Exercices : Suites Géométriques

Correction :

Pour déterminer si une suite de nombres est géométrique, il faut vérifier si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. C'est-à-dire, pour chaque paire de termes consécutifs, on calcule le quotient du terme suivant par le terme précédent et on vérifie si ce quotient est le même pour toutes les paires.

1. Pour la suite $1$; $0$; $0$; $0$ :

Le rapport entre le deuxième et le premier terme est $\frac{0}{1} = 0$.

Le rapport entre le troisième et le deuxième terme est $\frac{0}{0}$. Ce rapport est indéterminé. Cependant, si on considère que la raison est $0$ (déduite du premier rapport), alors on devrait avoir $1 \times 0 = 0$, $0 \times 0 = 0$, $0 \times 0 = 0$. Les termes correspondent. Cependant, pour être rigoureux, une suite géométrique est définie par une raison constante non nulle si on veut éviter des divisions par zéro. Si on accepte une raison nulle, alors on peut dire que c'est une suite géométrique de raison $0$. Mais dans le contexte usuel des suites géométriques, on s'attend à une raison non nulle pour que la définition soit bien cohérente pour tous les termes. En pratique, dans ce cas précis, on dira que ce n'est pas une suite géométrique dans le sens strict du terme car le rapport n'est pas constamment défini de manière non ambiguë à cause du terme nul.

2. Pour la suite $-1$; $2$; $-4$; $8$ :

Le rapport entre le deuxième et le premier terme est $\frac{2}{-1} = -2$.

Le rapport entre le troisième et le deuxième terme est $\frac{-4}{2} = -2$.

Le rapport entre le quatrième et le troisième terme est $\frac{8}{-4} = -2$.

Le rapport est constant et égal à $-2$. Donc, c'est une suite géométrique de raison $-2$.

3. Pour la suite $5$; $6$; $7,2$; $8,6$ :

Le rapport entre le deuxième et le premier terme est $\frac{6}{5} = 1,2$.

Le rapport entre le troisième et le deuxième terme est $\frac{7,2}{6} = 1,2$.

Le rapport entre le quatrième et le troisième terme est $\frac{8,6}{7,2} \approx 1,194$.

Les rapports ne sont pas constants. Par exemple, $ \frac{8,6}{7,2} \neq \frac{7,2}{6} $. Donc, ce n'est pas une suite géométrique.

Correction :

1. Calcul de $v_2$, $v_3$ et $v_4$.

Pour une suite géométrique, on a la relation $v_{n+1} = q \times v_n$. Ici, le premier terme est $v_1 = 5$ et la raison est $q = 0,8$.

Pour calculer $v_2$, on utilise $v_2 = q \times v_1 = 0,8 \times 5 = 4$.

Pour calculer $v_3$, on utilise $v_3 = q \times v_2 = 0,8 \times 4 = 3,2$.

Pour calculer $v_4$, on utilise $v_4 = q \times v_3 = 0,8 \times 3,2 = 2,56$.

Donc, nous avons :

$v_2 = 4$

$v_3 = 3,2$

$v_4 = 2,56$

2. Représentation graphique.

Pour représenter graphiquement les points, on place les indices en abscisse et les termes en ordonnée. Les points à marquer sont donc :

$(1; v_1) = (1; 5)$

$(2; v_2) = (2; 4)$

$(3; v_3) = (3; 3,2)$

$(4; v_4) = (4; 2,56)$

Sur un graphique, vous placerez ces points. On observe que les points se rapprochent de l'axe des abscisses car la raison est comprise entre $0$ et $1$, ce qui indique une décroissance de la suite.

Correction :

1. Calcul de $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

Le premier terme est $v_0 = 5$ et la raison est $q = 3$. On utilise la relation $v_{n+1} = q \times v_n$.

Pour $v_1$, on a $v_1 = q \times v_0 = 3 \times 5 = 15$.

