Exercices : Suite arithmétique

Correction :

Pour déterminer si des nombres sont des termes successifs d'une suite arithmétique, il faut vérifier si la différence entre deux termes consécutifs est constante.

1. Pour la proposition 1, examinons les différences successives :

Différence entre le 2ème et le 1er terme : $1 - 0 = 1$.

Différence entre le 3ème et le 2ème terme : $3 - 1 = 2$.

Différence entre le 4ème et le 3ème terme : $4 - 3 = 1$.

Les différences ne sont pas constantes ($1 \ne 2$), donc la proposition 1 est FAUSSE.

2. Pour la proposition 2, examinons les différences successives :

Différence entre le 2ème et le 1er terme : $0 - (-1) = 1$.

Différence entre le 3ème et le 2ème terme : $1 - 0 = 1$.

Différence entre le 4ème et le 3ème terme : $2 - 1 = 1$.

Les différences sont constantes et égales à $1$, donc la proposition 2 est VRAIE. La raison de cette suite arithmétique est $r=1$.

3. Pour la proposition 3, examinons les différences successives :

Différence entre le 2ème et le 1er terme : $-0,1 - (-0,6) = -0,1 + 0,6 = 0,5$.

Différence entre le 3ème et le 2ème terme : $0,4 - (-0,1) = 0,4 + 0,1 = 0,5$.

Différence entre le 4ème et le 3ème terme : $0,9 - 0,4 = 0,5$.

Les différences sont constantes et égales à $0,5$, donc la proposition 3 est VRAIE. La raison de cette suite arithmétique est $r=0,5$.

Correction :

Pour une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant la raison au terme précédent : $v_{n+1} = v_n + r$. Ici, $v_1 = 2,8$ et la raison $r = -0,4$.

1. Calcul des termes $v_2$, $v_3$ et $v_4$ :

Pour $v_2$ : $v_2 = v_1 + r = 2,8 + (-0,4) = 2,8 - 0,4 = 2,4$.

Pour $v_3$ : $v_3 = v_2 + r = 2,4 + (-0,4) = 2,4 - 0,4 = 2,0$.

Pour $v_4$ : $v_4 = v_3 + r = 2,0 + (-0,4) = 2,0 - 0,4 = 1,6$.

Donc, $v_2 = 2,4$, $v_3 = 2,0$ et $v_4 = 1,6$.

2. Représentation graphique :

Pour représenter graphiquement les points représentatifs de $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$, on place en abscisse les indices des termes (ici 1, 2, 3, 4) et en ordonnée les valeurs des termes correspondants.

Les points à marquer sur un graphique sont donc :

$(1 ; v_1) = (1 ; 2,8)$

$(2 ; v_2) = (2 ; 2,4)$

$(3 ; v_3) = (3 ; 2,0)$

$(4 ; v_4) = (4 ; 1,6)$

Vous pouvez dessiner un repère orthogonal, placer l'axe des abscisses pour les indices (de 1 à 4) et l'axe des ordonnées pour les valeurs des termes (de 1,6 à 2,8). Puis, placez les points calculés. Vous observerez que ces points sont alignés car il s'agit d'une suite arithmétique.

Correction :

On nous donne une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = -3$ et de raison $r = 2$.

1. Calcul des premiers termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ :

Pour $u_1$ : $u_1 = u_0 + r = -3 + 2 = -1$.

Pour $u_2$ : $u_2 = u_1 + r = -1 + 2 = 1$.

Pour $u_3$ : $u_3 = u_2 + r = 1 + 2 = 3$.

Donc, $u_1 = -1$, $u_2 = 1$ et $u_3 = 3$.

2. Relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$ :

Par définition d'une suite arithmétique, la relation de récurrence est :

$$u_{n+1} = u_n + r$$

Ici, avec $r=2$, la relation est :

$$u_{n+1} = u_n + 2$$

3. Calcul de termes à l'aide de la calculatrice :

a. Déterminer le treizième terme : Le treizième terme est $u_{12}$ car la suite commence à l'indice $0$. On utilise la formule du terme général : $u_n = u_0 + n \times r$.

Pour $n = 12$, $u_{12} = u_0 + 12 \times r = -3 + 12 \times 2 = -3 + 24 = 21$.

