Exercices : Suites Numériques - Génération, Variation et Représentation Graphique (STI2D et STMG)

Correction :

Pour calculer les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=3n^2-1$, nous allons remplacer $n$ par les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4.

Pour $n=0$ : $u_0 = 3(0)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$.

Pour $n=1$ : $u_1 = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$.

Pour $n=2$ : $u_2 = 3(2)^2 - 1 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.

Pour $n=3$ : $u_3 = 3(3)^2 - 1 = 3(9) - 1 = 27 - 1 = 26$.

Pour $n=4$ : $u_4 = 3(4)^2 - 1 = 3(16) - 1 = 48 - 1 = 47$.

Les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ sont donc : $u_0 = -1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 11$, $u_3 = 26$, $u_4 = 47$.

Correction :

Pour calculer les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=-5n^2+2$, nous allons remplacer $n$ par les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4.

Pour $n=0$ : $u_0 = -5(0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$.

Pour $n=1$ : $u_1 = -5(1)^2 + 2 = -5 + 2 = -3$.

Pour $n=2$ : $u_2 = -5(2)^2 + 2 = -5(4) + 2 = -20 + 2 = -18$.

Pour $n=3$ : $u_3 = -5(3)^2 + 2 = -5(9) + 2 = -45 + 2 = -43$.

Pour $n=4$ : $u_4 = -5(4)^2 + 2 = -5(16) + 2 = -80 + 2 = -78$.

Les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ sont donc : $u_0 = 2$, $u_1 = -3$, $u_2 = -18$, $u_3 = -43$, $u_4 = -78$.

Correction :

1. Calcul des quatre premiers termes de $(u_n)$ :

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1}=2u_n-5$ et le premier terme $u_0=6$.

$u_0 = 6$ (donné).

$u_1 = 2u_0 - 5 = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7$.

$u_2 = 2u_1 - 5 = 2(7) - 5 = 14 - 5 = 9$.

$u_3 = 2u_2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13$.

Les quatre premiers termes de $(u_n)$ sont : $u_0=6, u_1=7, u_2=9, u_3=13$.

2. Calcul des quatre premiers termes de $(v_n)$ :

On utilise la formule explicite $v_n=5+2^n$.

$v_0 = 5 + 2^0 = 5 + 1 = 6$.

$v_1 = 5 + 2^1 = 5 + 2 = 7$.

$v_2 = 5 + 2^2 = 5 + 4 = 9$.

$v_3 = 5 + 2^3 = 5 + 8 = 13$.

Les quatre premiers termes de $(v_n)$ sont : $v_0=6, v_1=7, v_2=9, v_3=13$.

3. Constatation :

On constate que les quatre premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont égaux.

4. Vérification à la calculatrice :

En utilisant le mode "Suite" de la calculatrice, on peut vérifier les termes calculés pour les deux suites et confirmer qu'ils correspondent.

Correction :

1. Calcul des quatre premiers termes de $(u_n)$ :

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+2n+5$ et le premier terme $u_0=7$.

$u_0 = 7$ (donné).

$u_1 = u_0 + 2(0) + 5 = 7 + 0 + 5 = 12$.

$u_2 = u_1 + 2(1) + 5 = 12 + 2 + 5 = 19$.

$u_3 = u_2 + 2(2) + 5 = 19 + 4 + 5 = 28$.

Les quatre premiers termes de $(u_n)$ sont : $u_0=7, u_1=12, u_2=19, u_3=28$.

2. Calcul des quatre premiers termes de $(v_n)$ :

On utilise la formule explicite $v_n=n^2+4n+7$.

$v_0 = (0)^2 + 4(0) + 7 = 0 + 0 + 7 = 7$.

$v_1 = (1)^2 + 4(1) + 7 = 1 + 4 + 7 = 12$.

$v_2 = (2)^2 + 4(2) + 7 = 4 + 8 + 7 = 19$.

$v_3 = (3)^2 + 4(3) + 7 = 9 + 12 + 7 = 28$.

Les quatre premiers termes de $(v_n)$ sont : $v_0=7, v_1=12, v_2=19, v_3=28$.

3. Constatation :

On constate que les quatre premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont égaux.