Pour $v_2$, on a $v_2 = q \times v_1 = 3 \times 15 = 45$.

Pour $v_3$, on a $v_3 = q \times v_2 = 3 \times 45 = 135$.

Donc, nous avons :

$v_1 = 15$

$v_2 = 45$

$v_3 = 135$

2. Relation entre $v_{n+1}$ et $v_n$.

Par définition d'une suite géométrique de raison $q=3$, la relation entre $v_{n+1}$ et $v_n$ est :

$$v_{n+1} = 3 \times v_n$$

3. Calcul de termes à l'aide de la calculatrice.

a. Déterminer le neuvième terme.

Le neuvième terme est $v_9$. On peut utiliser la formule du terme général : $v_n = v_0 \times q^n$. Ici, $n=9$, $v_0 = 5$ et $q = 3$.

$$v_9 = v_0 \times 3^9 = 5 \times 3^9 = 5 \times 19683 = 98415$$

Donc, $v_9 = 98415$.

b. Déterminer $v_{11}$.

De même, pour $v_{11}$, on utilise la formule du terme général avec $n=11$ :

$$v_{11} = v_0 \times 3^{11} = 5 \times 3^{11} = 5 \times 177147 = 885735$$

Donc, $v_{11} = 885735$.

Avec une calculatrice, vous pouvez aussi utiliser la relation de récurrence en partant de $v_0$ et en multipliant successivement par 3 jusqu'à obtenir $v_9$ et $v_{11}$.

Correction :

1. Calcul de $u_1$.

Le salaire initial est $u_0 = 20400 €$. Une augmentation de 3\% signifie que le salaire est multiplié par $1 + \frac{3}{100} = 1 + 0,03 = 1,03$.

Donc, le salaire au bout de 1 an est $u_1 = u_0 \times 1,03 = 20400 \times 1,03 = 21012 €$.

2. Expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et nature de la suite $(u_n)$.

Chaque année, le salaire augmente de 3\%, donc pour passer du salaire de l'année $n$ ($u_n$) au salaire de l'année suivante ($u_{n+1}$), on multiplie par $1,03$. Ainsi, la relation de récurrence est :

$$u_{n+1} = 1,03 \times u_n$$

Cette relation montre que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 20400$ et de raison $q = 1,03$.

3. Déterminations à l'aide de la calculatrice.

a. Salaire annuel au bout de 20 ans.

On cherche $u_{20}$. On utilise la formule du terme général : $u_n = u_0 \times q^n$. Ici, $n=20$, $u_0 = 20400$ et $q = 1,03$.

$$u_{20} = u_0 \times (1,03)^{20} = 20400 \times (1,03)^{20} \approx 20400 \times 1,8061 \approx 36844,44 €$$

Le salaire annuel au bout de 20 ans sera d'environ $36844,44 €$.

b. Nombre d'années pour que le salaire double.

On veut trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n \ge 2 \times u_0 = 2 \times 20400 = 40800 €$.

On peut tester différentes valeurs de $n$ ou utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer les termes successifs de la suite jusqu'à ce que $u_n$ dépasse $40800$.

Pour $n=20$, on a trouvé $u_{20} \approx 36844,44 €$, ce n'est pas encore doublé.

Calculons pour $n=25$ :

$$u_{25} = u_0 \times (1,03)^{25} = 20400 \times (1,03)^{25} \approx 20400 \times 2,0938 \approx 42713,52 €$$

Pour $n=24$ :

$$u_{24} = u_0 \times (1,03)^{24} = 20400 \times (1,03)^{24} \approx 20400 \times 2,0328 \approx 41469,12 €$$

Pour $n=23$ :

$$u_{23} = u_0 \times (1,03)^{23} = 20400 \times (1,03)^{23} \approx 20400 \times 1,9736 \approx 40261,44 €$$

Pour $n=24$, le salaire dépasse $40800 €$. Donc, il faudra 24 ans pour que le salaire double.

