Exercices : Schéma de Bernoulli

Correction :

1. Stock de pièces défectueuses :

Pour qu'une expérience aléatoire soit une épreuve de Bernoulli, elle doit posséder uniquement deux issues possibles, souvent appelées "succès" et "échec".

Dans cette expérience, on prélève une pièce et on regarde si elle est défectueuse ou non. Il y a bien deux issues possibles :

• Issue 1 : La pièce est défectueuse.

• Issue 2 : La pièce n'est pas défectueuse.

On peut donc définir un succès $S$ : "La pièce prélevée est défectueuse".

La probabilité de succès $P(S)$ est donnée comme étant le pourcentage de pièces défectueuses dans le stock, soit $1\%$.

Donc, $P(S) = \frac{1}{100} = 0,01$.

Conclusion pour la question 1 : Il s'agit bien d'une épreuve de Bernoulli.

2. Nombre d'enfants dans les familles :

Dans cette expérience, on interroge un élève et on s'intéresse au nombre d'enfants dans sa famille. L'énoncé nous donne trois catégories :

• Catégorie 1 : Un seul enfant (45%).

• Catégorie 2 : Deux enfants (38%).

• Catégorie 3 : Trois enfants ou plus (17%).

Ici, il y a trois issues possibles, et non deux. Par conséquent, cette expérience n'est pas une épreuve de Bernoulli.

Conclusion pour la question 2 : Il ne s'agit pas d'une épreuve de Bernoulli.

Correction :

1. Prélèvement de vis sans remise :

Pour déterminer si une expérience aléatoire constitue un schéma de Bernoulli, il faut vérifier si elle est la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Dans cette expérience, on prélève 15 vis successivement sans remise parmi 20 vis dont 3 sont trop longues. Pour chaque prélèvement, on regarde si la vis est trop longue ou non. On a bien deux issues possibles pour chaque tirage : "vis trop longue" (succès, par exemple) ou "vis pas trop longue" (échec).

Cependant, comme le prélèvement se fait sans remise, la composition du stock de vis change à chaque tirage. La probabilité de tirer une vis trop longue n'est donc pas constante d'un tirage à l'autre. Par exemple :

• Au premier tirage, la probabilité de tirer une vis trop longue est de $\frac{3}{20}$.

• Si au premier tirage on a tiré une vis trop longue, alors au deuxième tirage, il ne reste plus que 2 vis trop longues sur un total de 19 vis. La probabilité de tirer une vis trop longue au deuxième tirage, sachant qu'on en a tiré une au premier, devient $\frac{2}{19}$, ce qui est différent de $\frac{3}{20}$.

Les épreuves ne sont donc pas identiques (et ne sont pas indépendantes) à cause du tirage sans remise.

Conclusion pour la question 1 : Il ne s'agit pas d'un schéma de Bernoulli.

2. Suite de lettres choisies aléatoirement :

On considère une suite de 50 lettres choisies de façon aléatoire. Pour chaque lettre, on regarde si elle est une voyelle ou non. On peut considérer qu'il y a deux issues possibles : "la lettre est une voyelle" (succès) ou "la lettre n'est pas une voyelle" (échec).

Si on suppose que le choix des lettres est fait de manière indépendante et que la probabilité de choisir une voyelle reste constante à chaque tirage, alors nous sommes bien dans le cadre d'un schéma de Bernoulli.

Dans l'alphabet français, on considère généralement 6 voyelles : a, e, i, o, u, y. Si on considère un alphabet de 26 lettres, la probabilité de choisir une voyelle est $p = \frac{6}{26} = \frac{3}{13}$.

Le nombre de répétitions de l'épreuve est $n = 50$.

Conclusion pour la question 2 : Il s'agit d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n=50$ et $p=\frac{3}{13}$.

Correction :

Pour démontrer que cette situation est un schéma de Bernoulli, nous devons vérifier les conditions suivantes :

• Répétition d'épreuves identiques.

• Chaque épreuve est une épreuve de Bernoulli (deux issues possibles).

• Les épreuves sont indépendantes.

Analyse de la situation :

On considère ici les deux composantes électroniques comme deux épreuves successives. Pour chaque composante, on observe si elle tombe en panne ou non.