4. Vérification à la calculatrice :

En utilisant le mode "Suite" de la calculatrice, on peut vérifier les termes calculés pour les deux suites et confirmer qu'ils correspondent.

Correction :

1. Justification de la multiplication par 0,8 pour une diminution de 20 % :

Diminuer une quantité de 20 % signifie que l'on conserve $100\% - 20\% = 80\%$ de cette quantité. Pourcentage et coefficient multiplicateur sont liés par la formule : Coefficient Multiplicateur = $\frac{\text{Pourcentage}}{100}$. Ainsi, $80\% = \frac{80}{100} = 0,8$. Donc, diminuer de 20 % revient à multiplier par 0,8.

2. Calcul de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ :

L'année 2020 correspond à $n=0$, avec $u_0 = 1000$ donateurs.

Pour l'année 2021 ($n=1$), on perd 20 % des 1000 donateurs, il reste donc $1000 \times 0,8 = 800$ anciens donateurs. On ajoute 300 nouveaux donateurs. Donc $u_1 = 1000 \times 0,8 + 300 = 800 + 300 = 1100$. En 2021, il y aura 1100 donateurs.

Pour l'année 2022 ($n=2$), on perd 20 % des 1100 donateurs de 2021, il reste $1100 \times 0,8 = 880$ anciens donateurs. On ajoute 300 nouveaux donateurs. Donc $u_2 = 1100 \times 0,8 + 300 = 880 + 300 = 1180$. En 2022, il y aura 1180 donateurs.

Pour l'année 2023 ($n=3$), on perd 20 % des 1180 donateurs de 2022, il reste $1180 \times 0,8 = 944$ anciens donateurs. On ajoute 300 nouveaux donateurs. Donc $u_3 = 1180 \times 0,8 + 300 = 944 + 300 = 1244$. En 2023, il y aura 1244 donateurs.

En résumé : $u_1 = 1100$, $u_2 = 1180$, $u_3 = 1244$. Ces valeurs représentent respectivement le nombre de donateurs en 2021, 2022 et 2023.

Correction :

1. Calcul du capital $C_1$ et $C_2$ :

Pour l'année 2021 ($n=1$), le capital de 2020 ($C_0 = 1000$) augmente de 4 % d'intérêts composés, puis Ahmed ajoute 100 €.

Intérêts en 2020 : $1000 \times \frac{4}{100} = 40$ €. Capital après intérêts : $1000 + 40 = 1040$ €. Ajout de 100 € : $1040 + 100 = 1140$ €.

Donc $C_1 = 1140$ €. Le capital disponible au 1^er janvier 2021 est de 1140 €.

Pour l'année 2022 ($n=2$), le capital de 2021 ($C_1 = 1140$) augmente de 4 % d'intérêts composés, puis Ahmed ajoute 100 €.

Intérêts en 2021 : $1140 \times \frac{4}{100} = 45,6$ €. Capital après intérêts : $1140 + 45,6 = 1185,6$ €. Ajout de 100 € : $1185,6 + 100 = 1285,6$ €.

Donc $C_2 = 1285,6$ €. Le capital disponible au 1^er janvier 2022 est de 1285,6 €.

2. Capital disponible le 1^er janvier 2035 :

L'année 2035 correspond à $n = 2035 - 2020 = 15$. On cherche à calculer $C_{15}$.

La relation de récurrence pour la suite $(C_n)$ est : $C_{n+1} = C_n \times (1 + \frac{4}{100}) + 100 = 1,04 C_n + 100$, avec $C_0 = 1000$.

En utilisant une calculatrice ou un tableur, on peut calculer les termes successifs jusqu'à $C_{15}$.

Avec une calculatrice, en initialisant la suite avec $u_0 = 1000$ et la relation $u_{n+1} = 1.04 u_n + 100$, on trouve :

$C_{15} \approx 2953,74$ €.

Le capital disponible le 1^er janvier 2035 sera d'environ 2953,74 €.

