Exercices : Nombres dérivés et équation de tangente

Correction :

1. Calcul du taux de variation de $f$ au point d'abscisse $2$.

Le taux de variation de $f$ en $2$ est donné par $T(h) = \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$.

Calculons $f(2+h)$ et $f(2)$ :

$f(2) = 2^2 = 4$

$f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$

Donc, $T(h) = \dfrac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = \dfrac{h(4 + h)}{h} = 4 + h$ pour $h \neq 0$.

Le taux de variation de $f$ au point d'abscisse $2$ est $4+h$.

Le nombre dérivé de $f$ en $2$ est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $4+h$ se rapproche de $4$.

Donc, le nombre dérivé de $f$ en $2$ est $f'(2) = 4$.

Correction :

Calcul du taux de variation de $f$ au point d'abscisse $-2$.

Le taux de variation de $f$ en $-2$ est donné par $T(h) = \dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$.

Calculons $f(-2+h)$ et $f(-2)$ :

$f(-2) = (-2+1)^2 = (-1)^2 = 1$

$f(-2+h) = (-2+h+1)^2 = (h-1)^2 = h^2 - 2h + 1$

Donc, $T(h) = \dfrac{(h^2 - 2h + 1) - 1}{h} = \dfrac{h^2 - 2h}{h} = \dfrac{h(h - 2)}{h} = h - 2$ pour $h \neq 0$.

Le taux de variation de $f$ au point d'abscisse $-2$ est $h-2$.

Le nombre dérivé $f'(-2)$ est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $h-2$ se rapproche de $-2$.

Donc, $f'(-2) = -2$.

Correction :

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ la fonction inverse.

Calcul du taux de variation de $f$ au point d'abscisse $1$.

Le taux de variation de $f$ en $1$ est donné par $T(h) = \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.

Calculons $f(1+h)$ et $f(1)$ :

$f(1) = \dfrac{1}{1} = 1$

$f(1+h) = \dfrac{1}{1+h}$

Donc, $T(h) = \dfrac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} = \dfrac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h} = \dfrac{\frac{-h}{1+h}}{h} = \dfrac{-h}{h(1+h)} = \dfrac{-1}{1+h}$ pour $h \neq 0$.

Le taux de variation de la fonction inverse au point $1$ est $\dfrac{-1}{1+h}$.

Le nombre dérivé de la fonction inverse en $1$ est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $\dfrac{-1}{1+h}$ se rapproche de $\dfrac{-1}{1+0} = -1$.

Donc, le nombre dérivé de la fonction inverse au point $1$ est $f'(1) = -1$.

Correction :

On nous donne directement l'expression du taux de variation de $g$ au point d'abscisse $-2$ :

$$T(h) = \dfrac{g(-2+h)-g(-2)}{h} = -5+h$$

Le nombre dérivé $g'(-2)$ est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $-5+h$ se rapproche de $-5$.

Donc, $g'(-2) = -5$.

Correction :

On nous donne directement l'expression du taux de variation de $f$ au point d'abscisse $1$ :

$$T(h) = \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = h^2+2h+2$$

Le nombre dérivé $f'(1)$ est la valeur vers laquelle se rapproche le taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $h^2+2h+2$ se rapproche de $0^2+2 \times 0 + 2 = 2$.

Donc, $f'(1) = 2$.

Correction :

1. Expression du taux de variation en fonction de $h$ entre $3$ et $3+h$.

Le taux de variation est $T(h) = \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$.

Calculons $f(3+h)$ et $f(3)$ :

$f(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$f(3+h) = (3+h)^2 + 1 = (9 + 6h + h^2) + 1 = h^2 + 6h + 10$

Donc, $T(h) = \dfrac{(h^2 + 6h + 10) - 10}{h} = \dfrac{h^2 + 6h}{h} = \dfrac{h(h + 6)}{h} = h + 6$ pour $h \neq 0$.

Le taux de variation est $T(h) = h+6$.

Pour montrer que $f$ est dérivable en $3$, nous devons regarder ce qui arrive au taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $h+6$ se rapproche de $6$. On obtient une valeur précise.

Donc, $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3) = 6$.

Calculons le taux de variation entre $-2$ et $-2+h$ : $T(h) = \dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$.