1. Épreuves de Bernoulli :

Pour chaque composante électronique, il y a deux issues possibles :

• Issue 1 : Le composant tombe en panne (événement $P$).

• Issue 2 : Le composant ne tombe pas en panne (événement $\overline{P}$).

Ainsi, pour chaque composante, nous avons une épreuve de Bernoulli. Définissons le succès $S$ comme "le composant tombe en panne". La probabilité de succès est donnée par $P(S) = P(P) = 0,01$. La probabilité d'échec (le composant ne tombe pas en panne) est $P(\overline{S}) = P(\overline{P}) = 1 - 0,01 = 0,99$.

2. Répétition d'épreuves identiques :

On considère deux composantes, et pour chacune, la probabilité de panne est la même, soit $0,01$. Les épreuves sont donc identiques en termes de probabilité de succès.

3. Indépendance des épreuves :

L'énoncé précise que les composantes fonctionnent de façon indépendante. Cela signifie que la panne d'une composante n'influence pas la panne de l'autre. Les épreuves sont donc indépendantes.

Conclusion :

Les trois conditions d'un schéma de Bernoulli sont réunies : répétition d'épreuves identiques, chaque épreuve étant une épreuve de Bernoulli, et indépendance des épreuves.

Paramètres du schéma de Bernoulli :

• Nombre d'épreuves : $n = 2$ (car il y a deux composantes).

• Probabilité de succès (panne) : $p = 0,01$.

En résumé, cette situation est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=2$ et $p=0,01$.

Correction :

Pour démontrer que cette situation est un schéma de Bernoulli, nous devons vérifier les conditions suivantes :

• Répétition d'épreuves identiques.

• Chaque épreuve est une épreuve de Bernoulli (deux issues possibles).

• Les épreuves sont indépendantes.

Analyse de la situation :

On considère ici l'arrivée de chaque client comme une épreuve successive. Pour chaque client, on observe s'il prend un café ou non.

1. Épreuves de Bernoulli :

Pour chaque client, il y a deux issues possibles :

• Issue 1 : Le client prend un café (événement $C$).

• Issue 2 : Le client ne prend pas de café (événement $\overline{C}$).

Ainsi, pour chaque client, nous avons une épreuve de Bernoulli. Définissons le succès $S$ comme "le client prend un café". La probabilité de succès est donnée par la statistique du restaurateur : $P(S) = P(C) = \frac{9}{10} = 0,9$. La probabilité d'échec (le client ne prend pas de café) est $P(\overline{S}) = P(\overline{C}) = 1 - 0,9 = 0,1$.

2. Répétition d'épreuves identiques :

On considère quatre clients, et pour chacun, la probabilité qu'il prenne un café est la même, soit $0,9$. Les épreuves sont donc identiques en termes de probabilité de succès.

3. Indépendance des épreuves :

L'énoncé précise que les commandes des clients sont indépendantes les unes des autres. Cela signifie que le choix d'un client de prendre ou non un café n'influence pas le choix des autres clients. Les épreuves sont donc indépendantes.

Conclusion :

Les trois conditions d'un schéma de Bernoulli sont réunies : répétition d'épreuves identiques, chaque épreuve étant une épreuve de Bernoulli, et indépendance des épreuves.

Paramètres du schéma de Bernoulli :

• Nombre d'épreuves : $n = 4$ (car il y a quatre clients).

• Probabilité de succès (prendre un café) : $p = 0,9$.

En résumé, cette situation est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=4$ et $p=0,9$.

Correction :

1. Probabilités avec un arbre classique :

Pour la question 1, construisons un arbre de probabilités pour les couleurs des boules : R (rouge), N (noire), B (bleue). Comme il y a remise, les tirages sont indépendants et les probabilités restent les mêmes au second tirage.

De cet arbre, on voit que la probabilité d'obtenir deux boules rouges (RR) est bien $\frac{1}{9}$.

Pour la probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule qui n'est pas rouge, on a deux issues possibles : RN et RB.

$P(RN) = \frac{1}{9}$ et $P(RB) = \frac{1}{9}$.

Donc, la probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule non rouge est $P(RN) + P(RB) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.

