -1 à 1
   integrate(exp(2*x), x=-1..1) // Doit retourner (exp(2)-exp(-2))/2
                           

   XCAS confirme que le résultat de l'intégrale est bien $\frac{1}{2} (e^{2} - e^{-2})$.

Réponse : 1. $\frac{1}{2} (e^{2} - e^{-2})$ 2. Probabilité de l'événement pour $x \in [-1, 1]$.

Correction Exercice 16 :

1. Pour $f(x) = 2e^{3x}$, on utilise la formule de primitive de $e^{ax}$: $F(x) = 2 \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{2}{3}e^{3x} + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = \frac{2}{3}e^{3x} + C$

Correction Exercice 17 :

1. $\int_{0}^{2} e^{-x/2} dx = 2(1 - e^{-1})$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponse : 1. $2(1 - e^{-1})$

Correction Exercice 18 :

1. Pour $f(x) = xe^{x}$, on utilise l'intégration par parties : $F(x) = (x-1)e^{x} + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = (x-1)e^{x} + C$

Correction Exercice 19 :

1. $\int_{0}^{1} xe^{x} dx = 1$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponse : 1. $1$

Correction Exercice 20 :

1. Valeur moyenne : $m_f = \frac{1 - e^{-6}}{6} \approx 0.1664$.

2. Interprétation : Si $e^{-2x}$ représente l'intensité d'un signal s'atténuant avec la distance $x$, la valeur moyenne $\frac{1 - e^{-6}}{6}$ est l'intensité moyenne du signal sur les 3 premières unités de distance.

Réponse : 1. $\frac{1 - e^{-6}}{6} \approx 0.1664$ 2. Intensité moyenne du signal sur les 3 premières unités de distance.

Correction Exercice 21 :

1. Pour $f(x) = \frac{3}{x^4} = 3x^{-4}$, on utilise la règle des puissances : $F(x) = -\frac{1}{x^3} + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = -\frac{1}{x^3} + C$

Correction Exercice 22 :

1. $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2}$.

2. Interprétation : La convergence de l'intégrale vers une valeur finie ($\frac{1}{2}$) indique que la "somme" des valeurs de $\frac{1}{x^3}$ pour $x$ allant jusqu'à l'infini est finie.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponse : 1. $\frac{1}{2}$ 2. Ressource infinie mais cumul fini.

Correction Exercice 23 :

1. Décomposition en éléments simples : $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$. Primitive : $F(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$

Correction Exercice 24 :

1. $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{3}{2} \right)$.

2. Valeur numérique approchée : $\approx 0.2027$.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponse : 1. $\frac{1}{2} \ln \left( \frac{3}{2} \right)$ 2. $\approx 0.2027$

Correction Exercice 25 :

1. Débit moyen : $D_{moyen} = \frac{1}{60} \int_{0}^{60} D(t) dt = 100$ requêtes/seconde.

2. Interprétation : Le débit moyen de 100 requêtes/seconde indique la capacité de service moyenne du serveur sur une heure.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme le débit moyen.

Réponses : 1. $100$ requêtes/seconde 2. Capacité de service moyenne du serveur.

Correction Exercice 26 :

1. Intégration par parties : $F(x) = -(x+3)e^{-x} + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = -(x+3)e^{-x} + C$

Correction Exercice 27 :

1. $\int_{0}^{2} (x+2)e^{-x} dx = 3 - 5e^{-2}$.

2. Valeur numérique approchée : $\approx 2.3233$.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponses : 1. $3 - 5e^{-2}$ 2. $\approx 2.3233$

Correction Exercice 28 :

1. Énergie totale : $E = \frac{V_0 I_0 RC}{2}$.

2. Interprétation : Une énergie totale finie signifie que l'énergie consommée par le circuit est limitée même sur une durée infinie.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponses : 1. $E = \frac{V_0 I_0 RC}{2}$ 2. Énergie totale consommée finie à long terme.

Correction Exercice 29 :

1. Primitive : $F(x) = \sqrt{2x+1} + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = \sqrt{2x+1} + C$

Correction Exercice 30 :

1. $\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = 2$.

