Exercices : Probabilités Conditionnelles

Correction :

Tableau des totaux :

1. Probabilité de paiement par carte : Nombre de paiements par carte / Total clients = 56 / 80 = 0,7.

2. Probabilité d'achat d'ordinateur : Nombre d'achats d'ordinateurs / Total clients = 6 / 80 = 0,075.

3. Probabilité d'achat logiciel et paiement en espèces : Nombre d'achats logiciels et espèces / Total clients = 12 / 80 = 0,15.

4. Probabilité de paiement par carte sachant achat impression : Nombre de paiements carte et impression / Nombre total d'achats impression = 36 / 48 = 0,75.

5. Probabilité d'achat impression sachant paiement par carte : Nombre d'achats impression et paiement carte / Nombre total de paiements carte = 36 / 56 = 9/14 ≈ 0,643.

Correction :

Tableau des totaux :

1. P(C) = Nombre d'élèves avec activité culturelle / Total élèves = 993 / 1500 = 0,662.

2. $P_{C}(S)$ = Nombre d'élèves avec activité sportive et culturelle / Nombre d'élèves avec activité culturelle = 402 / 993 ≈ 0,405.

3. $P(\overline{C} \cap S)$ = Nombre d'élèves sans activité culturelle et avec activité sportive / Total élèves = 315 / 1500 = 0,21.

Correction :

1. Calculer $P(A \cap B)$

$$P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B) = 0,8 \times 0,45 = 0,36$$.

2. Calculer $P(\overline{A} \cap B)$

$P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$. Donc $P(\overline{A} \cap B) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$.

3. Recopier et compléter le tableau suivant :

Tableau complété :

Correction :

1. Déterminer $P(B)$, $P_{B}(A)$ et $P_{B}(\overline{A})$.

Directement de l'énoncé : $P(B) = 0,40$, $P_{B}(A) = 0,54$.

$P_{B}(\overline{A}) = 1 - P_{B}(A) = 1 - 0,54 = 0,46$.

2. Calculer $P(A \cap B)$, $P(\overline{A} \cap B)$ et $P(A)$.

$$P(A \cap B) = P(B) \times P_{B}(A) = 0,40 \times 0,54 = 0,216$$.

$$P(\overline{A} \cap B) = P(B) \times P_{B}(\overline{A}) = 0,40 \times 0,46 = 0,184$$.

Pour P(A), on sait que $$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$$. Il manque $P(A \cap \overline{B})$.

On sait que parmi les non-résidents ($\overline{B}$), 50% ont moins de 18 ans ($\overline{A}$). Donc $P_{\overline{B}}(\overline{A}) = 0,50$.

Alors $P_{\overline{B}}(A) = 1 - P_{\overline{B}}(\overline{A}) = 1 - 0,50 = 0,50$.

$P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) \times P_{\overline{B}}(A)$. $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,40 = 0,60$.

$$P(A \cap \overline{B}) = 0,60 \times 0,50 = 0,30$$.

$$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = 0,216 + 0,30 = 0,516$$.

Correction :

Tableau des effectifs complété :

1. Donner le tableau des fréquences marginales

Tableau des fréquences marginales :

2. Compléter le tableau ci dessous (tableau des fréquences conditionnelles par lignes), en donnant le calcul effectué pour la case grisée. Expliquer à quoi correspond le pourcentage de cette case.

Tableau des fréquences conditionnelles par lignes :

3. a) De la même façon construire le tableau des fréquence conditionnelles par colonnes.

Tableau des fréquences conditionnelles par colonnes :

3. b) En déduire le pourcentage de personnes ayant entre 30 et 60 ans parmi celles qui ont effectué exactement deux téléchargements.

On regarde la colonne "2" du tableau des fréquences conditionnelles par colonnes. Pour la ligne "[30;60[", la fréquence est 3/18 = 16,67%.

Correction :

1. Interpréter à l'aide de probabilités les phrases suivantes :

a) "52% des élèves sont des garçons" signifie que la probabilité de choisir un garçon est de 0,52. Donc, $P(G) = 0,52$.

b) "40% des élèves sont en Terminale" signifie que la probabilité de choisir un élève en Terminale est de 0,40. Donc, $P(T) = 0,40$.

c) "27% des filles sont en Terminale" signifie que la probabilité de choisir un élève en Terminale sachant que c'est une fille est de 0,27. Donc, $P_{F}(T) = 0,27$.

d) "25% des garçons sont en Terminale" signifie que la probabilité de choisir un élève en Terminale sachant que c'est un garçon est de 0,25. Donc, $P_{G}(T) = 0,25$.

2. Reproduire et compléter le tableau ci-contre.

Tableau complété :

3. Calculer $P_{F}(T)$ et $P_{T}(F)$.

$P_{F}(T) = 0,27$ (donné). $$P_{T}(F) = \frac{P(F \cap T)}{P(T)} = \frac{0,130}{0,260} = 0,5$$. (Note: avec les données exactes du tableau non arrondi, $$P_T(F) = \frac{0.1296}{0.2596} \approx 0.4992 \approx 0.5$$).

