Exercices : Dérivation STMG et STI2D

Correction :

Pour la fonction $f(x)=4x^3-6x^2+9x+2$, nous allons appliquer les règles de dérivation de base.

Rappelons les formules de dérivation pour les puissances de $x$ et les sommes : $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$

Calcul de $f'(x)$ pour $f(x)=4x^3-6x^2+9x+2$ :

On dérive chaque terme séparément :

Dérivée de $4x^3$ : $(4x^3)' = 4 \times 3x^{3-1} = 12x^2$

Dérivée de $-6x^2$ : $(-6x^2)' = -6 \times 2x^{2-1} = -12x$

Dérivée de $9x$ : $(9x)' = 9 \times 1x^{1-1} = 9x^0 = 9$

Dérivée de $2$ : $(2)' = 0$

En additionnant les dérivées de chaque terme, on obtient : $$f'(x) = 12x^2 - 12x + 9$$

Donc, la dérivée de $f(x)=4x^3-6x^2+9x+2$ est $f'(x) = 12x^2 - 12x + 9$.

Correction :

Pour la fonction $g(x)=x^2$, nous appliquons la règle de dérivation de $x^n$.

Rappel de la formule : $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $g(x)=x^2$, avec $n=2$, on a : $$g'(x) = 2x^{2-1} = 2x^1 = 2x$$

Donc, la dérivée de $g(x)=x^2$ est $g'(x) = 2x$.

Correction :

Pour la fonction $g(x)=-x^2+3x$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme et du produit par une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $g(x)=-x^2+3x$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $-x^2$ : $(-x^2)' = -1 \times (x^2)' = -1 \times 2x = -2x$

Dérivée de $3x$ : $(3x)' = 3 \times (x)' = 3 \times 1 = 3$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$g'(x) = -2x + 3$$

Donc, la dérivée de $g(x)=-x^2+3x$ est $g'(x) = -2x + 3$.

Correction :

Pour la fonction $g(t)=1+t^2$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $g(t)=1+t^2$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $1$ : $(1)' = 0$

Dérivée de $t^2$ : $(t^2)' = 2t^{2-1} = 2t$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$g'(t) = 0 + 2t = 2t$$

Donc, la dérivée de $g(t)=1+t^2$ est $g'(t) = 2t$.

Correction :

Pour la fonction $g(t)=3t^2-t+3$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $g(t)=3t^2-t+3$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $3t^2$ : $(3t^2)' = 3 \times (t^2)' = 3 \times 2t = 6t$

Dérivée de $-t$ : $(-t)' = -1 \times (t)' = -1 \times 1 = -1$

Dérivée de $3$ : $(3)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$g'(t) = 6t - 1 + 0 = 6t - 1$$

Donc, la dérivée de $g(t)=3t^2-t+3$ est $g'(t) = 6t - 1$.

Correction :

Pour la fonction $h(x)=5x^2+4x-5$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $h(x)=5x^2+4x-5$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $5x^2$ : $(5x^2)' = 5 \times (x^2)' = 5 \times 2x = 10x$

Dérivée de $4x$ : $(4x)' = 4 \times (x)' = 4 \times 1 = 4$

Dérivée de $-5$ : $(-5)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(x) = 10x + 4 + 0 = 10x + 4$$

Donc, la dérivée de $h(x)=5x^2+4x-5$ est $h'(x) = 10x + 4$.

Correction :

Pour la fonction $h(x)=12x-4x^2-7$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $h(x)=12x-4x^2-7$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $12x$ : $(12x)' = 12 \times (x)' = 12 \times 1 = 12$

Dérivée de $-4x^2$ : $(-4x^2)' = -4 \times (x^2)' = -4 \times 2x = -8x$

Dérivée de $-7$ : $(-7)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(x) = 12 - 8x + 0 = 12 - 8x$$

Donc, la dérivée de $h(x)=12x-4x^2-7$ est $h'(x) = 12 - 8x$.

Correction :

Pour la fonction $h(t)=-t^2-2t+5$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $h(t)=-t^2-2t+5$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $-t^2$ : $(-t^2)' = -1 \times (t^2)' = -1 \times 2t = -2t$

Dérivée de $-2t$ : $(-2t)' = -2 \times (t)' = -2 \times 1 = -2$

Dérivée de $5$ : $(5)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(t) = -2t - 2 + 0 = -2t - 2$$

Donc, la dérivée de $h(t)=-t^2-2t+5$ est $h'(t) = -2t - 2$.