Calculons $f(-2+h)$ et $f(-2)$ :

$f(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$f(-2+h) = (-2+h)^2 + 1 = (4 - 4h + h^2) + 1 = h^2 - 4h + 5$

Donc, $T(h) = \dfrac{(h^2 - 4h + 5) - 5}{h} = \dfrac{h^2 - 4h}{h} = \dfrac{h(h - 4)}{h} = h - 4$ pour $h \neq 0$.

Le taux de variation est $T(h) = h-4$.

Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $h-4$ se rapproche de $-4$. On obtient une valeur précise.

Donc, $f$ est dérivable en $-2$ et $f'(-2) = -4$.

Correction :

1. Calcul du taux de variation de $f$ en $1$.

Le taux de variation est $T(h) = \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h} = \dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}$.

Pour vérifier l'égalité, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h}$ par le conjugué du numérateur, qui est $\sqrt{1+h}+1$ :

$$\dfrac{\sqrt{1+h}-1}{h} = \dfrac{(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)}{h(\sqrt{1+h}+1)} = \dfrac{(\sqrt{1+h})^2 - 1^2}{h(\sqrt{1+h}+1)} = \dfrac{(1+h) - 1}{h(\sqrt{1+h}+1)} = \dfrac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} = \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}$$

L'égalité est bien vérifiée pour $h \neq 0$ et $h > -1$ (pour que $\sqrt{1+h}$ soit défini).

Nous utilisons l'expression simplifiée du taux de variation : $T(h) = \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}$.

Pour vérifier la dérivabilité en $1$, on regarde ce qui arrive au taux de variation quand $h$ se fait de plus en plus petit. Ici, quand $h$ se rapproche de $0$, $\dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}$ se rapproche de $\dfrac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \dfrac{1}{2}$. On obtient une valeur précise.

Donc, $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = \dfrac{1}{2}$.

On calcule le taux de variation de $f$ en $0$ : $T(h) = \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = \dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$ pour $h > 0$.

Quand $h$ se rapproche de $0$ (en restant positif car on est sur $[0;+\infty[$), $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$, et donc $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient de plus en plus grand, sans se rapprocher d'une valeur précise.

Le taux de variation en $0$ ne se rapproche pas d'un nombre précis. On en déduit que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$. Graphiquement, cela signifie que la courbe de $f$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $0$.

Correction :

1. Lecture graphique du coefficient directeur de $T_A$.

Le point $A$ a pour coordonnées approximativement $(-2; 3)$. La tangente $T_A$ passe par le point $A(-2; 3)$.

Pour lire le coefficient directeur, on cherche un autre point sur la tangente qui a des coordonnées faciles à lire. On peut observer que la tangente passe approximativement par le point $(-1; 0)$.

Prenons les points $A(-2; 3)$ et $(-1; 0)$. Lorsque l'on se déplace de $-2$ à $-1$ en abscisse (augmentation de $1$), l'ordonnée passe de $3$ à $0$ (diminution de $3$).

Le coefficient directeur de $T_A$ est donc $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{0 - 3}{-1 - (-2)} = \dfrac{-3}{1} = -3$.

Graphiquement, le coefficient directeur de $T_A$ est $-3$.

Le coefficient directeur de la tangente $T_A$ au point $A$ d'abscisse $-2$ est égal au nombre dérivé $f'(-2)$.

Donc, $f'(-2) = -3$.

Correction :

Pour le Cas 1, le point $A$ a pour abscisse $a=2$. La tangente $T_A$ passe par le point $A$ et un autre point $B$.

Lecture des coordonnées de $A$ et $B$ : $A(2; -3)$, et $B(3; 0)$.

Le coefficient directeur de la tangente $T_A$ est $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{0 - (-3)}{3 - 2} = \dfrac{3}{1} = 3$.

Graphiquement, $f'(2) = 3$.

Correction :

Pour le Cas 2, le point $A$ a pour abscisse $a=1$. La tangente $T_A$ passe par le point $A$ et un autre point sur la tangente. Prenons le point $(2; -3,5)$ comme point $B$.

Lecture des coordonnées de $A$ et $B$ : $A(1; -3.5)$, et $B(2; -3,5)$.

Le coefficient directeur de la tangente $T_A$ est $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-3,5 - (-3.5)}{2 - 1} = \dfrac{0}{1} = 0$.

Graphiquement, $f'(1) = 0$.