2. Arbre pondéré et interprétation :

1. Signification de $R$ et $\overline{R}$ :

• $R$ signifie "Obtenir une boule rouge".

• $\overline{R}$ signifie "Ne pas obtenir une boule rouge", c'est-à-dire obtenir une boule noire ou bleue.

2. Probabilités $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$ :

• $\frac{1}{3}$ est la probabilité de tirer une boule rouge lors d'un tirage. Il y a 1 boule rouge parmi 3 boules au total.

• $\frac{2}{3}$ est la probabilité de ne pas tirer une boule rouge lors d'un tirage. Il y a 2 boules non rouges (noire et bleue) parmi 3 boules au total.

3. Règle de calcul des probabilités avec l'arbre pondéré :

Pour calculer la probabilité d'une issue (chemin dans l'arbre pondéré), on multiplie les probabilités écrites sur les branches qui composent ce chemin.

• $P(RR) = P(R \text{ au 1er tirage}) \times P(R \text{ au 2nd tirage} | R \text{ au 1er tirage}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

• $P(R\overline{R}) = P(R \text{ au 1er tirage}) \times P(\overline{R} \text{ au 2nd tirage} | R \text{ au 1er tirage}) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$.

• $P(\overline{R}R) = P(\overline{R} \text{ au 1er tirage}) \times P(R \text{ au 2nd tirage} | \overline{R} \text{ au 1er tirage}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.

• $P(\overline{R}\overline{R}) = P(\overline{R} \text{ au 1er tirage}) \times P(\overline{R} \text{ au 2nd tirage} | \overline{R} \text{ au 1er tirage}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.

Les probabilités des quatre issues sont donc :

• $P(RR) = \frac{1}{9}$

• $P(R\overline{R}) = \frac{2}{9}$

• $P(\overline{R}R) = \frac{2}{9}$

• $P(\overline{R}\overline{R}) = \frac{4}{9}$

On vérifie que la somme des probabilités des issues est égale à 1 : $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Correction :

1. Paramètres du schéma de Bernoulli :

En observant l'arbre, on peut déterminer les paramètres du schéma de Bernoulli :

• Nombre d'épreuves ($n$) : L'arbre comporte 3 niveaux d'épreuves (trois séries de branches), donc $n = 3$.

• Probabilité de succès ($p$) : Sur la première branche menant à un succès (S), la probabilité indiquée est $0,4$. Donc, $p = 0,4$. La probabilité d'échec est donc $1-p = 1 - 0,4 = 0,6$.

Les paramètres du schéma de Bernoulli sont $n=3$ et $p=0,4$.

2. Probabilités de $SSE$, $SES$ et $ESS$ :

Calculons les probabilités de chaque événement en multipliant les probabilités le long des branches de l'arbre :

• $P(SSE) = P(S) \times P(S) \times P(E) = 0,4 \times 0,4 \times 0,6 = 0,096$.

• $P(SES) = P(S) \times P(E) \times P(S) = 0,4 \times 0,6 \times 0,4 = 0,096$.

• $P(ESS) = P(E) \times P(S) \times P(S) = 0,6 \times 0,4 \times 0,4 = 0,096$.

Constatation : On constate que les probabilités de $SSE$, $SES$ et $ESS$ sont toutes égales à $0,096$. Ces trois événements correspondent à obtenir exactement deux succès en trois épreuves, avec le succès à des positions différentes.

3. Probabilités de $SEE$, $ESE$ et $EES$ :

Calculons les probabilités de ces événements de la même manière :

• $P(SEE) = P(S) \times P(E) \times P(E) = 0,4 \times 0,6 \times 0,6 = 0,144$.

• $P(ESE) = P(E) \times P(S) \times P(E) = 0,6 \times 0,4 \times 0,6 = 0,144$.

• $P(EES) = P(E) \times P(E) \times P(S) = 0,6 \times 0,6 \times 0,4 = 0,144$.

Constatation : On constate que les probabilités de $SEE$, $ESE$ et $EES$ sont toutes égales à $0,144$. Ces trois événements correspondent à obtenir exactement un succès en trois épreuves, avec le succès à des positions différentes.