Correction :

1. Populations $b_1$, $c_1$ en 2021 et populations en 2022.

En 2020 ($n=0$), $b_0 = 50000$ et $c_0 = 50000$.

Pour la banlieue, augmentation de 4\% par an, donc multiplication par $1 + 0,04 = 1,04$.

Pour le centre-ville, diminution de 5\% par an, donc multiplication par $1 - 0,05 = 0,95$.

En 2021 ($n=1$) :

$b_1 = b_0 \times 1,04 = 50000 \times 1,04 = 52000$ habitants.

$c_1 = c_0 \times 0,95 = 50000 \times 0,95 = 47500$ habitants.

En 2022 ($n=2$) :

$b_2 = b_1 \times 1,04 = 52000 \times 1,04 = 54080$ habitants.

$c_2 = c_1 \times 0,95 = 47500 \times 0,95 = 45125$ habitants.

2. Nature de la suite $(b_n)$.

La population de la banlieue augmente de 4\% par an, donc on a la relation :

$$b_{n+1} = 1,04 \times b_n$$

C'est une relation de la forme $b_{n+1} = q \times b_n$, donc la suite $(b_n)$ est une suite géométrique de premier terme $b_0 = 50000$ et de raison $q = 1,04$.

3. Nature de la suite $(c_n)$.

La population du centre-ville diminue de 5\% par an, donc on a la relation :

$$c_{n+1} = 0,95 \times c_n$$

C'est une relation de la forme $c_{n+1} = q \times c_n$, donc la suite $(c_n)$ est une suite géométrique de premier terme $c_0 = 50000$ et de raison $q = 0,95$.

4. Populations prévues pour l'année 2049.

L'année 2049 correspond à $n = 2049 - 2020 = 29$. On cherche $b_{29}$ et $c_{29}$.

Pour la banlieue :

$$b_{29} = b_0 \times (1,04)^{29} = 50000 \times (1,04)^{29} \approx 50000 \times 3,2434 \approx 162170 \text{ habitants}$$

Pour le centre-ville :

$$c_{29} = c_0 \times (0,95)^{29} = 50000 \times (0,95)^{29} \approx 50000 \times 0,2451 \approx 12255 \text{ habitants}$$

En 2049, la population de la banlieue sera d'environ $162170$ habitants et celle du centre-ville d'environ $12255$ habitants.

Correction :

Pour vérifier si les premiers termes sont ceux d'une suite géométrique, on doit calculer les rapports entre les termes consécutifs et vérifier s'ils sont constants.

Rapport entre $u_1$ et $u_0$ : $\frac{u_1}{u_0} = \frac{3,4}{2} = 1,7$.

Rapport entre $u_2$ et $u_1$ : $\frac{u_2}{u_1} = \frac{5,78}{3,4} = 1,7$.

Rapport entre $u_3$ et $u_2$ : $\frac{u_3}{u_2} = \frac{9,826}{5,78} = 1,7$.

Rapport entre $u_4$ et $u_3$ : $\frac{u_4}{u_3} = \frac{16,7042}{9,826} = 1,7$.

Les rapports entre les termes consécutifs sont tous égaux à $1,7$. Donc, ces premiers termes sont ceux d'une suite géométrique de raison $1,7$.

On peut vérifier :

$u_1 = 2 \times 1,7 = 3,4$

$u_2 = 3,4 \times 1,7 = 5,78$

$u_3 = 5,78 \times 1,7 = 9,826$

$u_4 = 9,826 \times 1,7 = 16,7042$

Les termes donnés correspondent bien à une suite géométrique de raison $1,7$ et de premier terme $u_0 = 2$.

Correction :

1. Montrer que $w_1 = 3$ et interprétation.

Au départ, la masse de médicament est $w_0 = 4$mg. Après une heure, le corps élimine $25\%$ du médicament présent. Cela signifie qu'il reste $100\% - 25\% = 75\%$ du médicament. $75\%$ correspond à un facteur multiplicatif de $\frac{75}{100} = 0,75$.

