Exercices : Fonctions Polynômes de Degré 2 (STMG STI2D)

Correction :

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction de la forme $f(x) = ax^2$, nous devons examiner le signe du coefficient $a$. Le sommet de la parabole pour ces fonctions est toujours en $x=0$.

1. Fonction $f(x) = 7x^2$ :

Ici, $a = 7$, qui est positif ($a > 0$). Donc, la parabole est tournée vers le haut.

La fonction $f$ est donc :

- décroissante sur $]-\infty ; 0]$.

- croissante sur $[0 ; +\infty[$.

2. Fonction $g(x) = -5x^2$ :

Ici, $a = -5$, qui est négatif ($a < 0$). Donc, la parabole est tournée vers le bas.

La fonction $g$ est donc :

- croissante sur $]-\infty ; 0]$.

- décroissante sur $[0 ; +\infty[$.

3. Fonction $h(x) = 0.28x^2$ :

Ici, $a = 0.28$, qui est positif ($a > 0$). Donc, la parabole est tournée vers le haut.

La fonction $h$ est donc :

- décroissante sur $]-\infty ; 0]$.

- croissante sur $[0 ; +\infty[$.

En résumé : Le sens de variation dépend uniquement du signe du coefficient $a$ pour les fonctions de la forme $ax^2$.

Correction :

Nous savons que la fonction $h$ est définie par $h(x) = ax^2$. On nous donne également l'information que $h(2) = 6$. Notre objectif est de trouver la valeur de $a$.

Pour cela, nous allons utiliser l'information donnée : $h(2) = 6$. Remplaçons $x$ par $2$ dans l'expression de $h(x)$ :

$$h(2) = a \times (2)^2$$

$$h(2) = a \times 4$$

Nous savons que $h(2) = 6$, donc nous pouvons écrire l'équation :

$$4a = 6$$

Pour trouver $a$, nous devons diviser les deux côtés de l'équation par $4$ :

$$a = \dfrac{6}{4}$$

Nous pouvons simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun, qui est $2$ :

$$a = \dfrac{6 \div 2}{4 \div 2} = \dfrac{3}{2}$$

Donc, la valeur de $a$ est $\dfrac{3}{2}$ ou $1.5$.

Vérification : Si $a = \dfrac{3}{2}$, alors $h(x) = \dfrac{3}{2}x^2$. Calculons $h(2)$ :

$$h(2) = \dfrac{3}{2} \times (2)^2 = \dfrac{3}{2} \times 4 = \dfrac{12}{2} = 6$$

Cela correspond bien à l'information donnée, donc notre valeur de $a$ est correcte.

Conclusion : La valeur de $a$ est $\dfrac{3}{2}$.

Correction :

Pour chaque graphique, nous allons déterminer l'expression de la fonction polynôme de degré 2 de la forme $f(x) = ax^2$. Nous allons nous baser sur un point évident du graphique, autre que le sommet (qui est toujours à l'origine pour ces fonctions).

[Graphique 1] :

Ce graphique représente une parabole tournée vers le bas, donc nous savons que $a < 0$. On peut observer que le point (2 ; -2) appartient à la parabole. Cela signifie que lorsque $x=2$, $f(x) = -2$. Utilisons cette information :

$$f(2) = a \times (2)^2 = 4a$$

Puisque $f(2) = -2$, nous avons $4a = -2$, donc $a = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Donc, l'expression de la fonction pour le Graphique 1 est :

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2$$

[Graphique 2] :

Ce graphique représente une parabole tournée vers le haut, donc nous savons que $a > 0$. On peut observer que le point $(1 ; 2)$ appartient à la parabole. Cela signifie que lorsque $x=1$, $f(x) = 2$. Utilisons cette information :

$$f(1) = a \times (1)^2 = a$$

Puisque $f(1) = 2$, nous avons directement $a = 2$.