En résumé, pour un schéma de Bernoulli, les probabilités des séquences avec le même nombre de succès sont égales. La position des succès dans la séquence n'affecte pas la probabilité.

Correction :

1. Probabilité d'obtenir un As :

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 As (un dans chaque couleur : cœur, carreau, trèfle, pique). La probabilité d'obtenir un As lors d'un tirage est donc :

$$P(\text{As}) = \frac{\text{Nombre d'As}}{\text{Nombre total de cartes}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$$

La probabilité d'obtenir un As est $\frac{1}{8}$.

2. Justification du schéma de Bernoulli :

Justification du schéma de Bernoulli :

• Répétition d'épreuves : On effectue deux tirages successifs de cartes.

• Épreuve de Bernoulli : Pour chaque tirage, il y a deux issues possibles : obtenir un As (succès, $S$) ou ne pas obtenir un As (échec, $E$).

• Épreuves identiques : Comme on remet la carte dans le tas après le premier tirage, la composition du jeu reste la même pour le second tirage. La probabilité d'obtenir un As reste constante à chaque tirage, $p = \frac{1}{8}$.

• Indépendance : Le fait de remettre la carte assure que le résultat du premier tirage n'influence pas le résultat du second tirage. Les tirages sont indépendants.

Conclusion : Cette situation est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=2$ et $p=\frac{1}{8}$.

3. Listes des résultats possibles :

Les listes des résultats possibles sont les issues :

• $SS$ : Obtenir un As au premier tirage et un As au deuxième tirage.

• $SE$ : Obtenir un As au premier tirage et ne pas obtenir un As au deuxième tirage.

• $ES$ : Ne pas obtenir un As au premier tirage et obtenir un As au deuxième tirage.

• $EE$ : Ne pas obtenir un As au premier tirage et ne pas obtenir un As au deuxième tirage.

4. Événement A : « Obtenir au moins un succès » :

Listes qui réalisent l'événement A :

L'événement « Obtenir au moins un succès » signifie obtenir un succès une fois ou deux fois. Les listes qui réalisent cet événement sont :

• $SS$

• $SE$

• $ES$

Calcul des probabilités de ces listes :

• $P(SS) = \frac{1}{64}$

• $P(SE) = \frac{7}{64}$

• $P(ES) = \frac{7}{64}$

Calcul de $P(A)$ :

P(A) est la somme des probabilités des listes qui réalisent l'événement A :

$$P(A) = P(SS) + P(SE) + P(ES) = \frac{1}{64} + \frac{7}{64} + \frac{7}{64} = \frac{15}{64}$$

La probabilité d'obtenir au moins un succès est $P(A) = \frac{15}{64}$.

On peut aussi calculer $P(A)$ en passant par l'événement contraire $\overline{A}$ : « Ne pas obtenir de succès », c'est-à-dire « Obtenir deux échecs » ($EE$).

$$P(\overline{A}) = P(EE) = \frac{49}{64}$$

$$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{49}{64} = \frac{64 - 49}{64} = \frac{15}{64}$$

On retrouve bien le même résultat.

Correction :

1. Probabilités du succès et de l'échec :

On lance un dé équilibré à six faces. L'événement $S$ est « Obtenir un 6 ». Puisque le dé est équilibré, chaque face a la même probabilité d'apparaître, soit $\frac{1}{6}$.

• Probabilité de succès $P(S)$ (obtenir un 6) :

$$P(S) = \frac{\text{Nombre de faces avec un 6}}{\text{Nombre total de faces}} = \frac{1}{6}$$

• Probabilité d'échec $P(\bar{S})$ (ne pas obtenir un 6) :

L'événement $\bar{S}$ est l'événement contraire de $S$, donc sa probabilité est $1 - P(S)$.

$$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Donc, la probabilité de succès (obtenir un 6) est $\frac{1}{6}$ et la probabilité d'échec (ne pas obtenir un 6) est $\frac{5}{6}$.

2. Justification du schéma de Bernoulli :

Pour justifier que cette situation est un schéma de Bernoulli, vérifions les conditions :

• Répétition d'épreuves : On répète l'expérience de lancer le dé deux fois.

• Épreuve de Bernoulli : Chaque lancer du dé est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : obtenir un 6 (succès, $S$) ou ne pas obtenir un 6 (échec, $\bar{S}$).

