Limites de Fonctions - Exercices sur les Formes Indéterminées

Correction Exercice 1 :

Pour une fonction polynomiale lorsque $x \to \pm \infty$, la limite est déterminée par le terme de plus haut degré.

$\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 7x - 3) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty$.

Réponse : $+\infty$

Correction Exercice 2 :

Pour une fonction polynomiale lorsque $x \to \pm \infty$, la limite est déterminée par le terme de plus haut degré.

$\lim_{x \to -\infty} (-x^4 + 3x^2 - 2) = \lim_{x \to -\infty} -x^4 = -\infty$.

Réponse : $-\infty$

Correction Exercice 3 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

Méthode 1 : Factorisation par le monôme de plus haut degré

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2(4 - \frac{1}{x^2})}{x^2(2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{4}{2} = 2$.

Méthode 2 : Quotient des monômes de plus haut degré

$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 3x + 5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{2} = 2$.

Réponse : $2$

Correction Exercice 4 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

Méthode 1 : Factorisation par le monôme de plus haut degré

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3(\frac{1}{x^2} - 3)}{x^3(2 + \frac{1}{x^3})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x^2} - 3}{2 + \frac{1}{x^3}} = \frac{-3}{2}$.

Méthode 2 : Quotient des monômes de plus haut degré

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x - 3x^3}{2x^3 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^3}{2x^3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$.

Réponse : $-\frac{3}{2}$

Correction Exercice 5 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

Méthode 1 : Factorisation par le monôme de plus haut degré

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3})}{x^3(1 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^3}} = \frac{0}{1} = 0$.

Méthode 2 : Quotient des monômes de plus haut degré

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 2x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Réponse : $0$

Correction Exercice 6 :

Forme indéterminée $\frac{-\infty}{\infty}$.

Méthode 1 : Factorisation par le monôme de plus haut degré

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(x^3 - \frac{3}{x})}{x^2(1 + \frac{2}{x^2})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} = -\infty$. (car le numérateur tend vers $-\infty$ et le dénominateur vers $1$).

Méthode 2 : Quotient des monômes de plus haut degré

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^5 - 3x}{x^2 + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^5}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.

Réponse : $-\infty$

Correction Exercice 7 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

Posons $u = x-1$. Si $x \to 1$, alors $u \to 0$.

$\lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1} - 1}{x-1} = \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1$. (Limite classique)

Réponse : $1$

Correction Exercice 8 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x}$.

Posons $u = 3x$. Si $x \to 0$, alors $u \to 0$.

$\lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x} = 3 \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 3 \times 1 = 3$.

Réponse : $3$

Correction Exercice 9 :

Forme indéterminée $\infty \times 0$.

On réécrit : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}}$. Forme $\frac{\infty}{\infty}$. Croissance comparée.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$. (L'exponentielle l'emporte sur les polynômes).

Réponse : $0$

Correction Exercice 10 :

Forme indéterminée $\infty \times 0$.

On réécrit : $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^{-x}}$. Forme $\frac{\infty}{\infty}$. Croissance comparée.

Posons $u = -x$. Si $x \to -\infty$, alors $u \to +\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{x} = \lim_{u \to +\infty} (-u)^2 e^{-u} = \lim_{u \to +\infty} \frac{u^2}{e^{u}} = 0$. (L'exponentielle l'emporte sur les polynômes).

Réponse : $0$

Correction Exercice 11 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. Croissance comparée.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3} = +\infty$. (L'exponentielle l'emporte sur les polynômes).

Réponse : $+\infty$

Correction Exercice 12 :

Forme indéterminée $0 \times (-\infty)$.

$\lim_{x \to 0} x \ln(x^2) = \lim_{x \to 0} 2x \ln(|x|)$.

On sait que $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ et $\lim_{x \to 0^-} x \ln(-x) = 0$. Donc par parité, la limite est 0.

$\lim_{x \to 0} x \ln(x^2) = 0$.

Réponse : $0$

Correction Exercice 13 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \left( x \cdot \frac{x}{\sin(x)} \right) = \left( \lim_{x \to 0} x \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} \right) = 0 \times 1 = 0$.

Réponse : $0$

Correction Exercice 14 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

Posons $u = x^2$. Si $x \to 0$, alors $u \to 0$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x^2}}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{1 - e^{u}}{u} = - \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = -1$.

