Thème : Suites Complexes et Interprétation Géométrique
Suite de nombres complexes et propriétés géométriques
On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie par :
$z_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n : z_{n+1} = \left(1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}\right) z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
1) Forme exponentielle et premiers termes
a. Déterminer la forme exponentielle de $\left(1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.
b. En déduire la forme exponentielle de $z_1$ et $z_2$.
2) Expression de $z_n$ et alignement de points
a. Montrer que $z_n = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^n e^{i\frac{n\pi}{6}}$.
b. Pour quelle valeur de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.
3) Interprétation géométrique et nature d'une suite réelle
Pour tout entier $n$, on pose $d_n = |z_{n+1} - z_n|$
a. Interpréter géométriquement $d_n$.
b. Calculer $d_0$.
c. Calculer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$. En déduire que la suite $(d_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Exprimer alors $d_n$ en fonction de $n$.
4) Nature d'un triangle
Aide : Le rapport proposé en 4.a est $\frac{z_{n+1} - z_n}{z_n}$. Son argument correspond à l'angle orienté $(\overrightarrow{OA_n}, \overrightarrow{A_nA_{n+1}})$, c'est-à-dire l'angle $\widehat{A_nOA_{n+1}}$. Pour la nature du triangle, pensez aussi au module de ce rapport.
a. Calculer $\frac{z_{n+1} - z_n}{z_n}$.
b. En déduire la nature précise du triangle $OA_nA_{n+1}$. Justifier votre réponse.
5) Algorithmique et seuil
a. Compléter le programme en Python suivant, permettant de trouver le plus petit entier $n$ tel que $|z_n| > 10$.
from math import*
n=0
u= 1 # Initialisation avec z_0
while abs(u) <= 10 : # Condition tant que |z_n| <= 10
n = n + 1 # Incrémentation de n
u = (1 + sqrt(3)/3 * 1j) * u # Calcul de z_{n+1}
print (n) # Affichage de n
b. Déterminer cet entier à l'aide de ce programme. Indiquer la valeur affichée par le programme.
On peut démontrer par récurrence que $z_n = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^n e^{i\frac{n\pi}{6}}$.
Les points O, $A_0$, et $A_n$ sont alignés si et seulement si l'argument de $z_n$ est un multiple de $\pi$. $\text{arg}(z_n) = \frac{n\pi}{6}$. Donc, on cherche $n$ tel que $\frac{n\pi}{6} = k\pi$, où $k$ est un entier. Cela donne $n = 6k$. Les points sont alignés pour $n$ multiple de 6.
Interprétation géométrique et nature de la suite
$d_n = |z_{n+1} - z_n|$ représente la distance entre les points $A_{n+1}$ et $A_n$.
La suite $(d_n)$ est géométrique de raison $\frac{2}{\sqrt{3}}$ et de premier terme $d_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Donc, $d_n = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
Le module de $\frac{z_{n+1} - z_n}{z_n}$ est $\left|i\frac{\sqrt{3}}{3}\right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$. L'argument est $\frac{\pi}{2}$. Cela signifie que $A_nA_{n+1} = \frac{\sqrt{3}}{3}OA_n$ et que l'angle $(\overrightarrow{OA_n}, \overrightarrow{A_nA_{n+1}}) = \frac{\pi}{2}$. Donc, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$. De plus, comme le rapport des longueurs n'est pas 1, ce n'est pas un triangle rectangle isocèle.
Algorithme et seuil
Voir le code complété ci-dessus.
En exécutant le programme, on trouve $n = 12$. Le programme affichera 12.