Donc, après une heure, la masse de médicament restante est $w_1 = w_0 \times 0,75 = 4 \times 0,75 = 3$mg.

Interprétation : Après la première heure, il reste $3$mg de médicament dans le sang, car $1$mg a été éliminé par le corps (ce qui représente $25\%$ de la dose initiale de $4$mg).

2. Calcul de la masse de médicament après $3$ heures.

On continue le processus d'élimination : chaque heure, il reste $75\%$ de la quantité de médicament de l'heure précédente.

$w_2 = w_1 \times 0,75 = 3 \times 0,75 = 2,25$mg.

$w_3 = w_2 \times 0,75 = 2,25 \times 0,75 = 1,6875$mg.

Arrondi à $0,001$ près, $w_3 \approx 1,688$mg.

3. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.

On a vu que pour passer de la masse de médicament d'une heure à la suivante, on multiplie par $0,75$. Donc, pour tout entier $n$, on a la relation :

$$w_{n+1} = 0,75 \times w_n$$

Ceci est la définition d'une suite géométrique de premier terme $w_0 = 4$ et de raison $q = 0,75 = \frac{3}{4}$.

4. Sens de variation de la suite $(w_n)$ et interprétation.

La raison de la suite est $q = 0,75$. Comme $0 < 0,75 < 1$ et le premier terme $w_0 = 4$ est positif, la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

Interprétation : Le sens de variation décroissant signifie que la masse de médicament présente dans le sang diminue au fil du temps. C'est logique car le corps élimine progressivement le médicament.

5. Temps pour que la quantité de médicament soit inférieure à $0,1$mg.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $w_n < 0,1$. On peut calculer les termes successifs de la suite jusqu'à atteindre cette condition.

$w_0 = 4$

$w_1 = 3$

$w_2 = 2,25$

$w_3 = 1,6875 \approx 1,688$

$w_4 = 1,265625 \approx 1,266$

$w_5 = 0,94921875 \approx 0,949$

$w_6 = 0,7119140625 \approx 0,712$

$w_7 = 0,533935546875 \approx 0,534$

$w_8 = 0,40045166015625 \approx 0,400$

$w_9 = 0,3003387451171875 \approx 0,300$

$w_{10} = 0,225254058837890625 \approx 0,225$

$w_{11} = 0,16894054412841796875 \approx 0,169$

$w_{12} = 0,1267054080963134765625 \approx 0,127$

$w_{13} = 0,095029056072235107421875 \approx 0,095$

On observe que $w_{13} \approx 0,095 < 0,1$. Donc, à partir de 13 heures, la quantité de médicament présent dans le sang sera inférieure à $0,1$mg.

Correction :

L'algorithme fourni contient une erreur. Dans une boucle allant de 0 à 8, si on calcule $u_{n+1} = u_n \times q$, on va calculer les termes de rang 1 à 9, et non de rang 0 à 8. De plus, l'algorithme tel qu'il est écrit n'affiche pas $u_0$. Pour afficher les termes de rang 0 à 8, et corriger l'erreur de l'algorithme proposé, voici une version corrigée et son implémentation en Python :

Algorithme corrigé :

Saisir les valeurs de $u_0$ et de $q$.

Afficher $u_0$.

Pour $n$ allant de $0$ à $7$:

$u_{n+1}$ prend la valeur $u_n \times q$;

afficher $u_{n+1}$.

Fin Pour.

Implémentation en Python :

u0 = float(input("Saisir la valeur de u0: "))
q = float(input("Saisir la valeur de q: "))

u_courant = u0
print(u_courant) # Affichage de u0

for n in range(8): # Boucle de 0 à 7 pour calculer u1 à u8
    u_courant = u_courant * q
    print(u_courant)

En exécutant ce code, vous obtiendrez l'affichage des termes $u_0, u_1, ..., u_8$ de la suite géométrique.