Réponse : $-1$

Correction Exercice 15 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{\ln(x)}{x} \right) = 1 + \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 1 + 0 = 1$. (Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$).

Réponse : $1$

Correction Exercice 16 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{x} \cdot \frac{x}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{2x} \cdot 2 \cdot \frac{x}{\sin(x)}$.

Posons $u = 2x$. Si $x \to 0$, alors $u \to 0$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{\sin(x)} = \left( \lim_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} \right) \cdot 2 \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} \right) = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$.

Réponse : $2$

Correction Exercice 17 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Règle de L'Hôpital applicable.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - \cos(x))}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin(x)}{1} = e^0 + \sin(0) = 1 + 0 = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 18 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

Utilisation de XCAS (première des 3 fois autorisées) :

Entrez la commande dans XCAS : limit((arctan(x) - x) / x^3, x = 0)

XCAS retourne : $-\frac{1}{3}$

Réponse : $-\frac{1}{3}$

Correction Exercice 19 :

Calculons la limite :

$\lim_{t \to +\infty} 50 \cdot (1 - e^{-0.1t}) = 50 \cdot \left( 1 - \lim_{t \to +\infty} e^{-0.1t} \right)$.

Lorsque $t \to +\infty$, $-0.1t \to -\infty$, donc $e^{-0.1t} \to 0$.

$\lim_{t \to +\infty} V(t) = 50 \cdot (1 - 0) = 50$.

Calcul : La limite est 50.

Interprétation : Cette limite représente la vitesse de téléchargement maximale théorique. Au fil du temps ($t \to +\infty$), la vitesse de téléchargement $V(t)$ se rapproche de 50 unités (par exemple, Mbps). En pratique, la vitesse de téléchargement ne dépassera jamais 50, même si le téléchargement continue indéfiniment. Cela peut représenter la bande passante maximale allouée ou une limitation technique du système.

Réponse : $50$. Vitesse maximale de téléchargement.

Correction Exercice 20 :

Calculons la limite :

$\lim_{t \to +\infty} \frac{80}{1 + 3e^{-0.2t}} = \frac{80}{1 + 3 \lim_{t \to +\infty} e^{-0.2t}}$.

Lorsque $t \to +\infty$, $-0.2t \to -\infty$, donc $e^{-0.2t} \to 0$.

$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \frac{80}{1 + 3 \times 0} = \frac{80}{1} = 80$.

Calcul : La limite est 80.

Interprétation : Cette limite représente le pourcentage maximal de systèmes qui seront infectés à long terme. Au fil du temps ($t \to +\infty$), le pourcentage de systèmes infectés $P(t)$ tend vers 80%. Cela suggère que même si le virus continue de se propager, il finira par atteindre un niveau de saturation où environ 80% des systèmes seront infectés, et la propagation supplémentaire deviendra négligeable.

Réponse : $80\%$. Pourcentage maximal de systèmes infectés.

Correction Exercice 21 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 e^x}{\sin^2(x)} = \lim_{x \to 0} e^x \cdot \left( \frac{x}{\sin(x)} \right)^2 = \left( \lim_{x \to 0} e^x \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} \right)^2 = e^0 \cdot (1)^2 = 1 \cdot 1 = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 22 :

Forme indéterminée $\infty \times 0$.

$\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 1)e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{e^{x}} = 0$. (Croissance comparée, l'exponentielle domine le polynôme).

Réponse : $0$

Correction Exercice 23 :

Forme indéterminée $-\infty \times 0$.

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - x)e^{x} = 0$. (L'exponentielle tend vers 0 plus rapidement que tout polynôme ne tend vers l'infini quand $x \to -\infty$).

Réponse : $0$

Correction Exercice 24 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

Posons $u = x^2$. Si $x \to 0$, alors $u \to 0$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 25 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x} + x}{e^{2x} - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}(1 + \frac{x}{e^{2x}})}{e^{2x}(1 - \frac{x}{e^{2x}})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{x}{e^{2x}}}{1 - \frac{x}{e^{2x}}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$. (Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{2x}} = 0$).

Réponse : $1$

Correction Exercice 26 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\tan(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{\tan(x)} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(x)} \right) = 1 \cdot 1 = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 27 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - (e^{-x} - 1)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x} - 1}{x} - \frac{e^{-x} - 1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} - 1}{x}$.