Correction :

Pour le Cas 3, le point $A$ a pour abscisse $a=0$. La tangente $T_A$ passe par le point $A$ et un autre point $B$.

Lecture des coordonnées de $A$ et $B$ : $A(0; -3)$, et $B(-1; 1)$.

Le coefficient directeur de la tangente $T_A$ est $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{1 - (-3)}{-1 - 0} = \dfrac{4}{-1} = -4$.

Graphiquement, $f'(0) = -4$.

Correction :

Pour tracer les tangentes, nous avons besoin des points de tangence et des coefficients directeurs.

Point de tangence pour l'abscisse $2$: Sur le graphique, pour $x=2$, $y \approx 1$. Appelons ce point $A(2; 1)$. Le coefficient directeur de la tangente en $A$ est $f'(2) = -1$.

Équation de la tangente en $A$: $y - y_A = f'(2)(x - x_A) \Rightarrow y - 1 = -1(x - 2) \Rightarrow y = -x + 3$.

Pour tracer cette droite, on peut prendre deux points : si $x = 2$, $y = 1$ (point $A$), si $x = 3$, $y = 0$. On trace la droite passant par $(2; 1)$ et $(3; 0)$.

Équation de la tangente en $B$: $y - y_B = f'(0)(x - x_B) \Rightarrow y - 0 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x$.

Pour tracer cette droite, on peut prendre deux points : si $x = 0$, $y = 0$ (point $B$), si $x = 1$, $y = 2$. On trace la droite passant par $(0; 0)$ et $(1; 2)$.

Il faut tracer ces deux droites sur le graphique fourni.

Note: La correction graphique ne peut être fournie ici en HTML. Il faut tracer les droites sur le graphique original. La tangente en $x=2$ (point approximatif (2,1)) a une pente de -1 et la tangente en $x=0$ (point approximatif (0,0)) a une pente de 2.

Correction :

Calcul de $f(3)$.

$f(x) = x^2 – 4x + 6$

$f(3) = 3^2 – 4 \times 3 + 6 = 9 – 12 + 6 = 3$.

Dérivée de $f(x) = x^2 – 4x + 6$ :

$$f'(x) = 2x - 4$$

Nombre dérivé en $x=3$ :

$$f'(3) = 2 \times 3 - 4 = 6 - 4 = 2$$

L'équation de la tangente est $y = f'(3)(x-3) + f(3)$.

En remplaçant par les valeurs trouvées : $f'(3) = 2$ et $f(3) = 3$, on obtient :

$y = 2(x-3) + 3 = 2x - 6 + 3 = 2x - 3$.

L'équation réduite de la tangente $T$ est $y = 2x - 3$.

Correction :

- a. Interprétation du nombre dérivé $g'(a)$.

Pour une fonction $g$ dérivable en $a$, $g'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $a$.

- b. Interprétation de $g'(-2) = 1$.

La valeur $g'(-2) = 1$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse $-2$.

- 2. Équation réduite de la tangente au point d'abscisse $-2$.

On sait que la tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = g'(a)(x - a) + g(a)$.
Ici, $a = -2$, $g'(-2) = 1$ et le point $A(-2; 0)$ appartient à la courbe donc $g(-2) = 0$.
L'équation de la tangente est donc $y = 1(x - (-2)) + 0 = 1(x + 2) = x + 2$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $-2$: $y = x + 2$.

- 3. Équation réduite de la tangente au point d'abscisse $1$.

Ici, $a = 1$, $g'(1) = -3$ et le point $B(1; 4)$ appartient à la courbe donc $g(1) = 4$.
L'équation de la tangente est donc $y = -3(x - 1) + 4 = -3x + 3 + 4 = -3x + 7$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $1$: $y = -3x + 7$.

- 4. Équation réduite de la tangente au point d'abscisse $3$.

Ici, $a = 3$, $g'(3) = 0.5$ et le point $C(3; 2)$ appartient à la courbe donc $g(3) = 2$.
L'équation de la tangente est donc $y = 0.5(x - 3) + 2 = 0.5x - 1.5 + 2 = 0.5x + 0.5$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $3$: $y = 0.5x + 0.5$.