• Épreuves identiques : Comme le dé est équilibré et que les lancers sont identiques, la probabilité de succès (obtenir un 6) reste constante à chaque lancer, $p = \frac{1}{6}$.

• Indépendance : Les lancers du dé sont indépendants les uns des autres, le résultat d'un lancer n'influence pas le résultat du lancer suivant.

Conclusion : Cette situation est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=2$ et $p=\frac{1}{6}$.

3. Probabilité d'obtenir au moins un succès :

« Obtenir au moins un succès » signifie obtenir un succès une fois ou deux fois. Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire : « Ne pas obtenir de succès », c'est-à-dire « Obtenir deux échecs » ($EE$).

Les issues possibles sont $SS$, $SE$, $ES$, $EE$. Les probabilités sont :

• $P(SS) = P(S) \times P(S) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

• $P(SE) = P(S) \times P(E) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$

• $P(ES) = P(E) \times P(S) = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

• $P(EE) = P(E) \times P(E) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

La probabilité de « Ne pas obtenir de succès » (événement contraire) est $P(EE) = \frac{25}{36}$.

La probabilité d'obtenir au moins un succès est donc :

$$P(\text{Au moins un succès}) = 1 - P(\text{Aucun succès}) = 1 - P(EE) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}$$

La probabilité d'obtenir au moins un succès est $\frac{11}{36}$.

Correction :

1. Probabilités de $S$ et $\bar{S}$ :

Dans l'urne, il y a 3 boules blanches et 2 boules bleues, soit un total de 5 boules.

L'événement $S$ est « Obtenir une boule blanche ».

• Probabilité de $S$ (obtenir une boule blanche) :

$$P(S) = \frac{\text{Nombre de boules blanches}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{3}{5}$$

L'événement $\bar{S}$ est « Ne pas obtenir une boule blanche », c'est-à-dire « Obtenir une boule bleue ».

• Probabilité de $\bar{S}$ (obtenir une boule bleue) :

$$P(\bar{S}) = \frac{\text{Nombre de boules bleues}}{\text{Nombre total de boules}} = \frac{2}{5}$$

Donc, la probabilité d'obtenir une boule blanche est $\frac{3}{5}$ et la probabilité de ne pas obtenir une boule blanche (obtenir une boule bleue) est $\frac{2}{5}$.

2. Justification du schéma de Bernoulli :

Pour justifier que cette situation est un schéma de Bernoulli, vérifions les conditions :

• Répétition d'épreuves : On répète l'expérience de tirer une boule trois fois.

• Épreuve de Bernoulli : Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles : obtenir une boule blanche (succès, $S$) ou ne pas obtenir une boule blanche (échec, $\bar{S}$).

• Épreuves identiques : Comme on remet la boule dans l'urne après chaque tirage, la composition de l'urne reste inchangée. La probabilité de succès (obtenir une boule blanche) reste constante à chaque tirage, $p = \frac{3}{5}$.

• Indépendance : Le fait de remettre la boule dans l'urne assure que le résultat d'un tirage n'influence pas le résultat des tirages suivants. Les tirages sont indépendants.

Conclusion : Cette situation est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=\frac{3}{5}$.

3. Probabilité d'obtenir au moins un succès :

« Obtenir au moins un succès » signifie obtenir un succès une, deux ou trois fois. Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire : « Ne pas obtenir de succès », c'est-à-dire « Obtenir trois échecs » ($EEE$).

La probabilité d'échec est $P(E) = P(\bar{S}) = \frac{2}{5}$. Puisque les épreuves sont indépendantes, la probabilité d'obtenir trois échecs est :

$$P(EEE) = P(E) \times P(E) \times P(E) = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$$

La probabilité d'obtenir au moins un succès est donc :

$$P(\text{Au moins un succès}) = 1 - P(\text{Aucun succès}) = 1 - P(EEE) = 1 - \frac{8}{125} = \frac{125 - 8}{125} = \frac{117}{125}$$

La probabilité d'obtenir au moins un succès est $\frac{117}{125}$.