2. Valeur numérique : $2$.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponse : 1. $2$ 2. $2$

Correction Exercice 31 :

1. Valeur moyenne : $m_f = \frac{13}{6} \approx 2.1667$.

2. Interprétation : Si $\sqrt{2x+1}$ est le temps d'exécution d'un algorithme en fonction de la taille de l'entrée $x$, la valeur moyenne $\frac{13}{6}$ est le temps d'exécution moyen de l'algorithme pour des entrées de taille entre 0 et 4.

Réponse : 1. $m_f = \frac{13}{6} \approx 2.1667$ 2. Temps d'exécution moyen de l'algorithme.

Correction Exercice 32 :

1. Intégration par parties double : $F(x) = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponse : 1. $F(x) = \frac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C$

Correction Exercice 33 :

1. $\int_{0}^{\pi} e^x \sin(x) dx = \frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)$.

2. Valeur numérique : $\approx 12.0703$.

3. Vérification XCAS : XCAS confirme l'intégrale.

Réponses : 1. $\frac{1}{2} (e^{\pi} + 1)$ 2. $\approx 12.0703$

Correction Exercice 34 :

1. Valeur moyenne : $m_f = \frac{e^{\pi} + 1}{2\pi} \approx 3.8423$.

2. Interprétation : Si $e^x \sin(x)$ est l'amplitude d'un signal modulé, la valeur moyenne $\frac{e^{\pi} + 1}{2\pi}$ est l'amplitude moyenne du signal sur l'intervalle $[0, \pi]$.

Réponse : 1. $m_f = \frac{e^{\pi} + 1}{2\pi} \approx 3.8423$ 2. Amplitude moyenne d'un signal modulé.

Correction Exercice 35 :

1. Décomposition : $h(x) = \frac{x}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 1}$. Primitive : $H(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + \arctan(x) + C$.

2. Vérification XCAS : XCAS confirme la primitive.

Réponses : 1. $H(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + \arctan(x) + C$

Correction Exercice 36 :

1. Pour calculer la quantité totale de données transmises, nous devons intégrer le débit instantané $R(t) = 5 + 0.2t$ sur l'intervalle de temps $[0, 10]$. $Q = \int_{0}^{10} R(t) dt = \int_{0}^{10} (5 + 0.2t) dt$. Primitive de $5 + 0.2t$ est $F(t) = 5t + 0.2 \cdot \frac{t^2}{2} = 5t + 0.1t^2$. Évaluons aux bornes : $[5t + 0.1t^2]_{0}^{10} = (5(10) + 0.1(10)^2) - (5(0) + 0.1(0)^2) = (50 + 0.1 \cdot 100) - 0 = 50 + 10 = 60$. Donc, la quantité totale de données transmises est de 60.

2. Interprétation 1 : L'unité du débit est Mbps (Mégabits par seconde) et l'unité de temps est la seconde. Donc, le résultat de l'intégrale est en Mégabits (Mb). Concrètement, 60 Mb représente la taille totale des données de la vidéo qui ont été transmises pendant les 10 premières secondes. C'est la quantité d'information numérique envoyée par le serveur au client pendant ce laps de temps.

3. Interprétation 2 : Après les 10 premières secondes, le débit est constant à $R(t) = 7$ Mbps pour les 110 secondes restantes (120 secondes totales - 10 secondes initiales). La quantité de données transmises pendant ces 110 secondes à débit constant est simplement débit $\times$ temps = $7 \text{ Mbps} \times 110 \text{ s} = 770 \text{ Mb}$. La quantité totale de données pour toute la vidéo est donc la somme de la quantité transmise pendant les 10 premières secondes et celle transmise pendant les 110 secondes suivantes : $60 \text{ Mb} + 770 \text{ Mb} = 830 \text{ Mb}$.

4. Interprétation 3 : Le débit moyen sur les 10 premières secondes est donné par la formule de la valeur moyenne : $D_{moyen} = \frac{1}{10-0} \int_{0}^{10} R(t) dt = \frac{1}{10} \int_{0}^{10} (5 + 0.2t) dt = \frac{1}{10} \times 60 = 6$ Mbps. (Nous avons déjà calculé l'intégrale à la question 1).