Correction :

1. Nature de la suite et raison.

Calculons la différence entre les termes consécutifs :

$v_1 - v_0 = 98 - 100 = -2$

$v_2 - v_1 = 96 - 98 = -2$

$v_3 - v_2 = 94 - 96 = -2$

$v_4 - v_3 = 92 - 94 = -2$

$v_5 - v_4 = 90 - 92 = -2$

La différence entre deux termes consécutifs est constante et égale à $-2$. Donc, la suite $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = -2$. Attention, ce n'est pas une suite géométrique. Pour qu'elle soit géométrique, il faudrait que le rapport entre deux termes consécutifs soit constant, et ce n'est pas le cas ici.

2. Sens de variation de $(v_n)$.

Comme la raison $r = -2$ est négative, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante. Cela correspond à une perte de poids régulière de 2 kg par mois.

Correction :

1. Suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=u_n+100$ et $u_0=-5$.

C'est une suite arithmétique de raison $r=100$. Comme la raison est positive ($r=100 > 0$), la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Suite $(v_n)$ définie par $v_{n+1}=1,1v_n$ et $v_0=200$.

C'est une suite géométrique de raison $q=1,1$. Comme la raison est supérieure à 1 ($q=1,1 > 1$) et le premier terme est positif ($v_0=200 > 0$), la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

3. Suite $(w_n)$ définie par $w_{n+1}=0,72w_n$ et $w_0=1 250$.

C'est une suite géométrique de raison $q=0,72$. Comme la raison est comprise entre 0 et 1 ($0 < q=0,72 < 1$) et le premier terme est positif ($w_0=1250 > 0$), la suite $(w_n)$ est strictement décroissante.

4. Suite $(t_n)$ définie par $t_{n+1}=t_n-25$ et $t_0=160$.

C'est une suite arithmétique de raison $r=-25$. Comme la raison est négative ($r=-25 < 0$), la suite $(t_n)$ est strictement décroissante.

Correction :

Soit $A_n$ la population de la ville A et $B_n$ la population de la ville B après $n$ années à partir de 2010. Donc, $n=0$ correspond à l'année 2010.

Pour la ville A, la population croît de 2000 habitants par an. Donc, la suite $(A_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $A_0 = 50000$ et de raison $r = 2000$. L'expression du terme général est :

$$A_n = A_0 + n \times r = 50000 + 2000n$$

Pour la ville B, la population a un taux de croissance annuel de 6\%. Donc, la suite $(B_n)$ est une suite géométrique de premier terme $B_0 = 30000$ et de raison $q = 1 + 0,06 = 1,06$. L'expression du terme général est :

$$B_n = B_0 \times q^n = 30000 \times (1,06)^n$$

On cherche à déterminer à partir de quelle année la population de la ville B dépasse celle de la ville A, c'est-à-dire, on cherche le plus petit entier $n$ tel que $B_n > A_n$.

$$30000 \times (1,06)^n > 50000 + 2000n$$

Testons des valeurs de $n$ (ou utilisons la calculatrice ou un tableur) :

Pour $n=0$ (2010) : $A_0 = 50000$, $B_0 = 30000$. $B_0 < A_0$.

Pour $n=10$ (2020) : $A_{10} = 50000 + 2000 \times 10 = 70000$, $B_{10} = 30000 \times (1,06)^{10} \approx 53725$. $B_{10} < A_{10}$.

Pour $n=20$ (2030) : $A_{20} = 50000 + 2000 \times 20 = 90000$, $B_{20} = 30000 \times (1,06)^{20} \approx 96214$. $B_{20} > A_{20}$.

Pour $n=19$ (2029) : $A_{19} = 50000 + 2000 \times 19 = 88000$, $B_{19} = 30000 \times (1,06)^{19} \approx 90768$. $B_{19} > A_{19}$.