Pour le second terme, posons $u = -x$. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x} - 1}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{-u} = - \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = -1$.

Donc, $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{-x}}{x} = 1 - (-1) = 2$.

Réponse : $2$

Correction Exercice 28 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2\ln(x)}{x - 1} = 2 \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1}$.

On sait que $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$. Donc, $2 \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 2 \times 1 = 2$.

Réponse : $2$

Correction Exercice 29 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Quantité conjuguée.

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1 + x} + 1)}{(\sqrt{1 + x} - 1)(\sqrt{1 + x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1 + x} + 1)}{(1 + x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1 + x} + 1)}{x} = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + x} + 1) = \sqrt{1 + 0} + 1 = 2$.

Réponse : $2$

Correction Exercice 30 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x \sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 2 \times 1 = 2$.

Réponse : $2$

Correction Exercice 31 :

Calculons la limite :

$\lim_{\frac{S}{N} \to +\infty} B \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right) = B \lim_{\frac{S}{N} \to +\infty} \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)$.

Lorsque $\frac{S}{N} \to +\infty$, $1 + \frac{S}{N} \to +\infty$, et $\log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right) \to +\infty$.

$\lim_{\frac{S}{N} \to +\infty} C = +\infty$.

Calcul : La limite est $+\infty$.

Interprétation : Cette limite indique que la capacité du canal de communication peut augmenter indéfiniment à mesure que le rapport signal sur bruit $\frac{S}{N}$ augmente. En d'autres termes, théoriquement, en améliorant infiniment la qualité du signal par rapport au bruit, on pourrait atteindre une capacité de transmission infinie pour une bande passante $B$ donnée. Cependant, en pratique, des limitations physiques et économiques empêchent d'atteindre un rapport signal sur bruit infini.

Réponse : $+\infty$. Capacité du canal augmente indéfiniment avec le rapport signal sur bruit.

Correction Exercice 32 :

Calculons la limite :

$\lim_{N \to +\infty} T_{accès}(N) = \lim_{N \to +\infty} \left( T_{seek} + \frac{T_{rotation}}{2} + \frac{N}{Debit} \right)$.

$T_{seek}$, $T_{rotation}$ et $Debit$ sont constants. Seul le terme $\frac{N}{Debit}$ dépend de $N$.

$\lim_{N \to +\infty} T_{accès}(N) = T_{seek} + \frac{T_{rotation}}{2} + \lim_{N \to +\infty} \frac{N}{Debit} = +\infty$.

Calcul : La limite est $+\infty$.

Interprétation : Cette limite indique que le temps d'accès moyen au disque dur tend vers l'infini à mesure que le nombre de secteurs $N$ considérés augmente indéfiniment. Bien que $T_{seek}$ et $T_{rotation}$ soient des contributions constantes, le terme $\frac{N}{Debit}$ qui représente le temps de transfert des données, croît linéairement avec $N$. Cela signifie qu'en théorie, lire un nombre infiniment grand de secteurs prendrait un temps infini. En pratique, cela souligne l'importance du débit ($Debit$) pour limiter le temps d'accès lors de la manipulation de grandes quantités de données sur un disque dur.

Réponse : $+\infty$. Le temps d'accès augmente indéfiniment avec le nombre de secteurs.

Correction Exercice 33 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Utilisation de XCAS (deuxième des 3 fois autorisées) :

Entrez la commande dans XCAS : limit(ln(cos(x)) / x^2, x = 0)

XCAS retourne : $-\frac{1}{2}$

Réponse : $-\frac{1}{2}$

Correction Exercice 34 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Règle de L'Hôpital (deux fois) ou développement limité.

Méthode 1 : Règle de L'Hôpital (2 fois)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \xrightarrow{H} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \xrightarrow{H} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$.

Méthode 2 : Développement Limité

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$.

$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)) - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2} = \frac{1}{2} + O(x)$.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + O(x) \right) = \frac{1}{2}$.

Réponse : $\frac{1}{2}$

Correction Exercice 35 :

Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x e^x}{e^{2x} + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x e^x}{e^{2x}(1 + e^{-2x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}(1 + e^{-2x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + e^{-2x}} = 0 \times \frac{1}{1 + 0} = 0$. (Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-2x} = 0$).