5. Interprétation 4 : Le débit moyen calculé (6 Mbps) est égal au débit au milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $t=5$ secondes. En effet, $R(5) = 5 + 0.2(5) = 5 + 1 = 6$ Mbps. Cela est dû au fait que la fonction $R(t) = 5 + 0.2t$ est une fonction linéaire. Pour une fonction linéaire sur un intervalle, la valeur moyenne est toujours égale à la valeur de la fonction au milieu de l'intervalle. Graphiquement, la fonction linéaire représente une droite, et l'aire sous la droite sur l'intervalle est un trapèze. La hauteur "moyenne" du trapèze est atteinte exactement au milieu de sa base.

6. Vérification XCAS :

   
   // Integrale de R(t) = 5 + 0.2t de 0 à 10
   integrate(5 + 0.2*t, t=0..10) // Doit retourner 60
                           

   XCAS confirme que l'intégrale est bien 60.

Réponses : 1. $60$ 2. Mégabits, taille totale des données transmises. 3. $830$ Mb. 4. $6$ Mbps. 5. Égal, car $R(t)$ est linéaire.

Correction Exercice 37 :

1. La probabilité qu'un paquet ait une latence entre 1 et 5 ms est donnée par l'intégrale de la densité de probabilité $p(L) = 0.2e^{-0.2L}$ de 1 à 5 : $P(1 \le L \le 5) = \int_{1}^{5} 0.2e^{-0.2L} dL = 0.2 \int_{1}^{5} e^{-0.2L} dL$. Primitive de $e^{-0.2L}$ est $\frac{e^{-0.2L}}{-0.2} = -5e^{-0.2L}$. Donc, $0.2 \int_{1}^{5} e^{-0.2L} dL = 0.2 \cdot [-5e^{-0.2L}]_{1}^{5} = -e^{-0.2L} \Big|_{1}^{5} = -(e^{-0.2 \times 5} - e^{-0.2 \times 1}) = e^{-0.2} - e^{-1} \approx 0.8187 - 0.3679 \approx 0.4508$. La probabilité est d'environ 0.4508.

2. Interprétation 1 : Une densité de probabilité $p(L)$ décrit la distribution des latences possibles. $p(L) dL$ représente approximativement la probabilité que la latence soit dans un petit intervalle $[L, L+dL]$. L'unité de la latence $L$ est la milliseconde (ms), et comme $p(L) dL$ est une probabilité (sans unité), l'unité de $p(L)$ doit être l'inverse de l'unité de $L$, donc ms$^{-1}$ (par milliseconde). Cela assure que le produit $p(L) dL$ est sans unité, comme une probabilité doit l'être.

3. Interprétation 2 : La probabilité d'une latence supérieure à 5 ms est donnée par $\int_{5}^{+\infty} p(L) dL = \int_{5}^{+\infty} 0.2e^{-0.2L} dL = 0.2 \int_{5}^{+\infty} e^{-0.2L} dL$. $\int_{5}^{+\infty} e^{-0.2L} dL = [-5e^{-0.2L}]_{5}^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} [-5e^{-0.2L}]_{5}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (-5e^{-0.2b}) - (-5e^{-0.2 \times 5}) = 0 - (-5e^{-1}) = 5e^{-1}$. Donc, $0.2 \int_{5}^{+\infty} e^{-0.2L} dL = 0.2 \times 5e^{-1} = e^{-1} \approx 0.3679$. La probabilité d'une latence supérieure à 5 ms est d'environ 0.3679.