Pour $n=18$ (2028) : $A_{18} = 50000 + 2000 \times 18 = 86000$, $B_{18} = 30000 \times (1,06)^{18} \approx 85630$. $B_{18} < A_{18}$.

La population de la ville B dépasse celle de la ville A à partir de $n=19$, ce qui correspond à l'année $2010 + 19 = 2029$.

Réponse : À partir de l'année 2029.

Correction :

1. Décroissance linéaire ?

Pour vérifier si la décroissance est linéaire, on doit examiner si la différence entre les concentrations de radon de jours consécutifs est constante.

Jour 2 - Jour 1 : $996 - 1200 = -204$

Jour 3 - Jour 2 : $840 - 996 = -156$

Jour 4 - Jour 3 : $696 - 840 = -144$

Les différences ne sont pas constantes ($-204 \neq -156 \neq -144$). Donc, la décroissance n'est pas linéaire.

2. Coefficient multiplicatif et remarque.

Calculons les coefficients multiplicateurs (rapports) entre jours consécutifs :

Jour 2 / Jour 1 : $\frac{996}{1200} = 0,83$

Jour 3 / Jour 2 : $\frac{840}{996} \approx 0,84$

Jour 4 / Jour 3 : $\frac{696}{840} \approx 0,83$

Jour 5 / Jour 4 : $\frac{576}{696} \approx 0,83$

Jour 6 / Jour 5 : $\frac{480}{576} \approx 0,83$

Jour 7 / Jour 6 : $\frac{408}{480} = 0,85$

Arrondis à $10^{-2}$ près, les coefficients multiplicateurs sont approximativement constants autour de $0,83$ ou $0,84$. On remarque que le coefficient multiplicatif est presque constant, ce qui justifie de modéliser la décroissance par une suite géométrique (exponentielle).

3. Décroissance à partir du jour 7 avec coefficient 0,84.

a. Concentration de radon le jour 8.

La concentration le jour 7 est $408$ Bq.m$^{-3}$. Pour le jour 8, on multiplie par $0,84$ :

$408 \times 0,84 = 342,72$

Arrondi à l'entier le plus proche, la concentration de radon le jour 8 serait de 343 Bq.m$^{-3}$.

b. On modélise cette décroissance par une suite $(u_n)$, où $u_n$ représente la concentration en radon au jour $n+7$. On a alors $u_0=408$. De quel type de suite s'agit-il ?

La suite $(u_n)$ modélise la décroissance à partir du jour 7, avec $u_0 = 408$ et un coefficient multiplicatif constant de $0,84$. Donc, on a la relation :

$$u_{n+1} = 0,84 \times u_n$$

C'est la définition d'une suite géométrique de raison $q = 0,84$ et de premier terme $u_0 = 408$.

4. Formule tableur.

Dans la cellule $B2$, on a $u_0 = 408$. Pour calculer $u_1$ dans la cellule $C2$, on doit multiplier $u_0$ par la raison $0,84$. Donc, dans la cellule $C2$, on peut écrire la formule :

=B2*0,84

En recopiant cette formule vers la droite, elle s'adaptera automatiquement pour calculer les termes suivants : $D2$ contiendra `=C2*0,84` (calcul de $u_2$), $E2$ contiendra `=D2*0,84` (calcul de $u_3$), et ainsi de suite.

5. Jour à partir duquel la concentration est inférieure à $100$Bq.m$^{-3}$.

On continue la suite $(u_n)$ jusqu'à ce que $u_n < 100$. On part de $u_0 = 408$ (jour 7) et on calcule les termes suivants en multipliant par $0,84$ :

$u_0 = 408$ (Jour 7)

$u_1 = 408 \times 0,84 = 342,72$ (Jour 8)

$u_2 = 342,72 \times 0,84 \approx 287,88$ (Jour 9)

$u_3 \approx 287,88 \times 0,84 \approx 241,82$ (Jour 10)

$u_4 \approx 241,82 \times 0,84 \approx 203,13$ (Jour 11)

