Exercices : Étude des variations de fonctions polynômes

Correction :

1. Calcul de la dérivée :

Pour $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$, la dérivée est $$f'(x) = 4x - 8$$.

2. Vérification de la forme factorisée de $f'(x)$ :

On développe $4(x - 2) = 4x - 8$. On retrouve bien l'expression de $f'(x)$ calculée à la question 1. Donc $f'(x) = 4(x - 2)$.

3. Étude du signe de $f'(x)$ :

Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $(x-2)$ car $4 > 0$.

- Si $x - 2 < 0$, soit $x < 2$, alors $f'(x) < 0$.

- Si $x - 2 > 0$, soit $x > 2$, alors $f'(x) > 0$.

- Si $x - 2 = 0$, soit $x = 2$, alors $f'(x) = 0$.

4. Tableau de variations de $f$ :

On calcule $f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$.

5. Minimum de la fonction $f$ :

D'après le tableau de variations, la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 2]$ et croissante sur $[2 ; +\infty[$. Elle atteint son minimum en $x = 2$. Le minimum de la fonction $f$ est $f(2) = -2$.

Correction :

1. Calcul de la dérivée $g'(x)$ :

Pour $g(x) = -x^3 + 3x^2 - 2$, la dérivée est $$g'(x) = -3x^2 + 6x$$.

2. Vérification de la forme factorisée de $g'(x)$ :

On développe $-3x(x-2) = -3x^2 + 6x$. On retrouve bien l'expression de $g'(x)$ calculée à la question 1. Donc $g'(x) = -3x(x-2)$.

3. Étude du signe de la dérivée $g'(x) = -3x(x-2)$ :

On a $g'(x) = -3x(x-2)$. Les racines de $g'(x) = 0$ sont $x = 0$ et $x = 2$. On étudie le signe de chaque facteur :

- $-3 < 0$ (constante négative).

- $-3x > 0$ si $x < 0$, $-3x < 0$ si $x > 0$, $-3x = 0$ si $x = 0$.

- $x - 2 > 0$ si $x > 2$, $x - 2 < 0$ si $x < 2$, $x - 2 = 0$ si $x = 2$.

On combine les signes dans un tableau de signes :

4. Tableau de variations de $g$ :

On calcule $g(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 2 = -2$ et $g(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 12 - 2 = 2$.

5. Extremums locaux de la fonction $g$ :

D'après le tableau de variations, la fonction $g$ admet :

- Un minimum local en $x = 0$, qui vaut $g(0) = -2$.

- Un maximum local en $x = 2$, qui vaut $g(2) = 2$.

Correction :

1. Calcul de la dérivée $h'(x)$ et factorisation :

Pour $h(x) = -0.5x^2 + 3x + 1$, la dérivée est $$h'(x) = -x + 3$$.

On factorise $h'(x) = -x + 3 = -(x - 3) = -1(x-3)$.

2. Vérification de la forme factorisée de $h'(x)$ :

On développe $-(x - 3) = -x + 3$. On retrouve bien l'expression de $h'(x)$ calculée à la question 1. Donc $h'(x) = -(x - 3)$.

3. Étude du signe de $h'(x)$ :

Le signe de $h'(x)$ dépend du signe de $(x-3)$ et du facteur $-1 < 0$.

- Si $x - 3 < 0$, soit $x < 3$, alors $-(x-3) > 0$, donc $h'(x) > 0$.

- Si $x - 3 > 0$, soit $x > 3$, alors $-(x-3) < 0$, donc $h'(x) < 0$.

- Si $x - 3 = 0$, soit $x = 3$, alors $h'(x) = 0$.

4. Tableau de variations de $h$ :

On calcule $h(3) = -0.5(3)^2 + 3(3) + 1 = -4.5 + 9 + 1 = 5.5$.

5. Maximum de la fonction $h$ :

D'après le tableau de variations, la fonction $h$ est croissante sur $]-\infty ; 3]$ et décroissante sur $[3 ; +\infty[$. Elle atteint son maximum en $x = 3$. Le maximum de la fonction $h$ est $h(3) = 5.5$.