Donc, l'expression de la fonction pour le Graphique 2 est :

$$f(x) = 2x^2$$

[Graphique 3] :

Ce graphique représente une parabole tournée vers le bas, donc nous savons que $a < 0$. On peut observer que le point (1 ; -1) appartient à la parabole. Cela signifie que lorsque $x=1$, $f(x) = -1$. Utilisons cette information :

$$f(1) = a \times (1)^2 = a$$

Puisque $f(1) = -1$, nous avons directement $a = -1$.

Donc, l'expression de la fonction pour le Graphique 3 est :

$$f(x) = -x^2$$

En conclusion :

- Graphique 1 : $f(x) = -\frac{1}{2}x^2$

- Graphique 2 : $f(x) = 2x^2$

- Graphique 3 : $f(x) = -x^2$

Correction :

On nous donne un tableau de valeurs pour une fonction de la forme $f(x) = ax^2$. Pour déterminer la valeur de $a$, nous pouvons utiliser n'importe quel point du tableau, à l'exception du point $(0 ; 0)$ qui ne nous donnerait aucune information sur $a$.

Choisissons par exemple le point $(1 ; -1.25)$. Cela signifie que lorsque $x = 1$, $f(x) = -1.25$. Remplaçons ces valeurs dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(1) = a \times (1)^2$$

$$f(1) = a \times 1 = a$$

Puisque $f(1) = -1.25$, nous avons directement :

$$a = -1.25$$

Pour vérifier, utilisons un autre point du tableau, par exemple $(-2 ; -5)$. Si $a = -1.25$, alors :

$$f(-2) = -1.25 \times (-2)^2 = -1.25 \times 4 = -5$$

Cela correspond bien à la valeur donnée dans le tableau. Nous pouvons vérifier avec un dernier point, par exemple $(-4 ; -20)$ :

$$f(-4) = -1.25 \times (-4)^2 = -1.25 \times 16 = -20$$

Cela correspond également. La valeur de $a = -1.25$ est donc cohérente avec tous les points du tableau.

Conclusion : La valeur de $a$ est $-1.25$. On peut aussi écrire $a = -\dfrac{5}{4}$.

Correction :

Pour déterminer le sens de variation d'une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + b$, il faut encore une fois regarder le signe du coefficient $a$. L'ajout d'une constante $b$ provoque une translation verticale de la parabole, mais ne change pas son sens de variation.

1. Fonction $f(x) = -2x^2 + 3$ :

Ici, $a = -2$, qui est négatif ($a < 0$). La parabole est donc tournée vers le bas.

Le sommet de cette parabole est en $x = -\dfrac{0}{2 \times (-2)} = 0$.

La fonction $f$ est donc :

- croissante sur $]-\infty ; 0]$.

- décroissante sur $[0 ; +\infty[$.

2. Fonction $g(x) = -5x^2 - 3$ :

Ici, $a = -5$, qui est négatif ($a < 0$). La parabole est donc tournée vers le bas.

Le sommet de cette parabole est en $x = -\dfrac{0}{2 \times (-5)} = 0$.

La fonction $g$ est donc :

- croissante sur $]-\infty ; 0]$.

- décroissante sur $[0 ; +\infty[$.

3. Fonction $h(x) = 0.28x^2 + 2$ :

Ici, $a = 0.28$, qui est positif ($a > 0$). La parabole est donc tournée vers le haut.

Le sommet de cette parabole est en $x = -\dfrac{0}{2 \times 0.28} = 0$.

La fonction $h$ est donc :

- décroissante sur $]-\infty ; 0]$.

- croissante sur $[0 ; +\infty[$.

En résumé : Comme pour les fonctions de la forme $ax^2$, le sens de variation des fonctions de la forme $ax^2+b$ dépend uniquement du signe de $a$. La constante $b$ n'affecte pas le sens de variation.