$u_5 \approx 203,13 \times 0,84 \approx 170,63$ (Jour 12)

$u_6 \approx 170,63 \times 0,84 \approx 143,33$ (Jour 13)

$u_7 \approx 143,33 \times 0,84 \approx 120,40$ (Jour 14)

$u_8 \approx 120,40 \times 0,84 \approx 101,14$ (Jour 15)

$u_9 \approx 101,14 \times 0,84 \approx 84,96$ (Jour 16)

On a $u_9 \approx 84,96 < 100$. Donc, à partir de $n=9$, soit le jour $7+9 = 16$, la concentration en radon sera inférieure à $100$Bq.m$^{-3}$.

Réponse : À partir du jour 16.

Correction :

1. Calcul des termes $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = q \times u_n$ avec $q=2$ et $u_1 = 3$.

$u_2 = q \times u_1 = 2 \times 3 = 6$

$u_3 = q \times u_2 = 2 \times 6 = 12$

$u_4 = q \times u_3 = 2 \times 12 = 24$

$u_5 = q \times u_4 = 2 \times 24 = 48$

Donc, $u_2 = 6$, $u_3 = 12$, $u_4 = 24$, $u_5 = 48$.

2. Expression de $u_n$ en fonction de $n$.

La formule du terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est :

$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$

Ici, $u_1 = 3$ et $q = 2$, donc :

$$u_n = 3 \times 2^{n-1}$$

3. Calcul de $u_{10}$.

On utilise la formule du terme général avec $n=10$ :

$$u_{10} = 3 \times 2^{10-1} = 3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536$$

Donc, $u_{10} = 1536$.

Correction :

1. Calcul de $C_1$ et $C_2$.

Le chiffre d'affaires en 2023 est $C_0 = 500\ 000$ €. Une augmentation de $2,5\%$ correspond à un facteur multiplicatif de $1 + \frac{2,5}{100} = 1 + 0,025 = 1,025$.

Chiffre d'affaires en 2024 ($n=1$) : $C_1 = C_0 \times 1,025 = 500000 \times 1,025 = 512500$ €.

Chiffre d'affaires en 2025 ($n=2$) : $C_2 = C_1 \times 1,025 = 512500 \times 1,025 = 525312,5$ €.

Donc, $C_1 = 512500$ € et $C_2 = 525312,5$ €.

2. Expression de $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$ et nature de la suite $(C_n)$.

Chaque année, le chiffre d'affaires est multiplié par $1,025$. Donc, la relation de récurrence est :

$$C_{n+1} = 1,025 \times C_n$$

C'est une suite géométrique de premier terme $C_0 = 500000$ et de raison $q = 1,025$.

3. Chiffre d'affaires prévu pour 2033.

L'année 2033 correspond à $n = 2033 - 2023 = 10$. On cherche $C_{10}$.

$$C_{10} = C_0 \times (1,025)^{10} = 500000 \times (1,025)^{10} \approx 500000 \times 1,28008 \approx 640041,4 €$$

Arrondi à l'euro près, le chiffre d'affaires prévu pour 2033 est de 640 041 €.

4. À partir de quelle année le chiffre d'affaires annuel dépassera-t-il $600\ 000$ € ?

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C_n > 600000$. On peut tester des valeurs de $n$ ou utiliser la calculatrice.

Pour $n=5$ : $C_5 = 500000 \times (1,025)^5 \approx 565703,13$ € ( $< 600000$)

Pour $n=6$ : $C_6 = 500000 \times (1,025)^6 \approx 580000,7$ € ( $< 600000$)

Pour $n=7$ : $C_7 = 500000 \times (1,025)^7 \approx 594500,7$ € ( $< 600000$)

Pour $n=8$ : $C_8 = 500000 \times (1,025)^8 \approx 609263,2$ € ( $> 600000$)

Le chiffre d'affaires annuel dépassera $600\ 000$ € à partir de $n=8$, ce qui correspond à l'année $2023 + 8 = 2031$.