Réponse : $0$

Correction Exercice 36 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) \ln(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{\ln(1+x)}{x} \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \right) = 1 \times 1 = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 37 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^2 = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right)^2 = (1)^2 = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 38 :

Forme indéterminée $\frac{0}{\pi/2}$. Pas de forme indéterminée ici, le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers $\pi/2$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 e^{-x}}{\arctan(x)} = \frac{\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}}{\lim_{x \to +\infty} \arctan(x)} = \frac{0}{\pi/2} = 0$. (Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = 0$).

Réponse : $0$

Correction Exercice 39 :

Forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) \tan(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\arcsin(x)}{x} \cdot \frac{\tan(x)}{x} \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \right) = 1 \times 1 = 1$.

Réponse : $1$

Correction Exercice 40 :

Utilisation de XCAS pour calculer la limite (troisième des 3 fois autorisées).

Entrez la commande dans XCAS : limit((ln(1+x) - x + x^2/2) / x^3, x = 0)

XCAS retourne : $\frac{1}{3}$

Réponse : $\frac{1}{3}$

Correction Exercice 41 :

Calculons la limite :

$\lim_{d \to +\infty} L(d) = \lim_{d \to +\infty} \left( \frac{d}{3 \times 10^5} \cdot 10^6 + L_p \right) = \lim_{d \to +\infty} \left( \frac{10}{3} d + L_p \right)$.

Lorsque $d \to +\infty$, $\frac{10}{3} d \to +\infty$, et $L_p$ est une constante.

$\lim_{d \to +\infty} L(d) = +\infty$.

Calcul : La limite est $+\infty$.

Interprétation : Cette limite signifie que la latence du réseau augmente indéfiniment avec la distance. Plus la distance $d$ entre les points de communication augmente, plus le temps nécessaire pour transmettre les données devient long, tendant vers l'infini. Cela souligne une limitation fondamentale des communications longue distance : la latence due à la propagation physique des signaux devient un facteur dominant de la performance, même si les autres latences ($L_p$) restent constantes.

Réponse : $+\infty$. La latence réseau augmente indéfiniment avec la distance.

Correction Exercice 42 :

Calculons la limite :

$\lim_{P_r \to +\infty} B(P_r) = \lim_{P_r \to +\infty} Q\left(\sqrt{\frac{P_r}{N_0}}\right)$.

Posons $x = \sqrt{\frac{P_r}{N_0}}$. Lorsque $P_r \to +\infty$, $x \to +\infty$.

$\lim_{P_r \to +\infty} B(P_r) = \lim_{x \to +\infty} Q(x) = 0$. (Par définition de la fonction Q).

Calcul : La limite est $0$.

Interprétation : Cette limite indique que le taux d'erreur binaire (BER) tend vers zéro lorsque la puissance du signal reçu $P_r$ augmente indéfiniment. En d'autres termes, plus le signal reçu est fort par rapport au bruit, plus la communication devient fiable, avec un nombre d'erreurs tendant vers zéro. En pratique, augmenter la puissance d'émission réduit les erreurs de transmission, améliorant la qualité de la communication sans fil. Cependant, atteindre un BER de zéro nécessiterait une puissance infinie, ce qui n'est pas réalisable.

Réponse : $0$. Le taux d'erreur binaire tend vers zéro avec une puissance reçue infinie.

Correction Exercice 43 :

Calculons la limite :

$\lim_{\lambda \to \mu^-} T_{rep}(\lambda) = \lim_{\lambda \to \mu^-} \frac{1}{\mu - \lambda}$.

Lorsque $\lambda \to \mu^-$, $\mu - \lambda \to 0^+$. Donc, $\frac{1}{\mu - \lambda} \to +\infty$.

$\lim_{\lambda \to \mu^-} T_{rep}(\lambda) = +\infty$.

Calcul : La limite est $+\infty$.

Interprétation : Cette limite indique que le temps de réponse moyen du serveur web tend vers l'infini lorsque le taux d'arrivée des requêtes $\lambda$ se rapproche du taux de service $\mu$. Cela signifie qu'à mesure que le serveur est de plus en plus sollicité (charge proche de sa capacité maximale), le temps d'attente pour les requêtes augmente considérablement, tendant vers l'infini à l'approche de la saturation ($\lambda = \mu$). En pratique, cela illustre l'importance de dimensionner correctement les serveurs web pour qu'ils puissent gérer la charge attendue sans devenir excessivement lents pour les utilisateurs.