Correction :

1. Placement des points $(x;g(x))$.

Points à placer : $A(-3; 6)$, $B(-1; 0)$, $C(0; 2)$, $D(2; 4)$, $E(4; 3)$, $F(5; 1)$. Il faut placer ces points dans un repère orthonormé.

Au point $A(-3; 6)$, le coefficient directeur de la tangente est $g'(-3) = -4$. On trace la tangente en $A$ avec une pente de $-4$.

Au point $B(-1; 0)$, le coefficient directeur de la tangente est $g'(-1) = 0$. On trace la tangente horizontale en $B$.

Au point $C(0; 2)$, le coefficient directeur de la tangente est $g'(0) = 1,5 = \frac{3}{2}$. On trace la tangente en $C$ avec une pente de $1,5$.

Au point $D(2; 4)$, le coefficient directeur de la tangente est $g'(2) = 0$. On trace la tangente horizontale en $D$.

Au point $E(4; 3)$, le coefficient directeur de la tangente est $g'(4) = -1$. On trace la tangente en $E$ avec une pente de $-1$.

Au point $F(5; 1)$, le coefficient directeur de la tangente est $g'(5) = -3$. On trace la tangente en $F$ avec une pente de $-3$.

Note: La construction graphique des tangentes ne peut être fournie directement en HTML. Il faut tracer les tangentes sur un graphique en utilisant les points et les pentes indiquées.

Une fois les points et les tangentes tracées, on peut esquisser une courbe $\mathcal{C}_g$ qui passe par les points $A, B, C, D, E, F$ et qui est tangente aux droites tracées en ces points. La courbe doit être régulière et dérivable.

Note: Le tracé de l'allure de la courbe est une esquisse graphique et dépendra de la façon dont les tangentes ont été tracées. Il faut relier les points en respectant les directions des tangentes.

Correction :

Équation de la tangente donnée : $y = -7x + 9$.

L'équation générale de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici, $a=1$, donc l'équation est $y = f'(1)(x-1) + f(1) = f'(1)x - f'(1) + f(1)$.

En comparant l'équation donnée $y = -7x + 9$ avec $y = f'(1)x + (f(1) - f'(1))$, on peut identifier les coefficients de $x$ et les termes constants :

Coefficient de $x$: $f'(1) = -7$.

Terme constant: $f(1) - f'(1) = 9$.

Nous avons trouvé $f'(1) = -7$. Substituons cette valeur dans la deuxième équation :

$f(1) - (-7) = 9 \Rightarrow f(1) + 7 = 9 \Rightarrow f(1) = 9 - 7 = 2$.

Donc, $f'(1) = -7$ et $f(1) = 2$.

Correction :

Pour trouver l'équation de la tangente, nous avons besoin de $f'(1)$ et $f(1)$. On nous donne $g'(1) = -10$. Calculons $g(1)$.

$g(x) = (2x^2 – 5x + 4)^{10}$

$g(1) = (2(1)^2 – 5(1) + 4)^{10} = (2 - 5 + 4)^{10} = (1)^{10} = 1$.

Donc, $g(1) = 1$ et $g'(1) = -10$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ est $y = g'(1)(x-1) + g(1)$.

En substituant les valeurs : $y = -10(x-1) + 1 = -10x + 10 + 1 = -10x + 11$.

L'équation réduite de la tangente est $y = -10x + 11$.

Correction :

On sait que le point $A(3; -1)$ est sur la courbe, donc $f(3) = -1$. La tangente $T$ au point $A$ passe par $A(3; -1)$ et $J(0; 1)$.

Le coefficient directeur de la tangente $T$ est la pente de la droite $(AJ)$.

$$f'(3) = m_{AJ} = \dfrac{y_J - y_A}{x_J - x_A} = \dfrac{1 - (-1)}{0 - 3} = \dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}$$

Donc, $f'(3) = -\dfrac{2}{3}$.

L'équation de la tangente $T$ est $y - y_A = f'(3)(x - x_A)$.

En substituant les valeurs $A(3; -1)$ et $f'(3) = -\dfrac{2}{3}$ :

$y - (-1) = -\dfrac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{2}{3} \times 3$

$y + 1 = -\dfrac{2}{3}x + 2$

$y = -\dfrac{2}{3}x + 2 - 1$

$y = -\dfrac{2}{3}x + 1$.

L'équation de la tangente $T$ est $y = -\dfrac{2}{3}x + 1$.