Correction :

On a une fonction $f(t) = at^2 + b$ et deux informations : $f(-1) = -2$ et $f(2) = 3$. Nous voulons trouver la valeur de $a$. Remarquons que nous avons deux inconnues, $a$ et $b$, mais seulement deux équations. Cependant, l'énoncé nous demande seulement de déterminer $a$. Nous allons utiliser les deux informations pour créer un système d'équations.

Utilisons $f(-1) = -2$ :

$$f(-1) = a(-1)^2 + b = a \times 1 + b = a + b$$

Donc, nous avons la première équation :

$$a + b = -2 \quad (1)$$

Utilisons $f(2) = 3$ :

$$f(2) = a(2)^2 + b = a \times 4 + b = 4a + b$$

Donc, nous avons la deuxième équation :

$$4a + b = 3 \quad (2)$$

Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues :

$$\begin{cases} a + b = -2 \\ 4a + b = 3 \end{cases}$$

Pour résoudre ce système et trouver $a$, nous pouvons soustraire l'équation (1) de l'équation (2) pour éliminer $b$ :

$$(4a + b) - (a + b) = 3 - (-2)$$

$$4a + b - a - b = 3 + 2$$

$$3a = 5$$

Divisons par $3$ pour trouver $a$ :

$$a = \dfrac{5}{3}$$

Bien que la question ne le demande pas, nous pouvons aussi trouver $b$ en utilisant l'équation (1) :

$$a + b = -2$$

$$\dfrac{5}{3} + b = -2$$

$$b = -2 - \dfrac{5}{3} = -\dfrac{6}{3} - \dfrac{5}{3} = -\dfrac{11}{3}$$

Donc, $b = -\dfrac{11}{3}$.

La fonction est donc $f(t) = \dfrac{5}{3}t^2 - \dfrac{11}{3}$. Mais la question demandait seulement la valeur de $a$.

Conclusion : La valeur de $a$ est $\dfrac{5}{3}$.

Correction :

Pour déterminer l'expression de la fonction polynôme de degré 2 de la forme $f(x) = ax^2 + b$ à partir des graphiques, nous devons identifier le sommet de la parabole et un ou plusieurs autres points pour déterminer $a$ et $b$. Le sommet nous donnera directement la valeur de $b$ (l'ordonnée du sommet) si l'abscisse du sommet est $0$.

[Graphique 1 gauche] :

Ce graphique représente une parabole tournée vers le bas ($a < 0$). Le sommet de la parabole semble être au point $(0 ; 1)$. Donc, dans la forme $f(x) = ax^2 + b$, nous avons $b = 1$. Il nous reste à trouver $a$.

Observons un autre point sur le graphique. Le point $(1 ; 0)$ appartient à la parabole. Utilisons ce point pour trouver $a$ :

$$f(1) = a(1)^2 + 1 = a + 1$$

Puisque le point $(1 ; 0)$ est sur la parabole, nous avons $f(1) = 0$. Donc :

$$a + 1 = 0$$

$$a = -1$$

Donc, l'expression de la fonction pour le Graphique 4 est :

$$f(x) = -1x^2 + 1 = -x^2 + 1$$

[Graphique 2 droite] :

Ce graphique représente une parabole tournée vers le haut ($a > 0$). Le sommet de la parabole semble être au point $(0 ; 1)$. Donc, dans la forme $f(x) = ax^2 + b$, nous avons $b = 1$. Il nous reste à trouver $a$.

Observons un autre point sur le graphique. Le point $(2 ; 3)$ appartient à la parabole. Utilisons ce point pour trouver $a$ :

$$f(2) = a(2)^2 + 1 = 4a + 1$$

Puisque le point $(2 ; 3)$ est sur la parabole, nous avons $f(2) = 3$. Donc :

$$4a + 1 = 3$$

$$4a = 2$$

$$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Donc, l'expression de la fonction pour le Graphique 5 est :

$$f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$$

En conclusion :

- Graphique 1 : $f(x) = -x^2 + 1$

- Graphique 2 : $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$

Correction :

On nous donne un tableau de valeurs pour une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + b$. Nous devons déterminer les valeurs de $a$ et $b$. Nous pouvons utiliser deux points du tableau pour former un système de deux équations à deux inconnues.