Réponse : $+\infty$. Le temps de réponse du serveur tend vers l'infini à l'approche de la saturation.

Correction Exercice 44 :

Calculons la limite :

$\lim_{n \to +\infty} P_c(n) = \lim_{n \to +\infty} \left[ 1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1} \right] = 1 - \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1}$.

$\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-1} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-1}$

=$ \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-1} = e^{-1} \cdot (1)^{-1} = e^{-1}$.

$\lim_{n \to +\infty} P_c(n) = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e} \approx 1 - 0.368 = 0.632$.

Calcul : La limite est $1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$.

Interprétation : Cette limite indique que dans un réseau Ethernet avec un très grand nombre de stations ($n \to +\infty$) tentant d'accéder simultanément, la probabilité de collision tend vers environ 0.632, soit 63.2%. Cela signifie que même dans un réseau Ethernet très étendu, il existe une probabilité non négligeable de collisions lorsque de nombreuses stations essaient de transmettre en même temps. Ce résultat souligne les limitations du protocole Ethernet CSMA/CD dans les environnements à forte densité de stations et justifie le recours à des technologies comme les commutateurs pour réduire les collisions dans les réseaux modernes.

Réponse : $1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$. Probabilité de collision limite dans un grand réseau Ethernet.

Correction Exercice 45 :

Calculons la limite :

$\lim_{p \to +\infty} S(p) = \lim_{p \to +\infty} \frac{1}{F + \frac{1-F}{p}}$.

Lorsque $p \to +\infty$, $\frac{1-F}{p} \to 0$ (car $F$ est constant).

$\lim_{p \to +\infty} S(p) = \frac{1}{F + 0} = \frac{1}{F}$.

Calcul : La limite est $\frac{1}{F}$.

Interprétation : Cette limite représente le facteur d'accélération maximal théorique que l'on peut obtenir en parallélisant un programme. Même avec un nombre infini de processeurs ($p \to +\infty$), l'accélération est limitée par la fraction séquentielle $F$ du programme. Si, par exemple, $F = 0.1$ (10% du programme est séquentiel), alors l'accélération maximale sera de $\frac{1}{0.1} = 10$. Cela signifie que même avec une parallélisation infinie, le programme ne pourra jamais être plus de 10 fois plus rapide que sa version séquentielle. La loi d'Amdahl, illustrée par cette limite, est fondamentale pour comprendre les gains potentiels et les limitations de la parallélisation.

Réponse : $\frac{1}{F}$. Facteur d'accélération maximal théorique selon la loi d'Amdahl.

Correction Exercice 46 :

Calculons la limite :

$\lim_{\lambda \to +\infty} P_{idle}(\lambda) = \lim_{\lambda \to +\infty} e^{-2\lambda T}$.

Puisque $T > 0$, lorsque $\lambda \to +\infty$, $-2\lambda T \to -\infty$.

$\lim_{lambda \to +\infty} P_{idle}(\lambda) = \lim_{-2\lambda T \to -\infty} e^{-2\lambda T} = 0$.

Calcul : La limite est $0$.

Interprétation : Cette limite indique que la probabilité que le canal soit inoccupé tend vers zéro lorsque le taux de tentatives d'accès $\lambda$ augmente indéfiniment. Cela signifie que si de plus en plus de stations tentent d'accéder au canal fréquemment, il devient de moins en moins probable de trouver le canal libre. Dans les systèmes d'accès aléatoire comme ALOHA, un taux de tentatives d'accès trop élevé conduit à une congestion du canal, où les collisions deviennent fréquentes et le canal est rarement disponible pour une transmission réussie. Cette limite met en évidence la nécessité de mécanismes de contrôle d'accès plus sophistiqués pour gérer la congestion dans les réseaux à accès partagé.

Réponse : $0$. La probabilité que le canal soit inoccupé tend vers zéro en cas de congestion.

Correction Exercice 47 :

Calculons la limite :

$\lim_{t \to +\infty} I(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{V}{R} e^{-t/RC} = \frac{V}{R} \lim_{t \to +\infty} e^{-t/RC}$.

Puisque $R > 0$ et $C > 0$, lorsque $t \to +\infty$, $-t/RC \to -\infty$.