Donc, le treizième terme $u_{12} = 21$.

b. Déterminer $u_{24}$ : On utilise la formule du terme général avec $n = 24$ :

$$u_{24} = u_0 + 24 \times r = -3 + 24 \times 2 = -3 + 48 = 45$$

Donc, $u_{24} = 45$.

Pour vérifier avec la calculatrice, vous pouvez utiliser le mode "suite" ou programmer une boucle qui calcule les termes successifs en ajoutant la raison à chaque étape.

Correction :

On étudie l'évolution des étrennes d'Anne au fil des années. On sait qu'en 2013 ($n=0$), elle reçoit $a_0 = 80$ € et que chaque année, ses étrennes augmentent de 6 €.

1. Valeurs de $a_1$ et $a_2$ :

$a_1$ est le montant des étrennes en $2013+1 = 2014$. L'augmentation étant de 6 €, $a_1 = a_0 + 6 = 80 + 6 = 86$ €.

$a_2$ est le montant des étrennes en $2013+2 = 2015$. De même, $a_2 = a_1 + 6 = 86 + 6 = 92$ €.

Donc, en 2014, Anne reçoit 86 € et en 2015, 92 €.

2. Expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et nature de la suite $(a_n)$ :

Puisque chaque année les étrennes augmentent de 6 €, on passe du montant de l'année $n$ à l'année suivante $n+1$ en ajoutant 6. Ainsi, la relation de récurrence est :

$$a_{n+1} = a_n + 6$$

Cette relation montre que la suite $(a_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 6$ et de premier terme $a_0 = 80$.

3. Montant des étrennes en 2017 :

L'année 2017 correspond à $2013 + n = 2017$, donc $n = 2017 - 2013 = 4$. On cherche donc à calculer $a_4$.

On utilise la formule du terme général : $a_n = a_0 + n \times r$.

Pour $n = 4$, $a_4 = a_0 + 4 \times r = 80 + 4 \times 6 = 80 + 24 = 104$ €.

En 2017, le montant des étrennes d'Anne sera de 104 €.

4. Calculs à l'aide de la calculatrice :

a. Montant des étrennes en 2021 : L'année 2021 correspond à $2013 + n = 2021$, donc $n = 2021 - 2013 = 8$. On cherche $a_8$.

$$a_8 = a_0 + 8 \times r = 80 + 8 \times 6 = 80 + 48 = 128$$

En 2021, le montant des étrennes sera de 128 €.

b. Année où les étrennes dépassent 160 € : On cherche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $a_n \ge 160$. On a $a_n = 80 + 6n$. On doit résoudre l'inéquation :

$80 + 6n \ge 160$

$6n \ge 160 - 80$

$6n \ge 80$

$n \ge \frac{80}{6} = \frac{40}{3} \approx 13,33$.

Puisque $n$ doit être un entier, la plus petite valeur entière de $n$ qui satisfait cette condition est $n = 14$.

L'année correspondante est $2013 + 14 = 2027$.

En 2027, Anne percevra pour la première fois des étrennes supérieures ou égales à 160 €.

Vous pouvez vérifier en calculant $a_{13} = 80 + 6 \times 13 = 80 + 78 = 158$ (inférieur à 160) et $a_{14} = 80 + 6 \times 14 = 80 + 84 = 164$ (supérieur ou égal à 160).

Correction :

On analyse l'évolution du salaire de Chloé. Au 1er janvier 2010, son salaire initial est $a_0 = 1500$ €. À partir du deuxième mois, son salaire augmente de 7 € par mois.

1. Déterminer le salaire $a_1$ du deuxième mois :

$a_1$ est le salaire à la fin du deuxième mois (début mars). Puisqu'il y a une augmentation de 7 € à partir du deuxième mois, le salaire du deuxième mois est le salaire du premier mois plus 7 €.

Donc, $a_1 = a_0 + 7 = 1500 + 7 = 1507$ €.

2. Expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et nature de la suite $(a_n)$ :

L'augmentation mensuelle de 7 € à partir du deuxième mois signifie que pour passer du salaire du $(n+1)$-ième mois au salaire du $(n+2)$-ième mois (pour $n \ge 1$), on ajoute 7 €. La relation de récurrence pour $n \ge 0$ est donc :

$$a_{n+1} = a_n + 7$$

Cette relation montre que la suite $(a_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 7$ et de premier terme $a_0 = 1500$.