Correction :

1. Calcul de la dérivée $B'(x)$ :

Pour $B(x) = -0.01x^2 + 5x - 100$, la dérivée est $$B'(x) = -0.02x + 5$$.

2. Vérification de la forme factorisée de $B'(x)$ :

On développe $-0.02(x - 250) = -0.02x + 0.02 \times 250 = -0.02x + 5$. On retrouve bien l'expression de $B'(x)$ calculée à la question 1. Donc $B'(x) = -0.02(x - 250)$.

3. Étude du signe de $B'(x)$ sur $[0 ; 500]$ :

Le signe de $B'(x)$ dépend du signe de $(x-250)$ et du facteur $-0.02 < 0$.

- Si $x < 250$, alors $x - 250 < 0$, et $B'(x) = -0.02(x-250) > 0$.

- Si $x > 250$, alors $x - 250 > 0$, et $B'(x) = -0.02(x-250) < 0$.

- Si $x = 250$, alors $x - 250 = 0$, et $B'(x) = 0$.

4. Tableau de variations de $B$ sur $[0 ; 500]$ :

On calcule $B(250) = -0.01(250)^2 + 5(250) - 100 = 525$. On calcule aussi $B(0) = -100$ et $B(500) = -100$.

5. Nombre d'objets pour maximiser le bénéfice et bénéfice maximal :

D'après le tableau de variations, le bénéfice est maximal lorsque l'entreprise vend 250 objets. Le bénéfice maximal est $B(250) = 525$ euros.

Correction :

1. Expression de $x$ en fonction de $y$ :

On a $x + 2y = 400$, donc $x = 400 - 2y$.

2. Expression de l'aire $A$ en fonction de $y$ :

On substitue $x = 400 - 2y$ dans $A = xy$ : $$A(y) = (400 - 2y)y = 400y - 2y^2$$.

3. Calcul de la dérivée $A'(y)$ :

Pour $A(y) = 400y - 2y^2$, la dérivée est $$A'(y) = 400 - 4y$$.

4. Vérification de la forme factorisée de $A'(y)$ :

On développe $-4(y - 100) = -4y + 400$. On retrouve bien l'expression de $A'(y)$ calculée à la question 3. Donc $A'(y) = -4(y - 100)$.

5. Étude du signe de $A'(y)$ pour $y \in ]0 ; 200[$ :

Le signe de $A'(y)$ dépend du signe de $(y-100)$ et du facteur $-4 < 0$.

- Si $y < 100$, alors $y - 100 < 0$, et $A'(y) = -4(y-100) > 0$.

- Si $y > 100$, alors $y - 100 > 0$, et $A'(y) = -4(y-100) < 0$.

- Si $y = 100$, alors $y - 100 = 0$, et $A'(y) = 0$.

6. Tableau de variations de $A$ sur $]0 ; 200[$ :

On calcule $A(100) = 400(100) - 2(100)^2 = 20000$.

7. Dimensions du champ pour aire maximale et aire maximale :

D'après le tableau de variations, l'aire est maximale lorsque $y = 100$ mètres. Dans ce cas, $x = 400 - 2(100) = 200$ mètres. L'aire maximale est $A(100) = 20000$ m².

Les dimensions du champ pour une aire maximale sont 200 mètres de longueur (parallèle à la rivière) et 100 mètres de largeur. L'aire maximale est de 20000 m².

Correction :

1. Calcul de la dérivée $k'(x)$ :

Pour $k(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$, la dérivée est $$k'(x) = 3x^2 - 4x + 1$$.

2. Vérification de la forme factorisée de $k'(x)$ :

On développe $3(x-1)(x-\frac{1}{3}) = 3 \times (x \times x + x \times (-\frac{1}{3}) + (-1) \times x + (-1) \times (-\frac{1}{3})) $

=$ 3 \times (x^2 - \frac{1}{3}x - x + \frac{1}{3}) = 3 \times (x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}) = 3x^2 - 4x + 1$.

On retrouve bien l'expression de $k'(x)$ calculée à la question 1. Donc $k'(x) = 3(x-1)(x-\frac{1}{3})$.