Correction :

Pour la fonction $h(t)=t^2+5t$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme et du produit par une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $h(t)=t^2+5t$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $t^2$ : $(t^2)' = 2t^{2-1} = 2t$

Dérivée de $5t$ : $(5t)' = 5 \times (t)' = 5 \times 1 = 5$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(t) = 2t + 5$$

Donc, la dérivée de $h(t)=t^2+5t$ est $h'(t) = 2t + 5$.

Correction :

Pour la fonction $I(x)=0,001x^2-0,002x+0,0075$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $I(x)=0,001x^2-0,002x+0,0075$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $0,001x^2$ : $(0,001x^2)' = 0,001 \times (x^2)' = 0,001 \times 2x = 0,002x$

Dérivée de $-0,002x$ : $(-0,002x)' = -0,002 \times (x)' = -0,002 \times 1 = -0,002$

Dérivée de $0,0075$ : $(0,0075)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$I'(x) = 0,002x - 0,002 + 0 = 0,002x - 0,002$$

Donc, la dérivée de $I(x)=0,001x^2-0,002x+0,0075$ est $I'(x) = 0,002x - 0,002$.

Correction :

Pour la fonction $B(q)=3q^2-2q+7$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(q^n)' = nq^{n-1}$$

Pour $B(q)=3q^2-2q+7$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $3q^2$ : $(3q^2)' = 3 \times (q^2)' = 3 \times 2q = 6q$

Dérivée de $-2q$ : $(-2q)' = -2 \times (q)' = -2 \times 1 = -2$

Dérivée de $7$ : $(7)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$B'(q) = 6q - 2 + 0 = 6q - 2$$

Donc, la dérivée de $B(q)=3q^2-2q+7$ est $B'(q) = 6q - 2$.

Correction :

Pour la fonction $g(x)=x^3$, nous appliquons la règle de dérivation de $x^n$.

Rappel de la formule : $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $g(x)=x^3$, avec $n=3$, on a : $$g'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$$

Donc, la dérivée de $g(x)=x^3$ est $g'(x) = 3x^2$.

Correction :

Pour la fonction $g(x)=5x^3-2x^2-7$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $g(x)=5x^3-2x^2-7$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $5x^3$ : $(5x^3)' = 5 \times (x^3)' = 5 \times 3x^2 = 15x^2$

Dérivée de $-2x^2$ : $(-2x^2)' = -2 \times (x^2)' = -2 \times 2x = -4x$

Dérivée de $-7$ : $(-7)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$g'(x) = 15x^2 - 4x + 0 = 15x^2 - 4x$$

Donc, la dérivée de $g(x)=5x^3-2x^2-7$ est $g'(x) = 15x^2 - 4x$.

Correction :

Pour la fonction $g(t)=2+3t+5t^3$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $g(t)=2+3t+5t^3$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $2$ : $(2)' = 0$

Dérivée de $3t$ : $(3t)' = 3 \times (t)' = 3 \times 1 = 3$

Dérivée de $5t^3$ : $(5t^3)' = 5 \times (t^3)' = 5 \times 3t^2 = 15t^2$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$g'(t) = 0 + 3 + 15t^2 = 3 + 15t^2$$

Donc, la dérivée de $g(t)=2+3t+5t^3$ est $g'(t) = 3 + 15t^2$.

Correction :

D'abord, simplifions l'expression de $g(t)$: $$g(t)=2t-t^3+2t = 4t - t^3$$

Pour la fonction $g(t)=4t-t^3$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $g(t)=4t-t^3$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $4t$ : $(4t)' = 4 \times (t)' = 4 \times 1 = 4$

Dérivée de $-t^3$ : $(-t^3)' = -1 \times (t^3)' = -1 \times 3t^2 = -3t^2$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$g'(t) = 4 - 3t^2$$

Donc, la dérivée de $g(t)=2t-t^3+2t$ est $g'(t) = 4 - 3t^2$.

Correction :

Pour la fonction $h(x)=5x^3-5$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $h(x)=5x^3-5$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $5x^3$ : $(5x^3)' = 5 \times (x^3)' = 5 \times 3x^2 = 15x^2$

Dérivée de $-5$ : $(-5)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(x) = 15x^2 + 0 = 15x^2$$

Donc, la dérivée de $h(x)=5x^3-5$ est $h'(x) = 15x^2$.

Correction :

D'abord, simplifions l'expression de $h(x)$: $$h(x)=12x^3-4x^3-7x^3 = (12-4-7)x^3 = x^3$$

Pour la fonction $h(x)=x^3$, nous appliquons la règle de dérivation de $x^n$.