3. Calculs à l'aide de la calculatrice :

a. Déterminer le salaire du 7^ième mois : Le 7^ième mois correspond à $n = 6$ (car $a_n$ est le salaire à la fin du $(n+1)$-ième mois). On cherche $a_6$.

On utilise la formule du terme général : $a_n = a_0 + n \times r$.

Pour $n = 6$, $a_6 = a_0 + 6 \times r = 1500 + 6 \times 7 = 1500 + 42 = 1542$ €.

Le salaire du 7^ième mois est de 1542 €.

b. Rang du premier mois pour lequel le salaire dépasse 2 000 € : On cherche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $a_n > 2000$. On a $a_n = 1500 + 7n$. On doit résoudre l'inéquation :

$1500 + 7n > 2000$

$7n > 2000 - 1500$

$7n > 500$

$n > \frac{500}{7} \approx 71,43$.

Puisque $n$ doit être un entier, la plus petite valeur entière de $n$ qui satisfait cette condition est $n = 72$.

Le rang du premier mois pour lequel son salaire dépassera 2 000 € est $n = 72$. Cela correspond au $(n+1) = 73^{\text{ième}}$ mois.

Pour vérifier, on peut calculer $a_{71} = 1500 + 7 \times 71 = 1500 + 497 = 1997$ (inférieur à 2000) et $a_{72} = 1500 + 7 \times 72 = 1500 + 504 = 2004$ (supérieur à 2000).

Correction :

Pour déterminer si les premiers termes donnés sont ceux d'une suite arithmétique, nous devons vérifier si la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Calculons les différences successives :

Différence entre $u_1$ et $u_0$ : $u_1 - u_0 = 3 - 1,7 = 1,3$.

Différence entre $u_2$ et $u_1$ : $u_2 - u_1 = 4,3 - 3 = 1,3$.

Différence entre $u_3$ et $u_2$ : $u_3 - u_2 = 5,6 - 4,3 = 1,3$.

Différence entre $u_4$ et $u_3$ : $u_4 - u_3 = 7 - 5,6 = 1,4$.

On observe que les trois premières différences sont égales à $1,3$, mais la dernière différence est $1,4$. Puisque la différence entre les termes consécutifs n'est pas constante sur toute la série de termes donnés, on peut conclure que ces premiers termes ne sont pas ceux d'une suite arithmétique.

Si on avait considéré seulement les quatre premiers termes ($u_0, u_1, u_2, u_3$), on aurait pu croire à une suite arithmétique de raison $1,3$. Cependant, le cinquième terme $u_4=7$ ne confirme pas cette raison, puisque $u_3 + 1,3 = 5,6 + 1,3 = 6,9 \ne 7 = u_4$.

Conclusion : Les premiers termes donnés ne sont pas ceux d'une suite arithmétique.

Correction :

On étudie l'évolution du nombre d'auditeurs d'une radio. On sait que fin 2005, le nombre d'auditeurs était de 2 millions. On note $u_n$ le nombre d'auditeurs fin $(2005+n)$.

Le terme initial correspond à l'année 2005, donc pour $n=0$, $u_0$ est le nombre d'auditeurs fin 2005, soit $u_0 = 2 \text{ millions} = 2\,000\,000$.

L'énoncé précise que le nombre d'auditeurs augmente régulièrement de 10000 par an. Cela signifie que pour passer d'une année à l'année suivante, on ajoute toujours 10000 au nombre d'auditeurs.

Pour l'année $2005+n$, le nombre d'auditeurs est $u_n$. Pour l'année suivante $2005+(n+1)$, le nombre d'auditeurs sera $u_{n+1}$. L'augmentation annuelle de 10000 se traduit par la relation :

$$u_{n+1} = u_n + 10000$$

Cette relation est de la forme $u_{n+1} = u_n + r$, avec $r = 10000$. Par définition, une suite qui vérifie une telle relation est une suite arithmétique de raison $r = 10000$.

Le premier terme de la suite est $u_0 = 2\,000\,000$.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 10000$ et de premier terme $u_0 = 2\,000\,000$.