Utilisons le point $(0 ; -2)$. Lorsque $x = 0$, $f(x) = -2$. En remplaçant dans l'expression de $f(x)$ :

$$f(0) = a(0)^2 + b = b$$

Puisque $f(0) = -2$, nous avons directement :

$$b = -2$$

Maintenant que nous connaissons $b$, nous pouvons utiliser un autre point du tableau pour trouver $a$. Utilisons par exemple le point $(1 ; 1)$. Lorsque $x = 1$, $f(x) = 1$. En remplaçant dans l'expression de $f(x)$ avec $b = -2$ :

$$f(1) = a(1)^2 + b = a \times 1 + (-2) = a - 2$$

Puisque $f(1) = 1$, nous avons :

$$a - 2 = 1$$

$$a = 1 + 2 = 3$$

Donc, nous avons trouvé $a = 3$ et $b = -2$. La fonction est donc $f(x) = 3x^2 - 2$.

Vérifions avec un autre point du tableau, par exemple $(-2 ; 10)$ :

$$f(-2) = 3(-2)^2 - 2 = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$$

Cela correspond bien à la valeur donnée dans le tableau. Vérifions avec un dernier point, par exemple $(-3 ; 25)$ :

$$f(-3) = 3(-3)^2 - 2 = 3 \times 9 - 2 = 27 - 2 = 25$$

Cela correspond aussi. Les valeurs $a = 3$ et $b = -2$ sont donc cohérentes avec le tableau.

Conclusion : La valeur de $a$ est $3$ et la valeur de $b$ est $-2$.

Correction :

On nous donne une fonction $f(x) = -3.6x^2$ et un vecteur de translation $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$. On veut trouver l'expression de la fonction $g$ obtenue en appliquant la translation de vecteur $\vec{u}$ à la courbe représentative de $f$.

Une translation de vecteur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ est une translation verticale de 4 unités vers le haut. Cela signifie que pour chaque point $(x ; y)$ sur la courbe de $f$, le point translaté sera $(x ; y+4)$.

Si $y = f(x) = -3.6x^2$, alors pour la fonction translatée $g$, l'ordonnée sera $y' = y + 4 = f(x) + 4$. Donc, l'expression de $g(x)$ est :

$$g(x) = f(x) + 4$$

En remplaçant $f(x)$ par son expression :

$$g(x) = -3.6x^2 + 4$$

Donc, la fonction $g$ est obtenue en ajoutant 4 à la fonction $f$. La translation verticale par le vecteur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$ transforme la fonction $f(x) = -3.6x^2$ en $g(x) = -3.6x^2 + 4$.

En général : Si on applique une translation de vecteur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$ à la courbe de $y = f(x)$, on obtient la courbe de $y = f(x) + k$.

Conclusion : L'expression de la fonction $g$ est $g(x) = -3.6x^2 + 4$.

Correction :

Les racines d'une fonction sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction s'annule, c'est-à-dire $f(x) = 0$. Lorsque la fonction est donnée sous forme factorisée $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$, les racines sont directement $x_1$ et $x_2$.

1. Fonction $f(x) = -2(x-3)(x-8)$ :

Pour que $f(x) = 0$, il faut que l'un des facteurs soit nul. Puisque $-2 \neq 0$, il faut que $(x-3) = 0$ ou $(x-8) = 0$.

- $x-3 = 0 \implies x = 3$

- $x-8 = 0 \implies x = 8$

Donc, les racines de $f(x)$ sont $3$ et $8$.

2. Fonction $g(x) = -5(x+5)(x-2,65)$ :

Pour que $g(x) = 0$, il faut que l'un des facteurs soit nul. Puisque $-5 \neq 0$, il faut que $(x+5) = 0$ ou $(x-2,65) = 0$.