Rappel de la formule : $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $h(x)=x^3$, avec $n=3$, on a : $$h'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$$

Donc, la dérivée de $h(x)=12x^3-4x^3-7x^3$ est $h'(x) = 3x^2$.

Correction :

D'abord, simplifions l'expression de $h(t)$: $$h(t)=-t^3-2t+5t = -t^3 + 3t$$

Pour la fonction $h(t)=-t^3 + 3t$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme et du produit par une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $h(t)=-t^3 + 3t$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $-t^3$ : $(-t^3)' = -1 \times (t^3)' = -1 \times 3t^2 = -3t^2$

Dérivée de $3t$ : $(3t)' = 3 \times (t)' = 3 \times 1 = 3$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(t) = -3t^2 + 3$$

Donc, la dérivée de $h(t)=-t^3-2t+5t$ est $h'(t) = -3t^2 + 3$.

Correction :

D'abord, développons l'expression de $h(t)$: $$h(t)=2t(t-3)^2 = 2t(t^2 - 6t + 9) = 2t^3 - 12t^2 + 18t$$

Pour la fonction $h(t)=2t^3 - 12t^2 + 18t$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme et du produit par une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $h(t)=2t^3 - 12t^2 + 18t$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $2t^3$ : $(2t^3)' = 2 \times (t^3)' = 2 \times 3t^2 = 6t^2$

Dérivée de $-12t^2$ : $(-12t^2)' = -12 \times (t^2)' = -12 \times 2t = -24t$

Dérivée de $18t$ : $(18t)' = 18 \times (t)' = 18 \times 1 = 18$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$h'(t) = 6t^2 - 24t + 18$$

Donc, la dérivée de $h(t)=2t(t-3)^2$ est $h'(t) = 6t^2 - 24t + 18$.

Correction :

D'abord, simplifions les fractions de l'expression de $I(x)$: $$I(x)=\dfrac{2}{3}x^3 -\dfrac{4}{5}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{4}$$

Pour la fonction $I(x)=\dfrac{2}{3}x^3 -\dfrac{4}{5}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{4}$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$

Pour $I(x)=\dfrac{2}{3}x^3 -\dfrac{4}{5}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{4}$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $\dfrac{2}{3}x^3$ : $(\dfrac{2}{3}x^3)' = \dfrac{2}{3} \times (x^3)' = \dfrac{2}{3} \times 3x^2 = 2x^2$

Dérivée de $-\dfrac{4}{5}x^2$ : $(-\dfrac{4}{5}x^2)' = -\dfrac{4}{5} \times (x^2)' = -\dfrac{4}{5} \times 2x = -\dfrac{8}{5}x$

Dérivée de $-\dfrac{1}{3}x$ : $(-\dfrac{1}{3}x)' = -\dfrac{1}{3} \times (x)' = -\dfrac{1}{3} \times 1 = -\dfrac{1}{3}$

Dérivée de $\dfrac{7}{4}$ : $(\dfrac{7}{4})' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$I'(x) = 2x^2 - \dfrac{8}{5}x - \dfrac{1}{3}$$

Donc, la dérivée de $I(x)=\dfrac{4}{6}x^3 -\dfrac{4}{5}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{4}$ est $I'(x) = 2x^2 - \dfrac{8}{5}x - \dfrac{1}{3}$.

Correction :

Pour la fonction $V(t)=-0,2t^3 + 5,7t^2-0,3t+6,4$, nous utilisons les règles de dérivation de la somme, du produit par une constante et d'une constante.

Rappel des formules : $$(u+v)' = u' + v'$$ $$(cu)' = cu'$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(t^n)' = nt^{n-1}$$

Pour $V(t)=-0,2t^3 + 5,7t^2-0,3t+6,4$, on dérive chaque terme :

Dérivée de $-0,2t^3$ : $(-0,2t^3)' = -0,2 \times (t^3)' = -0,2 \times 3t^2 = -0,6t^2$

Dérivée de $5,7t^2$ : $(5,7t^2)' = 5,7 \times (t^2)' = 5,7 \times 2t = 11,4t$

Dérivée de $-0,3t$ : $(-0,3t)' = -0,3 \times (t)' = -0,3 \times 1 = -0,3$

Dérivée de $6,4$ : $(6,4)' = 0$

En additionnant les dérivées, on obtient : $$V'(t) = -0,6t^2 + 11,4t - 0,3$$

Donc, la dérivée de $V(t)=-0,2t^3 + 5,7t^2-0,3t+6,4$ est $V'(t) = -0,6t^2 + 11,4t - 0,3$.