3. Étude du signe de la dérivée $k'(x) = 3(x-1)(x-\frac{1}{3})$ :

On a $k'(x) = 3(x-1)(x-\frac{1}{3})$. Les racines de $k'(x) = 0$ sont $x = \frac{1}{3}$ et $x = 1$. On étudie le signe de chaque facteur :

- $3 > 0$ (constante positive).

- $x - \frac{1}{3} > 0$ si $x > \frac{1}{3}$, $x - \frac{1}{3} < 0$ si $x < \frac{1}{3}$, $x - \frac{1}{3} = 0$ si $x = \frac{1}{3}$.

- $x - 1 > 0$ si $x > 1$, $x - 1 < 0$ si $x < 1$, $x - 1 = 0$ si $x = 1$.

On combine les signes dans un tableau de signes :

4. Tableau de variations de $k$ :

On calcule $k(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3}) + 1 = \frac{31}{27}$.

On calcule $k(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + (1) + 1 = 1$.

5. Extremums locaux de la fonction $k$ :

D'après le tableau de variations, la fonction $k$ admet :

- Un maximum local en $x = \frac{1}{3}$, qui vaut $k(\frac{1}{3}) = \frac{31}{27}$.

- Un minimum local en $x = 1$, qui vaut $k(1) = 1$.

Correction :

1. Fonction de recette $R(q)$ et bénéfice $B(q)$ :

La recette pour $q$ pièces vendues à 200 euros l'unité est $R(q) = 200q$.

Le bénéfice est $B(q) = R(q) - C(q) = 200q - (0.02q^3 - 6q^2 + 500q + 10000) = -0.02q^3 + 6q^2 - 300q - 10000$.

2. Calcul du coût marginal $C'(q)$ et vérification de $C''(q)$ :

Le coût marginal est $C'(q) = 0.06q^2 - 12q + 500$. La dérivée seconde du coût marginal est $C''(q) = 0.12q - 12 = 0.12(q - \frac{12}{0.12}) = 0.12(q - 100)$. On vérifie bien que $C''(q) = 0.12(q-100)$.

3. Dérivée du bénéfice $B'(q)$ et factorisation :

On a $B'(q) = R'(q) - C'(q) = 200 - (0.06q^2 - 12q + 500) = -0.06q^2 + 12q - 300 = -0.06(q^2 - 200q + 5000)$.

Pour factoriser $B'(q)$, on cherche les racines de $q^2 - 200q + 5000 = 0$. On a trouvé précédemment les racines $q_1 = 100 - 50\sqrt{2}$ et $q_2 = 100 + 50\sqrt{2}$.

Donc $B'(q) = -0.06(q - (100 - 50\sqrt{2}))(q - (100 + 50\sqrt{2}))$.

4. Étude du signe de $B'(q)$ :

On utilise le tableau de signes (voir exercice 7 correction précédente, en corrigeant les valeurs des racines).

5. Tableau de variations de $B$ :

On utilise le tableau de variations (voir exercice 7 correction précédente, en corrigeant les valeurs des racines et de $C''(q)$).

6. Nombre de pièces pour maximiser le bénéfice :

Le bénéfice maximal est atteint pour $q_2 = 100 + 50\sqrt{2} \approx 170.7$. On teste les valeurs entières proches, soit $q = 170$ et $q = 171$.

On choisit la valeur entière qui maximise le bénéfice. En pratique, on peut prendre $q \approx 171$ pièces pour maximiser le bénéfice.

Correction :

1. Calcul de la dérivée :

Pour $l(x) = -3x^2 + 12x - 9$, la dérivée est $$l'(x) = -6x + 12$$.

2. Vérification de la forme factorisée de $l'(x)$ :

On développe $-6(x - 2) = -6x + 12$. On retrouve bien l'expression de $l'(x)$ calculée à la question 1. Donc $l'(x) = -6(x - 2)$.

3. Étude du signe de $l'(x)$ :

Le signe de $l'(x)$ dépend du signe de $(x-2)$ et du facteur $-6 < 0$.

- Si $x - 2 < 0$, soit $x < 2$, alors $-(x-2) > 0$, donc $l'(x) > 0$.