Correction :

1. Arbre pondéré :

Pour chaque feu tricolore, il y a deux issues possibles : Vert (V) ou Rouge (R). La probabilité d'être au vert est $P(V) = \frac{1}{3}$, et la probabilité d'être au rouge est $P(R) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Comme il y a trois feux indépendants, on peut représenter la situation par un arbre pondéré à trois niveaux.

2. Calcul des probabilités :

1. Deux feux sur trois sont au vert :

Les issues correspondantes sont VVR, VRV, RVV. Chacune a une probabilité de $\frac{2}{27}$.

$$P(\text{2 feux verts}) = P(VVR) + P(VRV) + P(RVV) = \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$

2. Un seul feu sur les trois est au vert :

Les issues correspondantes sont VRR, RVR, RRV. Chacune a une probabilité de $\frac{4}{27}$.

$$P(\text{1 feu vert}) = P(VRR) + P(RVR) + P(RRV) = \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$$

3. Tous les feux sont au vert :

L'issue correspondante est VVV. Sa probabilité est $\frac{1}{27}$.

$$P(\text{Tous verts}) = P(VVV) = \frac{1}{27}$$

4. Aucun des trois feux n'est au vert :

L'issue correspondante est RRR. Sa probabilité est $\frac{8}{27}$.

$$P(\text{Aucun vert}) = P(RRR) = \frac{8}{27}$$

Vérification : La somme des probabilités doit être égale à 1.

$$P(\text{2 verts}) + P(\text{1 vert}) + P(\text{Tous verts}) + P(\text{Aucun vert}) = \frac{6}{27} + \frac{12}{27} + \frac{1}{27} + \frac{8}{27} = \frac{27}{27} = 1$$

Les probabilités calculées sont cohérentes.

Correction :

1. Justification du schéma de Bernoulli :

Pour justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli, vérifions les conditions :

• Répétition d'épreuves : Élise prélève quatre briques, donc on répète l'expérience quatre fois.

• Épreuve de Bernoulli : Pour chaque prélèvement, il y a deux issues possibles : brique bleue (succès, $S$) ou brique rouge (échec, $E$).

• Épreuves identiques : La proportion de briques bleues est constante ($40\%$) car le nombre de briques est très important et le tirage est assimilé à un tirage avec remise. La probabilité de succès (tirer une brique bleue) reste donc constante à chaque tirage, $p = 0,40 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

• Indépendance : Puisque le tirage est assimilé à un tirage avec remise, les résultats des prélèvements sont indépendants les uns des autres.

Conclusion : Cette expérience est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=4$ et $p=0,4$.

2. Arbre pondéré :

(Note: L'arbre complet aurait 16 issues, nous n'affichons ici que les premières branches pour illustrer le début de l'arbre)

3. Calcul des probabilités :

1. Élise a prélevé 4 briques bleues :

C'est l'issue BBBB. La probabilité est :

$$P(\text{4 bleues}) = P(BBBB) = (0,4)^4 = 0,0256$$

2. Élise a prélevé deux briques bleues, puis deux briques rouges :

C'est l'issue BBRR. La probabilité est :

$$P(\text{BBRR}) = (0,4)^2 \times (0,6)^2 = 0,16 \times 0,36 = 0,0576$$

3. Élise a prélevé au moins une brique bleue :

Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire : « Élise n'a prélevé aucune brique bleue », c'est-à-dire « Élise a prélevé 4 briques rouges » (RRRR).

$$P(\text{4 rouges}) = P(RRRR) = (0,6)^4 = 0,1296$$

$$P(\text{Au moins une bleue}) = 1 - P(\text{Aucune bleue}) = 1 - P(\text{4 rouges}) = 1 - 0,1296 = 0,8704$$

4. Élise a prélevé au plus une brique rouge :

« Au plus une brique rouge » signifie « 0 brique rouge ou 1 brique rouge ».