Réponse : À partir de l'année 2031.

Correction :

1. Calcul des premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

On utilise la formule $u_n = 5 \times (0,9)^n$.

$u_0 = 5 \times (0,9)^0 = 5 \times 1 = 5$

$u_1 = 5 \times (0,9)^1 = 5 \times 0,9 = 4,5$

$u_2 = 5 \times (0,9)^2 = 5 \times 0,81 = 4,05$

$u_3 = 5 \times (0,9)^3 = 5 \times 0,729 = 3,645$

Donc, $u_0 = 5$, $u_1 = 4,5$, $u_2 = 4,05$, $u_3 = 3,645$.

2. Raison de la suite géométrique.

La formule du terme général est donnée sous la forme $u_n = u_0 \times q^n$. Dans notre cas, $u_n = 5 \times (0,9)^n$, donc le premier terme est $u_0 = 5$ et la raison est $q = 0,9$.

La raison de la suite géométrique est $q = 0,9$.

3. Sens de variation de la suite $(u_n)$.

La raison de la suite est $q = 0,9$. Comme $0 < q = 0,9 < 1$ et le premier terme $u_0 = 5$ est positif, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Justification : Pour une suite géométrique de premier terme positif, si la raison est entre 0 et 1, alors chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre plus petit que 1, ce qui diminue la valeur des termes à chaque étape.

4. Déterminer à partir de quel rang $n$ on a $u_n < 1$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 1$, c'est-à-dire $5 \times (0,9)^n < 1$.

$(0,9)^n < \frac{1}{5} = 0,2$

On peut tester des valeurs de $n$ ou utiliser la fonction logarithme (mais ici, un test simple suffit).

Pour $n=10$ : $(0,9)^{10} \approx 0,3487 > 0,2$

Pour $n=15$ : $(0,9)^{15} \approx 0,2059 > 0,2$

Pour $n=16$ : $(0,9)^{16} \approx 0,1853 < 0,2$

À partir du rang $n=16$, on a $u_n < 1$.

Réponse : À partir du rang $n=16$.

Correction :

1. Calcul des termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = q \times u_n$ avec $q=-0,5$ et $u_0 = 8$.

$u_1 = q \times u_0 = -0,5 \times 8 = -4$

$u_2 = q \times u_1 = -0,5 \times -4 = 2$

$u_3 = q \times u_2 = -0,5 \times 2 = -1$

$u_4 = q \times u_3 = -0,5 \times -1 = 0,5$

Donc, $u_1 = -4$, $u_2 = 2$, $u_3 = -1$, $u_4 = 0,5$.

2. Expression de $u_n$ en fonction de $n$.

La formule du terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est :

$$u_n = u_0 \times q^n$$

Ici, $u_0 = 8$ et $q = -0,5$, donc :

$$u_n = 8 \times (-0,5)^n$$

3. Monotonie de la suite $(u_n)$.

La raison de la suite est $q = -0,5$. Comme $q < 0$, la suite $(u_n)$ est alternée. Les termes changent de signe à chaque étape. Une suite alternée n'est pas monotone (ni croissante, ni décroissante).

Justification : On observe que les premiers termes sont $8, -4, 2, -1, 0,5, ...$. La suite n'est ni toujours croissante, ni toujours décroissante.

4. Calcul de $u_{20}$.

On utilise la formule du terme général avec $n=20$ :

$$u_{20} = 8 \times (-0,5)^{20} = 8 \times (0,5)^{20} = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{20} = \frac{8}{2^{20}} = \frac{2^3}{2^{20}} = \frac{1}{2^{17}}$$

Calculons la valeur approchée :

$$u_{20} = \frac{1}{2^{17}} \approx 7,62939 \times 10^{-6} \approx 0,0000076$$

À $10^{-3}$ près, $u_{20} \approx 0,000$.