Correction :

Complétons le tableau de valeurs pour $u_n = n^2 - 6n + 10$ :

$n$	$u_n$
0	$0^2 - 6(0) + 10 = 10$
1	$1^2 - 6(1) + 10 = 5$
2	$2^2 - 6(2) + 10 = 2$
3	$3^2 - 6(3) + 10 = 1$
4	$4^2 - 6(4) + 10 = 2$
5	$5^2 - 6(5) + 10 = 5$
6	$6^2 - 6(6) + 10 = 10$

Les points sont à placer sur le graphique fourni, avec en abscisse $n$ et en ordonnée $u_n$. L'allure de la suite se dessine une fois les points placés.

Correction :

Pour représenter la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=-10+u_n$, calculons les premiers termes :

$u_0 = 5$.

$u_1 = -10 + u_0 = -10 + 5 = -5$.

$u_2 = -10 + u_1 = -10 + (-5) = -15$.

$u_3 = -10 + u_2 = -10 + (-15) = -25$.

$u_4 = -10 + u_3 = -10 + (-25) = -35$.

Les premiers termes sont : $5, -5, -15, -25, -35, ...$.

Représentation graphique : Les points à placer sont $(0, 5), (1, -5), (2, -15), (3, -25), (4, -35)$, etc. Sur un graphique, on observerait une droite de points descendant.

Étude des variations de $(u_n)$ :

Calculons $u_{n+1} - u_n = (-10 + u_n) - u_n = -10$.

Puisque $u_{n+1} - u_n = -10 < 0$ pour tout $n$, la suite $(u_n)$ est décroissante.

Correction :

1. Cas de $u_{n+1} = u_n - n^2$ :

Calculons $u_{n+1} - u_n = (u_n - n^2) - u_n = -n^2$.

Pour tout entier naturel $n$, $n^2 \geqslant 0$, donc $-n^2 \leqslant 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$. La suite $(u_n)$ est décroissante.

2. Cas de $u_{n+1} = u_n - 7n$ :

Calculons $u_{n+1} - u_n = (u_n - 7n) - u_n = -7n$.

Pour tout entier naturel $n$, $n \geqslant 0$, donc $-7n \leqslant 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$. La suite $(u_n)$ est décroissante.

3. Cas de $u_{n+1} = u_n + n^2 + 3$ :

Calculons $u_{n+1} - u_n = (u_n + n^2 + 3) - u_n = n^2 + 3$.

Pour tout entier naturel $n$, $n^2 \geqslant 0$, donc $n^2 + 3 \geqslant 3 > 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

Correction :

1. Cas de $u_n = 3n^2 - 4$ :

Expression de $u_{n+1}$ en fonction de $n$ : $u_{n+1} = 3(n+1)^2 - 4 = 3(n^2 + 2n + 1) - 4 = 3n^2 + 6n + 3 - 4 = 3n^2 + 6n - 1$.

Différence $u_{n+1} - u_n = (3n^2 + 6n - 1) - (3n^2 - 4) = 3n^2 + 6n - 1 - 3n^2 + 4 = 6n + 3$.

Pour tout entier naturel $n$, $6n + 3 \geqslant 3 > 0$. Donc $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est croissante.

2. Cas de $u_n = 5n - 8$ :

Expression de $u_{n+1}$ en fonction de $n$ : $u_{n+1} = 5(n+1) - 8 = 5n + 5 - 8 = 5n - 3$.

Différence $u_{n+1} - u_n = (5n - 3) - (5n - 8) = 5n - 3 - 5n + 8 = 5$.

Puisque $u_{n+1} - u_n = 5 > 0$, la suite $(u_n)$ est croissante.

3. Cas de $u_n = n^2 - 2n + 1$ :

Expression de $u_{n+1}$ en fonction de $n$ : $u_{n+1} = (n+1)^2 - 2(n+1) + 1 = (n^2 + 2n + 1) - 2n - 2 + 1 = n^2$.

Différence $u_{n+1} - u_n = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1$.

Le signe de $2n - 1$ dépend de la valeur de $n$. Pour $n=0$, $2n-1 = -1 < 0$. Pour $n \geqslant 1$, $2n-1 \geqslant 2(1) - 1 = 1 > 0$.