- $x+5 = 0 \implies x = -5$

- $x-2,65 = 0 \implies x = 2,65$

Donc, les racines de $g(x)$ sont $-5$ et $2,65$.

3. Fonction $h(x) = 0.28(x+8,72)(x+7)$ :

Pour que $h(x) = 0$, il faut que l'un des facteurs soit nul. Puisque $0.28 \neq 0$, il faut que $(x+8,72) = 0$ ou $(x+7) = 0$.

- $x+8,72 = 0 \implies x = -8,72$

- $x+7 = 0 \implies x = -7$

Donc, les racines de $h(x)$ sont $-8,72$ et $-7$.

En résumé : Pour une fonction polynôme de degré 2 sous forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$, les racines sont $x_1$ et $x_2$.

Conclusion :

- Fonction $f$ : racines $3$ et $8$.

- Fonction $g$ : racines $-5$ et $2,65$.

- Fonction $h$ : racines $-8,72$ et $-7$.

Correction :

Une fonction polynôme de degré 2 qui admet une seule racine (racine double) $-2$ peut s'écrire sous la forme factorisée avec une racine double :

$$g(x) = a(x - (-2))^2 = a(x+2)^2$$

où $a$ est un coefficient non nul que nous devons déterminer. On nous donne l'information que $g(2) = 8$. Utilisons cette information pour trouver $a$ :

$$g(2) = a(2+2)^2 = a(4)^2 = 16a$$

Nous savons que $g(2) = 8$, donc :

$$16a = 8$$

Divisons par $16$ pour trouver $a$ :

$$a = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$$

Donc, $a = \dfrac{1}{2}$. L'expression de la fonction $g(x)$ est donc :

$$g(x) = \dfrac{1}{2}(x+2)^2$$

On peut aussi développer cette expression pour obtenir la forme développée :

$$g(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 2$$

La forme factorisée $g(x) = \dfrac{1}{2}(x+2)^2$ est souvent considérée comme l'expression la plus simple dans ce cas.

Vérification : La racine est bien $-2$ (racine double). Calculons $g(2)$ :

$$g(2) = \dfrac{1}{2}(2+2)^2 = \dfrac{1}{2}(4)^2 = \dfrac{1}{2} \times16 = 8$$

Cela correspond bien à l'information donnée.

Conclusion : L'expression de la fonction polynôme de degré 2 est $g(x) = \dfrac{1}{2}(x+2)^2$ ou $g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 2$.

Correction :

Pour déterminer le signe d'une fonction polynôme de degré 2 sous forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$, nous devons identifier les racines $x_1$ et $x_2$ et le signe du coefficient $a$. Ensuite, on peut utiliser un tableau de signes.

1. Fonction $f(x) = -3(x-5)(x-7)$ :

Les racines sont $x_1 = 5$ et $x_2 = 7$. Le coefficient $a = -3$ est négatif ($a < 0$). Puisque $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas, donc la fonction est positive entre les racines et négative à l'extérieur des racines.

Donc, $f(x) > 0$ sur $]5 ; 7[$, $f(x) < 0$ sur $]-\infty ; 5[ \cup ]7 ; +\infty[$, et $f(5) = f(7) = 0$.

2. Fonction $g(x) = -5(x+7)(x-3)$ :

Les racines sont $x_1 = -7$ et $x_2 = 3$. Le coefficient $a = -5$ est négatif ($a < 0$). Puisque $a < 0$, la fonction est positive entre les racines et négative à l'extérieur des racines.

Donc, $g(x) > 0$ sur $]-7 ; 3[$, $g(x) < 0$ sur $]-\infty ; -7[ \cup ]3 ; +\infty[$, et $g(-7) = g(3) = 0$.

3. Fonction $h(t) = 1,5(t+3)(t+7)$ :

Les racines sont $t_1 = -7$ et $t_2 = -3$. Le coefficient $a = 1,5$ est positif ($a > 0$). Puisque $a > 0$, la fonction est négative entre les racines et positive à l'extérieur des racines.