Correction :

Pour la fonction $f(x)=x^2+1$, nous devons d'abord calculer sa dérivée, puis trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse $2$.

1. Calcul de $f'(x)$ :

On utilise la règle de dérivation de $x^n$ et de la somme : $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ $$(c)' = 0 \text{ où } c \text{ est une constante}$$ $$(u+v)' = u' + v'$$

Pour $f(x) = x^2 + 1$, on a :

Dérivée de $x^2$ : $(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$

Dérivée de $1$ : $(1)' = 0$

Donc, $f'(x) = 2x + 0 = 2x$.

2. Calcul de $f(2)$, $f'(2)$ et équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $2$ :

On calcule $f(2)$ en remplaçant $x$ par $2$ dans $f(x) = x^2 + 1$ : $$f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$$

On calcule $f'(2)$ en remplaçant $x$ par $2$ dans $f'(x) = 2x$ : $$f'(2) = 2 \times 2 = 4$$

L'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $x_0=2$ est donnée par la formule : $$y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$$ Ici, $x_0 = 2$, $f'(x_0) = f'(2) = 4$, et $f(x_0) = f(2) = 5$. En substituant ces valeurs, on obtient : $$y = 4(x-2) + 5$$ $$y = 4x - 8 + 5$$ $$y = 4x - 3$$

L'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ est $y = 4x - 3$.

Correction :

Pour la fonction $f(x)=2x^2-5x+2$ et $x_0=1$, nous allons calculer la dérivée, évaluer la fonction et sa dérivée à l'abscisse donnée $x_0=1$, puis déterminer l'équation de la tangente.

Calcul de la dérivée $f'(x)$: $$f'(x) = (2x^2-5x+2)' = 2 \times 2x - 5 + 0 = 4x - 5$$

Calcul de $f(x_0) = f(1)$ : $$f(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1$$

Calcul de $f'(x_0) = f'(1)$ : $$f'(1) = 4(1) - 5 = 4 - 5 = -1$$

Équation de la tangente $T$ : $$y = f'(1)(x-1) + f(1) = -1(x-1) + (-1) = -x + 1 - 1 = -x$$

L'équation de la tangente $T$ est $y = -x$.

Correction :

Pour la fonction $g(x)=-2x^3+0,5x^2-x$ et $x_0=-2$, nous allons calculer la dérivée, évaluer la fonction et sa dérivée à l'abscisse donnée $x_0=-2$, puis déterminer l'équation de la tangente.

Calcul de la dérivée $g'(x)$: $$g'(x) = (-2x^3+0,5x^2-x)' = -2 \times 3x^2 + 0,5 \times 2x - 1 = -6x^2 + x - 1$$

Calcul de $g(x_0) = g(-2)$ : $$g(-2) = -2(-2)^3 + 0,5(-2)^2 - (-2) = -2(-8) + 0,5(4) + 2 = 16 + 2 + 2 = 20$$

Calcul de $g'(x_0) = g'(-2)$ : $$g'(-2) = -6(-2)^2 + (-2) - 1 = -6(4) - 2 - 1 = -24 - 2 - 1 = -27$$

Équation de la tangente $T$ : $$y = g'(-2)(x-(-2)) + g(-2) = -27(x+2) + 20 = -27x - 54 + 20 = -27x - 34$$

L'équation de la tangente $T$ est $y = -27x - 34$.

Correction :

Pour la fonction $h(x)=0,5x^2-3x+2,5$ et $x_0=3$, nous allons calculer la dérivée, évaluer la fonction et sa dérivée à l'abscisse donnée $x_0=3$, puis déterminer l'équation de la tangente.

Calcul de la dérivée $h'(x)$: $$h'(x) = (0,5x^2-3x+2,5)' = 0,5 \times 2x - 3 + 0 = x - 3$$

Calcul de $h(x_0) = h(3)$ : $$h(3) = 0,5(3)^2 - 3(3) + 2,5 = 0,5(9) - 9 + 2,5 = 4,5 - 9 + 2,5 = -2$$

Calcul de $h'(x_0) = h'(3)$ : $$h'(3) = 3 - 3 = 0$$

Équation de la tangente $T$ : $$y = h'(3)(x-3) + h(3) = 0(x-3) + (-2) = 0 - 2 = -2$$

L'équation de la tangente $T$ est $y = -2$. C'est une tangente horizontale.