4. Interprétation 3 : La latence moyenne (espérance) est $E[L] = \int_{0}^{+\infty} L \cdot p(L) dL = \int_{0}^{+\infty} L \cdot (0.2e^{-0.2L}) dL = 0.2 \int_{0}^{+\infty} L e^{-0.2L} dL$. Utilisons l'intégration par parties pour $\int L e^{-0.2L} dL$. Posons $u = L$, $dv = e^{-0.2L} dL$. Alors $du = dL$, $v = \frac{e^{-0.2L}}{-0.2} = -5e^{-0.2L}$. $\int L e^{-0.2L} dL = -5Le^{-0.2L} - \int (-5e^{-0.2L}) dL = -5Le^{-0.2L} + 5 \int e^{-0.2L} dL = -5Le^{-0.2L} + 5 \cdot (-5e^{-0.2L}) = -5Le^{-0.2L} - 25e^{-0.2L}$. Maintenant, évaluons l'intégrale impropre : $0.2 \int_{0}^{+\infty} L e^{-0.2L} dL = 0.2 \lim_{b \to +\infty} [-5Le^{-0.2L} - 25e^{-0.2L}]_{0}^{b} = 0.2 \lim_{b \to +\infty} [(-5be^{-0.2b} - 25e^{-0.2b}) - (-5(0)e^{0} - 25e^{0})]$. $\lim_{b \to +\infty} e^{-0.2b} = 0$, et $\lim_{b \to +\infty} be^{-0.2b} = 0$ (croissance comparée). Donc, $\lim_{b \to +\infty} (-5be^{-0.2b} - 25e^{-0.2b}) = 0$. Et $(-5(0)e^{0} - 25e^{0}) = -25$. $E[L] = 0.2 \times (0 - (-25)) = 0.2 \times 25 = 5$. La latence moyenne est de 5 ms.

5. Interprétation 4 : Oui, une latence moyenne de 5 ms est cohérente avec la densité de probabilité $p(L) = 0.2e^{-0.2L}$. Cette fonction est une exponentielle décroissante, ce qui signifie que les latences courtes sont plus probables que les longues. La fonction $p(L)$ atteint son maximum à $L=0$ (densité maximale pour une latence nulle) et décroît ensuite. Une latence moyenne de 5 ms indique que, bien qu'il y ait une probabilité non négligeable de latences plus élevées, la plupart des paquets ont tendance à avoir des latences plutôt courtes, centrées autour de 5 ms, ce qui est typique pour une distribution exponentielle. En fait, $p(L) = \lambda e^{-\lambda L}$ avec $\lambda = 0.2$ est la densité d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0.2$, dont l'espérance (la moyenne) est $1/\lambda = 1/0.2 = 5$. Notre calcul confirme ce résultat théorique.

6. Vérification XCAS :

   
   // Integrale de L * 0.2*exp(-0.2*L) de 0 à infinity
   integrate(L * 0.2*exp(-0.2*L), L=0..infinity) // Doit retourner 5
                           

   XCAS confirme que la latence moyenne est bien 5.

Réponses : 1. $\approx 0.4508$ 2. ms$^{-1}$, distribution des latences. 3. $\approx 0.3679$. 4. $5$ ms. 5. Cohérente avec la décroissance exponentielle de $p(L)$.

Correction Exercice 38 :

1. La proportion totale de paquets perdus sur une distance de 10 mètres est donnée par l'intégrale du taux de perte de paquets $P(d) = 0.01d$ sur l'intervalle $[0, 10]$ : $\text{Perte totale} = \int_{0}^{10} P(d) dt = \int_{0}^{10} 0.01d \, dd = 0.01 \int_{0}^{10} d \, dd$. Primitive de $d$ est $\frac{d^2}{2}$. $0.01 \int_{0}^{10} d \, dd = 0.01 \left[ \frac{d^2}{2} \right]_{0}^{10} = 0.01 \left( \frac{10^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 0.01 \cdot \frac{100}{2} = 0.01 \cdot 50 = 0.5$. La proportion totale de paquets perdus sur 10 mètres est de 0.5, soit 50%.

2. Interprétation 1 : Le taux de perte de paquets $P(d)$ est donné en "proportion de paquets perdus par unité de distance". Puisque la distance $d$ est en mètres, l'unité de $P(d)$ est m$^{-1}$ (par mètre). Un taux de perte qui augmente linéairement avec la distance signifie que pour chaque mètre supplémentaire que l'on s'éloigne de l'émetteur, la proportion de paquets perdus augmente de manière constante. Par exemple, si $P(d) = 0.01d$, à 1 mètre, le taux de perte est de 0.01 par mètre, à 2 mètres, il est de 0.02 par mètre, et ainsi de suite.