Donc, $h(t) > 0$ sur $]-\infty ; -7[ \cup ]-3 ; +\infty[$, $h(t) < 0$ sur $]-7 ; -3[$, et $h(-7) = h(-3) = 0$.

Conclusion : Le signe d'une fonction polynôme de degré 2 dépend du signe du coefficient dominant et de la position par rapport aux racines.

Correction :

Nous allons utiliser la formule de l'IMC : $IMC = \dfrac{\text{Masse}}{\text{Taille}^2}$.

1. Calcul de l'IMC :

Taille = $1,84$m, Masse = $65$kg.

$$IMC = \dfrac{65}{(1,84)^2} = \dfrac{65}{3,3856} \approx 19,20$$

L'IMC est environ $19,20$.

2. Calcul de la taille :

IMC = $23,5$, Masse = $64$kg. On cherche la Taille (T). La formule est $IMC = \dfrac{\text{Masse}}{\text{Taille}^2}$, donc $\text{Taille}^2 = \dfrac{\text{Masse}}{IMC}$.

$$\text{Taille}^2 = \dfrac{64}{23,5} \approx 2,7234$$

$$\text{Taille} = \sqrt{2,7234} \approx 1,65 \text{m}$$

La taille est environ $1,65$m.

3. Calcul du poids :

IMC = $18$, Taille = $1,73$m. On cherche la Masse (M). La formule est $IMC = \dfrac{\text{Masse}}{\text{Taille}^2}$, donc $\text{Masse} = IMC \times \text{Taille}^2$.

$$\text{Masse} = 18 \times (1,73)^2 = 18 \times 2,9929 = 53,8722 \approx 53,87 \text{kg}$$

Le poids est environ $53,87$kg.

4. Poids d'une personne en surpoids :

Surpoids si IMC $\ge 25$, Taille = $1,71$m. On cherche le poids minimal pour être en surpoids. On prend donc IMC $= 25$.

$$\text{Masse} = IMC \times \text{Taille}^2 = 25 \times (1,71)^2 = 25 \times 2,9241 = 73,1025 \approx 73,10 \text{kg}$$

Une personne en surpoids mesurant $1,71$m pèse au minimum environ $73,10$kg.

Conclusion :

- 1. L'IMC est environ $19,20$.

- 2. La taille est environ $1,65$m.

- 3. Le poids est environ $53,87$kg.

- 4. Une personne en surpoids mesurant $1,71$m pèse au minimum environ $73,10$kg.

Correction :

On étudie la fonction $g(t) = 0,0056t^2 - 6,1517t + 4389$ sur l'intervalle $[330 ; 480]$.

1. Résolution de l'équation $0,0056t^2 - 6,1517t + 4389 = 4389$ :

Soustraire $4389$ des deux côtés :

$$0,0056t^2 - 6,1517t = 0$$

Factoriser $t$ :

$$t(0,0056t - 6,1517) = 0$$

Cela donne deux solutions : $t = 0$ ou $0,0056t - 6,1517 = 0$.

Pour la deuxième équation :

$$0,0056t = 6,1517$$

$$t = \dfrac{6,1517}{0,0056} \approx 1098,52$$

Les solutions sont $t = 0$ et $t \approx 1098,52$.

2. Axe de symétrie :

L'axe de symétrie d'une parabole $g(t) = at^2 + bt + c$ est donné par $t = -\dfrac{b}{2a}$. Ici, $a = 0,0056$ et $b = -6,1517$.

$$t = -\dfrac{-6,1517}{2 \times 0,0056} = \dfrac{6,1517}{0,0112} \approx 549,26$$

L'axe de symétrie est environ $t = 549,26$.

3. Tableau de variation :

Puisque $a = 0,0056 > 0$, la parabole est tournée vers le haut. La fonction est décroissante avant l'axe de symétrie et croissante après.