• 0 brique rouge (4 briques bleues) : $P(BBBB) = 0,0256$ (calculé en 3.1)

• 1 brique rouge (3 briques bleues et 1 rouge) : Les issues sont BBBR, BBRB, BRBB, RBBB. Chacune a une probabilité de $(0,4)^3 \times (0,6) = 0,0384$. Il y a 4 issues possibles.

$$P(\text{1 rouge}) = 4 \times (0,4)^3 \times (0,6) = 4 \times 0,0384 = 0,1536$$

$$P(\text{Au plus une rouge}) = P(\text{0 rouge}) + P(\text{1 rouge}) = 0,0256 + 0,1536 = 0,1792$$

Les probabilités sont :

1. $P(\text{4 bleues}) = 0,0256$

2. $P(\text{BBRR}) = 0,0576$

3. $P(\text{Au moins une bleue}) = 0,8704$

4. $P(\text{Au plus une rouge}) = 0,1792$

Correction :

1. Justification du schéma de Bernoulli :

Pour justifier que cette situation correspond à un schéma de Bernoulli, vérifions les conditions :

• Répétition d'épreuves : On étudie le comportement de David pendant trois jours (lundi, mardi, mercredi), donc on répète l'expérience trois fois.

• Épreuve de Bernoulli : Pour chaque matin, il y a deux issues possibles : David est en retard (succès, $R$) ou David n'est pas en retard (échec, $\overline{R}$).

• Épreuves identiques : La probabilité que David soit en retard est estimée à $6$ fois sur $10$, soit $p = \frac{6}{10} = 0,6$. On suppose que cette probabilité reste constante chaque matin.

• Indépendance : On suppose que les réveils de David sont indépendants d'un matin à l'autre, donc les épreuves sont indépendantes.

Conclusion : Cette situation est un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,6$.

2. Arbre pondéré :

(Note: L'arbre complet aurait 8 issues, nous n'affichons ici que les premières branches pour illustrer le début de l'arbre)

3. Calcul des probabilités :

1. David n'est pas en retard les trois jours :

C'est l'issue $\overline{R}\overline{R}\overline{R}$. La probabilité est :

$$P(\text{Pas en retard 3 jours}) = P(\overline{R}\overline{R}\overline{R}) = (0,4)^3 = 0,064$$

2. David est en retard au lycée le lundi et le mardi matins :

Cela signifie qu'il est en retard lundi et mardi, et peut être en retard ou non le mercredi. On considère donc les issues $RRR$ et $RR\overline{R}$. Cependant, l'énoncé précise "le lundi et le mardi matins", ce qui implique qu'on s'intéresse uniquement au fait qu'il soit en retard lundi et mardi, sans condition sur le mercredi. Il s'agit donc de l'événement correspondant aux deux premiers jours en retard, indépendamment du troisième jour. En fait, la question demande probablement la probabilité d'être en retard lundi ET mardi, ce qui correspond aux branches commençant par RR, donc RRR et RR$\overline{R}$. Si on interprète plus strictement "le lundi et mardi matins" comme *seulement* lundi et mardi, alors il faudrait exclure RRR. Cependant, l'interprétation la plus naturelle est "au moins en retard lundi et mardi". Prenons l'interprétation "en retard lundi et mardi, et n'importe quoi le mercredi" (RRR ou RR$\overline{R}$):

$$P(\text{Retard Lundi et Mardi}) = P(RRR) + P(RR\overline{R}) = (0,6)^3 + (0,6)^2 \times 0,4 = 0,216 + 0,144 = 0,36$$

Si on interprète "exactement lundi et mardi en retard et pas mercredi" alors ce serait seulement $P(RR\overline{R}) = 0,144$. Cependant, l'énoncé est plus probablement interprété comme "au moins lundi et mardi en retard". On prendra donc 0.36.

3. David est en retard deux matins consécutifs :

Cela peut arriver de plusieurs manières : Lundi-Mardi (RR$\overline{R}$ et $RRR$), Mardi-Mercredi ($\overline{R}RR$ et $RRR$). Attention, $RRR$ est compté dans les deux cas. Il faut lister les issues :

• Retard Lundi-Mardi : $RRR$, $RR\overline{R}$

• Retard Mardi-Mercredi : $RRR$, $\overline{R}RR$

Les issues réalisant "retard deux matins consécutifs" sont donc : $RRR$, $RR\overline{R}$, $\overline{R}RR$.

$$P(\text{Retard 2 matins consécutifs}) = P(RRR) + P(RR\overline{R}) + P(\overline{R}RR) = 0,216 + 0,144 + 0,144 = 0,504$$

4. David est en retard au plus une fois :

« Au plus une fois » signifie « 0 fois en retard ou 1 fois en retard ».