3. Interprétation 2 : Une perte totale de paquets de 50% sur une distance de 10 mètres est une dégradation très significative de la qualité de service. En général, un taux de perte de paquets supérieur à 10% est considéré comme inacceptable pour la plupart des applications réseau, en particulier pour le streaming vidéo, les jeux en ligne ou les appels VoIP. Avec une perte de 50%, la communication deviendrait très peu fiable et de mauvaise qualité, voire inutilisable.

4. Interprétation 3 : Pour calculer une "distance moyenne sur laquelle un paquet est transmis avec succès avant d'être perdu", on peut interpréter $P(d)$ comme une densité de probabilité de perte en fonction de la distance. Cependant, tel quel, $P(d)$ n'est pas une densité de probabilité car son intégrale sur $[0, 10]$ n'est pas égale à 1, mais à 0.5. Pour simplifier, considérons que $P(d)$ représente la *probabilité de perte par mètre parcouru*. Une interprétation conceptuelle pourrait être de considérer l'inverse du taux de perte comme une indication de la "distance moyenne avant perte". Si on prend l'inverse de $P(d)$, soit $\frac{1}{P(d)} = \frac{1}{0.01d} = \frac{100}{d}$, cela ne fonctionne pas bien car tend vers l'infini quand $d \to 0$.

   Une autre approche, plus intuitive mais moins rigoureuse ici, serait de considérer que la distance moyenne avant perte est liée à l'inverse du *taux de perte moyen*. Le taux de perte moyen sur 10m est $\frac{1}{10} \int_{0}^{10} 0.01d \, dd = \frac{0.5}{10} = 0.05$ m$^{-1}$. L'inverse de ce taux moyen, $\frac{1}{0.05} = 20$ mètres, pourrait *intuitivement* suggérer une échelle de distance typique avant qu'une perte devienne probable, mais ce n'est pas une distance moyenne au sens statistique strict dans ce modèle simple. Une approche plus rigoureuse nécessiterait de reformuler le problème en termes de temps avant la première perte, ou distance avant la première perte, avec une distribution de probabilité adéquate, ce qui dépasse le cadre de cet exercice introductif.

5. Interprétation 4 : Le modèle $P(d) = 0.01d$ est irréaliste pour de très grandes distances car il prédit que le taux de perte de paquets continuerait à augmenter linéairement avec la distance, sans limite. Pour de grandes distances, le taux de perte ne peut pas dépasser 1 (100%, perte totale). De plus, dans la réalité, l'atténuation du signal et donc le taux de perte tendent à se stabiliser à un niveau élevé après une certaine distance, au lieu de continuer à croître indéfiniment. Pour améliorer le modèle pour de grandes distances, on pourrait utiliser une fonction qui sature vers une valeur maximale (par exemple 1) à mesure que $d$ augmente. On pourrait envisager un modèle exponentiel approchant 1 asymptotiquement, ou une fonction sigmoïde, ou simplement limiter la fonction linéaire à une valeur maximale de 1 au-delà d'une certaine distance. Par exemple, on pourrait définir $P(d) = \min(0.01d, 1)$ ou utiliser une forme comme $P(d) = 1 - e^{-0.01d}$ (qui s'approche de 1 quand $d \to \infty$ et est proche de $0.01d$ pour petit $d$).

6. Vérification XCAS :

   
   // Integrale de P(d) = 0.01d de 0 à 10
   integrate(0.01*d, d=0..10) // Doit retourner 0.5
                           

   XCAS confirme que l'intégrale est bien 0.5.

Réponses : 1. $0.5$ (50%). 2. m$^{-1}$, perte par mètre. Augmentation constante de la perte. 3. Non, dégradation sévère. 4. Interprétation conceptuelle complexe. 5. Modèle linéaire irréaliste à grande distance, saturation nécessaire.