Le sommet est à $t \approx 549,26$. Sur l'intervalle $[330 ; 480]$, qui est avant le sommet, la fonction est décroissante.

4. Évolution et nombre de levures après 8 heures :

Sur l'intervalle $[330 ; 480]$, la fonction $g(t)$ est décroissante, donc le nombre de levures diminue.

8 heures correspondent à $8 \times 60 = 480$ minutes. Calculons $g(480)$ :

$$g(480) = 0,0056(480)^2 - 6,1517(480) + 4389$$

$$g(480) = 0,0056 \times 230400 - 2952,816 + 4389$$

$$g(480) = 1290,24 - 2952,816 + 4389 = 2726,424 \approx 2726$$

Au bout de 8 heures (480 minutes), le nombre de levures est environ $2726$.

Conclusion :

- 1. Solutions de l'équation : $t=0$ et $t \approx 1098,52$.

- 2. Axe de symétrie : $t \approx 549,26$.

- 3. Sur $[330 ; 480]$, la fonction est décroissante.

- 4. Le nombre de levures diminue sur $[330 ; 480]$. Au bout de 8 heures, il y a environ $2726$ levures.

Correction :

On étudie la fonction $f(x) = -0,8x^2 + 19,2x + 468$ sur l'intervalle $[0 ; 39]$.

1. Vérification de la forme factorisée et racines :

Développons la forme factorisée donnée : $f(x) = -0,8(x-39)(x+15)$.

$$f(x) = -0,8(x^2 + 15x - 39x - 39 \times 15)$$

$$f(x) = -0,8(x^2 - 24x - 585)$$

$$f(x) = -0,8x^2 + 19,2x + 468$$

Ceci correspond bien à la forme développée donnée dans l'énoncé. Donc, $f(x) = -0,8(x-39)(x+15)$ est la forme factorisée correcte.

Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur :

- $x - 39 = 0 \implies x = 39$

- $x + 15 = 0 \implies x = -15$

Les racines sont $x_1 = -15$ et $x_2 = 39$.

2. Sens de variation et tableau de variation :

Le coefficient de $x^2$ est $a = -0,8$, qui est négatif ($a < 0$). Donc, la parabole est tournée vers le bas. La fonction est croissante puis décroissante. L'axe de symétrie est au milieu des racines : $x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-15 + 39}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$.

Le sommet est en $x = 12$. Calculons $f(12)$ :

$$f(12) = -0,8(12)^2 + 19,2(12) + 468$$

$$f(12) = -0,8 \times 144 + 230,4 + 468$$

$$f(12) = -115,2 + 230,4 + 468 = 583,2$$

3. Engagement de la France en 2030 :

L'année 2030 correspond à $x = 2030 - 1995 = 35$ années écoulées depuis 1995. Calculons $f(35)$ :

$$f(35) = -0,8(35)^2 + 19,2(35) + 468$$

$$f(35) = -0,8 \times 1225 + 672 + 468$$

$$f(35) = -980 + 672 + 468 = 160$$

En 2030, selon ce modèle, les émissions seraient de $160$ Mt eq $CO_2$.

Réduction de $40\%$ par rapport à $1995$ (468 Mt eq $CO_2$) : $40\%$ de $468 = 0,40 \times 468 = 187,2$ Mt eq $CO_2$.

Objectif en 2030 : $468 - 187,2 = 280,8$ Mt eq $CO_2$.

Puisque $160 < 280,8$, les émissions modélisées en 2030 ($160$ Mt eq $CO_2$) sont inférieures à l'objectif de réduction ($280,8$ Mt eq $CO_2$).

Conclusion : D'après ce modèle, l'engagement de la France sera tenu en 2030.

Conclusion générale :

- 1. Forme factorisée vérifiée, racines $x_1 = -15$ et $x_2 = 39$.