- Si $x - 2 > 0$, soit $x > 2$, alors $-(x-2) < 0$, donc $l'(x) < 0$.

- Si $x - 2 = 0$, soit $x = 2$, alors $l'(x) = 0$.

4. Tableau de variations de $l$ :

On calcule $l(2) = -3(2)^2 + 12(2) - 9 = -12 + 24 - 9 = 3$.

5. Maximum de la fonction $l$ :

D'après le tableau de variations, la fonction $l$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; +\infty[$. Elle atteint son maximum en $x = 2$. Le maximum de la fonction $l$ est $l(2) = 3$.

Correction :

1. Calcul de la dérivée $m'(x)$ :

Pour $m(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$, la dérivée est $$m'(x) = 6x^2 - 18x + 12$$.

2. Vérification de la forme factorisée de $m'(x)$ :

On développe $6(x-1)(x-2) = 6(x^2 - 2x - x + 2) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$. On retrouve bien l'expression de $m'(x)$ calculée à la question 1. Donc $m'(x) = 6(x-1)(x-2)$.

3. Étude du signe de la dérivée $m'(x) = 6(x-1)(x-2)$ :

On a $m'(x) = 6(x-1)(x-2)$. Les racines de $m'(x) = 0$ sont $x = 1$ et $x = 2$. On étudie le signe de chaque facteur :

- $6 > 0$ (constante positive).

- $x - 1 > 0$ si $x > 1$, $x - 1 < 0$ si $x < 1$, $x - 1 = 0$ si $x = 1$.

- $x - 2 > 0$ si $x > 2$, $x - 2 < 0$ si $x < 2$, $x - 2 = 0$ si $x = 2$.

On combine les signes dans un tableau de signes :

4. Tableau de variations de $m$ :

On calcule $m(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 5 = 2 - 9 + 12 - 5 = 0$ et $m(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 5 = 16 - 36 + 24 - 5 = -1$.

5. Extremums locaux de la fonction $m$ :

D'après le tableau de variations, la fonction $m$ admet :

- Un maximum local en $x = 1$, qui vaut $m(1) = 0$.

- Un minimum local en $x = 2$, qui vaut $m(2) = -1$.

Correction :

1. Fonction de recette $R(n)$ et bénéfice $P(n)$ :

La recette pour $n$ objets vendus à 30 euros l'unité est $R(n) = 30n$.

Le bénéfice est $P(n) = R(n) - C(n) = 30n - (0.1n^2 + 10n + 50) = -0.1n^2 + 20n - 50$.

2. Calcul de la dérivée $P'(n)$ :

Pour $P(n) = -0.1n^2 + 20n - 50$, la dérivée est $$P'(n) = -0.2n + 20$$.

3. Vérification de la forme factorisée de $P'(n)$ :

On développe $-0.2(n - 100) = -0.2n + 0.2 \times 100 = -0.2n + 20$. On retrouve bien l'expression de $P'(n)$ calculée à la question 2. Donc $P'(n) = -0.2(n - 100)$.

4. Étude du signe de $P'(n)$ pour $n \ge 0$ :

Le signe de $P'(n)$ dépend du signe de $(n-100)$ et du facteur $-0.2 < 0$. Pour $n \ge 0$ :

- Si $0 \le n < 100$, alors $n - 100 < 0$, et $P'(n) = -0.2(n-100) > 0$.

- Si $n > 100$, alors $n - 100 > 0$, et $P'(n) = -0.2(n-100) < 0$.

- Si $n = 100$, alors $n - 100 = 0$, et $P'(n) = 0$.

5. Tableau de variations de $P$ pour $n \ge 0$ :

On calcule $P(100) = -0.1(100)^2 + 20(100) - 50 = -1000 + 2000 - 50 = 950$. On calcule aussi $P(0) = -50$.

6. Nombre d'objets pour maximiser le bénéfice et bénéfice maximal :

D'après le tableau de variations, le bénéfice est maximal lorsque l'artisan fabrique et vend 100 objets. Le bénéfice maximal est $P(100) = 950$ euros.