Correction :

Note : Les réponses numériques dépendent du fichier "liste-des-maires.csv" qui doit être téléchargé et analysé avec un tableur. Les valeurs ci-dessous sont des exemples et doivent être remplacées par les valeurs obtenues avec le fichier actuel.

1. Probabilité que ce soit un homme.

P(Homme) = Nombre de maires hommes / Total maires ≈ 0,819 (estimation).

2. Probabilité que ce soit un maire de Savoie ?

P(Maire de Savoie) = Nombre de maires de Savoie / Total maires ≈ 0,0079 (estimation).

3. Probabilité qu'il s'appelle Dominique et que ce soit un homme ?

P(Dominique et Homme) = Nombre de maires hommes Dominique / Total maires ≈ 0,0041 (estimation).

4. Tableaux à compléter et analyser (basés sur les données fictives) :
a) Tableau d'effectifs (fictif) :

b) Tableau des fréquences marginales (fictif) :

c) Tableaux des fréquences conditionnelles (fictifs) : (voir réponse précédente pour exemples de tableaux conditionnels).
d) Conclusion d'étude (exemple basée sur données fictives) : (voir réponse précédente pour exemple de conclusion).

Correction :

1. Tableau complété :

2. Calculer $P(F)$ et $P(E)$.

$$P(F) = 60/100 = 0,6$$. $$P(E) = 25/100 = 0,25$$.

3. Décrire l'événement $E \cap F$ puis déterminer $P(E \cap F)$.

$E \cap F$ : "livre essai et poche". $$P(E \cap F) = 5/100 = 0,05$$.

4. Décrire l'événement $\overline{E}$ puis déterminer $P(\overline{E})$.

$\overline{E}$ : "livre n'est pas un essai", donc "roman ou poésie". $$P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,25 = 0,75$$.

5. Calculer $P_{F}(E)$ et interpréter le résultat par une phrase.

$$P_{F}(E) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{0,05}{0,6} = \frac{1}{12} \approx 0,0833$$. Sachant que le livre est poche, probabilité que ce soit un essai est environ 0,0833.

6. Traduire à l'aide d'une probabilité la phrase "20% des essais sont au format de poche".

"20% des essais sont poche" se traduit par $P_{E}(F) = 0,20$.

Correction :

1. Déterminer, à partir de l'énoncé, $P(M)$ et $P_{M}(S)$.

Directement de l'énoncé : $P(M) = 0,09$, $P_{M}(S) = 0,45$.

2. Montrer que $P(S)=0,59$

Calcul de $P(S)$. On sait :

$P(M) = 0,09$ donc $$P(\overline{M}) = 1 - 0,09 = 0,91$$.

$P_{M}(S) = 0,45$.

$P_{\overline{M}}(S) = 0,60$.

Clients malades pratiquant sport : $0,09 \times 0,45 = 0,0405$. Clients non malades pratiquant sport : $0,91 \times 0,60 = 0,546$. $$P(S) = 0,0405 + 0,546 = 0,5865 \approx 0,59$$.

3. Sachant que la personne choisie pratique une activité physique régulière, quelle est la probabilité qu'elle soit atteinte d'une maladie cardio-vasculaire?

Probabilité d'être malade sachant activité sportive régulière : $$P_{S}(M) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{0,0405}{0,5865} \approx 0,07$$.

4. Montrer que $P_{\overline{S}}(M)=0,12$.

Calcul de $P_{\overline{S}}(M)$. On a $$P_{M}(\overline{S}) = 1 - P_{M}(S) = 1 - 0,45 = 0,55$$.

$$P(M \cap \overline{S}) = P(M) \times P_{M}(\overline{S}) = 0,09 \times 0,55 = 0,0495$$.

$$P(\overline{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0,5865 = 0,4135$$.

$$P_{\overline{S}}(M) = \frac{P(M \cap \overline{S})}{P(\overline{S})} = \frac{0,0495}{0,4135} \approx 0,12$$.

5. Que pensez-vous de l'affirmation : "Une activité physique régulière fait baisser de plus de 30% la probabilité d'être atteint d'une maladie cardio-vasculaire."

Comparaison des probabilités d'être malade avec ou sans sport.

$P_{\overline{S}}(M) \approx 0,12$ (probabilité d'être malade sans sport).

$P_{S}(M) \approx 0,07$ (probabilité d'être malade avec sport).

Baisse de probabilité : $$0,12 - 0,07 = 0,05$$.

Baisse relative : $$\frac{0,12 - 0,07}{0,12} = \frac{0,05}{0,12} \approx 0,4167 \approx 41,67\%$$

Affirmation "activité physique régulière fait baisser de plus de 30%" est vraie, car la baisse est d'environ 41,67%, ce qui est supérieur à 30%.