$\lim_{t \to +\infty} I(t) = \frac{V}{R} \times 0 = 0$.

Calcul : La limite est $0$.

Interprétation : Cette limite indique que le courant dans un circuit RC série tend vers zéro lorsque le temps $t$ augmente indéfiniment. Après l'application d'une tension, le condensateur se charge progressivement, ce qui réduit le courant dans le circuit. À long terme, une fois le condensateur complètement chargé, le courant cesse de circuler. En régime permanent (temps infini), le condensateur bloque le courant continu, et le circuit se comporte comme un circuit ouvert pour le courant continu.

Réponse : $0$. Le courant dans un circuit RC tend vers zéro à long terme.

Correction Exercice 48 :

Calculons la limite :

$\lim_{T \to +\infty} F_{perte}(T) = \lim_{T \to +\infty} \left( 1 - e^{-aT} \right) = 1 - \lim_{T \to +\infty} e^{-aT}$.

Puisque $a > 0$, lorsque $T \to +\infty$, $-aT \to -\infty$.

$\lim_{T \to +\infty} F_{perte}(T) = 1 - 0 = 1$.

Calcul : La limite est $1$.

Interprétation : Cette limite indique que la fraction de paquets perdus tend vers 1 (ou 100%) lorsque l'intensité du trafic $T$ tend vers l'infini. Cela signifie qu'en cas de congestion extrême (trafic excessivement élevé), presque tous les paquets sont perdus en raison du dépassement de capacité du réseau. Ce modèle souligne l'impact dévastateur de la congestion sur la qualité de service d'un réseau : au-delà d'un certain seuil de trafic, le réseau devient pratiquement inutilisable car la grande majorité des données ne parviennent pas à destination.

Réponse : $1$. La fraction de paquets perdus tend vers 100% en cas de congestion infinie.

Correction Exercice 49 :

Calculons la limite :

$\lim_{t \to +\infty} R(t) = \lim_{t \to +\infty} e^{-\lambda t}$.

Puisque $\lambda > 0$, lorsque $t \to +\infty$, $-\lambda t \to -\infty$.

$\lim_{t \to +\infty} R(t) = 0$.

Calcul : La limite est $0$.

Interprétation : Cette limite indique que la fiabilité d'un composant électronique tend vers zéro lorsque le temps $t$ tend vers l'infini. Cela signifie qu'avec le temps, la probabilité que le composant fonctionne encore correctement diminue, tendant vers zéro après une durée infiniment longue. Ce résultat reflète le phénomène de vieillissement et de défaillance des composants électroniques : même s'ils sont fiables au départ, leur probabilité de défaillance augmente avec le temps, et ils finiront inévitablement par cesser de fonctionner. Ce modèle est essentiel pour estimer la durée de vie et planifier la maintenance des systèmes électroniques.

Réponse : $0$. La fiabilité du composant tend vers zéro avec le temps.

Correction Exercice 50 :

Calculons la limite :

$\lim_{n \to +\infty} \frac{C_{avg}(n)}{n \log_2(n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n \ln(n)}{n \log_2(n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 \ln(n)}{\log_2(n)}$.

Utilisons la relation $\ln(n) = \ln(2) \cdot \log_2(n)$ :

$\lim_{n \to +\infty} \frac{2 \ln(n)}{\log_2(n)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 \ln(2) \cdot \log_2(n)}{\log_2(n)} = \lim_{n \to +\infty} 2 \ln(2) = 2 \ln(2)$.

Calcul : La limite est $2 \ln(2) \approx 1.386$.

Interprétation : Cette limite indique que le nombre moyen de comparaisons effectuées par QuickSort est asymptotiquement proportionnel à $n \log_2(n)$, avec un facteur de proportionnalité de $2 \ln(2) \approx 1.386$. En d'autres termes, lorsque la taille de la liste $n$ devient très grande, le ratio entre le nombre moyen de comparaisons et $n \log_2(n)$ se stabilise autour de $2 \ln(2)$. Cela confirme que la complexité moyenne de QuickSort est bien en $O(n \log n)$, et la constante multiplicative devant ce terme est environ 1.386. Cette analyse par les limites permet de quantifier précisément l'efficacité moyenne de l'algorithme QuickSort pour de grandes entrées.

Réponse : $2 \ln(2) \approx 1.386$. Facteur constant dans la complexité moyenne de QuickSort.