- 2. Fonction croissante sur $[0 ; 12]$ et décroissante sur $[12 ; 39]$. Tableau de variation donné ci-dessus.

- 3. L'engagement de la France sera tenu en 2030 selon ce modèle.

Correction :

On étudie la fonction $h(x) = 2(x+3)(x-5)$.

1. Détermination des racines :

La fonction est donnée sous forme factorisée. Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur :

- $x+3 = 0 \implies x = -3$

- $x-5 = 0 \implies x = 5$

Les racines sont $-3$ et $5$.

2. Tableau de signes de $h(x)$ :

Le coefficient $a = 2$ est positif ($a > 0$), donc la parabole est tournée vers le haut. La fonction est négative entre les racines et positive à l'extérieur des racines.

3. Résolution de l'inéquation $h(x) \leq 0$ :

Graphiquement : L'inéquation $h(x) \leq 0$ correspond aux valeurs de $x$ pour lesquelles la parabole est en dessous ou sur l'axe des abscisses. D'après le tableau de signes, $h(x) \leq 0$ sur l'intervalle $[-3 ; 5]$.

Algébriquement : D'après le tableau de signes, $h(x) \leq 0$ lorsque $x$ est entre les racines $-3$ et $5$, inclus. Donc, l'ensemble des solutions est l'intervalle $[-3 ; 5]$.

Conclusion :

1. Les racines de $h$ sont $-3$ et $5$.

2. Tableau de signes établi ci-dessus.

3. L'ensemble des solutions de $h(x) \leq 0$ est $[-3 ; 5]$.

Correction :

On a le coût de production $C(x) = 0,1x^2 + 10x + 5000$ et le prix de vente unitaire de $60$ euros.

1. Expression de la recette $R(x)$ :

La recette est obtenue en multipliant le prix de vente d'une montre par le nombre de montres vendues $x$. Ainsi :

$$R(x) = 60 \times x = 60x$$

2. Expression du bénéfice $B(x)$ :

Le bénéfice $B(x)$ est la différence entre la recette $R(x)$ et le coût de production $C(x)$ :

$$B(x) = R(x) - C(x)$$

$$B(x) = 60x - (0,1x^2 + 10x + 5000)$$

$$B(x) = 60x - 0,1x^2 - 10x - 5000$$

$$B(x) = -0,1x^2 + 50x - 5000$$

3. Nombre de montres pour un bénéfice maximal :

La fonction bénéfice $B(x) = -0,1x^2 + 50x - 5000$ est un polynôme du second degré de la forme $ax^2 + bx + c$, avec $a = -0,1$, $b = 50$ et $c = -5000$. Comme $a = -0,1 < 0$, la parabole représentant cette fonction est orientée vers le bas, ce qui signifie que le bénéfice admet un maximum. L'abscisse du sommet de cette parabole, qui donne la valeur de $x$ maximisant le bénéfice, est donnée par la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

Appliquons cette formule avec $a = -0,1$ et $b = 50$ :

$$\alpha = -\dfrac{50}{2 \times (-0,1)} = -\dfrac{50}{-0,2} = \dfrac{50}{0,2} = \dfrac{500}{2} = 250$$

Pour maximiser son bénéfice, l'entreprise doit donc vendre $250$ montres.

4. Calcul du bénéfice maximal :

On calcule le bénéfice maximal en évaluant $B(x)$ pour $x = 250$ :

$$B(250) = -0,1(250)^2 + 50(250) - 5000$$

$$B(250) = -0,1 \times 62500 + 12500 - 5000$$

$$B(250) = -6250 + 12500 - 5000 = 12500 - 11250 = 1250$$

Le bénéfice maximal est de $1250$ euros.

Conclusion :

1. $R(x) = 60x$

2. $B(x) = -0,1x^2 + 50x - 5000$

3. Pour maximiser son bénéfice, l'entreprise doit vendre $250$ montres.

4. Le bénéfice maximal est de $1250$ euros.