• 0 fois en retard (pas en retard les 3 jours) : $P(\overline{R}\overline{R}\overline{R}) = 0,064$ (calculé en 3.1)

• 1 fois en retard (exactement 1 jour en retard) : Les issues sont $\overline{R}\overline{R}R$, $\overline{R}R\overline{R}$, $R\overline{R}\overline{R}$. Chacune a une probabilité de $(0,4)^2 \times (0,6) = 0,096$. Il y a 3 issues possibles.

$$P(\text{1 retard}) = 3 \times (0,4)^2 \times (0,6) = 3 \times 0,096 = 0,288$$

$$P(\text{Au plus un retard}) = P(\text{0 retard}) + P(\text{1 retard}) = 0,064 + 0,288 = 0,352$$

Les probabilités sont :

1. $P(\text{Pas en retard 3 jours}) = 0,064$

2. $P(\text{Retard Lundi et Mardi}) = 0,36$ (interprétation "au moins lundi et mardi")

3. $P(\text{Retard 2 matins consécutifs}) = 0,504$

4. $P(\text{Au plus un retard}) = 0,352$

Correction :

1. Complétion des cellules du tableur :

Pour compléter les cellules du tableur, analysons l'expérience de Bernard au ball-trap.

1. Cellule B1 (L'expérience) :

L'expérience de Bernoulli de base est un seul tir de Bernard.

2. Cellule B2 (Succès) :

Le succès dans cette épreuve est que Bernard atteigne le disque.

3. Cellule B3 (Probabilité de succès) :

La probabilité de succès (atteindre le disque) est donnée comme étant 0,6.

4. Cellule B4 (Nombre de répétitions) :

Bernard tire successivement sur dix disques, donc l'épreuve est répétée 10 fois.

5. Cellules B5 et D5 (Paramètres du schéma de Bernoulli) :

Pour un schéma de Bernoulli, les paramètres sont $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès).

Tableau complété :

=ALEA()

=SI(B3=10;"vrai";"faux")

=NB.SI(B9:B19;"Succès")

Correction :

1. Complétion des cellules du tableur :

Pour compléter les cellules du tableur, analysons l'expérience de Bernard au ball-trap.

1. Cellule B1 (L'expérience) :

L'expérience de Bernoulli de base est un seul tir de Bernard.

2. Cellule B2 (Succès) :

Le succès dans cette épreuve est que Bernard atteigne le disque.

3. Cellule B3 (Probabilité de succès) :

La probabilité de succès (atteindre le disque) est donnée comme étant 0,6.

4. Cellule B4 (Nombre de répétitions) :

Bernard tire successivement sur dix disques, donc l'épreuve est répétée 10 fois.

5. Cellules B5 et D5 (Paramètres du schéma de Bernoulli) :

Pour un schéma de Bernoulli, les paramètres sont $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès).

Tableau complété :

2. Fonction ALEA() :

La commande =ALEA() en cellule B7 génère un nombre aléatoireUniformément distribué entre 0 (inclus) et 1 (exclu). En appuyant sur F9, le tableur recalcule et génère un nouveau nombre aléatoire.

3. Fonction SI et simulation :

1. Fonction =SI(B3=10;"vrai";"faux") en F4 :

Cette commande teste si la valeur de la cellule B3 est égale à 10. Si c'est le cas, elle affiche "vrai" dans la cellule F4, sinon elle affiche "faux". Dans le contexte de l'exercice, B3 contient la probabilité de succès (0,6), donc la condition B3=10 est fausse, et la cellule F4 affichera "faux". Il y a probablement une erreur dans la question, la condition devrait probablement être liée à un nombre aléatoire et la probabilité de succès pour simuler un tir.

2. Formule en B9 simulant le tir de ball-trap :

Pour simuler un tir, on compare un nombre aléatoire entre 0 et 1 (généré par ALEA()) avec la probabilité de succès (0,6 en B3). Si le nombre aléatoire est inférieur à 0,6, on considère que c'est un succès, sinon un échec.

Formule à entrer en B9 : =SI(ALEA()