La suite n'est ni toujours croissante, ni toujours décroissante. Elle est décroissante jusqu'à $u_1$ puis croissante ensuite. Pour déterminer à partir de quel rang elle est croissante, on résout $2n-1 \geqslant 0$, soit $n \geqslant \frac{1}{2}$. Donc pour $n \geqslant 1$, $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$. La suite $(u_n)$ est décroissante puis croissante à partir du rang 1 (on dit qu'elle est non monotone).

Correction :

1. Calcul des termes de $(u_n)$ sur tableur :

Dans un tableur (comme Excel, LibreOffice Calc, Google Sheets), on peut utiliser les cellules pour calculer les termes de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n - 1$.

- Dans la cellule A1, entrez "n". Dans la cellule B1, entrez "u_n".

- Dans la cellule A2, entrez 0 (pour le rang 0).

- Dans la cellule A3, entrez 1 (pour le rang 1).

- Dans la cellule A20, entrez 19 (pour le rang 19).

- Dans la cellule B2, entrez la formule =2*A2-1. Puis, recopiez cette formule vers le bas jusqu'à la ligne 20.

Les valeurs affichées dans les cellules B2, B3 et B20 seront respectivement $u_0$, $u_1$ et $u_{19}$.

Résultats : $u_0 = -1$, $u_1 = 1$, $u_{19} = 37$.

2. Calcul des termes de $(v_n)$ sur tableur :

Pour la suite $(v_n)$ définie par récurrence $v_{n+1} = 2v_n - 1$ avec $v_0 = 1,1$.

- Dans la cellule C1, entrez "rang n". Dans la cellule D1, entrez "v_n".

- Dans la cellule C2, entrez 0 (rang initial).

- Dans la cellule D2, entrez 1,1 (valeur de $v_0$).

- Dans la cellule C3, entrez 1 (rang suivant).

- Dans la cellule D3, entrez la formule =2*D2-1 (pour calculer $v_1$ en fonction de $v_0$).

- Recopiez les cellules C3 et D3 vers le bas jusqu'à la ligne 40 (pour obtenir jusqu'au rang 39).

Les valeurs affichées dans les cellules D3, D4 et D40 seront respectivement $v_1$, $v_2$ et $v_{39}$.

Résultats : $v_1 = 1,2$, $v_2 = 1,4$, $v_{39} \approx 4398046511103,1$.

Correction :

Algorithme de calcul du $N$-ième terme de la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 4u_n - 1$ :

Variables :

- $u$ : variable pour stocker le terme courant de la suite.

- $N$ : variable pour stocker le rang du terme à calculer.

- $i$ : variable compteur pour la boucle.

Entrée :

- Saisir la valeur du premier terme $u_0$ et stocker dans $u$.

- Saisir l'entier $N$ (rang du terme à calculer).

Traitement :

- Si $N = 0$, afficher $u$ (car $u$ contient déjà $u_0$).

- Si $N > 0$, utiliser une boucle Pour pour calculer les termes successifs jusqu'au rang $N$ :

Pour $i$ allant de 1 à $N$ :

$u \leftarrow 4 \times u - 1$ (mettre à jour $u$ pour le terme suivant).

Fin Pour.

Sortie :

- Afficher la valeur de $u$ (qui contient maintenant $u_N$).

Algorithme en pseudo-code :

                                        
DEBUT_ALGORITHME
  VARIABLES
    u EST_DU_TYPE NOMBRE
    N EST_DU_TYPE ENTIER
    i EST_DU_TYPE ENTIER
  DEBUT
    // Saisie des données
    AFFICHER "Saisir le premier terme u0 :"
    LIRE u
    AFFICHER "Saisir le rang N du terme à calculer :"
    LIRE N

    // Traitement et affichage
    SI N == 0 ALORS
      AFFICHER "Le terme u_0 est : ", u
    SINON_SI N > 0 ALORS
      POUR i DE 1 A N FAIRE
        u PREND_LA_VALEUR 4 * u - 1
      FIN_POUR
      AFFICHER "Le terme u_", N, " est : ", u
    FIN_SI

  FIN
FIN_ALGORITHME
                                        
                                    

Cet algorithme permet de calculer le $N$-ième terme de la suite $(u_n)$ pour n'importe quel rang $N$ à partir du premier terme $u_0$ et de la relation de récurrence.